高考數(shù)學總復習三角恒等變換基礎(chǔ)知識講解

高考數(shù)學總復習三角恒等變換根基知識解說【考大綱求】1、會用向量的數(shù)目積推導出兩角差的余弦公式、2、能利用兩角差的余弦公式導出兩角差的正弦、正切公式、3、能利用兩角差的余弦公式導出兩角和的正弦、余弦、正切公式,導出二倍角的正弦、余弦、正切公式,認識它們的內(nèi)在聯(lián)系、4、能運用上述公式進行簡單的恒等變換〔包含導出積化和差、和差化積、半角公式,但對這三組公式不要求記憶〕、【知識網(wǎng)絡】簡單的三角恒等變換三角恒等變換兩角和與差的三角函數(shù)公式倍角公式【考點梳理】考點一、兩角和、差的正、余弦公式重點解說：1、公式的合用條件〔定義域〕XXXXX：前兩個公式,對隨意實數(shù)a,B都建立,這說明該公式是R上的恒等式；公式③中2、正向用公式,,能把和差角的弦函數(shù)表示成單角a,B的弦函數(shù)；反向用,能把右側(cè)構(gòu)造復雜的睜開式化簡為和差角的弦函數(shù).公式正向用是用單角的正切值表示和差角的正切值化簡.考點二、二倍角公式1、在兩角和的三角函數(shù)公式時,便可獲得二倍角的三角函數(shù)公式：O重點解說：1、在公式中,角a沒有限制,但公式中,只有當時才建立；2、余弦的二倍角公式有三種：==;解題對應依據(jù)不一樣函數(shù)名的需要,函數(shù)不一樣的形式,公式的雙向應用分別起縮角升嘉和擴角降寨的作用.3、二倍角公式不單限于2.和a的二倍的形式,其余如4a是2a的二倍,,的二倍等等,要熟習這多種形式的兩個角相對二倍關(guān)系,才能嫻熟地應用二倍角公式,這是靈巧運用這些公式的重點.考點三、二倍角公式的推論降嘉公式：；；、全能公式：；、半角公式：；；、此中根號的符號由所在的象限決定、重點解說：〔1〕半角公式中正負號的選用由所在的象限確立；〔2〕半角都是有關(guān)于某個角來說的,如能夠看作是3a的半角,2a能夠看作是4a的半角等等.〔3〕正切半角公式建立的條件是aW2k兀+?！瞜￡Z〕正切還有此外兩個半角公式：,這兩個公式不用考慮正負號的選用問題,可是需要知道兩個三角函數(shù)值.常常用于把正切化為正余弦的表達式.考點四、三角形內(nèi)角定理的變形由,知可得出：,、而,有：,、【典型例題】種類一：正用公式例1、：,求的值、【思路點撥】直接利用兩角差的余弦公式、【分析】由可求得、當在第一象限而在第二象限時,、當在第一象限而在第三象限時,、當在第二象限而在第二象限時,、當在第二象限而在第三象限時,、【評論】例1是對公式的正用、當三角函數(shù)值的符號沒法確準時,注意分類討論、貫通融會：【變式1]那么、【答案】、【變式2】那么、【答案】【變式3】和是方程的兩個根,求的值、【答案】【分析】由韋達定理,得,,.??、【高清講堂：三角恒等變換例1】【變式4】某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn),以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)、〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕I試從上述五個式子中選擇一個,求出這個常數(shù)II依據(jù)〔I〕的計算結(jié)果,將該同學的發(fā)現(xiàn)推行三角恒等式,并證明你的結(jié)論、【分析】I、選擇⑵式計算以下II、證明：例2、,求的值、【思路點撥】注意到,將,看做一個整體來運用公式、【分析】,,,,【評論】1、給出某些角的三角函數(shù)式的值,求此外一些角的三角函數(shù)值,解題重點在于“變角〞,例2中應用了的變換,表達了靈巧解決問題的水平,應側(cè)重領(lǐng)會,常有的變換技巧還有,一等、2、某一個〔或兩個〕角的三角函數(shù)值,求另一個有關(guān)角的三角函數(shù)值,根本的解題策略是從“角的關(guān)系式〞下手切入或打破、角的關(guān)系主要有互余〔或互補〕關(guān)系,和差〔為特別角〕關(guān)系,倍半關(guān)系等、關(guān)于比較復雜的問題,那么需要兩種關(guān)系的混淆運用、舉一反三：【變式1]是第二象限角,且,求的值、【答案】【分析】由且是第二象限角,得,???,???、【變式2】函數(shù)的最大值為〔〕A、B、C、D、【答案】C；【分析】,,、因此其最大值為2,應選C、【變式3】【答案】【分析】角的關(guān)系式：〔和差與倍半的綜合關(guān)系〕I,【變式4】求的值.【答案】【分析】???,???,???,???.???種類二：逆用公式例3、求值：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕、【思路點撥】逆用兩角和〔差〕正〔余〕弦公式,正切公式、【分析】〔1〕原式二；〔2〕原式；〔3〕原式；〔4〕原式、【評論】①把式中某函數(shù)作適合的變換以后,再逆用兩角和〔差〕正〔余〕弦公式,二倍角公式等,即所謂“逆用公式〞.②協(xié)助角公式：,此中角在公式變形過程中自然確立、貫通融會：【變式11化簡、【答案】【變式2】那么的值為〔〕A、B、C、D、【答案】A；【分析】??,,???、例4、求值：(1)；(2)【思路點撥】要使能利用公式化簡,分子分母同乘以第一個角的正弦值、【分析】原式二；(2)原式工【評論】此種種類題比較特別,特別在：①余弦相乘；②后一個角是前一個角的2倍；③最大角的2倍與最小角的和與差是p.三個條件缺一不行.此外需要注意2的個數(shù).應看到掌握了這些方法后可解決一類問題,假定經(jīng)過適合的轉(zhuǎn)變,轉(zhuǎn)變成擁有這類特點的構(gòu)造,那么可考慮采納這個方法.貫通融會：【變式】求值：(1)；(2)、【答案】(1)；(2)【分析】原式二二二(2)種類三：變用公式例5、求值：(1)；(2)【思路點撥】經(jīng)過正切公式,注意到與之間的聯(lián)系、【分析】(1),原式、(2),,、【評論】本題是利用了兩角和正切公式的變形,找出與三者間的關(guān)系,進行轉(zhuǎn)化,即所謂“變用公式〞解決問題；變用公式在一些解三角問題中起側(cè)重要作用,需靈巧掌握、但它是以公式原型為根基,依據(jù)題目需要而采納的方法,如：,、貫通融會：【變式1]求值：二、【答案】1【變式2】在中,一試判斷的形狀、【答案】等腰三角形【分析】由得,,即,,,,又,故,故是頂角為的等腰三角形、種類四：三角函數(shù)式的化簡與求值例6、化簡：〔1〕；〔2〕【思路點撥】1〕中函數(shù)有正弦有正切,一般將切化弦辦理；〔2〕中有平方,而且角度之間也有關(guān)系,,因此要用二倍角公式降次、【分析】1〕原式二〔2〕原式二【評論】①三角變換所波及的公式實質(zhì)上正是研究了各樣組合的角〔如和差角,倍半角等〕的三角函數(shù)與每一單角的三角函數(shù)關(guān)系.因此詳細運用時,注意對問題所波及的角度及角度關(guān)系進行察看.②三角變換中一般采納“降次〞、“化弦〞、“通分〞的方法；在三角變換中常常用到降薛公式：,、貫通融會：【變式1]化簡：(1)；(2)；(3)【答案】原式二；(2)原式二；(3)原式二二、【變式2】假定,且,那么、【答案】由,,得,、例7、,,且,求的值、【思路點撥】題設(shè)中給出是角的正切值,故考慮正切值的計算,同時經(jīng)過估量的區(qū)間求出正確的值、【分析】,而,故,又,,故,進而,而,,而,,又,【評論】對給值求角問題,一般是經(jīng)過求三角函數(shù)值實現(xiàn)的,先求出某一種三角函數(shù)值,再考慮角的范