《2021高考數(shù)學試題全詳解》-2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（天津卷）

2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷(天津卷)

-.選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.設集合A={-1,0,1},8={1,3,5},C={0,2,4}，則（An8）UC=

(A){0}(B){0,1,3,5}(C){0,1,2,4}(D){0,2,3,4}

2.已知aeR，貝"a>6"是"a1>36"的

(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件

(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件

3.函數(shù)丫=典的圖像大致為

x+2

4.從某網(wǎng)絡平臺推薦的影視作品中抽取400部，統(tǒng)計其平分數(shù)據(jù),將所得400個評分數(shù)據(jù)分為8組：

[66,70),[70,74)，…，[94,98],并整理得到如下的頻率分布直方圖,則評分在區(qū)間[82,86)內的

影視作品數(shù)量為

5.ig?=log20.3,^=log,0.4,C=0.4°3，則“、b、c的大小關系為

(A)a<b<c(B)c<a<b

(C)b<c<a(D)a<c<b

32兀

6.兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為亍，兩個圓錐的高之比

為1：3,則這兩個圓錐的體積之和為

(A)3兀(B)4兀(C)9兀(D)12n

7若2"=5〃=10,則工+4=

ab

(A)-1(B)lg7(C)1(D)log710

22

8.已知雙曲線馬-5=1(。>0力>0)的右焦點與拋物線y2=2px(p>0)的焦點重合，拋物線

的準線交雙曲線于A、B兩點,交雙曲線的漸近線與C、。兩點，若|C"=0|A班則雙曲線的離

心率為

(A)V2(B)V3(C)2(D)3

一，，cosQ/zx—2如)，x<a_=、、―…一八一

9.設。三尺函數(shù)/(x)=<,c'，若/Xx)在區(qū)間(0,+8)內恰好有6個零點，

x~-2(a+l)x+a-+5,x>a

則a的取值范圍是

…U9.7511511

(A)hu77(B)u

45N

(D)*7U5

(C)

用u4

二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，

全部答對的給5分.

10./是虛數(shù)單位，復9數(shù)+與2;^=___.

2+1

11在(2d+1)6的展開式中，f的系數(shù)是_.

X

12.若斜率為g的直線與y軸交于點/,與圓V+(y-1)2=1相切與點B,則|A5|=—.

13.若。＞0,b〉0,貝(J,+二+人的最小值為一.

ab~

14.甲、乙兩人在每次猜謎語活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對一方獲勝，否

則本次平局。已知每次活動中，甲乙猜對的概率分別為25和3-，且每次活動中甲、乙猜對與否互不

影響，各次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為；3次活動中，甲至少獲勝2次的

概率為.

15.在邊長為1的等邊三角形力8。中。。為線段8c上的動點且交28與點E,DF//AB

交/C于點，則|2詼+方|的值為;(DE+DF)DA的最小值為.

三,解答題：本大題共5小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16.(本小題滿分14分)在aABC，角A,B,C所對的邊分別為。,c.已知

sinA:sinB:sinC=2:1:0.b=V2.

(I)求a的值;

(n)求cose的值；

(III)求sin12C.J的值.

17(本小題滿分15分)如圖，在棱長為2的正方體ABC。-中，E為棱BC的中點，F(xiàn)

為棱CD的中點，

(1)求證：。尸//平面A^G；

(2)求直線AC；與平面AEG所成的角的正弦值；

(3)求二面角A-AG-E的正弦值.

】&(本小題滿分15分)已知橢圓￡+方=1(〃＞人＞。)的右焦點為尸,上頂點為3'離心率為

—,且忸耳=石.

Q)求橢圓的方程；

(2)直線/與橢圓有唯一的公共點M，與y軸的正半軸交于點N，過N與BE垂直的直線交x

軸于點P,若MP//BF,求直線/的方程

19.(本題滿分15分)已知{a,,}是公差為2的等差數(shù)列，其前8項的和為64.{2}是公比大于。的

等比數(shù)列，伉=4,…2=48.

(I)求{4}和也}的通項公式；

(H)記c,,=",,+］，〃eN*.

(i)證明上“2一J”}是等比數(shù)列；(ii)證明冗半工<272.

/TVCk-。2k

20.體小題滿分16分)已知a>0,函數(shù)/(x)=ax7?爐.

⑴求函數(shù)y=f(x)在點(0,/(0))處的切點的方程；

(2)證明/(幻存在唯一極值點；

⑶若存在a，使得/*)<a+b對于任意的x?R成立,求實數(shù)b的取值范圍.

2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷(天津卷)

參考答案與試題解析

-.選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.設集合4={-1,0,1},8={1,3,5},C={0,2,4}，貝!!(408)"=

(A){0}(B){0,1,3,5}(C){0,1,2,4}(D){0,2,3,4)

【思路分析】考查集合的運算，要看清楚題目是取交集還是并集.

【解析】(河南洛陽劉友友老師解析)由A={-1,0,1},3={1,3,5}得AD8={1}，所以

(4nB)UC={l}U{0,2,4}={01,2,4}，選C.

【歸納總結】此類型題較為基礎，考查學生對集合基本運算的掌握情況.

2.已知aeR，貝!|"a>6"是"a2>36"的

(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件

(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件

【思路分析】要把標>36這一條件進行整理或化簡，進而判斷是充分還是必要條件.

【解析】(河南洛陽劉友友老師解析)/>36等價于同>6=。>6或。<6,故。>6=回>6,即

a2>36，但同>6為。>6,因此〃>6"是">36的充分不必要條件.

【歸納總結】本題考查充分條件與必要條件，可以借助口訣：”小充分大必要"，提升做題速度.

3.函數(shù)y=W的圖像大致為

x+2

yy

【思路分析】先判斷函數(shù)y=的奇偶性，然后取特殊值即可得到正確選項.

r+2

【解析】（河南洛陽劉友友老師解析）易得y=為偶函數(shù)，故可排除A,C選項，當x=2時，

x+2

y=-^>0,故可排除D選項.即答案選B.

4+2

【歸納總結】判斷函數(shù)的大致圖像，一般步驟是判斷奇偶性、單調性，然后結合特殊值的情況加以

確定圖像.

4.從某網(wǎng)絡平臺推薦的影視作品中抽取400部，統(tǒng)計其平分數(shù)據(jù)，將所得400個評分數(shù)據(jù)分為8組：

[66,70）,[70,74）,-,[94,98],并整理得到如下的頻率分布直方圖，則評分在區(qū)間[82,86）內的

影視作品數(shù)量為

【思路分析】要求分布在區(qū)間［82,86)人數(shù)，只需要知道總人數(shù)及該區(qū)間的頻率就可以算出.

【解析】(河南洛陽劉友友老師解析)由頻率分布直方圖可得評分在區(qū)間［82,86)內的頻率為：

0.050x4=0.2,所以影視作品數(shù)量為：0.2x400=80,選D.

【歸納總結】頻率分布直方圖的縱截距是頻率/組距，千萬別忽略組距而導致計算錯誤.

5.設a=log,0.3,8=log,0.4,c=0.4°-3，則a、b、c的大小關系為

2

(A)a<b<c(B)c<a<b

(C)b<c<a(D)a<c<b

【思路分析】利用中間變量1和0比較

【解析】(甘肅慶陽柳廣社解析)???〃=log20.3<log2l=0,

3

Z?=log,0.4=-log20.4>-log20.5=1,0<C=0.4°<0.4°=1,

a<c<b,故選D.

【歸納總結】本題考查常見指數(shù)、對數(shù)式子的大小比較.基礎題

3271

6.兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為亍,兩個圓錐的高之比

為1：3,則這兩個圓錐的體積之和為

(A)3兀(B)4兀(C)9兀(D)12n

【思路分析】先畫出圓錐與球的軸截面，在旋轉軸PS上找出球心，據(jù)球

心。到P、S、A點距離均相等即可得。

32兀

【解析】(甘肅慶陽柳廣社解析)如圖所示：由球的體積為亍,可得該

球的半徑R=2,

由題意得，兩個圓錐的高OS、O'P分別為1和3,

???PS為球。的直徑，:.△PAS為直角三角形，

又?.?OS4LPS,S

???可得截面圓半徑O'S=6

所以這兩個圓錐的體積之和為V=；萬?(6)2?(3+1)=4萬，故選B.

【歸納總結】本題主要考查圓錐與其外接球相關知識，包括空間想象能力和化歸轉化能力，屬于中

等題。

7.若2"=5〃=10,則4+」=

(A)-1(B)lg7(C)1(D)log710

【思路分析】利用指數(shù)式和對數(shù)式的關系解出a和b,然后結合對數(shù)換底公式等運算性質即可求解。

【解析】(甘肅慶陽柳廣社解析)：2a=5"=10,a=log210,b=log510,

.1,1

=lg2+lg5=l,故選C.

ablog210log510

【歸納總結】本題考查指數(shù)式和對數(shù)式的相關運算性質，屬于基礎題。

22

8.已知雙曲線3-2=1("0/>0)的右焦點與拋物線y2=2px(p>0)的焦點重合，拋物線

的準線交雙曲線于A、B兩點,交雙曲線的漸近線與C、。兩點，若|。"=也|4百,則雙曲線的離

心率為

(A)V2(B)V3(C)2(D)3

【思路分析】統(tǒng)一用a、b、c表示出CD和AB間的等式，最后轉化成a、c間的關系求e.

2/727hr

【解析】(甘肅慶陽柳廣社解析)根據(jù)題意知拋物線準線方程為工二-cl.']AB\=—JCD|=—

'/|C￡)|=V2|AB|?'?c=42b又:，「.〃二匕，

//

??雙曲線的離心率e=￡=行，故選A.

【歸納總結】本題考查拋物線與雙曲線圖像及其簡單的性質，屬于中等題。

COS(2TZX-2/m)x<a

9.設。0?，函數(shù)f(x)={2；，若/(x)在區(qū)間(0,+00)內恰好有6個零點，

X2—2(a+l)x+a~+5,x>a

則。的取值范圍是

…291/511〕,…(7J./511H

(A)2,-U(B)-,2U

I4」(24J<4J<24_

(G聞鳴，3)(D)面j駒

【思路分析】分x<a,x.“兩種情況討論，當x<a時，且1時，/(x)有4個零點”<用,,

4444

f(x)有5個零點，-<x,,-,f(x)有6個零點，當x>a時，即2<%*,/(x)有兩個零點，當

442

-2?+5<0時，即,/(x)有1個零點，當a=2時，/㈤有一個零點，綜合兩種情況，即可求

解.

【解析】(甘肅慶陽柳廣社解析)

因為二次方程最多有2個零點，所以/(%)=cos(2玄-2加)至少有4個根，

因為/(x)=cos(2;zx-2加)=cos2萬(x-a)，而2萬(x-a)=—+k7r,

Z1k111

理彳導x——I----Ftz,(Zc￡Z)0<—I----FQ<Q—2?！?lt;ck<—

242422o

i79

①x<a時，當一54-24—7<-4,/(%)有4個零點，即,

244

1911

當_6〈_24_大<_5,/(幻有5個零點,即：<a〈了,

244

當一74-2a-4<-6J(x)有6個零點，即?,

244

2

xNa時，/(X)=X-2(?+1)X+Y+5,△=4(4+1尸-4(/+5)=0,解得：a=2,

當a<2時，AvO,/。)無零點，

當a=2時,A=0,f(x)有1個零點,

當a>2時,令f(a)=a1-2a(a+1)+?2+5=0,解得a=g,

則當2<aW；時，/(x)有2個零點，當a時，/1(x)有1個零點。

②即xNa時，a<2時，/0)無零點，a=2或a>|■時，/(x)有1個零點，

2<。4|時，/(幻有2個零點。

綜上①②可得a€(■!，#■U(2,:故選A.

【歸納總結】本題考查了余弦函數(shù)和二次函數(shù)，需要學生掌握分類討論的思想，且本題綜合性強,

屬于難題.

二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，

全部答對的給5分.

1。/是虛數(shù)單位，復9數(shù)+2/瀉=.

【思路分析】本題考查復數(shù)的運算，利用復數(shù)的運算法則計算即可。

,皿「士.E/小,士七“HM+u、9+2/(9+2z)(2-I)18-9z+4i-2i220-5z.

【解析】(河南洛陽李省偉老師解析)——==二,、=————=--------=44-i

2+i(2+z)(2-z)2-t5

【歸納總結】復數(shù)一般考查復數(shù)的運算法則，化簡求運算結果、復數(shù)的模長、共輾復數(shù)、幾何性質

象限判斷、周期運算以及模長與圓錐曲線定義結合，偶爾也會考察一元二次方程的虛數(shù)根。難點在

于審題與計算，難度一般。

11在(2丁+-)6的展開式中，f的系數(shù)是_.

x

rr

【思路分析】本題考查二項式的展開式系數(shù)，運用二項式定理第r+1項公式=Cna"-'b展開求

解。

【解析】(河南洛陽李省偉老師解析)(2丁+-)6的第r+1項為

X

36-rr^.18-4r

Tr+{=C；(2x)(-)=C；26TxmeX-=C；26T

X

???M8-4r=》6得43.,.T4=C；X23XX6=160_?J的系數(shù)是160.

【歸納總結】二項式需要理解（。+與"展示的思想，一般考查二項式定理，常見題型為求某一項、

或者某一項系數(shù)，以及二項式的逆用，賦值法求二項式系數(shù)和或者展開項系數(shù)和。難點在于審題與

規(guī)范計算，難度中等。

12.若斜率為由的直線與p軸交于點/,與圓/+（y-=1相切與點B,則|A31=—.

【思路分析】本題考查直線與圓位置關系，考察數(shù)形結合思想，畫出圖像，利用已知條件，用解三

角形的方式,計算求得切線長。

【解析】（劉家范老師解析）設圓心為M,由直線的斜率為方知此切線的傾斜角為60°,又切線與

y軸交點為A,所以NMAB=30°,又NABM=90°,且MB=1,所以AM=2,即

IABI=7AM2=V3

【歸納總結】解析幾何，直線與圓的關系、圓錐曲線，作為選擇填空小題出現(xiàn)，重點考查學生數(shù)形

結合能力，能否根據(jù)已知條件畫出相應圖形，根據(jù)幾何關系再進行運用。解題過程中如果能巧用圖

形的幾何關系，會大大降低計算量。難點在于審題作圖與計算，難度中等。

13.若a>0/>0,貝!J'+二+人的最小值為一.

ab~

【思路分析】題中條件較少，求式子最值。求式子最值主要考察均值不等式，基本均值不等式為兩

項關系，和為定值求積的最小值或者積為定值求和的最小值。而本題是3項，用均值不等式的一般

形式：如果抗，力，…，an為"個正數(shù)，則4+%+…+>My?/當且僅當為=力=…

n

=a〃時，等號成立.代入運算法則計算即可。

【思路分析】對于給式求最值，考慮用均值不等式，其使用條件為："一正二定三相等"，當條件不

滿足時，要創(chuàng)造基本不等式的使用條件，注意"和定積最小"或者”積定和有最大"。

【解析】解法一：（河南洛陽李省偉老師解析）???4+生+―+""＞而…?…q

n

1a,1abb.1abb_/r-

ab2ab222\ah222

當且僅當9常爭立,即時9髀取得最小值

解法二：（劉家范補解）：?.?a>0,。>0,:/22出囁+b=^+b>2凌=2JI當

1=4-=b&）

且僅當a^和b同時成立，即a=b=時成立

【歸納總結】利用均值不等式求最值是高考的重要的考點之一，常見考法是如何靈活地創(chuàng)造基本不

等式使用條件，如：湊系數(shù)、拆項、1的替換等，對于兩次使用基本不等式時要保證等式能同時成立，

難度中等。

14.甲、乙兩人在每次猜謎語活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對一方獲勝，否

53

則本次平局。已知每次活動中，甲乙猜對的概率分別為二和工，且每次活動中甲、乙猜對與否互不

65

影響，各次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為；3次活動中，甲至少獲勝2次的

概率為.

【思路分析】本題考查獨立事件的概率與獨立重復事件概率，分步與分類計數(shù)法的應用。甲、乙二

人猜謎語結果互不影響，根據(jù)題中條件，甲獲勝即為甲猜對乙猜錯。3次活動中，每次互不影響，

即獨立重復事件概率。甲至少勝2次，即甲獲勝2次或3次，分別求出再求和。

【思路分析】本題第一空考查獨立事件的概率公式，第二空考查二項分布概率公式。

【解析】(河南洛陽李省偉老師解析)(1)根據(jù)題中條件，事件甲獲勝為甲猜對乙猜錯。

(2)根據(jù)獨立重復事件的概率

112

甲獲勝2次的概率為P(X=2)=C；(-)2x(l--)=-

甲獲勝3次的概率為P(X=3)=C沖3

217

???甲至少勝2次的概率為

92727

17

故：甲獲勝的概率為-；3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為—.

327

【歸納總結】事件的概率重點理解事件的獨立性，是或事件還是并，分步分類。分析明白事件類型

后，求概率就相對容易了。此考點難點在于審題理解題意中事件的類型，難度中等。

【歸納總結】求解隨機事件的概率首先要理清所求事件間的關系，然后利用概率的有關性質或者常

見的概率分布求解概率，難度中等。

16.在邊長為1的等邊三角形中。。為線段8c上的動點且交46與點E,DF//AB

交/C于點尸，貝”2屣+方向的值為;(DE+DF)DA的最小值為.

【思路分析】本題考查知識點向量，向量模長及最值?？疾鞌?shù)形結合思想，根據(jù)題中條件，作出圖

形，再根據(jù)條件求解答案。

【解析】(河南洛陽李省偉老師解析)如圖所示：

［經(jīng)驗法］:(1)根據(jù)條件可得，12屁+加］的值應不受動點。位置影響。

故若取。點與8點重合，則f點與8點重合，尸點與Z點重合。

貝！j|2荏+礪|=|0+而|=1

(第一空速解：過F作FH_LZ8于H,易證：四邊形DEHF時平行四邊形，所以

DF=H4,BE=HA,所以I2由+而|=|即+諉+麗|=|詼1=1)

［普通法］:建立如圖所示坐標系廁4氏C點坐標為(0，￥),(-g,O),(g,O)

設D點坐標為(％0),%6(-!，:)則|8。|=:+凡|8七|=，1+；X,

22242

E點坐標為七（一■j+Jx,

84

ICD\=^--x,\DF|=］一》,/（9+；,￡一

22424

（1）2BE+DF=2（一■I-—,——,—(巖

48824

\2BE+DF\=

（2）DE=（--）

4884

詼=（!.」,在一叵）;麗=（T,且）

42422

（屁+麗方=（—千:，半—空）.（一，￥）

,5x1、，、>6瓜、65,19

+

=（-丁利（-，）+（^---r）xT=r-4XT^

11

=5（%2,1X）+2=51）2+

451641020

1—.———.11

當x=-5-時（DE+。/）?D4取得最小值—.

1020

【歸納總結】本題以向量為載體考察動點定值與在最值問題，定值往往可以通過特殊點來判定，也

可以用普通方法，建立坐標系，求點坐標求值。最值一般轉換為二次函數(shù)求，或者均值不等式，計

算量較大，考察綜合運算能力。難點在于計算，難度較大。

三,解答題：本大題共5小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16.（本小題滿分14分）在△ABC，角A,8,C所對的邊分別為a,8，c.已知

sinA:sinB:sinC=2:1:-J2.b=A/2.

(I)求“的值；

(II)求cosC的值；

（叫求可2c用的值.

【思路分析】第（I）問用正弦定理即可求解，較為基礎；第（n）問不僅需要正弦定理，還需要用

余弦定理；第（ni）問在前面求解的條件基礎上，需要用兩角差的正弦公式和正余弦的二倍角公式.

【解析】（河南洛陽劉友友老師解析）

（I）由正弦定理得sinA:sinB=a:A=2:1,b=^2,所以a=2及.

+/,2_c2（2/）+（夜]-2?3

（II）同（I）可得c=2,由余弦定理可得cosC=<*上一-L-/—=4;

2ab2x2V2xV24

（III）cosC=—>0，則sinC=Jl-（3],sin2C=2sinCcosC=2x^-x—=-^^-,

4Y⑷4448

,71

cos2C=l-2sin2C=l-2x—=-,

168

.叫n”.兀3將6113歷-1

sin2C——=sin2Ccoscos2csm—=-----x----------x—=-----------.

V6）66828216

【歸納總結】本題看似簡單，實則考查了解三角形的正弦定理、余弦定理，三角函數(shù)中的二倍角公

式、兩角差的正弦公式，可謂短小精悍.

17（本小題滿分15分）如圖，在棱長為2的正方體ABC。-4中，E為棱BC的中點，F(xiàn)

為棱CD的中點，

（1）求證：RE//平面A/G；

（2）求直線AC,與平面AEC,所成的角的正弦值；

（3）求二面角A-AC,-E的正弦值.

【思路分析】（1）連接AG，8Q相交于0,連接OE,EF,證明OE//。尸即可;

（2）以A為坐標原點,AB,AD,A4為坐標軸建立空間直角坐標系，求出平面AEg的法向量即

可；

（3）求出平面4AG的法向量，結合（2）則可得到二面角.

【解析】（代爾寧老師解析）Q）證明：如圖所示,連接A,C,,BR相交于0,連接OE,EF,

因為E為棱BC的中點，F(xiàn)為棱CD的中點

所以EF//BQ]且EF=gB0]

根據(jù)正方體有OR=g耳2，所以EF=ODX

所以四邊形。為平行四邊形，所以0E//"E

又因為O￡u平面4EG,9尸（2平面AEG

所以鼻尸//平面AEG；

⑵以A為坐標原點，AB,AD,AA,為坐標軸建立空間直角坐標系，如圖所示

則4(0,0,0),C,(2,2,2),￡(2,1,0),A,(0,0,2)

則乖=(2,1-2),EC}=(0,1,2),AC,=(2,2,2)

設平面AEG的法向量“=(X1,x,馬)

\n.LA.E2x,+x-2Z]=0

則上2L=

X+24=0

[4!EC]

玉:=2

令Z]=1,貝!!<y=-2，貝娠=(2,-2,1)

.4=1

設直線AC與平面AEG所成的角為。，

I〃i?ACj2G

則sin0=

|^||ACJ-3x2^~-9

(3)在(2)建立的空間直角坐標系中，設平面4AG的法向量后=(%,為，Z2)

&_LAA

則2__L=>2z,=0

2X+2y2+2Z=0

丐_LAC]22

=-1

令丫2=1，貝U%=1，貝耳=(-l』,0)

?2=0

設二面角為a，根據(jù)(2)有

勺?〃2-2-2

cosa=一二=---產(chǎn)—,所以sina=

|n1||n213xV233

【歸納總結】本題考查空間立體幾何中線面位置關系以及空間線面角，二面角的求解，由于本題有

優(yōu)良的建立空間直角坐標系的條件，所以直接借助坐標系解決即可.

22

18.（本小題滿分15分）已知橢圓「+與=1（。＞匕＞0）的右焦點為F,上頂點為B,離心率為

a~b~

竽,且忸耳=石.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線/與橢圓有唯一的公共點"，與y軸的正半軸交于點N，過N與8/垂直的直線交x

軸于點P,若MP//BF,求直線/的方程

【思路分析】（1）先由忸目的長求出a,再結合離心率求

出c,根據(jù)〃=4-°2,求出段,即得橢圓方程.（2）解

法一：由題設直線/的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程組，解

得直線的求出點N坐標.根據(jù)直線NP1BF,得直線NP

方程.進而求出點P坐標，根據(jù)MP//3尸建立M點橫

縱坐標間的關系，再聯(lián)立加點橫縱坐標的方程組，即可解,

得M點，從而解出直線/的方程；解法二：根據(jù)求導得直/V°夕

線/方程，根據(jù)點用求出點P坐標，根據(jù)列出

點M橫縱坐標間的關系，再聯(lián)立點用橫縱坐標的方程組，

即可解得M點，從而解出直線/的方程；解法三;由題設直

線I的方程，求出點N坐標根據(jù)直線NP1所,得直線

NP方程.進而求出點P坐標，根據(jù)MP//BF建立點M.橫縱坐標間的關系，再聯(lián)立點橫

縱坐標的方程組，即可解得點，從而解出直線/.的方程；

【解析】（郭倩老師解析）⑴記半焦距為c.,根據(jù)忸目=yj0B2+0F2=y/b2+c2=a.,

得a=G,由離心率e=￡=述.，得c=2,所以〃=〃一/=],

a5

丫2

所以橢圓方程為《+丁=1

《2=ic

（2）解法一：（郭倩老師解析）由題知直線聯(lián)立方程組y）一"得

y-kx^m.

(l+5Z:2)x2+10)tmr+5w2-5=0

因為直線/與橢圓有唯一的公共點M,所以?=0,化簡得病一5二一I=o①

V=+772

由方程組J；_0'解得），=小，因此點N坐標為（0,m）

因為3（0,1）,尸（2,0）,所以直線的斜率為言=-/,

因為NP與BF垂直的直線交x軸于點P,所以NPLBF,

根據(jù)兩直線垂直斜率之積為-1,可得直線NP斜率為2,

因為N（0,根），所以直線NP方程為y=2x+機,因為直線NP交x軸于點P,

由方程組P'=2x+〃入解得x=_：,因此點P坐標為1-go],

y=0,2I2）

因為MP//BF,所以直線MP與直線B尸的斜率相等，所以直線MP的斜率為,

2

直線MP方程為y=+

5m

=-如+卦解得「”

一-4%+2'

聯(lián)立方程組

-km+2m

y=kx+m,%：

4k+2

5m-km+2m

因此點M坐標為

4Z+2'4Z+2

（5m>2

I44+2（—+

將M點坐標代入橢圓方程得14k產(chǎn)+::=1②

5I4Z+2J

1c=1k=1

①②解得；或’廣（因為直線/與y軸的正半軸交于點N舍去）

m=V6,[m=—v6,

所以，直線/方程為y=x+C

解法二:（郭倩老師解析）直線/與橢圓相切于點M,設〃（%,%）（%>0）,

2IT

因為橢圓方程為：+V=1,則y=,

所以）/=-一^==_二,直線/與橢圓相切于點M

5FT"

所以直線/方程為

因為點N在），軸的正半軸，所以設點N坐標為N（0,。

2

因為點N在直線/上，所以"％=二②

5%

因為B（0,l）,E（2,0）,所以直線B尸的斜率為E=—g，

因為N與3尸垂直的直線交x軸于點P,所以NPLBF,

根據(jù)兩直線垂直斜率之積為-1,可得直線NP斜率為2,

因為N（（）,。,所以直線NP方程為y=2x+f,因為直線NP交x軸于點P

由方程組卜=2，+''解得'=一!，因此點P坐標為,01

Iy=0,2I2）

因為M/7/BF,NPLBF,所以NPLMP

NP與垂直，所以N戶1MA,因為標=（一|■，一,，麗=

所以NP^MP=0，化簡得t=-2x0-4y0③

將③代入②化簡得%=-5%④,點在橢圓上滿足2-+%2=1⑤

f5底

第—_____

聯(lián)立④⑤得“￡

_V6

所以，直線/方程為曠=工+逐

解法三：（郭倩老師解析）直線/與橢圓相切于點M，設M（6為）（%>°），則/+%?=1,

則直線/方程為今x+%y=l，因為直線/與）軸的正半軸交于點N,

X0y|_11（1A

由方程組｛5VV一‘解得），=—,因此點N坐標為0—

x=o,%i

因為B（0,l）,F（2,0）,所以直線Bb的斜率為言=-3，

因為N與BF垂直的直線交x軸于點P,所以NPLBF,

根據(jù)兩直線垂直斜率之積為-1,可得直線NP斜率為2,

C11

因為N0,—，所以直線NP方程為y=2x+—,因為直線NP交X軸于點P

Iy0）%

c17、

y—2xH---,i（1

由方程組為解得》=-丁，因此點P坐標為-

因為MP//BF,所以直線MP與直線BF的斜率相等

,直線Bb的斜率為-工

直線MP的斜率為一4一0、=—

I1）12

I2y（J2yo

-,整理得+4城+1=0,化簡得/=f。2T①

所以一1T-

22%

xo+

2%

576

~6~

因為點M（玉”為）滿足［1+%2=1②，聯(lián)立①②解得，

男

%=

6

所以，直線/方程為曠=》+后

【歸納總結】解決直線與橢圓的位置關系問題問題，首先要適當設直線的方程，進而求出相應點的

坐標，根據(jù)題中幾何關系聯(lián)立方程或方程組求解.

19.（本題滿分15分）已知也｝是公差為2的等差數(shù)列，其前8項的和為64.但｝是公比大于0的

等比數(shù)列，4=4,4一仇=48.

（I）求｛%｝和也｝的通項公式；

（n）記c,=wN*.

a

ak+

（i）證明｛q,2-C2n｝是等比數(shù)列；（ii）證明XJf'<2V2.

*=1Nq—，2k

【思路分析】本題主要考查等差、等比數(shù)列的求和以及數(shù)列的綜合應用.

（I）根據(jù)題中已知條件，利用公式求出數(shù)列的通項公式。

（n）根據(jù)匕｝的定義將（I）所求｛4｝和也｝代入%,

2

（i）根據(jù)｛q,｝的通項公式求出｛qj-c2n｝的通項公式，根據(jù)等比數(shù)列的定義判斷｛c,,-c2n｝是等比

數(shù)列；

（iiaf"+'，匕｝的前〃項和I,,則可將其放縮得到/“<V2~，再構造數(shù)列=9，

Vc?-c2?22

nGN*,利用錯位相減法求出｛/｝的前n項和/??,可以判斷出R?<2.從而得到

7；〈夜?凡<20.

【解析】：（遼寧沈陽賀雷穎老師解析）（1）設｛q｝的公差為d,｛《,｝的前〃項和為S",｛4｝的公

比為q（q>0）.

由題意得a=2,縱=64,根據(jù)等差數(shù)列前〃項和公式得S8=84+28d=64,

整理得2q+7d=16①，將d=2代入①得，6=1,；.凡=1+2（〃-1）=2〃-1,neN*.

根據(jù)題中a=4,4-d=48,由等比數(shù)列通項公式得，姐2-3=48②,將仿=4代入②得，

4q2-4q=48，化簡彳導/—q-12=0,即（q_4）（q+3）=0，二q=4或q=—3

?.?q>0