問渠那得清如許,為有源頭活水來

本文格式為Word版，下載可任意編輯——問渠那得清如許,為有源頭活水來平面幾何教學在初中數(shù)學教學中占有重要地位.面對紛繁繁雜的題型，教師該如何把握，才能提高教學效率，減輕學生的負擔，真正表達素質(zhì)教導呢？筆者認為充分挖掘課本中定理教學價值，不失為一個可行的手段.下面我結合浙教版八（下）6.1矩形中的三個定理的教學證明做探討，以期拋磚引玉.

定理1：矩形對角線相等.

方法1：已知四邊形ABCD是矩形，求證：AC=BD.

（引導學生分析：證兩條不在同一個三角形中的兩條線段相等，最為常用的方法是證兩個三角形全等.這里只要證△ABC≌△BAD.）

證明：∵四邊形ABCD是矩形

∴∠ABC=∠BAD=90°，DA=CB

∵AB=BA

∴△ABC≌△BAD（SAS）

∴BD=AC

方法2：已知四邊形ABCD是矩形，求證：AC=BD.

（引導學生分析:由于矩形中有直角，因而可考慮用勾股定理證明.）

證明：∵四邊形ABCD是矩形

∴∠ABC=∠BAD=90°，DA=CB

在Rt△ABC和Rt△BAD中

∵BD=■，AC=■，

∴BD=AC

方法3：已知四邊形ABCD是矩形，求證：AC=BD.

（引導學生分析:由于AO=■AC，BO=■BD，所以只要證AO=BO.）

證明：∵四邊形ABCD是矩形

∴∠ABC=90°，AO=■AC，BO=■BD

∴O為AC中點，又△ABC為直角三角形

∴BO=■AC

∴AC=BD

方法4：已知四邊形ABCD是矩形，求證：AC=BD.

（引導學生分析:由于OA=■AC，OB=■BD，所以只要證AO=BO，即證三角形為等腰三角形.）

證明：取AB中點E，連接OE

∵四邊形ABCD為矩形

∴∠ABC=90°，OA=■AC，OB=■BD

∴O為AC的中點，又E為AB的中點

∴OE∥BC

∴∠OEA=∠ABC=90°

∴OA=OB（中垂線的性質(zhì)）

∴AC=BD

方法5：已知四邊形ABCD是矩形，求證：AC=BD.

（引導學生分析:考慮到AC和BD不在同一個三角形中，是否考慮通過平移將它們放到同一個三角形中證明.）

證明：過C作CO∥BD交BD延長線于點O.

∵四邊形ABCD是矩形

∴∠ABC=90°，CD=AB，CD∥AB

∵CO∥BD

∴四邊形BOCD為平行四邊形.

∴BO=CD，CO=BD

∴AB=BO

∵CB⊥AB

∴CA=CO（中垂線的性質(zhì)）

∴CA=BD

方法6：已知四邊形ABCD是矩形，求證：AC=BD.

（引導學生分析:考慮到AC和BD不在同一個三角形中，是否考慮通過先作一個以AC為腰的等腰三角形ACO，再證CO等于BD.）

證明：延長AB到O使AB=BO.

∵四邊形ABCD是矩形

∴∠ABC=90°

∵AB=BO

∴AC=CO

∵CD=AB，CD∥AB又BO=AB

∴CD=BO，CD∥BO

∴四邊形BOCD為平行四邊形

∴CO=BD

∴AC=BD

綜上，對于定理1的證明共用了6種方法，引導學生歸納證明兩條線段相等的一般方法.第一，三角形全等；其次，在同一個三角形中等角對等邊；第三，可以引進中間量；第四，如在直角三角形中還可考慮用勾股定理；第五，在平面直角坐標系中，還可用兩點之間的距離公式.接下來持續(xù)探討本節(jié)其次課時的另一個定理的證明.

定理2：直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半.

方法1：已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD為斜邊AB上的中線，求證：CD＝■AB.

（引導學生分析:要證CD＝■AB，那么CD延長使DE=CD，只要證CE=AB.引導學生總結中點倍延為處理該類問題的根本方法.也可以將△ADC繞點D旋轉180°.）

證明：延長CD使CD＝DE，連接BE，AE

∵DE=CE，AD=BD

∴四邊形ABCD為平行四邊形

∵∠ACB=90°

∴平行四邊形ABCD為矩形.

∴AB=CE

∴CD＝■AB

方法2：已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD為斜邊AB上的中線，求證：CD＝■AB.

（引導學生分析:要證CD＝■AB，而BD＝■AB，那么只要證BD=CD，D為AB中點，故取BC中點E構造中位線.）

證明：取BC中點E，連接DE.

∵D為AB的中點，E為BC中點

∴DE∥AC

∵∠ACB=90°

∴∠DEB=∠ACB=90°

∴DE⊥BC

∴BD=CD

∴CD=■AB

方法3：已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD為斜邊AB上的中線，求證：CD＝■AB.

（引導學生分析:要證CD＝■AB，考慮到AB邊的中位線為AB的一半，那只要證CD等于其中位線即可.）

證明：取BC，AC中點E，F(xiàn)，連接DE，DF，EF.

∵D，E為AB，BC的中點

∴DE∥AC，DE=■AC

∵FC=■AC

∴DE∥FC，DE=FC

∴四邊形DECF為平行四邊形

∵∠ACB=900

∴平行四邊形DEFC為矩形

∴CD＝EF

∴CD=■AB

方法4：已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD為斜邊AB上的中線，求證：CD＝■AB.

（引導學生分析:要證CD＝■AB，那么構造CD為三角形的中位線，也可將△ABC沿AC作軸對稱圖形.）

證明：延長BC到E使CE＝BE，連接AE.

∵D為AB中點，CE=BC

∴CD=■AE

∵∠ACB=90°，CE=BC

∴AB=AE（中垂線的性質(zhì)）

∴CD=■AB

綜上，對于定理3的證明共用了4種方法，引導學生總結證一條線段為另一條線段的一半常用的方法.第一，倍延較短的線