北師大版九年級上冊數(shù)學單元測試卷(第四章-圖形的相似)

2019年秋北師九上數(shù)學單元測試卷班級姓名第四章圖形的相似[時間：120分鐘分值：150分]一、選擇題(本大題共10個小題，每小題3分，共30分．每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求)1．2018·如果x∶(x＋y)＝3∶5，那么eq\f(x,y)＝()A.eq\f(3,2)B.eq\f(3,8)C.eq\f(2,3)D.eq\f(8,5)2．如圖，AD∥BE∥CF，直線l1，l2與這三條平行線分別交于點A，B，C和點D，E，F(xiàn).已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，則EF的長為()A．4B．5C．63．能說明△ABC∽△A′B′C′的條件是()A.eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)或eq\f(BC,B′C′)＝eq\f(AC,A′C′)B.eq\f(AB,AC)＝eq\f(A′B′,A′C′)且∠A＝∠C′ C.eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(BC,B′C′)且∠B＝∠B′D.eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(BC,A′C′)且∠B＝∠A′4．[2018·濱州]在平面直角坐標系中，線段AB兩個端點的坐標分別為A(6，8)，B(10，2)．若以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮短為原來的eq\f(1,2)后得到線段CD，則點A的對應點C的坐標為()A．(5，1)B．(4，3)C．(3，4)D．(1，5)5．[2018·貴港]如圖，在△ABC中，EF∥BC，AB＝3AE.若S四邊形BCFE＝16，則S△ABC＝()A.16B.18C6．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，則圖中與△DEF相似的三角形共有()A．1個B．2個C．3個D．4個7．如圖，在方格紙中，△ABC和△EPD的頂點均在格點上，要使△ABC∽△EPD，則點P所在的格點為()A．P1B．P2C．P38．如圖，已知AB，CD，EF都與BD垂直，垂足分別是點B，D，F(xiàn)，且AB＝1，CD＝3，那么EF的長是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(4,5)9．[2018·廈門一模]我國古代數(shù)學家劉徽發(fā)展了“重差術”，用于測量不可到達的物體的高度．比如，通過下列步驟可測量山的高度PQ(如圖)：(1)測量者在水平線上的A處豎立一根竹竿，沿射線QA方向走到M處，測得山頂P、竹竿頂端B及M在一條直線上；(2)將該竹竿豎立在射線QA上的C處，沿原方向繼續(xù)走到N處，測得山頂P、竹竿頂端D及N在一條直線上；(3)設竹竿與AM，CN的長分別為l，a1，a2，可得公式PQ＝eq\f(dl,a2－a1)＋l.則上述公式中，d表示的是()A．QA的長B．AC的長C．MN的長D．QC的長10．[2018·包頭]如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD＝∠BDC＝90°，E為BC的中點，AE與BD相交于點F.若BC＝4，∠CBD＝30°，則DF的長為()A.eq\f(2\r(3),5)B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(3\r(3),4)D.eq\f(4\r(3),5)二、填空題(本大題共6個小題，每小題4分，共24分)11．已知a，b，c，d是成比例線段，其中a＝2cm，b＝3cm，d＝6cm，則c＝________cm.12．[2018·上海]如圖，已知正方形DEFG的頂點D，E在△ABC的邊BC上，頂點G，F(xiàn)分別在邊AB，AC上．如果BC＝4，△ABC的面積是6，那么這個正方形的邊長是____．,13．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為點D，且AD＝2.5cm，DB＝0.9cm，則CD＝____cm，S△ACD∶S△CBD＝____．14．[2018·包頭]如圖，在ABCD中，AC是一條對角線，EF∥BC，且EF與AB相交于點E，與AC相交于點F，3AE＝2EB，連接DF.若S△AEF＝1，則S△ADF的值為____．15．如圖，等邊△ABC的邊長為3，點P為BC上一點，且BP＝1，點D為AC上一點．若∠APD＝60°，則CD的長為____.16．[2018秋·金牛區(qū)期末]如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，點E是BC邊上的一動點，連接OE，將△BOC分成了兩個三角形，若BE＝OB，且OC2＝CE·BC，則∠BOC的度數(shù)為____．三、解答題(本大題共9個小題，共96分)17．(10分)若eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)＝eq\f(e,f)＝eq\f(2,5).求：(1)eq\f(a－c,b－d)；(2)eq\f(2a＋3c－4e,2b＋3d－4f)；(3)比較(1)(2)的結論能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？18．(10分)[2018秋·宜賓縣期中]已知，如圖所示，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分別是點F，E，試證明：(1)△BAF∽△BCE；(2)△BEF∽△BCA.19．(10分)[2018·青海]如圖，在平行四邊形ABCD中，E為AB邊上的中點，連接DE并延長，交CB的延長線于點F.(1)求證：AD＝BF；(2)若平行四邊形ABCD的面積為32，試求四邊形EBCD的面積．20．(10分)將圖中的△ABC作下列運動，畫出相應的圖形，并指出三個頂點的坐標．(1)沿y軸正方向平移2個單位；(2)關于y軸對稱；(3)以點C為位似中心，將△ABC放大到原來的2倍．21．(10分)如圖，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2.求證：△ABC∽△EAD.22．(10分)如圖，點M為線段AB的中點，AE與BD交于點C，∠DME＝∠A＝∠B，且DM交AC于點F，ME交BC于點G.寫出圖中的所有相似三角形，并選擇一對加以證明．23．(12分)[2018·金華、麗水節(jié)選]在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12.點D在直線CB上，直線AB與直線CE，DE的交點分別為點F，G.如圖，點D在線段CB上，四邊形ACDE是正方形．(1)若點G為DE的中點，求FG的長．(2)若DG＝GF，求BC的長．,24．(12分)如圖，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，E是AC的中點，ED與AB的延長線交于點F，求證：(1)△ABD∽△CAD；(2)eq\f(AB,AC)＝eq\f(DF,AF).25．(12分)[2018·淮安節(jié)選]如果三角形的兩個內(nèi)角α與β滿足2α＋β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準互余三角形”．(1)若△ABC是“準互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，則∠B＝____；(2)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5.若AD是∠BAC的平分線，不難證明△ABD是“準互余三角形”．試問在邊BC上是否存在點E(異于點D)，使得△ABE也是“準互余三角形”？若存在，請求出BE的長；若不存在，請說明理由．參考答案一、1．A【解析】由eq\f(x,x＋y)＝eq\f(3,5)得5x＝3x＋3y，即eq\f(x,y)＝eq\f(3,2).2．C【解析】∵AD∥BE∥CF，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF)，即eq\f(1,3)＝eq\f(2,EF)，得EF＝6.3．C【解析】C項滿足三角形兩邊對應成比例且夾角相等，其他選項都不滿足三角形相似的條件．4．C【解析】根據(jù)題意點C的坐標為(6×eq\f(1,2)，8×eq\f(1,2))，即C(3，4)．5．B【解析】設△AEF的面積為S，則△ABC的面積為16＋S，由于在△ABC中，EF∥BC，AB＝3AE，所以eq\f(S,16＋S)＝(eq\f(AE,AB))2＝(eq\f(1,3))2＝eq\f(1,9)，解得S＝2，所以S△ABC＝16＋2＝18，故選B．6．B【解析】∵DE∥AB，∴△DEF∽△ABF.∵AD∥BC，∴△EDF∽△ECB，因此與△DEF相似的三角形有2個．7．C【解析】∵∠BAC＝∠PED，而eq\f(AB,AC)＝eq\f(3,2)，∴eq\f(EP,ED)＝eq\f(3,2)時，△ABC∽△EPD.∵DE＝4，∴EP＝6，∴點P落在P3處．8．C【解析】∵AB∥EF∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴eq\f(EC,BE)＝eq\f(DC,AB)＝3，同理△BEF∽△BCD，∴eq\f(EF,CD)＝eq\f(BE,BC)＝eq\f(BE,BE＋EC)＝eq\f(1,4)，∴EF＝eq\f(3,4).9．B【解析】∵AB∥PQ，∴eq\f(PQ,AB)＝eq\f(MQ,AM)，∴eq\f(PQ,l)＝eq\f(a1＋AQ,a1)，∴AQ＝eq\f(PQ,l)·a1－a1.∵CD∥PQ，∴eq\f(PQ,CD)＝eq\f(NQ,CN)，∴eq\f(PQ,l)＝eq\f(a2＋AC＋AQ,a2)，∴AQ＝eq\f(PQ,l)×a2－a2－AC.∴PQ＝eq\f(AC·l,a2－a1)＋l，∴d＝AC.10．D【解析】連接DE，∵∠BDC＝90°，∴DE＝BE＝eq\f(1,2)BC＝2，∴∠CBD＝∠EDB＝30°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∴AB∥DE，∴△DEF∽△BAF，∴eq\f(DE,AB)＝eq\f(DF,BF)，易求得AB＝3，∴eq\f(DE,AB)＝eq\f(DF,BF)＝eq\f(2,3)，∴DF＝eq\f(2,5)BD＝eq\f(2,5)×2eq\r(3)＝eq\f(4,5)eq\r(3).二、11．4.12．eq\f(12,7)．答圖【解析】如答圖，作AH⊥BC于點H，交GF于點I.設正方形的邊長是x，∵△ABC的面積是6，∴eq\f(1,2)×BC×AH＝6.又∵BC＝4，∴AH＝3，AI＝3－x.∵正方形DEFG，∴GF∥BC，∴eq\f(GF,BC)＝eq\f(AI,AH)，eq\f(3－x,3)＝eq\f(x,4)，解得x＝eq\f(12,7)，∴正方形的邊長是eq\f(12,7).13．1.525∶9．【解析】∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.又∵CD⊥AB，∴∠BCD＋∠B＝90°，∴∠A＝∠BCD.又∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∴△ACD∽△CBD，∴eq\f(AD,CD)＝eq\f(CD,DB)，∴CD2＝AD·DB＝2.5×0.9＝2.25，∴CD＝1.5cm，∴eq\f(S△ACD,S△CBD)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AD,CD)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2.5,1.5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(25,9).14．eq\f(5,2)【解析】∵3AE＝2EB，∴eq\f(AE,EB)＝eq\f(2,3).∵EF∥BC易證得△AEF∽△ABC，∴eq\f(S△AEF,S△ABC)＝eq\f(4,25)，又∵S△AEF＝1，∴S△ABC＝eq\f(25,4)，∵AC是對角線，∴S△ADC＝eq\f(25,4)，又∵eq\f(AF,FC)＝eq\f(AE,EB)＝eq\f(2,3)，∴S△ADF＝eq\f(2,5)S△ADC＝eq\f(2,5)×eq\f(25,4)＝eq\f(5,2).15．eq\f(2,3)【解析】∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝3，∠B＝∠C＝60°，∴∠BAP＋∠APB＝180°－60°＝120°.∵∠APD＝60°，∴∠APB＋∠DPC＝180°－60°＝120°，∴∠BAP＝∠DPC.又∵∠B＝∠C，∴△BAP∽△CPD，∴eq\f(AB,CP)＝eq\f(BP,CD).∵AB＝BC＝3，BP＝1，∴CP＝BC－BP＝2，即eq\f(3,2)＝eq\f(1,CD)，解得CD＝eq\f(2,3).16．108°解：∵OC2＝CE·BC，∴eq\f(OC,CE)＝eq\f(BC,OC)，∵∠OCE＝∠OCB，∴△OCE∽△BCO，∴∠COE＝∠CBO.∵四邊形ABCD是矩形，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝∠COE，設∠OBC＝∠OCB＝∠COE＝x，∵BE＝BO，∴∠BOE＝∠BEO＝∠COE＋∠ECO＝2x，∵∠OBC＋∠OCB＋∠BOC＝180°，∴x＋x＋3x＝180°，∴x＝36°，∴∠BOC＝3x＝108°.三、17．解：(1)∵eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)＝eq\f(2,5)，∴a＝eq\f(2,5)b，c＝eq\f(2,5)d∴eq\f(a－c,b－d)＝eq\f(\f(2,5)b－\f(2,5)d,b－d)＝eq\f(\f(2,5)（b－d）,b－d)＝eq\f(2,5).(2)∵eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)＝eq\f(e,f)＝eq\f(2,5)，∴eq\f(2a,2b)＝eq\f(3c,3d)＝eq\f(－4e,－4f)＝eq\f(2,5)，同(1)可知，eq\f(2a＋3c－4e,2b＋3d－4f)＝eq\f(\f(2,5)（2b＋3d－4f）,2b＋3d－4f)＝eq\f(2,5).(3)eq\f(a－c,b－d)＝eq\f(2a＋3c－4e,2b＋3d－4f)＝eq\f(a,b).18．證明：(1)∵AF⊥BC，CE⊥AB，∴∠AFB＝∠CEB＝90°.∵∠B＝∠B，∴△BAF∽△BCE.(2)∵△BAF∽△BCE，∴eq\f(BF,BE)＝eq\f(BA,BC)，∴eq\f(BF,BA)＝eq\f(BE,BC)，∵∠B＝∠B，∴△BEF∽△BCA.19．(1)證明：∵點E是AB中點，∴AE＝BE.1分∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC.又∵點F在CB，DE的延長線上，∴AD∥BF，∴∠ADE＝∠BFE，又∵∠AED＝∠BEF，∴△AED≌△BEF(AAS)，∴AD＝BF；(2)解：∵EB∥CD，∴△EFB∽△FDC.∵△AED≌△BFE，∴ED＝EF，S△AED＝S△BFE，∴eq\f(EF,DF)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(S△BEF,S△DCF)＝eq\f(1,4)，設S△BFE為x，S四邊形EBCD為3x，則4x＝32，x＝8，S四邊形EBCD＝3×8＝24.20．解：圖略．(1)△ABC沿y軸正方向平移2個單位后所得△A1B1C1的三個頂點坐標為A1(0，0)，B1(3，1)，C1(2，(2)△ABC關于y軸對稱的△A2B2C2的三個頂點坐標分別為A2(0，－2)，B2(－3，－1)，C2(－2，(3)將△ABC以點C為位似中心，放大為原來的2倍后所得△A3B3C3的三個頂點坐標分別為A3(6，7)，B3(0，5)，C3(2，1)或A3(－2，－5)，B3(4，－3)，C3(2，21．證明：∵AD＝DB，∴∠B＝∠BAD.又∵∠AED＝∠B＋∠2，∠BAC＝∠BAD＋∠1，∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠AED，∴△ABC∽△EAD.22．解：圖中的相似三角形有：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM.以下證明△AMF∽△BGM.∵∠AFM＝∠DME＋∠E，∠DME＝∠A＝∠B，∴∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG.又∵∠A＝∠B，∴△AMF∽△BGM.23．答圖解：(1)在正方形ACDE中，有DG＝GE＝6.在Rt△AEG中，AG＝eq\r(AE2＋EG2)＝eq\r(122＋62)＝6eq\r(5).∵EG∥AC，∴△ACF∽△GEF.∴eq\f(FG,AF)＝eq\f(EG,AC)，∴eq\f(FG,AF)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).∴FG＝eq\f(1,3)AG＝2eq\r(5).(2)如答圖，在正方形ACDE中，AE＝ED，∠AEF＝∠DEF＝45°，又EF＝EF，∴△AEF≌△DEF.設∠1＝∠2＝x.∵AE∥BC，∴∠B＝∠1＝x.∵GF＝GD，∴∠3＝∠2＝x.在