全國(guó)卷理科數(shù)學(xué)高考題整理

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的。

1.已知集合4={幻％<1},5={x|3'<1},則

A.A8={x|x<()}B.A5=R

C.AB={x|x>1}D.AB=0

2.如圖，正方形ABC。內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代太極圖.正方形內(nèi)切圓

中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱(chēng).在正方形

內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是

71

AB.—

-78

71

D.—

I4

3.設(shè)有下面四個(gè)命題

19

Pl：若復(fù)數(shù)Z滿足一ER,則ZWR；p2：若復(fù)數(shù)z滿足Z2￡R,則Z￡R；

z

〃3：若復(fù)數(shù)4*2滿足z-eR,則Z1=Z2；“4：若復(fù)數(shù)zeR,則

其中的真命題為

A.PLB?〃|,〃4C.〃2，〃3D-〃2，〃4

4.記5“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.若2+%=24，S6=48,貝1]｛凡｝的公差為

A.1B.2C.4D.8

5.函數(shù)/(X)在(F,4W)單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若/⑴=-1,貝ij滿足一l〈/(x-2)4l

的X的取值范圍是

A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]

(1+｝)(1+幻6展開(kāi)式中丁的系數(shù)為

6.

A.15B.20C.30D.35

7.某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰

直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2,俯視圖為等腰直角三角形.該多

面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為

A.10

B.12

C.14

D.16

8.右面程序框圖是為了求出滿足3〃-2〃>10()0的最小偶

數(shù)〃，那么在。>和口兩個(gè)空白框中，可以分別填入

A.A>1000和〃=〃+1

B.4>1000和力=〃+2

C.A<1000和〃=〃+1

D.4<1000和〃=〃+2

r\

9.己知曲線G:y=cosx,。？：>=sin(2x+g),則下

面結(jié)論正確的是

A.把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移￡個(gè)

6

單位長(zhǎng)度，得到曲線C?

B.把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移聯(lián)

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線G

c.把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的1倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移B個(gè)

單位長(zhǎng)度，得到曲線

D.把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的;倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移三

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線。2

10.已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線4,4,直線4與C交

于/、8兩點(diǎn)，直線右與C交于以E兩點(diǎn),則+l應(yīng)1的最小值為

A.16B.14C.12D.10

11.設(shè)孫z為正數(shù)，且2、=3'=5二，則

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y

C.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

12.幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件。為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，

他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的

答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一項(xiàng)

是2°,接下來(lái)的兩項(xiàng)是2°,2、再接下來(lái)的三項(xiàng)是2°,2122,依此類(lèi)推。求滿足如下條

件的最小整數(shù)N:N＞100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)事。那么該款軟件的激活碼是

A.440B.330C.220D.110

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量a,方的夾角為60°,|a|=2,|引=1,貝U|a+2b\=.

x+2y＜\

14.設(shè)滿足約束條件＜2x+yN-l,則z=3x-2y的最小值為.

x—y40

22

15.己知雙曲線C:[—與=1（。＞0力＞0）的右頂點(diǎn)為4以4為圓心，8為半徑做圓4,

crb2

圓A與雙曲線。的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)。若NM4N=60，則C的離心率為

16.如圖，圓形紙片的圓心為。，半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形1%的中心為。。D、

E、尸為圓。上的點(diǎn)，叢DBC,/XECA,△必6分別是以6GCA,46為底邊的等腰三角形。

沿虛線剪開(kāi)后，分別以BC,CA,48為折痕折起△2%,XECA,叢FAB,使得D、E、F

重合，得到三棱錐。當(dāng)?shù)倪呴L(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：cm：'）的最大值為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17?21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

（-）必考題：共60分。

〃2

17.（12分）△48C的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知的面積為----

3sinA

（1）求sinBsinC；

（2）若6cos3cosc=l,a=3,求△45C的周長(zhǎng).

18.（12分）

如圖，在四棱錐尸%%》中，AB//CD,且NBAPuNCDPugO.

(1)證明：平面PABV平面PAD；

(2)若陽(yáng)=吩/廬〃GAAPD=90,求二面角/H呀。的余弦值.

19.(12分)

為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)

零件，并測(cè)量其尺寸(單位：cm).根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生

產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(〃,cr2).

(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記才表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(〃-3b,〃+3cr)

之外的零件數(shù)，求P(X21)及X的數(shù)學(xué)期望；

(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(〃-3b,〃+3b)之外的零件，就認(rèn)為這

條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.

(i)試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性；

(ii)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

經(jīng)計(jì)算得釬記、=9.97,s=一元＞=-(￡%,2-16x2)2?0.212.

i=lV1。j=]Vf=i

其中X,.為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i=1,2,…,16.

用樣本平均數(shù)萬(wàn)作為〃的估計(jì)值A(chǔ),用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為。的估計(jì)值方，利用估計(jì)值

判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔除(4-33,。+33)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)

估計(jì)〃和cr(精確到0.01).

附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(M，b2),則P(〃—3b<Z<〃+3cr)=0.9974,

0.997416=0.9592,J0.008?0.09.

20.(12分)

22/o

已知橢圓a5+與=1(a〉6>0),四點(diǎn)A(1,1),R(0,1),8(-1,—),月(1,

a2b22

—)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.

(1)求C的方程;

(2)設(shè)直線,不經(jīng)過(guò)月點(diǎn)且與C相交于48兩點(diǎn)。若直線8/與直線88的斜率的和為

-1,證明：/過(guò)定點(diǎn).

21.(12分)

己知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x

(1)討論/(x)的單調(diào)性;

(2)若/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第

一題計(jì)分。

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

f丫=3ccsf)

在直角坐標(biāo)系X0中，曲線。的參數(shù)方程為一’(8為參數(shù))，直線，的參數(shù)方

［y=sin0,

程為F=“+4%為參數(shù)).

(1)若干-1,求c與/的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)若C上的點(diǎn)到/的距離的最大值為折，求a.

23.［選修4—5：不等式選講］(10分)

已知函數(shù)/(x)=-x2+or+4,g(x)=|x+l|+|x-l|

(1)當(dāng)〃=1時(shí)，求不等式f(x)2g(x)的解集；

(2)若不等式/*(*)2g(外的解集包含［-1,1］,求a的取值范圍.

2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A2.B3.B4.C5.D6.C

7.B8.D9.D10.A11.D12.A

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

0/o__

13.25/314.1515.----16.5cm3

3

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題，

每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(一)必考題：共60分。

2

17.(12分)△4?。的內(nèi)角兒B,C的對(duì)邊分別為&b,c,已知的面積為，一

3sinA

(1)求sin咫inC;

(2)若6cos氏ost^L斫3,求的周長(zhǎng).

解：⑴

由題設(shè)得a

,ocsinB=即一csinB

23sinA23sinA

IqinA

由正弦定理得一sinCsinB=--------

23sinA

2

故sin5sinC=一。

3

(2)

由題設(shè)及(1)得cosBcosC-sinjBsinC=-;，即cos(B+C)=-；

71

所以3+C='，故A=X

33

由題設(shè)得，/?csinA='一，即從=8

23sinA

由余弦定理得^+c2-兒=9,即S+c)2-3bc=9,得6+，=屈

故A4BC的周長(zhǎng)為3+而

18.(12分)解:

（1）由已知NR4P=NCOP=90,得ABJ.AP,CDLPD

由于A8//C。，故ABLP。，從而AB_L平面PA。

又A8u平面PA8,所以平面PA8_L平面PAD

（2）在平面PAD內(nèi)作P尸，AD,垂足為尸.

由（1）可知，A3,平面PA。，故ABLPF,

可得Pf"L平面ABC。....

以尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，E4的方向?yàn)閄軸正方向，|48|為單

位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系尸-型

由（1）及已知可得4（立,0,0）,P（0,0,立）,8（受,1,0）,。（—也,1,0）

2222

所以PC=（-立,1,一也）,CB=（及,0,0）,PA=（也,0,——）,AB=（0,1,0）

2222

設(shè)〃=（x,y,z）是平面PC6的法向量，則

4242

n-PC=Q,x+yz=0,

即《2----2

nCB=0

y=0

可取〃=(0,-1,_揚(yáng)

設(shè)加=（x,y,z）是平面P4B的法向量，則

[3及

m?PA=0,xz=0n,

即12----2

m-AB=0

y=0

可取加=(1,0,1)

n-m上

則cos<n,m>-

1721|m|3

所以二面角A-PB-C的余弦值為一J以3

3

19.（12分）解：

（1）抽取的一個(gè)零件的尺寸在（〃-3b,〃+3b）之內(nèi)的概率為0.9974,從而零件的尺寸在

(〃-3cr,〃+3b)之外的概率為0.0026,故X?5(16,0.0026),因此

P<X>l)=l-P(X=0)=1-0.997416x0.0408

X的數(shù)學(xué)期望為EX=16x0.0026=0.0416

(2)(i)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在(〃-3b,〃+3cr)之外的概率只有0.0026,

一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在(〃-3b,〃+3。)之外的零件的概率只有

0.0408,發(fā)生的概率很小。因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在

這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查，可見(jiàn)上

述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法是合理的。

(ii)由元=9.97,SH0.212,得〃的估計(jì)值為4=9.97,。的估計(jì)值為3=0.212,

由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在(A-33,。+33)之外，因此需對(duì)當(dāng)天

的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查。

易惜(。-3d,。+33)之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

'(16x9.97-9.22)=10.02

因此〃的估計(jì)值為10.02

16

%,2=16x0.2122+16x9.972?1591.134

i=l

剔除("-3d,。+36)之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為

p(1591.134-9.222-15xl0.022)?0.008

因此b的估計(jì)值為J0.008?0.09

20.(12分)解：

(1)由于《兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故由題設(shè)知。經(jīng)過(guò)巴,巴兩點(diǎn)

1113

又由j?+病知，c不經(jīng)過(guò)點(diǎn)耳，所以點(diǎn)鳥(niǎo)在c上

因此，解得卜：=4

La=1小=1

4b2

故C的方程為二+V=1

4'

(2)設(shè)直線鳥(niǎo)A與直線￡8的斜率分別為4,6

如果/與x軸垂直，設(shè)=由題設(shè)知且|，|<2,可得A,B的坐標(biāo)分別為

V4-/2，4一1

。，氣一），（「逐一）

則/人"匚-立方=4得=2,不符合題設(shè)

、X

從而可設(shè)/:y=丘+/篦(mwl),將》=丘+加代入---Fy7=1得

4

(4%2+l)x2+8kmx+4m2-4=0

2

由題設(shè)可知A=16(4左2-m+l)>0

8km4m2-4

設(shè)4%,乂）,8（%2，%），則%+工2=一4FTT,%I%2=4^71

而—生11+止1

xxx2

kxx-^m-\^kx2-\rm-\

工2

2kxix?+(m-1)(%)+x2)

XxX2

由題設(shè)K+左2=—1，故（2攵+1）%工2+（加一1）（%+%2）=0

即含=。

解得人=_生±1

2

+1

當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)＞一1時(shí)，A＞0,于是/：y=------x+m,

2

所以/過(guò)定點(diǎn)（2,-1）

21.（12分）解:

(1)f(x)的定義域?yàn)?TO,+oo),fr(x)=2ae2x+(〃-2)ex-1=(aex-1)(2^A+1)

⑴若aVO,則尸（x）＜0,所以/⑴在（-oo,+oo）單調(diào)遞減

(ii)若。>0,則由/(%)=0的x=-Ina

當(dāng)xe(-co,-Ina)時(shí),f\x)<0；

當(dāng)xw(-Ina,")時(shí)，fr(x)>0

所以f（x）在（-8,-lna）單調(diào)遞減，在（-Ina,+8）單調(diào)遞增。

(2)(i)若。40,由(1)知，/(%)至多有一個(gè)零點(diǎn)

(ii)若。>0,由(1)知，當(dāng)x=—In。時(shí)，/(x)取得最小值，最小值為

f(-\na)=1---bin。

a

①當(dāng)。=1時(shí)，由于/(一lna)=0,故/(x)只有一個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)?！?1,+8)時(shí)，由于1一1+111。>0,即/(—lna)>0,故/(1)沒(méi)有零

a

點(diǎn)；

③當(dāng)ae(0,l)時(shí)，l—’+lna<0,即/(—lna)<0又

a

又/(—2)=aeY+(a-2)e-2+2>—2e-2+2>0,故/(x)在(-oo,—lna)有一

個(gè)零點(diǎn)。

設(shè)正整數(shù)"o滿足%>ln(3-l),

a

則f(%)=d"(ciek+a-2)-n^-%>2%-4>0

3

由于ln(——1)>-lncz,因此/(x)在(-Ina,+8)有一個(gè)零點(diǎn)

a

綜上，。的取值范圍為(0,1)

22.解：

下2

(1)曲線C的普通方程為互+y2=1,

當(dāng)。=一1時(shí)，直線/的普通方程為x+4y—3=0

21

x+4y-3=0,x=--

、=3，或25

由<x2,解得＜

——+y2=1y=024

19-y=-

-25

2124

從而。與/的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),

2525

(2)直線/的普通方程為x+4y—a-4=0,故C上的點(diǎn)(3cos6,sin夕)到/的距離為

13cos，+4sin6-a-4|

d=

歷

。+9由題設(shè)得竿2=J萬(wàn)，所以。=8；

當(dāng)。2—4時(shí):d的最大值為

而‘V17

當(dāng)。<-4時(shí)，d的最大值為二善，由題設(shè)得二胃=J萬(wàn)，所以”=一16

V17V17

綜上，。=8或。=-16

23.解：

(1)當(dāng)。=1時(shí)，不等式/(x)Ng(x)等價(jià)于

X2-X+|X+1|+|X-1|-4<0①

當(dāng)了<—1時(shí)，①式化為12一3%—440,無(wú)解;

當(dāng)—時(shí)，①式化為次?—%—240,從而一

當(dāng)%>1時(shí)，①式化為/+工一4?0,從而l<x?二I+五

2

所以/(x)>g(x)的解集為｛xI—1Kx<-：亞)

(2)當(dāng))時(shí),g(x)=2

所以/(x)>g(x)的解集包含［—1,1］,等價(jià)于當(dāng)XG［-1,1］時(shí)f(x)>2

又/(x)在［-1,1］的最小值必為了(一1)與/⑴之一，所以/(一1)22且/(1)22,得

所以。的取值范圍為［-1,1］

絕密★啟用前

2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(全國(guó)卷2)

理科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域

內(nèi)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě),

字體工整，筆跡清楚

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;

在草稿紙、試卷上答題無(wú)效

4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

L*()

1+i

A.14-2zB.1—2zC.2+iD.2—i

2.設(shè)集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若4B={1},則3=()

A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}

3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共

燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層

中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()

A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞

4.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由

一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()

A.90乃B.63乃C.42萬(wàn)D.36萬(wàn)

'2x+3y-3<0

5.設(shè)x,y滿足約束條件2x—3y+320,則z=2x+y的最小值是（）

y+3>0

A.-15B.-9C.1D.9

6.安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安

排方式共有（）

A.12種B.18種C.24種D.36種

7.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢(xún)問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī).老師說(shuō)：你們四人中有2

位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī).看

后甲對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī).根據(jù)以上信息，則（）

A.乙可以知道四人的成績(jī)B.丁可以知道四人的成績(jī)

C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)D.乙、丁可以知道自己的成績(jī)

8.執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的。=-1,則輸出的5=（）

A.2

B.3

C.4

I）.5

尤2V2

9.若雙曲線C:與一二=1（。＞0,匕＞0）的一條漸近線被圓

ab"

（x—2y+y2=4所截得的弦長(zhǎng)為2,則C的離心率為（）

A.2B.G

C15n2g

7zu.----

3

10.已知直三棱柱ABC—44cl中，NABC=120,AB=2,BC=CC,=1,則異面直

線AB1與BJ所成角的余弦值為（）

G布加6

n.D.C.-----D.

2553

11.若x=—2是函數(shù)/（幻=（/+6—的極值點(diǎn)，則/（幻的極小值為（）

A.-1B.—2e3C.D.1

12.已知A48c是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則P4?（PB+PC）的

最小值是()

34

A.-2B.--C.——D.-1

23

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X

表示抽到的二等品件數(shù)，則DX=.

l3r7r~\

14.函數(shù)/(x)usin?x+6以光龍(xe0,—)的最大值是.

n1

15.等差數(shù)列也｝的前項(xiàng)和為S,，4=3,$4=10,則工一=________.

*=iS為

16.已知F是拋物線C：丁=8%的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若

M為FN的中點(diǎn)，貝"KV|=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、解答過(guò)程或演算步驟。第17?21題為必做題，

每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(-)必考題：共60分。

17.(12分)

AABC的內(nèi)角A、B、。所對(duì)的邊分別為已知sin(A+C)=8sin25,

(1)求cos8；

(2)若a+c=6,A4BC的面積為2,求b.

18.(12分)

海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100

個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)某頻率分布直方圖如下：

(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg,

新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，估計(jì)A的概率;

(2)填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān):

箱產(chǎn)量V50kg箱產(chǎn)量250kg

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值(精確到0.01)

P(K2>fc)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

19.(12分)

如圖，四棱錐P-A6C0中，側(cè)面PA。為等比三角形且垂直于底面ABC。,

AB=BC=-AD,ZBAD=ZABC=90",E是尸。的中點(diǎn).

2

(1)證明：直線CE//平面用6

(2)點(diǎn)”在棱PC上，且直線3M與底面ABC。所成角為45°,求二面角

A3—。的余弦值

20.(12分)

設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C:E+y2=l上，過(guò)例做1軸的垂線，垂足

2

為N,點(diǎn)P滿足=

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)設(shè)點(diǎn)。在直線％=-3上，且OP?PQ=1.證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線/過(guò)

C的左焦點(diǎn)F.

21.(12分)

已知函數(shù)—ax—xlnx,且/(%)之0。

(1)求a；

(2)證明：/(x)存在唯一的極大值點(diǎn)不，且e=</(毛)<2-2.

(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，按所做的第一

題計(jì)分。

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

在直角坐標(biāo)系宜力中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，

曲線G的極坐標(biāo)方程為QCOS。=4.

(1)M為曲線G上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足10Ml“OP|=16,求點(diǎn)尸的

軌跡的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(2,工)，點(diǎn)8在曲線G上，求A0A6面積的最大值.

23.［選修4-5：不等式選講］(10分)

已知a>0,匕>0,。3+。3=2,證明：

(1)(a++戶(hù))24；

(2)a-\-b<2.

2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試全國(guó)卷2

理科數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題：

1.D2.C3.B4,B5.A6.D

7.D8,B9.A10.C11.A12.B

二、填空題：

2n

13.1.9614.115.16.6

〃+1

三、解答題：

17.(12分)解:

(1)由題設(shè)及A+B+C=萬(wàn)得sin8=8sin2O,故

2

sinB=4(1-cosB)

上式兩邊平方，整理得17cos28—32COS5+15=0

解得cosB=l(舍去)，cosB=—

17

(2)由cosB=-sinB=—,故S^=-acsinB=-uc

1717ARr217

17

又與18c=2,則ac=5

由余弦定理及a+c=6得

b2-a2+c2—2accosB={a+c)2-2ac(l+cosB)

1715

=36-2x—x(l+—)=4

217

所以力=2

18.(12分)

解：

(1)記8表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50依”，C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不

低于50kg”.

由題意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C)

舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50版的頻率為

(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)x5=0.62,

故P(8)的估計(jì)值為0.62

新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg的頻率為

(0.068+0.046+0.010+0.008)x5=0.66,

故P(C)的估計(jì)值為0.66

因此，事件A的概率估計(jì)值為0.62x0.66=0.4092

(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表

箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量250kg

舊養(yǎng)殖法6238

新養(yǎng)殖法3466

2200x(62x66-34x38)2

一_100x100x96x104

由于15.705>6.635,故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)。

(3)因?yàn)樾吗B(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于50版的直方圖面積為

(0.004+0.020+0.044)x5=0.34<0.5,

箱產(chǎn)量低于55依的直方圖面積為

(O.(X)4+0.020+0.044+0.068)x5=0.68>0.5,

故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值為

0.5-0.34

50+?52.35(&g)

0.068

19.(12分)

解：

(1)取PA的中點(diǎn)/，連接ERBE,

因?yàn)?是2。的中點(diǎn)，

所以EE//AD,EF=-AD

2

得BC//AD,

又BC=LAD,

2

所以EF&BC,

四邊形BCEF是平行四邊形，CE//BF,

又BRu平面PAB,CE(z平面PAB,

故CE//平面PAB

(2)由已知得BALA。，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的方向?yàn)閤軸正方向，|48|為單位長(zhǎng),

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,則

A(0,0,0),3(1,0,0),C(l,1,0),P(0,1,垂)),

PC=(1,0,M),AB=(1,0,0)

設(shè)M(x,y,z)(0<x<1),則

BM=(x-l,y,z),PM=(x,y—l,z—A/3)

因?yàn)?M與底面A5CO所成的角為45,而

n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量，

|z|_V2

所以|cos<BM,n>|=sin45

7(x-l)2+y2+z22

即(x-l)2+y2_z2=0①

又M在棱PC上，設(shè)則

x=A,y=1,z=\[3—也九②

16

x=l+——”=r，

2

由①，②解得4y=i,(舍去)，<y=1,

屈V6

Z=-------z=—~?

22

所以M(l—,從而AM(1—

設(shè)加=(與,％,z0)是平面A3"的法向量，則

mAM=0,f(2->/2)xo+2jo+V6zo)=O,

<即V

mAB=0,[x0=°，

所以可取加=(0,—6,2),

工日mnV10

于是cos<m,n>=--------=------

|772||n|5

因此二面角M-AB-D的余弦值為?

5

20.(12分)

解：

⑴設(shè)P(x,y),M(x0,y0),

則N(%,0),NP=(x-x.,y),NM=(0,%)

由NP=6，NM得xa=x,yQ=y

22

因?yàn)椤?%0，%)在C上，所以、+：=l

因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=2

(2)由題意知尸(一1,0)

設(shè)Q(—3,，),P(相,〃)，則

OQ=(—3,t),PF=(―1—m,—77),OQPF=3+3m—tn,

OP=("%ri),PQ=(—3—m,t—ri)

由OQPQ=1得—3m—病+tn—n2=1

又由(1)知1“+”2=2,故

3+3m-t〃=0

所以O(shè)QPF=0,即OQ_LP/<

又過(guò)點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ,

所以過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線/過(guò)C的左焦點(diǎn)F.

21.(12分)

解:

(1)/(x)的定義域?yàn)?0,+oo)

設(shè)g(x)=ox-a—Inx,則/0)=空(》),70)20等價(jià)于8(1)20

因?yàn)間(l)=0,g(x)20,

故g'(D=0，

而g'(x)=a-Lg'⑴=a-1,

x

得Q=1

若。=1,則短(x)=l_L

X

當(dāng)0cx<1時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)工>1時(shí)，g'(%)>0,g(x)單調(diào)遞增

所以工二1是g(x)的極小值點(diǎn)，故g(x)Ng(l)=0

綜上，a=1

(2)由(1)知/(x)=x2-x-xlnx,fr(x)=2x-2-]nx

設(shè)/z(x)=2x-2—Inx,則h'(x)=2--

x

當(dāng)％w(0,g)時(shí)，hr(x)<0；當(dāng)xw(；,+oo)時(shí)，hr(x)>0.

所以〃(X)在(0-)單調(diào)遞減，在(L+8)單調(diào)遞增.

22

又力("2)>0,/?(；)<0,久1)=0,所以〃(x)在(0,；)有唯一零點(diǎn)七，在，,十因有唯

一零點(diǎn)1,且當(dāng)X￡(0,%0)時(shí)，h(x)>0;當(dāng)X￡(Xo，l)時(shí)，h(x)<0;當(dāng)X￡(l,+oo)

時(shí)，h(x)>0.

因?yàn)?'。)=版元)，所以x=不是/O)的唯一極