2019高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理1.2.2第一課時(shí)組合與組合數(shù)公式學(xué)案新人教A版選修23

第一課時(shí)組合與組合數(shù)公式[教材研讀]預(yù)習(xí)教材P21～24，思慮以下問題1．組合的觀點(diǎn)是什么？2．什么是組合數(shù)？組合數(shù)公式是如何的？3．組合數(shù)有如何的性質(zhì)？[重點(diǎn)梳理]1．組合的定義從n個(gè)不一樣元素中拿出m(n≥m)個(gè)元素合成一組，叫做從n個(gè)不一樣元素中拿出m個(gè)元素的一個(gè)組合．2．組合數(shù)的觀點(diǎn)、公式、性質(zhì)[自我診療]判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)1．從，，c三個(gè)不一樣的元素中任取兩個(gè)元素的一個(gè)組合是2C.( )32．從1,3,5,7中任取兩個(gè)數(shù)相乘可得2個(gè)積．( )43．1,2,3與3,2,1是同一個(gè)組合．()3)4．C5＝5×4×3＝60.([答案]1.×2.√3.√4.×題型一組合的觀點(diǎn)思慮：劃分一個(gè)問題是擺列問題仍是組合問題的重點(diǎn)是什么？提示：重點(diǎn)是看它有無次序，有次序的是擺列問題，無次序的是組合問題．判斷以下問題是組合問題仍是擺列問題：①設(shè)會(huì)合A＝{a，b，c，d，e}，則會(huì)合A的子集中含有3個(gè)元素的有多少個(gè)？②某鐵路線上有5個(gè)車站，則這條線上共需準(zhǔn)備多少種車票？多少種票價(jià)？③3人去干5種不一樣的工作，每人干一種，有多少種分工方法？④把3真同樣的書分給5個(gè)學(xué)生，每人最多得1本，有幾種分派方法？(2)從5個(gè)不一樣元素a，b，c，d，e中任取2個(gè)，寫出全部不一樣的組合．[思路導(dǎo)引]對(duì)于(1)重點(diǎn)是看有無次序，有次序的是擺列問題，無次序的即為組合問題；對(duì)于(2)每次拿出兩個(gè)元素即可，無次序，但注意不重不漏．[解](1)①因?yàn)楸締栴}與元素次序沒關(guān)，故是組合問題．②因?yàn)榧渍镜揭艺?，與乙站到甲站車票是不一樣的，故是擺列問題，但票價(jià)與次序沒關(guān)，甲站到乙站，與乙站到甲站是同一種票價(jià)，故是組合問題．③因?yàn)榉止し椒ㄊ菑?種不一樣的工作中拿出3種，按必定序次分給3個(gè)人去干，故是排列問題．④因?yàn)?本書是同樣的，不論把3本書分給哪三人，都不需考慮他們的次序，故是組合問題．要寫出全部的組合，第一要把元素按必定次序排好，而后按次序用圖示的方法將各個(gè)組合逐一標(biāo)出．如下圖：所以可得全部組合為ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.劃分?jǐn)[列與組合的方法劃分?jǐn)[列與組合的方法是第一弄清楚事件是什么，劃分的標(biāo)記是有無次序，而劃分有無次序的方法是：把問題的一個(gè)選擇結(jié)果寫出來，而后互換這個(gè)結(jié)果中隨意兩個(gè)元素的地點(diǎn)，看能否會(huì)產(chǎn)生新的變化，如有新變化，即說明有次序，是擺列問題；若無新變化，即說明無次序，是組合問題．【溫馨提示】擺列與組合的聯(lián)系與差別聯(lián)系：兩者都是從n個(gè)不一樣的元素中取m(n≥m)個(gè)元素．差別：擺列與元素的次序相關(guān)，組合與元素的次序沒關(guān)，只有元素同樣且次序也同樣的兩個(gè)擺列才是同樣的擺列．只需兩個(gè)組合的元素同樣，不論元素的次序如何，都是同樣的組合．[追蹤訓(xùn)練]判斷以下問題是組合問題仍是擺列問題．從a，b，c，d四名學(xué)生中選兩名學(xué)生達(dá)成一件工作，有多少種不一樣的選法？(2)從a，b，c，d四名學(xué)生中選兩名學(xué)生達(dá)成兩件不一樣的工作，有多少種不一樣的選法？a，b，c，d四支足球隊(duì)之間進(jìn)行單循環(huán)競賽，共需競賽多少場？a，b，c，d四支足球隊(duì)搶奪冠、亞軍，有多少種不一樣的結(jié)果？某人射擊8槍，命中4槍，且命中的4槍均為2槍連中，不一樣的結(jié)果有多少種？(6)某人射擊8槍，命中4槍，且命中的4槍中恰有3槍連中，不一樣的結(jié)果有多少種？[解](1)兩名學(xué)生達(dá)成的是同一件工作，沒有次序，是組合問題．兩名學(xué)生達(dá)成兩件不一樣的工作，有次序，是擺列問題．單循環(huán)競賽要求每兩支球隊(duì)之間只打一場競賽，沒有次序，是組合問題．冠、亞軍是有次序的，是擺列問題．命中的4槍均為2槍連中，為同樣的元素，沒有次序，是組合問題．(6)命中的

4槍中恰有

3槍連中，即連中

3槍和單中

1槍，有次序，是擺列問題．題型二

組合數(shù)的計(jì)算與證明思慮：我們知道，“擺列”與“擺列數(shù)”是兩個(gè)不一樣的觀點(diǎn)，

那么，“組合”與“組合數(shù)”是同一個(gè)觀點(diǎn)嗎？為何？提示：“組合”與“組合數(shù)”是兩個(gè)不一樣的觀點(diǎn)，“組合”是指“從n個(gè)不一樣元素中取出m(m≤n)個(gè)元素合成一組”，它不是一個(gè)數(shù)，而是詳細(xì)的一件事；“組合數(shù)”是指“從個(gè)不一樣元素中拿出m(m≤n)個(gè)元素的全部不一樣組合的個(gè)數(shù)”，它是一個(gè)數(shù)．

n計(jì)算：33C10－C7A3；C9798＋2C9698＋C9598；555555③C5＋C6＋C7＋C8＋C9＋C10.m－1證明：mCn＝nCn－1.[思路導(dǎo)引]利用組合數(shù)公式及性質(zhì)求解．4334310×9×8×71073107979696959796973100×99×98989898989999100100③原式＝655555655556565＝66789107789101010111111×10×9×8×7＝462.5×4×3×2×1(2)證明：左側(cè)＝m·n！?。絥n－！?。絥n－?。。璵－?。。璵！mnmnmmnmmm＝＝右側(cè)，∴Cn＝Cn－1Cn－1.nmn相關(guān)組合數(shù)的兩個(gè)公式的應(yīng)用范圍是有所區(qū)其他，m的題目，一般傾向于詳細(xì)組合數(shù)的計(jì)算；公式Cn＝m！

mmAnCn＝m常用于n，m為詳細(xì)自然數(shù)Amn！常用于n，m為字母或含有n－m！字母的式子的題目，一般傾向于方程的求解或相關(guān)組合數(shù)的恒等式的證明．n－m對(duì)于組合數(shù)的性質(zhì)1(Cn＝Cn)①該性質(zhì)反應(yīng)了組合數(shù)的對(duì)稱性，即從n個(gè)不一樣的元素中拿出m個(gè)元素的每一個(gè)組合，都對(duì)應(yīng)著剩下的n－m個(gè)元素的一個(gè)組合，反過來也同樣，這是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．nm②當(dāng)>時(shí)，往常不直接計(jì)算Cn，而改為計(jì)算m2(3)對(duì)于組合數(shù)的性質(zhì)mmm－1)2(Cn＋1＝Cn＋Cn

n－mCn.①形式特色：公式的左端下標(biāo)為n＋1，右端下標(biāo)為n，相差1，上標(biāo)左端與右端的一個(gè)同樣，右端的另一個(gè)比它們少1；②作用：常用于相關(guān)組合數(shù)式子的化簡或組合數(shù)恒等式的證明．應(yīng)用時(shí)要注意公式的正用、逆用和變形用．正用是將一個(gè)組合數(shù)拆成兩個(gè)，逆用則是“合二為一”，使用變形mm＝Cn＋1－Cn，為某些項(xiàng)前后抵消供給了方便，在解題中要注意靈巧應(yīng)用．[追蹤訓(xùn)練]1．計(jì)算：38－n3n的值．3nn＋21[解]38－n≤3n，∵∴9.5≤n≤10.5.3n≤n＋21，∵n∈N*，∴n＝10.38－n3n28302130×293nn＋2130313031

m－1Cnx－72建立的x值．xx[解]依據(jù)擺列數(shù)和組合數(shù)公式，原方程可化為x－！x－！3·x－！4?。?·－！，x即x－＝5，即為(x－3)(－6)＝40.4！x－6x∴x2－9x－22＝0，解得x＝11或x＝－2.經(jīng)查驗(yàn)知x＝11時(shí)原式建立．3．證明以下各等式．mm＋1m＋1(1)Cn＝＋1Cn＋1；n012mm(2)Cn＋Cn＋1＋Cn＋2＋Cn＋m－1＝Cn＋m.[證明](1)右側(cè)＝m＋1n＋！·m＋！n＋－m＋！n＋1＋1n＋?。絥＋1·m＋！n－m?。絤！n！mn0123m123m2nnnnn＋2n＋3nm＋2nn＋3nm＋3＋1＋1＋－1＋2＋－13m－1＝(C34m－1m－2m－1m－1＝右側(cè)，∴原式成n＋4＋4n＋3n＋m－1nn＋m－1n＋m－1n＋m－1n＋m立．題型三簡單的組合應(yīng)用題現(xiàn)有10名教師，此中男教師6名，女教師4名．從中選2名去參加會(huì)議，有多少種不一樣的選法？從中選出2名男教師或2名女教師去外處學(xué)習(xí)，有多少種不一樣的選法？從中選出男、女教師各2名去參加會(huì)議，有多少種不一樣的選法？[思路導(dǎo)引]利用組合數(shù)mn[解](1)從10名教師中選2名去參加會(huì)議的選法種數(shù)，就是從10個(gè)不一樣元素中拿出210×92個(gè)元素的組合數(shù)，即有C10＝2×1＝45種不一樣的選法．(2)可把問題分兩類：第1類，選出22名男教師，有C6種方法；第2類，選出2名女教師，有C42種方法，即共有C62＋C42＝21種不一樣的選法．(3)從6名男教師中選2名的選法有22C6種，從4名女教師中選2名的選法有C4種，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有226×54×3C·C＝×＝90種不一樣的選法．642×12×1解答簡單的組合問題的思路(1)弄清楚做的這件事是什么；(2)剖析這件事能否需分類或分步達(dá)成；(3)聯(lián)合兩計(jì)數(shù)原理利用組合數(shù)公式求出結(jié)果．[追蹤訓(xùn)練]一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小同樣的7個(gè)白球和1個(gè)黑球．從口袋內(nèi)拿出3個(gè)球，共有多少種取法？從口袋內(nèi)拿出3個(gè)球，使此中含有1個(gè)黑球，有多少種取法？從口袋內(nèi)拿出3個(gè)球，使此中不含黑球，有多少種取法？[解]38×7×68(2)從口袋內(nèi)拿出3個(gè)球有1個(gè)是黑球，于是還要從7個(gè)白球中再拿出2個(gè)，取法種數(shù)27×67＝＝21.2×1(3)因?yàn)樗贸龅?個(gè)球中不含黑球，也就是要從7個(gè)白球中拿出3個(gè)球，取法種數(shù)是37×6×5C7＝3×2×1＝35.本節(jié)課的