特征值與特征向量計算第六章演示文稿

特征值與特征向量計算第六章演示文稿當(dāng)前1頁，總共53頁。優(yōu)選特征值與特征向量計算第六章當(dāng)前2頁，總共53頁。矩陣特征值

與特征向量的計算主要內(nèi)容一、冪法二、反冪法三、冪法、反冪法小結(jié)四、QR算法五、Jacobi方法當(dāng)前3頁，總共53頁。問題的提出：

工程技術(shù)的許多實際問題，例如振動問題，穩(wěn)定問題的求解，有時會歸結(jié)成求矩陣的特征值λ和對應(yīng)的特征向量χ。學(xué)過線性代數(shù)后，我們已知求矩陣A的特征值λ和特征向量χ的解法，即先求出A的特征多項式：

令ｆ﹙ｘ﹚﹦0。通過求解上述高次多項式方程，所得根λ即為矩陣A的特征值，然后求解方程組﹙Ａ﹣λＩ﹚Ｘ﹦0，就可得出特征值λ對應(yīng)的特征向量X。當(dāng)前4頁，總共53頁。

但眾所周知，高次多項式求根是相當(dāng)困難的，而且重根的計算精度較低。同時，矩陣A求特征多項式系數(shù)的過程對舍入誤差十分敏感，這對最后計算結(jié)果影響很大。因此，從數(shù)值計算角度來看，上述方法缺乏實用價值。目前，求矩陣特征值問題實際采用的是迭代法和變換法。這里將介紹通過求矩陣特征向量求出特征值的一種迭代法----冪法，而后再介紹一些反冪法的內(nèi)容。一、冪法

定理：設(shè)矩陣A的特征值為并設(shè)A有完全的特征向量系

(它們線性無關(guān))，則對任意一個非零向量V0Rn

所構(gòu)造的向量序列有其中表示向量的第j個分量.P129：定理6-2；歸一化冪法是定理6-3。當(dāng)前5頁，總共53頁。證明：僅就為實數(shù)的情況來證明.假定

于是,由矩陣特征值定義知,得…………..當(dāng)前6頁，總共53頁。同理可得：假定,因為,故得

從上述證明過程可得出計算矩陣A的按模最大特征值的方法,具體步驟如下：(1)任取一非零向量V0Rn,一般可取V0=(1,1,.…,1)T

(2)計算Vk=AVk-1(3)當(dāng)k足夠大時,即可得到：當(dāng)前7頁，總共53頁。

若按上述計算過程，有一嚴(yán)重缺點，當(dāng)|1|>1

（或|1|<1時）{Vk}中不為零的分量將隨K的增大而無限增大，計算機(jī)就可能出現(xiàn)上溢（或隨K的增大而很快出現(xiàn)下溢），因此，在實際計算時，須按規(guī)范法計算，每步先對向量Vk進(jìn)行“規(guī)范化”,即取Vk中絕對值最大的一個分量記作mk=max(Vk)，用mk遍除的所有向量Vk

，得到規(guī)范化向量。

為說明上述算法的正確性，我們證明下述定理定理二：在定理一的條件下,規(guī)范化向量序列{uk}收斂于矩陣A按模最大的特征值1對應(yīng)的特征向量,而向量序列{Vk}的絕對值最大的分量mk收斂于1,即當(dāng)前8頁，總共53頁。證:當(dāng)前9頁，總共53頁。當(dāng)前10頁，總共53頁。例：

用冪法求矩陣按模最大特征值1和對應(yīng)的特征向量x1解:

取初始向量V0=u0=(1,1,1)T

，計算出Vk,uk和mk,迭代7次的結(jié)果列于下表當(dāng)前11頁，總共53頁。

由上可見經(jīng)過7次迭代,m7的值已穩(wěn)定到小數(shù)后5位，故所求的按模最大特征值和對應(yīng)的特征向量可取作：1、歸一化例題6-22、冪法的加速：原點平移法；Aitken加速法；Rayleigh商加速法注：當(dāng)前12頁，總共53頁。當(dāng)前13頁，總共53頁。當(dāng)前14頁，總共53頁。當(dāng)前15頁，總共53頁。當(dāng)前16頁，總共53頁。二、反冪法：

基本思路：設(shè)A沒有零特征值，則A非奇異，即A的逆矩陣存在，設(shè)的特征值為其對應(yīng)的特征向量為

因為

Axk

=kxk

所以

A-1

xk

=k-1

xk

故k-1就是矩陣A-1的特征值，它們滿足

對應(yīng)的特征向量仍為xk。因此，求矩陣A的按模最小特征值，就相當(dāng)于求其逆陣A-1的按模最大特征值n-1

，這只需應(yīng)用冪法即可求得。當(dāng)前17頁，總共53頁。注意點： 由于求逆非常費時。故在用迭代向量由uk-1求Vk時，可采用解方程組的辦法。由于每次解方程組的系數(shù)矩陣都相同，故計算并不復(fù)雜。如果預(yù)先將作三角分解，這樣使每次迭代僅僅求解兩個三角方程組就更省時了。特別當(dāng)n較大時，將大大地節(jié)省計算量。三、冪法小結(jié)：

冪法適用范圍為求矩陣的按模最大特征值及相應(yīng)的特征向量，其優(yōu)點是算法簡單，容易編寫程序在計算機(jī)上實現(xiàn)，缺點是收斂速度慢，其有效性依賴于矩陣特征值的分布情況。反冪法的適用范圍是求矩陣的按模最小特征值及對應(yīng)的特征向量。當(dāng)前18頁，總共53頁。四、ＱＲ算法

當(dāng)前19頁，總共53頁。當(dāng)前20頁，總共53頁。1、Householder矩陣

P136定義6-1，定理6-4當(dāng)前21頁，總共53頁。當(dāng)前22頁，總共53頁。當(dāng)前23頁，總共53頁。P137定理6-5當(dāng)前24頁，總共53頁。當(dāng)前25頁，總共53頁。當(dāng)前26頁，總共53頁。２、矩陣的ＱＲ分解當(dāng)前27頁，總共53頁。當(dāng)前28頁，總共53頁。當(dāng)前29頁，總共53頁?？沈炞C:.

當(dāng)前30頁，總共53頁。當(dāng)前31頁，總共53頁。定理6.7當(dāng)前32頁，總共53頁。３、求矩陣全部特征值的ＱＲ算法當(dāng)前33頁，總共53頁。當(dāng)前34頁，總共53頁。當(dāng)前35頁，總共53頁。當(dāng)前36頁，總共53頁。當(dāng)前37頁，總共53頁。當(dāng)前38頁，總共53頁。當(dāng)前39頁，總共53頁。五、Jacobi方法當(dāng)前40頁，總共53頁。１、預(yù)備知識當(dāng)前41頁，總共53頁。稱為旋轉(zhuǎn)矩陣

當(dāng)前42頁，總共53頁。當(dāng)前43頁，總共53頁。2、Jacobi法的基本思想與收斂性當(dāng)前44頁，總共53頁。當(dāng)前45頁，總共53頁。當(dāng)前46頁，總共