指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)復習(有詳細知識點和習題詳-解)-補課

1mmbxanan0001mmbxanan000

數(shù)數(shù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)都是基本初等函數(shù)是高中必須掌握的在高考中主要是考查基礎(chǔ)知識。要求掌握擴充后指數(shù)的運算，對數(shù)的運算，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)。整數(shù)指數(shù)冪．整數(shù)指數(shù)冪概念：

aa

(

a0n個aan．整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)

〔〕

Z

〔3〕

其中

a

mn

m

，

n

n

ab

nn

．

的n次根的概念一般地，如果一個數(shù)的方等于aN，么這個數(shù)叫做的n次根，即：假設(shè)n，則叫的次根，例如：27的次方根

，

27

的次根

3

，的方根

2

，

的次根

5

32．說明：①假設(shè)n是數(shù)，則a的n次根記作；假a則

n

a0，設(shè)o則n

a0；②假設(shè)n是數(shù)且a則的的次根記作na，a負的次根記作：

：平方根

的4方根

16

〕③假設(shè)偶數(shù)，且則n沒義，即負數(shù)沒有偶次方根；④0N∴；⑤式子叫根式，n叫指數(shù)，a叫開方數(shù)?！鄋a．4a的次根的性質(zhì)一般地，假設(shè)是數(shù)，則

n

a

n

；假設(shè)

n

是偶數(shù)，則

0

．．例題分析：例．計算：

7

4040解：

7

4040

(

(2)

25

分數(shù)指數(shù)冪．數(shù)指數(shù)冪：

5

2

10

3

4

12

即當根式的被開方數(shù)能被根指數(shù)整除時，根式可以寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式；1

34441331m4nmn8〔2〕=21134441331m4nmn8〔2〕=211冪的運算性質(zhì)

mn

對分數(shù)指數(shù)冪也適用，22例如：假設(shè)a則

2

5，

5

2，∴323

4

5

45．規(guī)定〕正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是

a

n

a

m〔2正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是a

1ma

n

1a

m

,Nn．分指數(shù)冪的運性質(zhì)：整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對于分數(shù)指數(shù)冪也同樣適用即r,

r,s

rQ

說明〕有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對無理數(shù)指數(shù)冪同樣適用；〔2正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒意義。．題分析：【例】用分數(shù)指數(shù)冪的形式表以下各式

：a

2

，

a

a

，

解：

a2

=

12

2

12

52

；a

a

=

3

2

113

；

=

1

．【例】計算以下各式的值〔式字母都是正數(shù)211〔1〕b

1；〔〕n8

；211解〔〕

888

=

m2n

m2．n=

15b236=

4

；例3

．計以下各式：〔1

〔2〕

23a2

解〕

=

3

=

231342

〔2

aaa

2

=

a12aa3

56

a5．=

5

54

=

5

4

5

；2

xxxx【例】已知

x

，求以下各式的值〕

x

12

12

〕

x

32

32

.解〕

(

12

12

)

2

1)

2

1x

12

12

)

21

，12∴又由

x

12

5，1得x，x2

12

，所以

12

12

.〔2一〕

x

32

32

＝（x2)

x)

11x2)[(x)

2

x2)

]x

2)[(x

5(3

，〔法二〕

[(x

x

)]

x

x

x

3

而

x3

)(x2xx)[(x22∴

，又由

x

3得x，∴x22

，所以

x

32

32

205

.．指數(shù)函數(shù)定義：一般地，函數(shù)

y

x

〔

且

〕叫做指數(shù)函數(shù)，其中

是自變量，

a

叫底數(shù)，函數(shù)定義域是

．．指數(shù)函數(shù)y在數(shù)a0a

這兩種情況下的圖象和性質(zhì)：圖象〔1定義域：

性

〔2值域：

質(zhì)

〔3過定點，時〔4在

上是增函數(shù)〔4〕

上是減函數(shù)3

【例】求以下函數(shù)的定義域、域：〔1

y2

〔2〕

1)2

〔3〕

y

〕

aa

(a0,

．解〕

x

∴

x

11原函數(shù)的定義域是{x}22

，令

t

12

則

ttR∴

ytt,t得y

，所以，原函數(shù)的值域是

{yy

．〔2

11)2

x

∴

x

原函數(shù)的定義域是

，令

1t)xx則，2yt在∴0

，所以，原函數(shù)的值域是

．〔3原函數(shù)的定義域是

，令

t

則

，yt

是增函數(shù)，∴

0y

，所以，原函數(shù)的值域是

．〔4原函數(shù)的定義域是，由

ay(a得axay

，a

∴

，∴

，所以，原函數(shù)的值域是

．說明：求復合函數(shù)的值域通過換元可轉(zhuǎn)換為求簡單函數(shù)的值域。【例】當，證明函數(shù)

aa

是奇函數(shù)。證明：由

a

x

得x，故函數(shù)定義域

{關(guān)于原點對稱。f(

a(1(x)a(a1x∴

f((x)所以，函數(shù)

aa

xx

是奇函數(shù)。4

bblogb4394bblogb4394．數(shù)定義：一般地，如果

a

〔

a且

〕的

次冪等于N就，那么數(shù)b叫為底的對數(shù)，記作log指數(shù)式a對數(shù)式

，a叫對數(shù)的底數(shù)叫真數(shù)。即底數(shù)冪對數(shù)的底數(shù)真數(shù)

a

，

loga指數(shù)對數(shù)

。說明：

在指數(shù)式中冪N>0∴在對數(shù)式中，真數(shù)N0數(shù)零沒有對數(shù)〕．

對任意

0

且

都

a

∴

log1a

，同樣：

logaa

．．如果把aN中b寫logN，則有aNa．數(shù)式與指數(shù)式的互換

〔對數(shù)恒等式例如：

4

，log16；24

，10010

；42

，

log

12

；

10

0.01，log10

?！纠繉⒁韵轮笖?shù)式寫成對數(shù)：〔1〕；〔2

；〔〕

327

；〔〕

．解〕；〔〕5．紹兩種常見的對數(shù)：

164

；〔〕

log27a3

；〔4

log5.3713

．①常用對數(shù)：以作底N簡成lg；10②自然對數(shù)：以e作為理數(shù)，e=2.71828…，logN簡成lnN．【例〕算：log27，625．93解：設(shè)log27則，,∴x；2令log625，∴3,∴．5〔2〕求x的：①

log

34

；②

x

x

．解：①

x

34

4

；②

3x

2

xx

2

2

xx0,2x但必須：

2x

，∴x舍去，而

x

．

3

2

〔3〕求底數(shù)：①

log

3，②log258

．解：①

3(3)5

∴

x

53

；5

aa②

8,

∴x．．數(shù)的運算性質(zhì)：如果a>0，a，M>，>0那么〔1

log(MN)loga

；〔2

log

a

M

logM-loga

；〔3

lognnlog(R)aa

．【例】計算：〔1〕

73

7lg18

；〔2〕

2439

；〔3〕

．解〕法：

7lglglg183lg(27lg3)

2

lg2lg7lg72

；解法二：lg14lg

lg7lg187lg14)3

lg7lg18=

lg

7()3

lg1

；〔2〕〔3〕

lg55lg；lg2lglg(33)=lg

2lg2lg32lg22

．．換底公式：

a

mam

(0a；

)證明：設(shè)

log，則aN，a兩邊取以為的對數(shù)得：loglogN，xlogamlog從而得：xm，∴N．logamm說明：兩個較為常用的推論：

，〔1〕

logba

；〔〕

log

m

b

n

n

logb〔a、且不為a證明〕

aa

blgalgb

；6

a5130.22322a5130.22322〔2

log

m

lgbnlgbnb．lgammlgam【例】計算〕0.2；〔〕5解〕式=；11

log

32

．〔2原式=

1155log322242

．【例】已知log9，，求log45用b表183618解：∵9，∴l(xiāng)oglog2a，1818∴

log218

，又∵b，∴l(xiāng)og518∴36【例】設(shè)34

，log181818．log1log2181811z，證：．2y證明：∵

4

，∴

tlglg，，lg3lglg6

，∴

1lg63lg24lglglgtlg2y

．．數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)．數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：

yx(且aa

叫做對數(shù)函數(shù)?！?定義域、值域：對數(shù)函yx且aa

的定義域(

，值域為(

．〔2〕圖象：由于對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)反函數(shù)，所以對數(shù)函數(shù)的圖象只須由相應的指數(shù)函數(shù)圖象作于y

的對稱圖形，即可獲得。同樣：也分與0情況歸納，以

x

〔圖〕

1

〔圖〕為例。2yy

y)

y11

x

11

yx12〔圖〕〔圖〕7

22〔3〕對數(shù)函數(shù)性質(zhì)列表：a

0圖象

x(1,0)

y

x(1,0)ylog性

〔1〕定義域：〔2〕值域：

質(zhì)

〔3〕過點

(1,0)

，即當

x

時，

y0〔4〕在〔，+∞〕上是增函數(shù)〔4在是減函數(shù)【例】求以下函數(shù)的定義域：〔1〕；〔〕ylog(4x)；〔3y(9x)aa分析：此題主要利用對數(shù)函數(shù)ylogx的義域(0,解。a

．解〕由x>0得0∴函數(shù)y

，的定義域是

〔2〕由得x，∴函數(shù)y(4的定義域是a

〔3由9-0得-x，∴函數(shù)(9)定義域是

【例】比較以下比較以下各組中兩個值的大?。骸?〕1.1，

log

，

；〔〕log，log，．56解：〔〕∵

0.9

，log1，010.8

0.7

，∴

log

0.8log0.9

．〔2〕∵6log733∴3．567

，【例】求以下函數(shù)的值域：〔1〕y(〕(322解〕t，t，2∵t，∴R，即函數(shù)值域為R．〔2令

t

2

，則

，∴

32

，即數(shù)值域為

(2

．【例】判斷函數(shù)

(x)log)

的奇偶性。解：∵

恒成立，故

f(

的定義域為

(

，(log

)8

2

2

1

2

x2(x22

2所以，

2()f(x為奇函數(shù)。

，【例】求函數(shù)

2log1

2

x

的單調(diào)區(qū)間。解：令

ux

2

33x)2

2

13在[遞，在]42

上遞減，又∵

x2x

，∴

x

或

x

，故

ux2

在

上遞增，在

(

上遞減，

又∵

ylogu1

為減函數(shù)，3所以，函數(shù)

2log(1

2

x2)在(2,遞，在(上減。39

3)〕(3)〕(〕xmB.b課練題〔〕、空〔3〕x

〕

3)

；〔5〕

a)

233

；1假設(shè)

a

a

，則

〕設(shè)

a

a

，則

；〔3〕假設(shè)

3m，

，用

a,b

表示3

，

mn

；〔〕〔3〕

a

m243

；〔5〕

)2

3

〕

3

；〔7〕

)

〕

(xy2)2

；〔9〕

x

3)

〕

(3)

3

；、判斷以下式子是否正確，假設(shè)不對，請糾正：(1)

()

；〔〕(a)

m

；〔3〕

a

nam

；〔4

a

a

課穩(wěn)提、以下計算正確的選項是〔〕

x

3

3

6

x

4

3

x

C.

()

x

2y

xy)

、×27可記為〔〕

9

67

3、

a

可以等于〔〕

()

()

C.

(2

())、計算

2

的結(jié)果是〔〕

11、在等式

)

中，括號內(nèi)的代數(shù)式應當是〔〕10

xxy3)3711111916xxy3)3711111916

4B.C.a、假設(shè)是整數(shù)，當

時，

)

n

等于〔〕A.1B.－1C.0D.1或－、計算

x2

的結(jié)果為()

x

n

x

C.

x

12

x

、

a

6

3

，

)

2

，

2

3

、已知a

a

，則

；已知

x

2

x

，則x=、算：〔1

2

〕

〕

2

；11以下各式中，正確的選項是〔〕

m

C.

9

y

6

2y

12、以下各式中錯誤的選項()

(

a

4

=

16

1n3

m

－a

、知是大于的自則

等于()

C.

2

c

、下運算中與

?

結(jié)果相同的是()

a

a

C.

、簡便方法計算(1)

(

2000

(2)

(16、已知

3

3

,求的值11

、設(shè)

229

，解關(guān)于的程

.、設(shè)

，

n

，求

n

的值．§2、將b寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式：

指擴及運性〔1b；〔2〕

b

；〔3〕

b

m

2

.、將分數(shù)指數(shù)冪寫成根式的形式：〔1

12

；〔2

1

；〔3〕

；〔4〕

2125

.、將根式寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式：〔132；〔2〕

1x

；〔3〕4

(a)

3

；〔4〕

m

.、計算：12

12〔1100；〔23；〕

32

；〔4〕

14

.、已知

10

，

，0

，

10

，

10

，10.、已知

12

12

，a

，

a

2

.§

指函、已知

1

，則指數(shù)函數(shù)1.

ym

x

，2.

yn

x

的圖像為〔〕、如圖是指數(shù)

y

,

,y

,d

函數(shù)的圖像則,,

的關(guān)系是〔〕C.

、已知

a第2題

，則

2

a

,2

b

,3

a

的大小關(guān)系是〔〕A

a

B

C．

a

．

a

、假設(shè)

0,S

a

,

,0.2

a

，則以下選項成立的〔〕13

2323

Q

P

C.

P、設(shè)

0.9y123

，則〔〕

yy3

2

yy23

C.

yy13

2

yy1、假設(shè)

x10?x，那么

的值為〔〕A.1D.1或、已知

a0.8

0.9

,0.9

0.8

,0.8

0.8

則ab,c

的大小關(guān)系為.、解方程

3

x

§4.1對數(shù)及其算、把以下指數(shù)式寫成對數(shù)式：〔1〕

2

3

〔2〕

2

12〔3〕

27

3

13

〔4

1()3

m

5.73、把以下對數(shù)式寫成指數(shù)式：〔1〕

log3

〔2

log5〔3〕

log

2

1〔4log4

、求以下各式中x的：〔1〕

log

x64

23

〔2

log8x〔3〕

lg100

〔4

ln2、求以下各式的值：〔1〕

log5

〔2

log

2

116〔3〕

lg1000

〔4

lg14

22〔5〕

log15

〔6

log〔7

log

〔8〕

、基礎(chǔ)練習〔1〕

lglg5

〔2

log33、加強穩(wěn)固〔1〕

1215

315

log415

〔2〕

2550lg40〔3〕

1g14

73

7

〔〕

4lg50.5〔5〕lg

2lg5

〔6〕

lg3

10log15

log2、已知x，log，，分別用ab表式子(x22215

，log)

，log.z

§

換底公式、求以下各式的值：

log

27

〔2〕

log9

〔3〕

64116〔4〕

lg243lg9

〔5〕

log89

〔〕

log1681932、加強穩(wěn)固2

2log279

33)(log2log2)48、綜合應用〔1〕設(shè)

lg3，用a

、表示lg

62

，log4，16

〔2〕已知

3xy

求

2x

§5數(shù)函數(shù)、求以下函數(shù)的定義域：

y

2

(x

；

〔2

y

log

1x

；

；

〔4

logx

、求以下函數(shù)的反函數(shù)：

y

logx2

；

〔2〕

logx

；

；

〔4

；

y

(x2

；

〔6

x

、比較各題中各數(shù)的大?。?/p>

log

3，log5；

〔2〕

log

2，log

0.1

；

log3，log；3

〔4〕

log

a

2，3(a

17

1a4891a489、已知函數(shù)

(xxx2

，則f

、已知函數(shù)

xx(2

，且fa)則

.第三章數(shù)函數(shù)和對數(shù)函單元測試卷總分值分，考時間分一、選擇題〔每題分，共60分．已知x，為實數(shù)，則)A

y

B

lg(

x

C．

y

x

D．

lg()

．假設(shè)函數(shù)y＝fx