第一章現(xiàn)代控制理論預(yù)覽

現(xiàn)代控制理論預(yù)覽建模分析設(shè)計狀態(tài)空間表達(dá)式建立求解轉(zhuǎn)換可控性可觀性穩(wěn)定性狀態(tài)反饋狀態(tài)觀測器最優(yōu)控制當(dāng)前1頁，總共60頁。第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式本章主要內(nèi)容：狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的建立狀態(tài)矢量的線性變換從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣當(dāng)前2頁，總共60頁。系統(tǒng)描述中常用的基本概念系統(tǒng)的外部描述傳遞函數(shù)系統(tǒng)的內(nèi)部描述狀態(tài)空間描述當(dāng)前3頁，總共60頁。1.1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)：是完全地描述動態(tài)系統(tǒng)運動狀況的信息，系統(tǒng)在某一時刻的運動狀況可以用該時刻系統(tǒng)運動的一組信息表征，定義系統(tǒng)運動信息的集合為狀態(tài)。狀態(tài)變量：是指足以完全描述系統(tǒng)運動狀態(tài)的最小個數(shù)的一組變量。當(dāng)前4頁，總共60頁。完全描述：如果給定了時刻這組變量值，和時輸入的時間函數(shù)，那么，系統(tǒng)在的任何瞬間的行為就完全確定了。最小個數(shù)：意味著這組變量是互相獨立的。一個用階微分方程描述的含有個獨立變量的系統(tǒng)，當(dāng)求得個獨立變量隨時間變化的規(guī)律時，系統(tǒng)狀態(tài)可完全確定。若變量數(shù)目多于，必有變量不獨立；若少于，又不足以描述系統(tǒng)狀態(tài)。當(dāng)前5頁，總共60頁。狀態(tài)矢量：設(shè)是系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量，并將它們看做矢量的分量，就稱為狀態(tài)矢量，記作：當(dāng)前6頁，總共60頁。狀態(tài)軌跡：以為起點，隨著時間的推移，狀態(tài)矢量的端點在狀態(tài)空間不斷的移動，所繪出的一條軌跡。狀態(tài)空間：以狀態(tài)變量為坐標(biāo)軸所構(gòu)成的維空間。在某一特定時刻，狀態(tài)向量是狀態(tài)空間的一個點。當(dāng)前7頁，總共60頁。狀態(tài)方程：描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與系統(tǒng)輸入變量間關(guān)系的一階微分方程組(連續(xù)系統(tǒng))或一階差分方程組（離散系統(tǒng)）。向量形式：

狀態(tài)向量輸入向量當(dāng)前8頁，總共60頁。輸出方程：在指定系統(tǒng)輸出的情況下，該輸出與狀態(tài)變量間的個代數(shù)方程，稱為系統(tǒng)的輸出方程。向量形式：輸出向量當(dāng)前9頁，總共60頁。

解：例：建立如圖所示的RCL電路的狀態(tài)方程和輸出方程。圖1

微分方程傳遞函數(shù)只反映外部情況，無法獲知內(nèi)部聯(lián)系當(dāng)前10頁，總共60頁。

定義狀態(tài)變量

二階微分方程，選擇兩個狀態(tài)變量狀態(tài)向量

定義輸出變量當(dāng)前11頁，總共60頁。整理得一階微分方程組為即

輸出方程狀態(tài)方程狀態(tài)空間表達(dá)式當(dāng)前12頁，總共60頁。寫成矩陣相乘的形式當(dāng)前13頁，總共60頁。可簡寫為式中,當(dāng)前14頁，總共60頁。狀態(tài)空間表達(dá)式：狀態(tài)方程和輸出方程合起來構(gòu)成對一個動態(tài)系統(tǒng)完整的描述，稱為動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。圖1所示電路,若

為輸出,取作為狀態(tài)變量,則其狀態(tài)空間表達(dá)式為當(dāng)前15頁，總共60頁。若按照如下所示的微分方程：選,則得到一階微分方程組：即狀態(tài)變量選擇不同，狀態(tài)方程也不同。當(dāng)前16頁，總共60頁。兩組狀態(tài)變量之間的關(guān)系P：非奇異矩陣當(dāng)前17頁，總共60頁。其狀態(tài)變量為,則一般形式的狀態(tài)空間描述寫作：單輸入單輸出定常線性系統(tǒng)當(dāng)前18頁，總共60頁。用矢量矩陣表示的狀態(tài)空間表達(dá)式為：維列向量控制矩陣輸入矩陣觀測矩陣輸出矩陣狀態(tài)矩陣系統(tǒng)矩陣系數(shù)矩陣為標(biāo)量當(dāng)前19頁，總共60頁。d是標(biāo)量，反映輸出與輸入的直接關(guān)聯(lián)。

當(dāng)前20頁，總共60頁。寫成矩陣形式有：多輸入多輸出定常線性系統(tǒng)當(dāng)前21頁，總共60頁。當(dāng)前22頁，總共60頁。本課程常用符號說明小寫細(xì)體字母——標(biāo)量、時間、復(fù)變量小寫粗體字母——向量大寫粗體字母——矩陣大寫細(xì)體字母——拉氏變換符號、系統(tǒng)符號當(dāng)前23頁，總共60頁。

和經(jīng)典控制理論相類似，可以用框圖表示系統(tǒng)信號傳遞的關(guān)系。對于上述系統(tǒng)，它們的框圖分別如圖a和b所示。

狀態(tài)空間表達(dá)式的系統(tǒng)框圖

c當(dāng)前24頁，總共60頁。常用符號：注:負(fù)反饋時為－注：有幾個狀態(tài)變量，就建幾個積分器積分器比例器加法器1.2狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的狀態(tài)模擬結(jié)構(gòu)圖當(dāng)前25頁，總共60頁。狀態(tài)空間描述的模擬結(jié)構(gòu)圖繪制步驟：⑴畫出所有積分器；積分器的個數(shù)等于狀態(tài)變量數(shù)，每個積分器的輸出表示相應(yīng)的某個狀態(tài)變量。⑵根據(jù)狀態(tài)方程和輸出方程，畫出相應(yīng)的加法器和比例器；⑶用箭頭將這些元件連接起來。當(dāng)前26頁，總共60頁。例畫出一階微分方程的模擬結(jié)構(gòu)圖。模擬結(jié)構(gòu)圖微分方程：當(dāng)前27頁，總共60頁。例1-2畫出三階微分方程的模擬結(jié)構(gòu)圖。微分方程：例1-3畫出下述狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖。當(dāng)前28頁，總共60頁。系統(tǒng)系統(tǒng)當(dāng)前29頁，總共60頁。1.3狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的建立建立狀態(tài)空間描述的三個途徑：1、由系統(tǒng)框圖建立2、由系統(tǒng)機理進(jìn)行推導(dǎo)3、由微分方程或傳遞函數(shù)演化而得當(dāng)前30頁，總共60頁。一、由系統(tǒng)框圖建立狀態(tài)空間描述［例1-4］：系統(tǒng)框圖如下：［關(guān)鍵］：將積分部分單獨表述出來，對結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行等效變換當(dāng)前31頁，總共60頁。1、積分環(huán)節(jié)2、慣性環(huán)節(jié)當(dāng)前32頁，總共60頁。3、比例積分環(huán)節(jié)當(dāng)前33頁，總共60頁。等效變換如下：［例1-4］：系統(tǒng)框圖如下：當(dāng)前34頁，總共60頁。圖中有三個積分環(huán)節(jié)，三階系統(tǒng)，取三個狀態(tài)變量如上圖（選擇積分環(huán)節(jié)后的變量為狀態(tài)變量），則有：當(dāng)前35頁，總共60頁。寫成矩陣形式：當(dāng)前36頁，總共60頁。系統(tǒng)當(dāng)前37頁，總共60頁。狀態(tài)變量的選取原則選擇系統(tǒng)儲能元件的輸出物理量；狀態(tài)變量不唯一狀態(tài)變量的選取不同，狀態(tài)空間表達(dá)式也不同！二、由系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間表達(dá)式使系統(tǒng)狀態(tài)方程成為某種標(biāo)準(zhǔn)形式的變量（對角線標(biāo)準(zhǔn)型和約旦標(biāo)準(zhǔn)型）選擇系統(tǒng)輸出及其各階導(dǎo)數(shù)；當(dāng)前38頁，總共60頁。電路如圖所示。建立該電路以電壓u1,u2為輸入量，uA為輸出量的狀態(tài)空間表達(dá)式。[例]L2uAu1u2+_+_i1i2R2R1L1[解]：1)選擇狀態(tài)變量兩個儲能元件L1和L2，可以選擇i1和i2為狀態(tài)變量，且兩者是獨立的。當(dāng)前39頁，總共60頁。2）根據(jù)基爾霍夫電壓定律，列寫2個回路的微分方程：整理得：L2uAu1u2+_+_i1i2R2R1L1當(dāng)前40頁，總共60頁。3）狀態(tài)空間表達(dá)式為：當(dāng)前41頁，總共60頁。[例]試列出在外力f作用下，以質(zhì)量的位移為輸出的狀態(tài)空間表達(dá)式。解：質(zhì)量塊受力圖如下：依據(jù)牛頓定律，有：當(dāng)前42頁，總共60頁。選取狀態(tài)變量位移輸入輸出當(dāng)前43頁，總共60頁。輸出方程狀態(tài)方程依據(jù)牛頓定律：當(dāng)前44頁，總共60頁。寫成矩陣形式：當(dāng)前45頁，總共60頁。

1)選取個狀態(tài)變量；確定輸入、輸出變量；建立狀態(tài)空間表達(dá)式的步驟狀態(tài)變量、輸入變量、參數(shù)輸出變量、狀態(tài)變量、輸入變量、參數(shù)2)根據(jù)系統(tǒng)微分方程列出個一階微分方程；3)根據(jù)系統(tǒng)微分方程，列出個代數(shù)方程。當(dāng)前46頁，總共60頁。對于給定的系統(tǒng)微分方程或傳遞函數(shù)，尋求對應(yīng)的狀態(tài)空間描述而不改變系統(tǒng)的輸入-輸出特性，稱此狀態(tài)空間描述是系統(tǒng)的一個狀態(tài)空間實現(xiàn)。三、由系統(tǒng)微分方程或者傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式n階SISO控制系統(tǒng)的時域模型為：當(dāng)前47頁，總共60頁。線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為可實現(xiàn)的條件：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：當(dāng)前48頁，總共60頁。應(yīng)用長除法有當(dāng)系統(tǒng)傳遞函數(shù)中時，即當(dāng)前49頁，總共60頁。其狀態(tài)空間描述為式中是直接聯(lián)系輸入、輸出量的前饋系數(shù)，是嚴(yán)格有理真分式，其系數(shù)用綜合除法得式中A、b、c由實現(xiàn)方式確定，其形式不變，唯輸出方程中需增加一項當(dāng)前50頁，總共60頁。微分方程形式（微分方程中不包含輸入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項）：1、傳遞函數(shù)中沒有零點時的實現(xiàn)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：當(dāng)前51頁，總共60頁。選擇狀態(tài)變量

狀態(tài)方程輸出方程當(dāng)前52頁，總共60頁。2.）化為向量矩陣形式：

系統(tǒng)矩陣控制矩陣輸出矩陣狀態(tài)方程

輸出方程

友矩陣當(dāng)前53頁，總共60頁。特點：狀態(tài)變量是輸出y及y的各階導(dǎo)數(shù)系統(tǒng)矩陣A特點：主對角線上方的元素為1，最后一行為微分方程系數(shù)的負(fù)值，其它元素全為0，稱為友矩陣或相伴矩陣。3.）畫系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖：當(dāng)前54頁，總共60頁。例考慮系統(tǒng)試寫出其狀態(tài)空間表達(dá)式。則狀態(tài)空間表達(dá)式為：解：選擇狀態(tài)變量：當(dāng)前55頁，總共60頁。標(biāo)量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖當(dāng)