數(shù)字信號處理教程程佩青課后題答案

第一章失散時間信號與系統(tǒng)2.隨意序列x(n)與δ(n)線性卷積都等于序列自己x(n)，與δ(n-n0)卷積x(n-n0),所以（1）結(jié)果為h(n)(3)結(jié)果h(n-2)（2）列表法x(m)h(nm)1110000y(n)n0111112211133111134011112500111111nmm1n（4）當n0y(n)m0.5232nnmm4n當n1y(n)0.5223.已知h(n)anu(nm,0a131)，經(jīng)過直接計算卷積和的方法，試確立單位抽樣響應(yīng)為h(n)的線性移不變系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。解:x(n)u(n)h(n)anu(n1),0a1y(n)x(n)*h(n)n當n時y(n)a1m1當n時y(n)a1m

man1aa1a判斷以下每個序列是不是周期性的,假如周期性的,試確立其周期：(a)x(n)3n)Acos(78n13j()(b)x(n)n)(c)x(n)6Asin(e3剖析：序列為x(n)Acos(0n)或x(n)Asin(0n)時，不必定是周期序列，①當2/0整數(shù)，則周期為2/0；②當2P,（有理數(shù)P、Q為互素的整數(shù)）則周期為Q；Q③當2/0無理數(shù)，則x(n)不是周期序列。解：（1）2/014，周期為143（2）2/06，周期為613（2）2/012，不是周期的7.（1）Tx(n)g(n)x(n)Tax1(n)bx2(n)g(n)[ax1(n)bx2(n)]g(n)ax1(n)g(n)bx2(n)aT[x1(n)]bT[x2(n)]所以是線性的T[x(n-m)]=g(n)x(n-m)y(n-m)=g(n-m)x(n-m)二者不相等，所以是移變的y(n)=g(n)x(n)y和x括號內(nèi)相等，所以是因果的。（x括號內(nèi)表達式知足小于等于y括號內(nèi)表達式，系統(tǒng)是因果的）│y(n)│=│g(n)x(n)│<=│g(n)││x(n)│x(n)有界，只有在g(n)有界時，y(n)有界，系統(tǒng)才穩(wěn)固，不然系統(tǒng)不穩(wěn)固3）T[x(n)]=x(n-n0)線性，移不變，n-n0<=n即n0>=0時系統(tǒng)是因果的，穩(wěn)固5）線性，移變，因果，非穩(wěn)固7）線性，移不變，非因果，穩(wěn)固8）線性，移變，非因果，穩(wěn)固8.解：(1)當時n0,h(n)0,是因果的。|h(n)|11,0212n不穩(wěn)固。(2)當n時，h(n)0,0是因果的。|h(n)|111?。?！n01211112*13*2*1111113248穩(wěn)固。(3)當n時，h(n)0,0是因果的。|h(n)|303132n不穩(wěn)固。(4)當n時，h(n)0,0是非因果的。|h(n)|3031323n2穩(wěn)固。(5)當n時，h(n)0,0系統(tǒng)是因果的。|h(n)|0.300.310.3210n7系統(tǒng)是穩(wěn)固的。(6)當n時，h(n)00系統(tǒng)是非因果的。|h(n)|0.310.32n系統(tǒng)不穩(wěn)固。(7)當n0時，h(n)0系統(tǒng)是非因果的。|h(n)|1n系統(tǒng)穩(wěn)固。第二章Z變換1．求以下序列的z變換，并畫出零極點圖和收斂域。an(|a|1n(1)x(n)1)(2)x(n)u(n)1n2(3)x(n)n1)(4)x(n)1,(n1)u(2n(5)x(n)nsin(0n),n0(0為常數(shù)）(6)x(n)Arncos(0n)u(n),0r17）剖析：Z[x(n)]X(z)x(n)zn，n的取值是x(n)的有值范圍。Z變換定義nZ變換的收斂域是知足nx(n)znM的z值范圍。解：(1)由Z變換的定義可知：anzn1anznX(z)anznnnn0anznanznn1n0a2az111az1a(1az)(1az1)z(a21)za(z1)(za)a收斂域：az1,且a1即：az1za極點為：za,z1零點為：z0,za1n(2)x(n)u(n)2解：(2)由z變換的定義可知：X(z)(1)nu(n)zn2(1)nznn02111z12收斂域：11112z即：z2極點為：z1零點為：z02n(3)x(n)1u(n1)2解:（3）1(1)nznX(z)(1)nu(n1)znn2n22nzn2zn112z11z121收斂域：2z1即：z2極點為：z1零點為：z02(4)x(n)1,(n1)n解：(4)X(z)1znn1ndX(z)1(n)zn1(zn1)1z2，|z|1dzn1nn1zzX(z)lnzln(1z)ln1zdX(z)因為X(z)的收斂域和的收斂域相同，故X(z)的收斂域為|z|1。極點為：z0,z1零點為：z(5)x(n)nsin0n,n0(0為常數(shù)）解：(5)設(shè)y(n)sin(0n)u(n)則有Y(z)y(n)znz11sin0z2，|z|1n12zcos0而x(n)ny(n)∴X()zdY(z)z1(1z2)sin02,|z|1z(12z1cos0z2)dz所以，收斂域為：z1極點為：zej0,zej0（極點為二階）零點為：z1,z1,z0,z(6)x(n)Arncos(n)u(n),0r10解：(6)設(shè)y(n)cos(0n)u(n)[(cos(0n)cossin(0n)sin]u(n)coscos(0n)u(n)sinsin(0n)u(n)Y(z)cos1z1cos0sinz1sin012z1cosz212z1cos0z20cosz1cos(0),z112z1cosz20則Y(z)的收斂域為z1而x(n)Arny(n)zAcosz1rcos(0)X(z)AY()2z1rcos2z2r10r則X(z)的收斂域為：z|r|。（7）Z[u(n)]=z/z-1Z[nu(n)]=-zd[z]zdzz1(z1)2z2]2Z[n2u(n)]=-zd[zz3dz(z1)(z1)零點為z=0,±j,極點為z=1用長除法,留數(shù)定理,部分分式法求以下的反變換3.X(z)z11z1112z112(1)X(z),z,z12(2)X(z)141z21z144za111z111(3)X(z),z(4)X(z)4,1aza815z1z12315z15剖析：長除法：對右側(cè)序列（包含因果序列）H（z）的分子、分母都要按z的降冪擺列，對左側(cè)序列（包含反因果序列）（z）的分子、分H母都要按z的升冪擺列。部分分式法：若X（z）用z的正冪表示，則按X(z)/z寫成部分分式，而后求各極點的留數(shù)，最后利用已知變換關(guān)系求z反變換可得x（n）。留數(shù)定理法：（1）注意留數(shù)表示是Res(X(z)zn1)zzk(zzk)X(z)zn1zzk因此X(z)zn1的表達式中也要化成1/(zzk)的形式才能相抵消，不可以用1/(1zkz1)來和（zzk）相抵消，這是常出現(xiàn)的錯誤。（2）用圍線內(nèi)極點留數(shù)時不必取“”號（負號），用圍線外極點留數(shù)時要取“”號（負號）。（1）（i）長除法：11zX(z)211z4

11211z12極點為z1/2,而收斂域為：|z|1/2,因此知x(n)為因果序列，所以分子分母要按降冪擺列11z11z22411z1121z112z21z2

11

12z41z24X(z)11z11z22n41znn021n所以：x(n)u(n)2（1）(ii)留數(shù)定理法：x(n)11zn1dz,設(shè)c為2jc11z121內(nèi)的逆時針方向閉合曲線：2當n0時，1zn111zn在c內(nèi)有1z1z2121一個單極點2則x(n)Reszn1n,n012z2z12因為x(n)是因果序列，故n0時，x(n)0n所以x(n)1u(n)2（1）(iii)部分分式法：11zX(z)21z14

11z211z1z122因為z121n所以x(n)()2un2）(i).長除法：因為極點為z1,而收斂域為z1,44因此x(n)是左側(cè)序列,所以要按z的升冪擺列：14

828z112z2z2z28z7z7z28z228z228z2112z3X(z)828z112z2874nzn11874nznnn所以x(n)8(n)71u(n1)42）(ii)留數(shù)定理法:x(n)1X(z)zn1dz設(shè)c為z1，內(nèi)的逆時針方向閉合曲線2jc4當n0時：X(z)zn1在c外有一個單極點z14x(n)Res[X(z)zn1]1z47(1)n,(n0)4當n0時：X(z)zn1在c內(nèi)有一個單極點z0∴x(n)Res[X(z)zn1]z08,n0當n0時：X(z)zn1在c內(nèi)無極點，則：x(n)0,n0綜上所述，有：x(n)8(n)7(1)nu(n1)(2)(iii).4部分分式法：X(z)z287z1)zz1z(z44則X(z)87z871141z1z14因為z則x(n)是左側(cè)序列47(1)nu(所以x(n)8(n)n1)4(3)(i).長除法：因為極點為z1，由z1可知,x(n)為aa因果序列,因此要按z的降冪擺列:111)z11(a12a(aaa2)zaaaz1zaz1a(a1)a(a1)1(a1)z1aaa1(aa1(a11)1n則X(z)(aznan1aa所以11)1nx(n)(n)(au(n1)aaa(3)(ii).留數(shù)定理法:x(n)1X(z)zn1dz，設(shè)c為z12jca內(nèi)的逆時針方向閉合曲線。當n0時：X(z)zn1在c內(nèi)有z1一個單極點ax(n)ResX(z)zn1z1a1zazn1az1az1a11n(n0)(a),a當n0時：X(z)zn1在c內(nèi)有0,z1兩個單極點ax(0)ResX(z)zn11ResX(z)zn1z0zaa1a1a當n0時：因為x(n)是因果序列，此時x(n)0。所以11)1nx(n)(n)(au(n1)aaa(3)(iii).部分分式法：X(z)zaa1a2zz(1az)z1az

1)za)za

112(a1)z2aa則X(z)a(a1)1a1z11a所以1nx(n)(a)(n)(a1u(n))aa11)1n(n)(au(n1)aaaX(z)z1AB(4)4z(z11)z11)(z53z35A=5/8,B=3/8X(z)5z3z8z18z135x(n)5(1)nu(n1)3(1)nu(n)83855．對因果序列,初值定理是x(0)limX(z)n0時x(n)0,問相應(yīng)的z,假如序列為定理是什么?議論一個序列x(n)，其z變換為：719z1X(z)12245z121z2X(z)的收斂域包含單位圓，試求其x(0)值。剖析：Z變換X(z)來求序列初值x(0)，把序列分紅因果序列和這道題議論怎樣由雙邊序列反因果序列兩部分，[它們各自由X(z)求x(0)表達式是不一樣的]，將它們各自的x(0)相加即得所求。解：當序列知足n0,x(n)0時,有:0nX(z)x(n)znx(0)x(1)zx(2)z2所以此時有：limX(z)x(0)z0若序列x(n)的Z變換為：719z17z219zX(z)122412245z1z21)1(z2)(z22zzX1(z)X2(z)（z）（1）42z32X(z)的極點為z12,z212由題意可知：X(Z)的收斂域包含單位圓,則其收斂域應(yīng)當為：1z22則x1(n)為n0時為有值左側(cè)序列，x2(n)為因果序列：x1(0)limX1(z)z0limz0z0（）4z2x2(0)limX2(z)limz11）3zz（3z2x(0)x1(0)x2(0)13有一信號y(n)x1(n已知Z[anu(n)]解：

y(n)，它與另兩個信號x1(n)和x2(n)的關(guān)系是:nn3)x2(n1)，此中x1(n)1(n)1，u(n)，x2u(n)231，za，利用z變換性質(zhì)求y(n)的z變換Y(z)。1az1x1(n)ZX1(z)11z112x1(n3)Zz3X1(z)z3x2(n)ZX2(z1)111z3

x2(n)ZX2(z)11z113111zz1212z113x2(n1)ZzX2(z1)zz311z3而y(n)x1(n3)*x2(n1)所以Y(z)Z[x1(n3)]Z[x2(n1)]z31z11z111z23z53z5111(z-)(1z)(z-)(3z)232若x1(n),x2(n)是因果穩(wěn)固序列，求證：111X1(ej)X2(ej)d{X1(ej)d}{X2(ej)d}222剖析：利用時域卷積則頻域是相乘的關(guān)系來求解x1(n)*x2(n)1X1(ej)X2(ej)ejnd2而x1(n)*x2(n)n0x1(0)x2(0)1X1(ej)X2(ej)d，2再利用nx2nn=0即可得所需結(jié)果。()、()的傅里葉反變換，代入證明:設(shè)y(n)Y(z)Y(ej12

x1(n)x2(n)則X1(z)X2(z))X1(ej)X2(ej)X1(ej)X2(ej)ejnd1Y(ej)ejnd2y(n)x1(n)x2(n)1X1(ej)X2(ej)d2x1(n)x2(n)|n0nx1(k)x2(nk)k0n0x1(0)x2(0)x1(n)1X1(ej)ejnd2x2(n)1X2(ej)ejnd2∴x1(0)1X1(ej)d2x2(0)1X2(ej)d21X1(ej)X2(ej)d2{1X1(ej)d}{1X2(ej)d}22剖析：利用序列傅里葉變換的定義、它的導(dǎo)數(shù)以及帕塞瓦公式1x(ej)2x(n)2。d2n解：(a)X(ej0)x(n)ej0nx(n)6nn(b)X(ej)dX(ej)ej0dx(0)(c)由帕塞瓦爾公式可得：X(ej22x(n)228)dn(d)∵X(ej)nx(n)ejn∴dX(ej)(jn)x(n)ejndn即DTFT(jn)x(n)dX(ej)d由帕塞瓦爾公式可得：dX(ej)2d22d|(jn)x(n)|n2n2x2(n)n2(910196425049)316研究一個輸入為x(n)和輸出為y(n)的時域線性失散移不變系統(tǒng)，已知它滿足y(n1)10()(n1)()并已知系統(tǒng)是穩(wěn)固的。試求其單位抽樣ynyxn3響應(yīng)。剖析：在Z變換域中求出H(z)Y(z)/X(z)，而后和題12（c）相同分解成部分分式分別求Z反變換。解：對給定的差分方程兩邊作Z變換，得：z1Y(z)10Y(z)zY(z)X(z)3則：H(z)Y(z)1zX(z)1101zz(z3)(z)33極點為z3,z21，13為了使它是穩(wěn)固的，收斂地區(qū)一定包含單位圓，故為1/3<│z│<3即可求得33nu(n1)1nh(n)u(n)8314.研究一個知足以下差分方程的線性移不變系統(tǒng)，該系統(tǒng)不限制為因果、穩(wěn)固系統(tǒng)。利用方程的零極點圖，試求系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)的三種可能選擇方案。y(n1)5y(n)y(n1)x(n)2解:對題中給定的差分方程的兩邊作Z變換，得：z1Y(z)5Y(z)zY(z)X(z)2H(z)Y(z)X(z)所以1z15z2z1)(z2)(z2其零點為z0z12z212極點為,因為該系統(tǒng)不限制為因果，穩(wěn)固系統(tǒng),所以其收斂域狀況有三種，分別如左圖所示。收斂域狀況有：z2零極點圖一：1零極點圖二：2

z2零極點圖三：

z

12注：假如想要參看詳細題解，請先選擇方案，而后單擊解答按鍵即可。(1)按12題結(jié)果(此處z1=2,z2=1/2),可知當收斂地區(qū)為z2,則系統(tǒng)是非穩(wěn)固的，可是因果的。其單位抽樣響應(yīng)為：h(n)1(z1nz2n)u(n)z1z22(2n2n)u(n)31z2(2)相同按12題，當收斂地區(qū)為2，則系統(tǒng)是穩(wěn)固的可是非因果的。其單位抽樣響應(yīng)為：h(n)1z1nu(n1)z2nu(n)z2z121n2nu(n1)u(n)32(|z2||z||z1|)z12z21(此中2)1(3)近似,當收斂地區(qū)為z2時，則統(tǒng)是非穩(wěn)固的，又是非因果的。其單位抽樣響應(yīng)為：h(n)1z1nu(n1)z2nu(n1)z2z12(2n2n)u(n1)3z12,z2

1(此中2)第三章失散傅立葉變換1.以以下圖，序列x(n)是周期為6的周期性序列，試求其傅立葉級數(shù)的系數(shù)。~解:X(k)

5~nk5~x(n)W6x(n)en0n0

j2nk6j2kj22kj23kj24kj25k1412e610e68e66e610e6計算求得:~~~60;9j33;3j3;X(0)X(1)X(2)~0;~3j3;~(5)9j33。X(3)X(4)X2.設(shè)x(n)R4(n),~x((n))6.x(n)~~~試求X(k)并作圖表示x(n),X(k)。~解:X(k)

55~nk~x(n)W6x(n)en0n0

j2nk61ej3kej2kejk3~計算求得：~4;~j3;1;X(0)X(1)X(2)~0;~1;~j3。X(3)X(4)X(5)n1,0n43.設(shè)x(n),h(n)R4(n2),令x(n)x((n))6,h(n)h((n))4,0，其余n試求x(n)與h(n)的周期卷積并作圖。解：在一個周期內(nèi)的計算值~y(n)~y(n)

~~x(n)*h(n)~~x(n)*h(n)

~h(nm)~h(nm)4.剖析：本題需注意周期延拓的數(shù)值，假如N比序列的點數(shù)多，則需補零；假如N比序列的點數(shù)少，則需將序列按N為周期進行周期延拓，混疊相加形成新序列。先周期延拓再翻褶、移位x((-n))5為周期序列{1,0,2,3,1}x((n))6為周期序列{1,1,3,2,0,0}x((-n))6R6(n)為6點有限長序列{1,0,0,2,3,1}x((n))3R3(n)為3點有限長序列{3,1,3}x((n-3))5R5(n)為5點有限長序列{3,2,0,1,1}x((n))7R7(n)為7點有限長序列{1,1,3,2,0,0,0}48.解：（1）x(n)*x(n)=x(m)x(nm)m0x(m)~1021300y(n)x(nm)n01110102201431201243120110503120146003120113700031206831294x(m)x((nm))R(n)(2)x(n)⑤x(n)=m055x(m)~10213f(n)x((nm))R(n)n55013120510131213220131103120131143120110(3)x(n)⑩x(n)與線性卷積結(jié)果相同，后邊補一個零。n1,0n31,0n410.x(n)0,4n，y(n)5n，求f(n)=x(n)⑦y(n)。61,6解：f(n)=x(n)⑦y(n)=6x(m)y((nm))7R7(n)m0x(m)~1234000f(n)y(nm)n0-111-1-1-1-101-1-111-1-1-142-1-1-111-1-1-23-1-1-1-111-1-104-1-1-1-1-111-1051-1-1-1-1-11-8611-1-1-1-1-1-4第四章

迅速傅立葉變換1.假如一臺通用計算機的速度為均勻每次復(fù)乘需每次復(fù)加5s，用它來計算512點的DFT[x(n)]

50s，問直拉計算需要多少時間，用

FFT

運算需要多少時間。解:解:⑴直接計算:復(fù)乘所需時間:T15106N2510651221.31072s復(fù)加所需時間:T20.5106N(N1)0.5106512(5121)0.130816sTT1T21.441536s⑵用FFT計算:復(fù)乘所需時間:T15106Nlog2N5106512log25120.01152s22復(fù)加所需時間:T20.5106Nlog2N0.5106512log25120.002304sTT1T20.013824s3.運算量：復(fù)數(shù)乘法次數(shù)（乘±1、±j不計算在內(nèi)，要減去系數(shù)為±1、±j的，即WN0,WNN/4），即8*4-（1+2+4+8）-（1+2+4）=10復(fù)數(shù)加法次數(shù)為64次第五章數(shù)字濾波器的基本構(gòu)造1.用直接I型及模范型構(gòu)造實現(xiàn)以下系統(tǒng)函數(shù)H(z)

34.2z20.6z

11

0.8z0.4z

22剖析：①注意系統(tǒng)函數(shù)H(z)分母的z0項的系數(shù)應(yīng)當化簡為1。②分母zi(i1,2,)的系數(shù)取負號，即為反應(yīng)鏈的系數(shù)。解：H(z)10.3z

10.4z21.52.1z10.2z21(0.3z

0.4z210.2z2)MbnzmY(z)∵H(z)m0NnX(z)1anzn1∴a10.3，a20.2b01.5，b12.1，b20.42.用級聯(lián)型構(gòu)造實現(xiàn)以下系統(tǒng)函數(shù)4(z1)(z21.4z1)H(z)0.9z0.8)(z0.5)(z2試問一共能組成幾種級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)。剖析：用二階基本節(jié)的級聯(lián)來表達（某些節(jié)可能是一階的）。11kz12kz2解：H(z)A1kz12kz2k114(1z)(11.4z1(10.5z)(10.9z

z2)0.8z2)A4111,210,121.4,221110.5,210,120.9,220.8由此可得：采納二階節(jié)實現(xiàn)，還考慮分子分母組合成二階（一階）基本節(jié)的方式，則有四種實現(xiàn)形式。4．用橫截型構(gòu)造實現(xiàn)以下系統(tǒng)函數(shù)：H(z)11z116z112z111z11z126剖析：FIR濾波器的橫截型又稱橫向型，也就是直接型。解：H(z)(11z1)(16z1)(12z1)(11z1)(1z1)26(11z12z1z2)(11z16z1z2)(1z1)26(15z1z2)(137z1z2)(1z1)2618z1205z2205z38z4z53121237．設(shè)某FIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：H(z)1(13z15z23z3z4)5試畫出此濾波器的線性相位構(gòu)造。剖析：FIR線性相位濾波器知足h(n)h(N1n)，即對n(N1)/2體現(xiàn)偶對稱或奇對稱，因此可簡化構(gòu)造。解：由題中所給條件可知