2019-2020年(期末專題)九年級(jí)上《第24章圓》解答題培優(yōu)試卷(有答案)-(新課標(biāo)人教版數(shù)學(xué))

【期末專題】第24章圓解答題培優(yōu)試題1．如圖，AB是⊙O的直徑，PA是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，BP與⊙O交于點(diǎn)C．（1）若AB＝4，∠ABP＝60°，求PB的長；（2）若CD是⊙O的切線．求證：D是AP的中點(diǎn)．2．如圖，點(diǎn)ABCD在⊙O上，∠ABC＝∠BDC＝60°，BC＝3．（1）求△ABC的周長；（2）若OE⊥BD，OF⊥CD，連結(jié)EF，求EF的長．3．如圖，△PAB內(nèi)接于⊙O，?ABCD的邊AD是⊙O的直徑，且∠C＝∠APB，連結(jié)BD．（1）求證：BC是⊙O的切線．（2）若BC＝2，∠PBD＝60°，求與弦AP圍成的暗影部分的面積．4．如圖，在△ABC中，AC＝CB，O是AB的中點(diǎn)，CA與⊙O相切于點(diǎn)E，CO交⊙O于點(diǎn)D（1）求證：CB是⊙O的切線；（2）若∠ACB＝80°，點(diǎn)P是⊙O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與D，E兩點(diǎn)重合），求∠DPE的度數(shù)．5．如圖，在鈍角△ABC中，∠C＝45°，AE⊥BC，垂足為E點(diǎn)，且AB與AC的長度為方程2﹣9+18＝0的兩個(gè)根，⊙O是△ABC的外接圓．求：（1）⊙O的半徑；（2）BE的長．6．如圖，在△ABC中，BC＝AC＝6，以BC為直徑的⊙O與邊AB訂交于點(diǎn)D，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．（1）求證：點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)；（2）求點(diǎn)O到直線DE的距離．OABOAOBcmAOBO為圓心，半徑為cm的優(yōu)弧分別7．如圖，△中，＝＝10，∠＝80°，以點(diǎn)6交OA，OB于點(diǎn)M，N．（1）點(diǎn)P在右半弧上（∠BOP是銳角），將OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°得OP′．求證：AP＝BP′；（2）點(diǎn)T在左半弧上，若AT與弧相切，求AT的長．8．如圖，∠BAC的均分線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，∠ABC的均分線交AD于點(diǎn)E．（1）求證：DE＝DB；（2）若∠BAC＝90°，BD＝5，求△ABC外接圓的半徑．9．如圖，已知銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，連結(jié)AO并延伸交BC于點(diǎn)D．（1）求證：∠ACB+∠BAD＝90°；（2）過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，若∠ADC＝2∠ACB．求證：AC＝2DE．10．《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作，確立了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．《九章算術(shù)》中記錄：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，間徑幾何？”（如圖①）閱讀完這段文字后，小智畫出了一個(gè)圓柱截面表示圖（如圖②），此中BO⊥CD于點(diǎn)A，求間徑就是要求⊙O的直徑．再次閱讀后，發(fā)現(xiàn)AB＝1寸，CD＝10寸（一尺等于十寸），經(jīng)過運(yùn)用相關(guān)知識(shí)即可解決這個(gè)問題．請(qǐng)幫助小智求出⊙O的直徑．11．如圖，⊙O的直徑AC與弦BD訂交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是DB延伸線上一點(diǎn)，∠EAB＝∠ADB．（1）求證：EA是⊙O的切線；（2）已知點(diǎn)B是EF的中點(diǎn)，AF＝4，CF＝2，求AE的長．12．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，E是AB上一點(diǎn)，以CE為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)F，連結(jié)DO，且∠DOC＝90°．（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）若DF＝2，DC＝6，求BE的長．13．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的均分線交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AC交AC的延伸線于點(diǎn)E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AB＝10，AC＝6，求DE的長．14．如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，B是⊙O上一點(diǎn)，且PA＝PB，延伸BO分別與⊙O、切線PA訂交于C、Q兩點(diǎn)．（1）求證：PB是⊙O的切線；（2）QD為PB邊上的中線，若AQ＝4，CQ＝2，求QD的值．15．如圖，AB是⊙O的直徑，∠ACB的均分線交AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作⊙O的切線CP交BA的延伸線于點(diǎn)P，連結(jié)AE．（1）求證：PC＝PD；（2）若AC＝6cm，BC＝8cm，求線段AE、CE的長．16．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，點(diǎn)D在AB上，以BD為直徑的⊙O切AC于點(diǎn)E，連結(jié)DE并延伸，交BC的延伸線于點(diǎn)F．（1）求證：△BDF是等邊三角形；（2）連結(jié)AF、DC，若BC＝3，寫出求四邊形AFCD面積的思路．參照答案1．（1）解：如圖1．∵PA是⊙O的切線，AB是直徑，∴PA⊥AB，∴∠BAP＝90°，∴∠P+∠ABP＝90°，∵∠ABP＝60°，∴∠P＝30°，又∵AB＝4，∴PB＝2AB＝2×4＝8．（2）證明：連結(jié)OC、AC，如圖2，∵PA是⊙O的切線，CD是⊙O的切線，∴∠2+∠4＝90°，∠1+∠3＝90°，∵OA＝OC，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2，∴CD＝AD．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠1+∠5＝90°，∠2+∠P＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠5＝∠P，∴CD＝DP，∴CD＝AD＝DP，∴D是AP的中點(diǎn)．2．解：（1）∵∠A＝∠D＝60°，∠ABC＝60°，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝3，∴△ABC的周長為9．（2）∵OE⊥BD，OF⊥CD，∴DE＝EB，DF＝FC，∴EF＝BC＝．3．解：（1）連結(jié)OB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠C＝∠BAD，AD∥BC，∵∠APB＝∠ADB，∠C＝∠APB，∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD，∵OA＝OD，∴OB⊥AD，∴∠AOB＝90°，∵AD∥BC，∴∠OBC＝∠AOB＝90°，∴OB⊥BC，∵OB為半徑，∴BC是⊙O的切線．（2）連結(jié)OP，作OE⊥AP于E，∵∠PAD＝∠PBD＝60°，OA＝OP，∴PA＝OA＝OP，∠AOP＝60°，在?ABCD中，AD＝BC＝2，∴AP＝OA＝1，在Rt△OAE中，OE＝OA°＝，?sin60與弦

AP圍成的暗影部分的面積為：

﹣×1×

＝﹣

．4．解：（1）如圖1所示，連結(jié)OE，過O作OF⊥BC于F，∵CA與⊙O相切于點(diǎn)E，∴OE⊥AC，∵△ABC中，AC＝CB，O是AB的中點(diǎn)，∴OC均分∠ACB，∴OE＝OF，又∵OE是⊙O的半徑，∴CB是⊙O的切線；（2）如圖2，∵∠ACB＝80°，OC均分∠ACB，∴∠ACO＝40°，又∵OE⊥AC，∴∠DOE＝90°﹣40°＝50°，當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧上時(shí)，∠DPE＝∠DOE＝°；25當(dāng)點(diǎn)P在劣弧上時(shí)，∠DPE＝°﹣°＝°．18025155∴∠DPE的度數(shù)為25°或155°．5．解：（1）連結(jié)OB，解方程2﹣9+18＝0，得，1＝3，2＝6，由圖形可知，AC＝3，AB＝6，由圓周角定理得，∠AOB＝2∠C＝90°，∴△AOB為等腰直角三角形，∴OB＝AB＝3；（2）∵∠C＝45°，AE⊥BC，∴△AEC為等腰直角三角形，∴AE＝AC＝，∴BE＝＝．6．（1）證明：連結(jié)CD，∵BC是圓的直徑，∴∠BDC＝90°，∴CD⊥AB，又∵AC＝BC，∴AD＝BD，即點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)；（2）證明：連結(jié)OD，∵AD＝BD，OB＝OC，∴DO是△ABC的中位線，∴DO∥AC，OD＝AC＝×6＝3，又∵DE⊥AC，∴DE⊥DO，∴點(diǎn)O到直線DE的距離為3．7．（1）證明：∵∠AOB＝∠POP′＝80°，∴∠AOB+∠BOP＝∠POP′+∠BOP，即∠AOP＝∠BOP′（2分）在△AOP與△BOP′中，∴△AOP≌△BOP′，∴AP＝BP′．（2）∵AT與弧相切，連結(jié)OT．∴OT⊥AT，在Rt△AOT中，依據(jù)勾股定理得，AT＝，∵OA＝10，OT＝6∴AT＝8．8．（1）證明：∵AD均分∠BAC，BE均分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，．（1分）∴＝，∴∠DBC＝∠CAD，∴∠DBC＝∠BAE，（2分）∵∠DBE＝∠CBE+∠DBC，∠DEB＝∠ABE+∠BAE，（3分）∴∠DBE＝∠DEB，∴DE＝DB；（4分）（2）解：連結(jié)CD，如下圖：（5分）由（1）得：＝，∴CD＝BD＝5，（6分）∵∠BAC＝90°，∴BC是直徑，∴∠BDC＝90°，∴BC＝

＝5

，（7分）∴△ABC外接圓的半徑：

r＝

×

＝

．（8分）9．（1）證明：延伸AD交⊙O于點(diǎn)F，連結(jié)BF．∵AF為⊙O的直徑，∴∠ABF＝90°，∴∠AFB+∠BAD＝90°，∵∠AFB＝∠ACB，∴∠ACB+∠BAD＝90°．（2）證明：如圖2中，過點(diǎn)O作OH⊥AC于H，連結(jié)BO．∵∠AOB＝2∠ACB，∠ADC＝2∠ACB，∴∠AOB＝∠ADC，∴∠BOD＝∠BDO，∴BD＝BO，∴BD＝OA，∵∠BED＝∠AHO，∠ABD＝∠AOH，∴△BDE≌△AOH，∴DE＝AH，∵OH⊥AC，∴AH＝CH＝AC，∴AC＝2DE．10．解：連結(jié)OC，∵OB⊥CD垂足為A，∴CA＝CD＝5，設(shè)CO＝，則AO＝﹣1，在Rt△AOC中，∠CAO＝90°，222∴OACA＝OC，+∴（﹣1）2+52＝2，解得＝13，∴⊙O的直徑為26寸．11．（1）證明：如圖，連結(jié)CD，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠ADB+∠EDC＝90°，∵∠BAC＝∠EDC，∠EAB＝∠ADB，∴∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝90°，∴EA是⊙O的切線．（2）解：如圖，連結(jié)BC．∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°．∴∠CBA＝∠ABC＝90°．∵B是EF的中點(diǎn)，∴在Rt△EAF中，AB＝BF．∴∠BAC＝∠AFE∴△EAF∽△CBA，∴＝，∵AF＝4，CF＝2，∴AC＝6，EF＝2AB．∴＝，解得AB＝2，∴EF＝4，∴AE＝＝＝4．12．（1）證明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝DB，又CO＝OE，∴OD∥BE，∴∠CEB＝∠DOC＝90°，∴CE⊥AB，∴AB是⊙O的切線；（2）解：連結(jié)EF、ED，∵BD＝CD＝6，∴BF＝BD﹣DF＝4，∵CO＝OE，∠DOC＝90°，∴DE＝DC＝6，∵CE為⊙O的直徑，∴∠EFC＝90°，∴EF＝＝4，∴BE＝＝4．13．（1）證明：連結(jié)OD，如圖，∵∠BAC的均分線交⊙O于點(diǎn)D，∴∠BAD＝∠EAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠EAD＝∠ODA，∴OD∥AE，∵DE⊥AE，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線；（2）解：作OF⊥AC于F，如圖，則AF＝CF＝AC＝3，在Rt△OAF中，OF＝＝4，∵∠OFE＝∠FED＝∠EDO＝90°，∴四邊形OFED為矩形，∴DE＝OF＝4．14．（1）證明：連結(jié)OA，在△OBP和△OAP中，，∴△OBP≌△OAP（SSS），∴∠OBP＝∠OAP，∵PA是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，∴∠OAP＝90°，∴∠OBP＝90°，∵OB是半徑，∴PB是⊙O的切線；（2）連結(jié)OC∵AQ＝4，CQ＝2，∠OAQ＝90°，設(shè)OA＝r，則r2+42＝（r+2）2，解得，r＝3，則OA＝3，BC＝6，設(shè)BP＝，則AP＝，∵PB是圓O的切線，∴∠PBQ＝90°，2+（6+2）2＝（+4）2，解得，＝6，BP＝6，BD＝3，∴QD＝，即QD的值是．15．（1）證明：如圖1中，連結(jié)OC、OE．∵AB直徑，∴∠ACB＝90°，∴CE均分∠ACB，∴∠ECA＝∠ECB＝45°，∴＝，∴OE⊥AB，∴∠DOE＝90°，∵PC是切線，∴OC⊥PC，∴∠PCO＝90°，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∵∠PCD+∠OCE＝90°，∠ODE+∠OEC＝90°，∠PDC＝∠ODE，∴∠PCD＝∠PDC，∴PC＝PD．（2）如圖2中．作EH⊥BC于H，EF⊥CA于F．∵CE均分∠ACB，EH⊥BC于H，EF⊥CA于F，∴EH＝EF，∠EFA＝∠EHB＝90°，∵＝，∴AE＝BE，Rt△AEF≌Rt△BEH，AF＝BH，設(shè)AF＝BH＝，∵∠F＝∠FCH＝∠CHE＝90°，∴四邊形CFEH是矩形，∵EH＝EF，∴四邊形CFEH是正方形，∴CF＝CH，∴6+＝8﹣，∴＝1，∴CF＝FE＝7，∴EC＝CF＝7，A