2017-2018學(xué)年人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-3全冊(cè)同步練習(xí)題集解析版

2017^2018學(xué)年人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-3

全冊(cè)同步訓(xùn)練題匯編

目錄

第一章計(jì)數(shù)原理.................................................................1

1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理....................................1

第1課時(shí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理...........................1

1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理................................4

第2課時(shí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用....................4

1.2排列與組合.............................................................8

1.2.1排列第1課時(shí)排列與排列數(shù)公式.................................8

1.2排列與組合......................................................12

1.2.1排列第2課時(shí)排列的綜合應(yīng)用..................................12

1.2排列與組合......................................................16

1.2.2組合第1課時(shí)組合與組合數(shù)公式................................16

1.2排列與組合......................................................19

1.2.2組合第2課時(shí)組合的綜合應(yīng)用..................................19

1.3二項(xiàng)式定理............................................................22

1.3.1二項(xiàng)式定理......................................................22

1.3.2"楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)....................................26

第二章隨機(jī)變量及其分布........................................................30

2.1離散型隨機(jī)變量及其分布列.............................................30

2.1.1離散型隨機(jī)變量..................................................30

2.1.2離散型隨機(jī)變量的分布列第1課時(shí)離散型隨機(jī)變量的分布列.......33

2.1.2離散開明隨機(jī)變量的分布列第2課時(shí)兩點(diǎn)分布與超幾何分布.......38

2.2二項(xiàng)分布及其應(yīng)用......................................................43

2.2.1條件概率........................................................43

2.2.2事件的相互獨(dú)立性................................................47

2.2.3獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布..........................................52

2.3離散型隨機(jī)變量的均值與方差...........................................57

2.3.1離散型隨機(jī)變量的均值...........................................57

2.3.2離散型隨機(jī)變量的方差...........................................61

2.4正態(tài)分布..............................................................66

第三章統(tǒng)計(jì)案例................................................................70

3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用.......................................70

第1課時(shí)線性回歸模型................................................70

第2課時(shí)線性回歸分析................................................77

3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用.....................................83

第一章計(jì)數(shù)原理

1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

第1課時(shí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

A級(jí)基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

1.某學(xué)生去書店，發(fā)現(xiàn)2本好書，決定至少買其中一本，則購(gòu)買方式共有（）

A.1種B.2種C.3種D.4種

解析：分兩類：買1本或買2本書，各類購(gòu)買方式依次有2種、1種，故購(gòu)買方式共有

2+1=3（種）.故選C.

答案：C

2.現(xiàn)有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長(zhǎng)褲，如果一條長(zhǎng)褲與一件上衣配成一

套，則不同的配法有（）

A.7種B.12種C.64種D.81種

解析：要完成配套，分兩步：第一步，選上衣，從4件中任選一件，有4種不同的選法;

第二步，選長(zhǎng)褲，從3條長(zhǎng)褲中任選一條，有3種不同選法.故不同取法共有4X3=12（種）.

答案：B

3.將3張不同的奧運(yùn)會(huì)門票分給10名同學(xué)中的3人，每人1張，則不同分法的種數(shù)是

（）

A.2160B.720C.240D.120

解析：第1張門票有10種分法，第2張門票有9種分法，第3張門票有8種分法，由

分步乘法計(jì)數(shù)原理得分法共有10X9X8=720（種）.

答案：B

4.已知兩條異面直線a,6上分別有5個(gè)點(diǎn)和8個(gè)點(diǎn)，則這13個(gè)點(diǎn)可以確定不同的平

面?zhèn)€數(shù)為（）

A.40B.16C.13D.10

解析：分兩類情況討論.第一類，直線a分別與直線6上的8個(gè)點(diǎn)可以確定8個(gè)不同的

平面；第二類，直線6分別與直線a上的5個(gè)點(diǎn)可以確定5個(gè)不同的平面.根據(jù)分類加法計(jì)

數(shù)原理知，8+5=13（個(gè)），即共可以確定13個(gè)不同的平面.

答案：C

5.從集合｛0,1,2,3,4,5,6｝中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)a,6組成復(fù)數(shù)a+反，其

中虛數(shù)有（）

1

A.30個(gè)B.42個(gè)C.36個(gè)D.35個(gè)

解析：要完成這件事可分兩步，第一步確定6（6力0）有6種方法，第二步確定a有6種

方法，故由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有虛數(shù)6X6=36（個(gè)）.

答案：C

二、填空題

6.加工某個(gè)零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有

4人，從中選3人每人做一道工序，則選法有種.

解析：選第一、第二、第三道工序各一人的方法數(shù)依次為5,6,4,由分步乘法計(jì)數(shù)原

理知，選法總數(shù)為1=5X6X4=120（種）.

答案：120

7.三名學(xué)生分別從計(jì)算機(jī)、英語(yǔ)兩學(xué)科中選修一門課程，不同的選法有種.

解析：由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的選法有臚=2X2X2=2：'=8（種）.

答案：8

8.一學(xué)習(xí)小組有4名男生、3名女生，任選一名學(xué)生當(dāng)數(shù)學(xué)課代表，共有一種

不同選法；若選男女生各一名當(dāng)組長(zhǎng)，共有種不同選法.

解析：任選一名當(dāng)數(shù)學(xué)課代表可分兩類，一類是從男生中選，有4種選法；另一類是從

女生中選，有3種選法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同選法共有4+3=7（種）.

若選男女生各一名當(dāng)組長(zhǎng)，需分兩步：第1步，從男生中選一名，有4種選法；第2

步，從女生中選一名，有3種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同選法共有4X3=12（種）.

答案：712

三、解答題

9.若x,yWN*,且試求有序自然數(shù)對(duì)（x,力的個(gè)數(shù).

解：按x的取值進(jìn)行分類：

x=l時(shí)，y=l,2,…，5,共構(gòu)成5個(gè)有序自然數(shù)對(duì)；

x=2時(shí)，y=l,2,4,共構(gòu)成4個(gè)有序自然數(shù)對(duì)；

x=5時(shí)，y=l,共構(gòu)成1個(gè)有序自然數(shù)對(duì).

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，有序自然數(shù)對(duì)共有A-5+4+3+2+1=15（個(gè)）.

10.現(xiàn)有高一四個(gè)班的學(xué)生34人，其中一、二、三、四班分別有7人、8人、9人、10

人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組.

（1）選其中一人為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？

（2）每班選一名組長(zhǎng)，有多少種不同的選法？

（3）推選兩人做中心發(fā)言，這兩人需來(lái)自不同的班級(jí)，有多少種不同的選法？

解：（D分四類.第一類，從一班學(xué)生中選1人，有7種選法；第二類，從二班學(xué)生中

2

選1人，有8種選法；第三類，從三班學(xué)生中選1人，有9種選法；第四類，從四班學(xué)生中

選1人，有10種選法.

所以，共有不同的選法*=7+8+9+10=34（種）.

（2）分四步.第?、第二、第三、第四步分別從一、二、三、四班學(xué)生中選一人任組長(zhǎng).所

以共有不同的選法47X8X9X10=5040（種）.

（3）分六類，每類又分兩步.從一、二班學(xué)生中各選1人，有7X8種不同的選法；從一、

三班學(xué)生中各選1人，有7X9種不同的選法；從一、四班學(xué)生中各選1人，有7X10種不

同的選法；從二、三班學(xué)生中各選1人，有8義9種不同的選法；從二、四班學(xué)生中各選1

人,有8X10種不同的選法；從三、四班學(xué)生中各選1人，有9X10種不同的選法.

所以，共有不同的選法47X8+7X9+7X10+8X9+8X10+9X10=431（種）.

B級(jí)能力提升

1.某班小張等4位同學(xué)報(bào)名參加/、B.C三個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)

小組，且小張不能報(bào)】小組，則不同的報(bào)名方法有（）

A.27種B.36種

C.54種D.81種

解析：除小張外，每位同學(xué)都有3種選擇，小張只有2種選擇，所以不同的報(bào)名方法有

3X3X3X2=54（種）.

答案：C

2.有三個(gè)車隊(duì)分別有4輛、5輛、5輛車，現(xiàn)欲從其中兩個(gè)車隊(duì)各抽取一輛車外出執(zhí)行

任務(wù)，設(shè)不同的抽調(diào)方案數(shù)為力，則〃的值為.

解析：不妨設(shè)三個(gè)車隊(duì)分別為甲、乙、丙，則分3類.甲、乙各一輛共4X5=20（種）；

甲、丙各一輛共4X5=20（種）；乙、丙各一輛共5X5=25（種），所以共有20+20+25=

65（種）.

答案：65

3.乒乓球隊(duì)的10名隊(duì)員中有3名主力隊(duì)員，派5名參加比賽，3名主力隊(duì)員要安排

在第一、三、五位置，其余7名隊(duì)員中選2名安排在第二、四位置，求不同的出場(chǎng)安排共有

多少種.

解：按出場(chǎng)位置順序逐一安排：

第一位置有3種安排方法；

第二位置有7種安排方法；

第三位置有2種安排方法；

第四位置有6種安排方法；

第五位置有1種安排方法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的出場(chǎng)安排方法有3X7X2X6X1=252（種）.

3

1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

第2課時(shí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

A級(jí)基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

1.植樹節(jié)那天，四位同學(xué)植樹，現(xiàn)有3棵不同的樹，若一棵樹限1人完成，則不同的

植樹方法種數(shù)有（）

A.1X2X3B.2X3X4

C.3'D.43

解析：完成這件事分三步.第一步，植第一棵樹，有4種不同的方法；第二步，植第二

棵樹，有4種不同的方法；第三步，植第三棵樹，也有4種不同的方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原

理得：A=4X4X4=4\故選D.

答案：D

2.從1,2,3,4,5五個(gè)數(shù)中任取3個(gè)，可組成不同的等差數(shù)列的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.4

C.6D.8

解析：分兩類：第一類，公差大于0,有以下4個(gè)等差數(shù)列：①1,2,3,②2,3,4,

③3,4,5,④1,3,5：第二類，公差小于0,也有4個(gè).根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，可

組成的不同的等差數(shù)列共有4+4=8（個(gè)）.

答案：D

3.從集合｛1,2,3｝和｛1,4,5,6｝中各取1個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則在直角坐標(biāo)系中

能確定不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.12B.11

C.24D.23

解析：先在｛1,2,3｝中取出1個(gè)元素，共有3種取法，再在｛1,4,5,6｝中取出1個(gè)

元素，共有4種取法，取出的2個(gè)數(shù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)有2種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知不同

的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有A-3X4X2=24（個(gè)）.又點(diǎn)（1,1）被算/兩次，所以共有24—1=23（個(gè)）.

答案：D

4.已知xG｛2,3,7｝,yG｛-31,—24,4｝,則孫可表示不同的值的個(gè)數(shù)是（）

A.1+1=2B.1+1+1=3

C.2X3=6D.3X3=9

解析：x,y在各自的取值集合中各選一個(gè)值相乘求積，這件事可分兩步完成.第一步,

“在集合｛2,3,7｝中任取個(gè)值有3種方法；第二步，y在集合｛-31,-24,4｝中任取一

4

個(gè)值有3種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同值有3X3=9（個(gè)）.

答案：D

5.用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

A.20B.16

C.14D.12

解析：因?yàn)樗奈粩?shù)的每個(gè)位數(shù)上都有兩種可能性（取2或3）,其中四個(gè)數(shù)字全是2或3

的不合題意，所以適合題意的四位數(shù)共有2X2X2X2—2=14（個(gè)）.

答案：C

二、填空題

6.3位旅客投宿到1個(gè)旅館的4個(gè)房間（每房間最多可住3人）有種不同的住

宿方法.

解析：分三步，每位旅客都有4種不同的住宿方法，因而共有不同的方法4X4X4=^

=64（種）.

答案：64

7.甲、乙、丙3個(gè)班各有三好學(xué)生3,5,2名，現(xiàn)準(zhǔn)備推選2名來(lái)自不同班的三好學(xué)

生去參加校三好學(xué)生代表大會(huì)，共有_______種不同的推選方法.

解析：分為三類：

第一類，甲班選一名，乙班選一名，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，選法有3X5=15（種）；

第二類，甲班選一名，丙班選一名，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，選法有3X2=6（種）；

第三類，乙班選一名，丙班選一名，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，選法有5X2=10（種）.

綜合以上三類，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同選法共有15+6+10=31（種）.

答案：31

8.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，要求每人

參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面.不同的安排方法共有

種.

解析?：分三類.若甲在周一，則乙、丙的排法有4X3=12（種）；

若甲在周二，則乙、丙的排法有3義2=6（種）；

若甲在周三，則乙、丙的排法有2X1=2（種）.

所以不同的安排方法共有12+6+2=20（種）.

答案：20

三、解答題

9.某單位職工義務(wù)獻(xiàn)血，在體檢合格的人中，0型血的共有28人，A型血的共有7人，

B型血的共有9人，AB型血的共有3人.

（1）從中任選1人去獻(xiàn)血，有多少種不同的選法？

5

（2）從四種血型的人中各選1人去獻(xiàn)血，有多少種不同的選法？

解：從0型血的人中選1人有28種不同的選法，從A型血的人中選1人有7種不同的

選法，從B型血的人中選1人有9種不同的選法，從AB型血的人中選1人有3種不同的選

法.

（1）任選1人去獻(xiàn)血，即無(wú)論選哪種血型的哪一個(gè)人，“任選1人去獻(xiàn)血”這件事情都可

以完成，所以用分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的選法有28+7+9+3=47（種）.

（2）要從四種血型的人中各選1A，即從每種血型的人中各選出1人后，“各選1人去獻(xiàn)

血”這件事情才完成，所以用分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法有28X7X9X3=5292（種）.

10.8張卡片上寫著0,1,2,…，7共8個(gè)數(shù)字，取其中的三張卡片排放在一起，可

組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？

解：先排百位數(shù)字，從1,2,7共7個(gè)數(shù)字中選一個(gè)，有7種選法；再排十位數(shù)字,

從除去百位數(shù)字外，剩余的7個(gè)數(shù)字（包括0）中選一個(gè)，有7種選法；最后排個(gè)位數(shù)字，從

除前兩步選出的數(shù)字外，剩余的6個(gè)數(shù)字中選一個(gè)，有6種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，

共可以組成的不同三位數(shù)有7X7X6=294（個(gè)）.

B級(jí)能力提升

1.將1,2,3,…，9這9個(gè)數(shù)字填在如圖的9個(gè)空格中，要求每一行從左到右，每一

列從上到下分別依次增大.當(dāng)3,4固定在圖中的位置時(shí)，填寫空格的方法有（）

解析：因?yàn)槊恳恍袕淖蟮接遥恳涣袕纳系较路謩e依次增大，1,2,9只有一種填法，

5只能填在右上角或左下角，5填好后與之相鄰的空格可填6,7,8任一個(gè)；余下兩個(gè)數(shù)字

按從小到大只有一種方法.結(jié)果共有2X3=6（種），故選A.

答案：A

2.把9個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1,2,3的三個(gè)箱子里，要求每個(gè)箱子放球的個(gè)數(shù)不

小于其編號(hào)數(shù)，則不同的放球方法共有種.

解析：分四類：第一個(gè)箱子放入1個(gè)小球，將剩余的8個(gè)小球放入2,3號(hào)箱子，共有

4種放法；第一個(gè)箱子放入2個(gè)小球，將剩余的7個(gè)小球放入2,3號(hào)箱子，共有3種放法;

第一個(gè)箱子放入3個(gè)小球，將剩余的6個(gè)小球放入2,3號(hào)箱子，共有2種放法；第一個(gè)箱

子放入4個(gè)小球則共有I種放法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理共有10種情況.

答案：10

3.某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如圖所示的6個(gè)點(diǎn)兒B,C,

4,臺(tái)，G上各裝一個(gè)燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少

6

用一個(gè)的安裝方法共有多少種？

C

AiBi

解：第一步，在點(diǎn)4,B”G上安裝燈泡，4有4種方法，笈有3種方法，G有2種方

法，4X3X2=24,即共有24種方法.

第二步，從4B,C中選一個(gè)點(diǎn)安裝第4種顏色的燈泡，有3種方法.

第三步，再給剩余的兩個(gè)點(diǎn)安裝燈泡，共有3種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，安裝

方法共有4X3X2X3X3=216（種）.

7

1.2排列與組合

1.2.1排列第1課時(shí)排列與排列數(shù)公式

A級(jí)基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

1.從集合｛3,5,7,9,11｝中任取兩個(gè)元素：①相加可得多少個(gè)不同的和？②相除可

22

得多少個(gè)不同的商？③作為橢圓當(dāng)+看=1中的a,b,可以得到多少個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓

ab

22

方程？④作為雙曲線當(dāng)一名=1中的a,b,可以得到多少個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程？

ab

上面四個(gè)問(wèn)題屬于排列問(wèn)題的是（）

A.①②③④B.②④C.②③D.①?

解析：因?yàn)榧臃M足交換律，所以①不是排列問(wèn)題；除法不滿足交換律，如鼻所以

35

②是排列問(wèn)題.

//V2

若方程表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，則必有a,。的大小一定；在雙曲線F

aba

2

一方=1中不管a>6還是a<b,方程均表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，且是不同的雙曲線.故

③不是排列問(wèn)題，④是排列問(wèn)題.

答案：B

A.12B.24C.30D.36

解析：A?=7X6Ah屋=6A!,所以寫位=爺=36.

答案：D

3.北京、上海、香港三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線，需要準(zhǔn)備不同的飛機(jī)票的種數(shù)為（）

A.3B.6C.9D.12

解析：這個(gè)問(wèn)題就是從北京、上海、香港三個(gè)民航站中，每次取出兩個(gè)站，按照起點(diǎn)站

在前、終點(diǎn)站在后的順序排列，求一共有多少種不同的排列.

起點(diǎn)站終點(diǎn)站匕機(jī)票

上海北京一上海

北京

香港北京一香港

8

北京上海一北京

上海

香港上海一香港

北京香港一北京

香港

上海香港一上海

答案：B

4.若從6名志愿者中選出4名分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購(gòu)、保潔四項(xiàng)不同的工作，則

選派方案有（）

A.180種B.360種

C.15種D.30種

解析：由排列定義知選派方案有限=6X5X4X3=360（種）.

答案：B

5.用1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）

A.24個(gè)B.30個(gè)C.40個(gè)D.60個(gè)

解析：將符合條件的偶數(shù)分為兩類：一類是2作個(gè)位數(shù)，共有解個(gè)，另一類是4作個(gè)位

數(shù)，也有個(gè).因此符合條件的偶數(shù)共有M+M=24（個(gè)）.

答案：A

二、填空題

6.若A：0=10X9X…X5,則加=.

解析:由10—（勿一1）=5,得0=6.

答案：6

7.現(xiàn)有8種不同的菜種，任選4種種在不同土質(zhì)的4塊地上，有______種不同的種

法（用數(shù)字作答）.

解析：將4塊不同土質(zhì)的地看作4個(gè)不同的位置，從8種不同的菜種中任選4種種在4

塊不同土質(zhì)的地上，則本題即為從8個(gè)不同元素中任選4個(gè)元素的排列問(wèn)題.所以不同的種

法共有A；=8X7X6X5=1680（種）.

答案:1680

8.從2,3,5,7中每次選出兩個(gè)不同的數(shù)作為分?jǐn)?shù)的分子、分母，則可產(chǎn)生不同的分

數(shù)的個(gè)數(shù)是一，其中真分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)是一.

解析：第一步：選分子，可從4個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)作分子，共有4種不同選法：第二步:

選分母，從剩下的3個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)作分母，有3種不同選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，

不同選法共有4X3=12（種），其中真分?jǐn)?shù)有1共6個(gè).

357577

答案：126

三、解答題

9

9.求下列各式中〃的值：

（l）90A>A；,；

⑵曲二=42A”

解：（1）因?yàn)?0A：=A：,

所以90n（n—1）=n（n—1）（/?—2）（/?—3）.

所以一―5〃+6=90.

所以（〃-12）（z?+7）=0.

解得〃=一7（舍去）或77=12.

所以滿足90A：=A：的n的值為12.

nI

（2）由A4：二：=42AW,得吃一太丁?（77-4）!=42（〃-2）!.

（〃一4）!

所以n（n-l'）=42.

所以n2—77—42—0.解得〃=—6（舍去）或n—7.

10.用1,2,3,4,5,6,7這七個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).

（1）能被5整除的四位數(shù)有多少個(gè)？

（2）這些四位數(shù)中偶數(shù)有多少個(gè)？

解：（1）能被5整除的數(shù)個(gè)位必須是5,故有屋=120（個(gè)）.（2）偶數(shù)的個(gè)位數(shù)只能是2,

4,6,有4種排法，其他位上有鼠種排法，由乘法原理知，四位數(shù)中偶數(shù)共有A；氏=360（個(gè)）.

B級(jí)能力提升

1.滿足不等式§>12的"的最小值為（）

A//

A.12B.10C.9D.8

771（n~~~5）?

解析：由排列數(shù)公式得十一,：>12,即（〃一5）（〃-6）>12,解得〃>9或〃V2.

又〃》7,所以〃>9.又〃GN*,所以〃的最小值為10.

答案：B

2.從集合｛0,1,2,5,7,9,11｝中任取3個(gè)元素分別作為直線方程/x+"+C=0

中的系數(shù)力，B,C,所得直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的有條.

解析：易知過(guò)原點(diǎn)的直線方程的常數(shù)項(xiàng)為0,則0=0,再?gòu)募现腥稳蓚€(gè)非零元素作

為系數(shù)4B,有晨種.

所以符合條件的直線有或=30（條）.

答案:30

3.一條鐵路線原有小個(gè)車站，為了適應(yīng)客運(yùn)需要，新增加了〃〃GN*）個(gè)車站，

因而客運(yùn)車票增加了58種，問(wèn)：原來(lái)這條鐵路線有多少個(gè)車站？現(xiàn)在又有多少個(gè)車站？

解：原有"/個(gè)車站，所以原有客運(yùn)車票A制，現(xiàn)有（力+就個(gè)車站，所以現(xiàn)有客運(yùn)車票

10

A■科.

所以解+LA：=58,

所以（〃+加（〃+m—1）一勿（加-1）=58.

即2〃加十刀”一〃=58,

即〃（2加+〃-1）=29X2=1X58.

由于〃，2%+〃一1均為正整數(shù)，故可得方程組

/?=29,(〃=2,

①或②{

2%+〃-1=22〃?+普一1=29

〃=1,f77=58,

或③或④

2朋+n—1=58〔2/+n—1=1.

方程組①與④不符合題意.

解方程組②得勿=14,〃=2,解方程組③得加=29,77=1.

所以原有14個(gè)車站，現(xiàn)有16個(gè)車站或原有29個(gè)車站，現(xiàn)有30個(gè)車站.

11

1.2排列與組合

1.2.1排列第2課時(shí)排列的綜合應(yīng)用

A級(jí)基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

1.A,B,C,D,￡五人并排站成一行，如果4,8必須相鄰且8在/的右邊，那么不同

的排法種數(shù)是（）

A.6B.24C.48D.120

解析：把48視為一人，且6固定在［的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全排列，排法共

有A：=24（種）.

答案：B

2.用數(shù)字1,2,3,4,5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字，并且比20000大的五位偶數(shù)共有（）

A.48個(gè)B.36個(gè)C.24個(gè)D.18個(gè)

解析：個(gè)位數(shù)字是2的有3&=18（個(gè)），個(gè)位數(shù)字是4的有3屈=18（個(gè)），所以共有36

個(gè).

答案：B

3.甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法

有（）

A.6種B.12種

C.24種D.30種

解析：首先甲、乙兩人從4門課程中同選1門，有4種方法；其次從剩余3門中任選2

門進(jìn)行排列，排列方法有收=6（種）.于是，甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法共有

4X6=24（種）.

答案：C

4.3張卡片正反面分別標(biāo)有數(shù)字1和2,3和4,5和7,若將3張卡片并列組成一個(gè)三

位數(shù)，可以得到不同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.30B.48C.60D.96

解析：“組成三位數(shù)”這件事，分2步完成：第1步，確定排在百位、十位、個(gè)位上的

卡片，即為3個(gè)元素的一個(gè)全排列解；第2步，分別確定百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字，各有

2種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可以得到不同的三位數(shù)有A；X2X2X2=48（個(gè)）.

答案：B

5.生產(chǎn)過(guò)程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中

安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩名工人中安排1人，第四道工序只

12

能從甲、丙兩名工人中安排1人，則不同的安排方案共有（）

A.24種B.36種

C.48種D.72種

解析：分類完成.第1類，若甲在第一道工序，則丙必在第四道工序，其余兩道工序無(wú)

限制，有苗種排法；第2類，若甲不在第一道工序（此時(shí)乙一定在第一道工序），則第四道工

序有2種排法，其余兩道工序有A；種排法，有2A；種排法.

由分類加法計(jì)數(shù)原理得，不同的安排方案共有A：+2解=36（種）.

答案：B

二、填空題

6.若把英語(yǔ)單詞“error”的字母順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有______種.

解析：As—1=19.

答案：19

7.把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品6相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品。不相鄰，則

不同的擺法有_一種.

解析：先考慮產(chǎn)品4與6相鄰，把46作為一個(gè)元素有5種方法，而48可交換位置，

所以擺法有2A：=48（種）.

又當(dāng)/、8相鄰又滿足4、C相鄰，擺法有2底=12（種）.

故滿足條件的擺法有48—12=36（種）.

答案：36

8.在所有無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，千位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大2的數(shù)共有—

個(gè).

解析：千位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大2,有8種可能，即（2,0）,（3,1）,…，（9,7）,前一

個(gè)數(shù)為千位數(shù)字，后一個(gè)數(shù)為個(gè)位數(shù)字，其余兩位無(wú)任何限制.所以共有8解=448（個(gè)）.

答案：448

三、解答題

9.7人站成一排.

（1）甲、乙、丙排序一定時(shí)，有多少種排法？

（2）甲在乙的左邊（不一定相鄰）有多少種不同的排法？

解析：（1）法一7人的所有排列方法有A；種，其中甲、乙、丙的排序有A：種，又已知甲、

乙、丙排序一定，

所以甲、乙、丙排序一定的排法共有$=840（種）.

n3

法二（插空法）7人站定7個(gè)位置，只要把其余4人排好，剩下的3個(gè)空位，甲、乙、

丙就按他們的順序去站，只有一種站法，故排法有A；=7X6X5X4=840（種）.

13

（2）“甲在乙的左邊”的7人排列數(shù)與“甲在乙的右邊”的7人排列數(shù)相等，而7人的

排列數(shù)恰好是這二者之和，因此滿足條件的排法有1;=2520（種）.

10.一場(chǎng)晚會(huì)有5個(gè)演唱節(jié)目和3個(gè)舞蹈節(jié)目，要求排出一個(gè)節(jié)目單.

（1）3個(gè)舞蹈節(jié)目不排在開始和結(jié)尾，有多少種排法？

（2）前4個(gè)節(jié)目要有舞蹈節(jié)目，有多少種排法？

解：（D先從5個(gè)演唱節(jié)目中選兩個(gè)排在首尾兩個(gè)位置有店種排法，再將剩余的3個(gè)演

唱節(jié)目，3個(gè)舞蹈節(jié)目排在中間6個(gè)位置上有Al種排法,故共有不同排法AU：=1440（種）.

（2）先不考慮排列要求，有腰種排列，其中前4個(gè)節(jié)目沒有舞蹈節(jié)目的情況，可先從5

個(gè)演唱節(jié)目中選4個(gè)節(jié)目排在前四個(gè)位置，然后將剩余四個(gè)節(jié)目排列在后四個(gè)位置，有A，：

種排法，所以前四個(gè)節(jié)目要有舞蹈節(jié)目的排法有A；—A；A；=37440（種）.

B級(jí)能力提升

1.在航天員進(jìn)行的一項(xiàng)太空試驗(yàn)中，要先后實(shí)施6個(gè)程序，其中程序4只能出現(xiàn)在第

一步或最后一步，程序8和C在實(shí)施時(shí)必須相鄰，則試驗(yàn)順序的編排方法共有（）

A.24種B.48種

C.96種D.144種

解析：本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問(wèn)題，由題意知程序4只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，所以

從第一個(gè)位置和最后一個(gè)位置中選一個(gè)位置排編排方法有*=2（種）.因?yàn)槌绦?和C

在實(shí)施時(shí)必須相鄰，所以把6和「看作一個(gè)元素，同除A外的3個(gè)元素排列，注意6和。

之間有2種排法，即編排方法共有A/=48（種）.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，編排方法共有

2X48=96（種）,故選C.

答案：C

2.三個(gè)人坐在一排八個(gè)座位上，若每人的兩邊都要有空位，則不同的坐法種數(shù)為

解析：“每人兩邊都有空位”是說(shuō)三個(gè)人不相鄰，且不能坐兩頭，可視作5個(gè)空位和3

個(gè)人滿足上述兩要求的一個(gè)排列，只要將3個(gè)人插入5個(gè)空位形成的4個(gè)空當(dāng)中即可.所以

不同坐法共有A；=24（種）.

答案：24

3.用1,2,3,4,5,6,7排成無(wú)重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)，按下述要求各有多少個(gè)？

（1）偶數(shù)不相鄰；

（2）偶數(shù)一定在奇數(shù)位上；

（3）1和2之間恰好夾有一個(gè)奇數(shù)，沒有偶數(shù).

解：（1）用插空法，共有A；解=1440（個(gè)）.

（2）先把偶數(shù)排在奇數(shù)位上有A；種排法，再排奇數(shù)有A；種排法.

14

所以共有A匍=576（個(gè)）.

（3）1和2的位置關(guān)系有A舜中，在1和2之間放一個(gè)奇數(shù)有A；種方法，把I,2和相應(yīng)奇

數(shù)看成整體再和其余4個(gè)數(shù)進(jìn)行排列有/種排法，所以共有A米氏=720（個(gè)）.

15

1.2排列與組合

1.2.2組合第1課時(shí)組合與組合數(shù)公式

A級(jí)基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

1.從10個(gè)不同的數(shù)中任取2個(gè)數(shù)，求其和、差、積、商這四個(gè)問(wèn)題，屬于組合的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

解析：因?yàn)闇p法、除法運(yùn)算中交換位置，對(duì)結(jié)果有影響，所以屬于組合的有2個(gè).

答案：B

2.已知平面內(nèi)/、B、C、〃這4個(gè)點(diǎn)中任何3點(diǎn)均不共線，則由其中任意3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)

的所有三角形的個(gè)數(shù)為（)

A.3B.4C.12D.24

解析：C<=CJ=4.

答案：B

3.集合仁{x|x=C；,〃是非負(fù)整數(shù)},集合B={1,2,3,4},則下列結(jié)論正確的是（）

A.4U8={0,1,2,3,4}B.64

c./ns={i,4}1).AQB

解析：依題意，C'；中，〃可取的值為1,2,3,4,所以4={1,4,6},所以{AQ{1,

4).

答案：C

4.下列各式中與組合數(shù)㈤相等的是（）

n

A.步TB.——C：m_

n—m

c.cL

(〃一1)!n\

解析：因智％=告,所以選項(xiàng)B正確.

(〃一加一1)!(n—/n)!

答案：B

5.5+以+d+…+僚=()

A.Ci5B.CieC.Ci7D.C；7

解析：原式=C；+C，+C；H---bC；6=C；+C；d---PC：6=C；+點(diǎn)+…+C：6=~=C；6+C：6=C；7.

答案：c

二、填空題

6.化簡(jiǎn)：或一C3+C：=

16

解析：d-c3+C=(比+c：)-c3=c3-c3=o.

答案：o

7.已知圓上有9個(gè)點(diǎn)，每?jī)牲c(diǎn)連一線段，則所有線段在圓內(nèi)的交點(diǎn)最多有個(gè).

解析：此題可化歸為圓上9個(gè)點(diǎn)可組成多少個(gè)四邊形，所以交點(diǎn)最多有C；=126(個(gè)).

答案：126

8.從一組學(xué)生中選出4名學(xué)生當(dāng)代表的選法種數(shù)為A,從這組學(xué)生中選出2人擔(dān)任正、

DO

副組長(zhǎng)的選法種數(shù)為6,若7=口，則這組學(xué)生共有_______人.

n1o

A2O

解析：設(shè)有學(xué)生〃人，則注=百，解之得〃=15.

答案：15

三、解答題

9.解不等式：2C：U<3C=：.

解：因?yàn)?c為V3C，：,

所以2c3<3圖、

2X(x-\-1)x(x-1)(x+1)X

所以<3X

3X2義]2X1~,

LL…X