第十三章位移法

建筑力學(xué)授課單位：土木工程學(xué)院主講教師：王海東副教授建筑力學(xué)主講教師：王海東副教授當(dāng)前1頁，總共60頁。第十三章位移法

當(dāng)前2頁，總共60頁。13.1等截面單跨超靜定梁的桿端內(nèi)力、轉(zhuǎn)角方程力法和位移法是求解超靜定結(jié)構(gòu)的兩種基本方法力法：普遍適用，隨著混凝土結(jié)構(gòu)的發(fā)展，高次超靜定剛架出現(xiàn)，計(jì)算過于麻煩。結(jié)構(gòu)在外力作用下，內(nèi)力和位移存在對(duì)應(yīng)關(guān)系。力法——多余未知力作為基本未知量，列位移協(xié)調(diào)方程，求出內(nèi)力——最后求出位移。

位移法——某些結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量，列靜力平衡方程，求出結(jié)點(diǎn)位移——最后求出內(nèi)力。當(dāng)前3頁，總共60頁?；仡櫫Ψㄋ悸罚海?）解除多余約束代以基本未知力，確定基本結(jié)構(gòu)；（2）分析基本結(jié)構(gòu)在未知力和“荷載”共同作用下的變形，消除與原結(jié)構(gòu)的差別，建立力法典型方程；核心是化未知為已知（3）求解未知力，將超靜定結(jié)構(gòu)化為靜定結(jié)構(gòu)。當(dāng)前4頁，總共60頁。AB桿端內(nèi)力、位移的符號(hào)規(guī)定：

●桿端彎矩:MAB表示AB桿A端的彎矩。繞桿端順時(shí)針為正（繞結(jié)點(diǎn)逆時(shí)針為正）

●

桿端剪力：繞隔離體順時(shí)針轉(zhuǎn)為正(同前)。

●

結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角：以順時(shí)針轉(zhuǎn)為正。

●

桿端的相對(duì)線位移：使桿件弦轉(zhuǎn)角順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正。A′B′AB△ABABMABMBA當(dāng)前5頁，總共60頁。

用力法求解超靜定梁的桿端內(nèi)力

●

三種基本超靜定桿件：

●用力法求得單位支座移動(dòng)時(shí)的桿端內(nèi)力，即形常數(shù)。●用力法求出荷載作用下桿件的固端內(nèi)力，即載常數(shù)。當(dāng)前6頁，總共60頁。一、荷載作用下的桿端彎矩和剪力

ABLabPn=3選取簡(jiǎn)支梁為基本結(jié)構(gòu)PX1X2X3基本結(jié)構(gòu)典型方程為11X1+12X2+13X3+△1P=021X1+22X2+23X3+△2P=031X1+32X2+33X3+△3P=011MP圖P3=0,故13=31=23=32=△3P=0則典型方程第三式為33X3=033≠0(因X3的解唯一)故作基本結(jié)構(gòu)各和MP圖由于X3=0M圖11X1+12X2+△1P=021X1+22X2+△2P=0由圖乘法求得代入典型方程(消去公因子)得解得代入典型方程解得作彎矩圖。按式??當(dāng)前7頁，總共60頁。當(dāng)前8頁，總共60頁。二、支座移動(dòng)引起的桿端彎矩和剪力

原結(jié)構(gòu)基本結(jié)構(gòu)當(dāng)前9頁，總共60頁。ΔθAθB用力法求解單跨超靜定梁X1X2Δ1/l1/lX2=112M1MX1=11令當(dāng)前10頁，總共60頁。32

1FQBAFQABMBAMAB桿端剪力桿端彎矩梁的簡(jiǎn)圖序號(hào)4i2i當(dāng)前11頁，總共60頁。654FQBAFQABMBAMAB桿端剪力桿端彎矩梁的簡(jiǎn)圖序號(hào)000當(dāng)前12頁，總共60頁。ABLEIFA′B′AB△ABAB選取基本結(jié)構(gòu)如圖。FX1X2多余未知力為X1、X2。力法典型方程:11X1+12X2+△1P+△1△=A21X1+22X2+△2P+△2△=B計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)，作、、MP圖。圖1圖1MP圖XAXB，，△ABAB由圖知AB稱為弦轉(zhuǎn)角，順時(shí)針為正。三、等截面直桿桿端力的一般算式-轉(zhuǎn)角位移方程

當(dāng)前13頁，總共60頁。將以上系數(shù)和自由項(xiàng)代入典型方程，可解得X1=X2=令稱為桿件的線剛度。MAB=4iA+2iB－MBA=4iB+2iA－式中兩端固定梁僅由荷載、溫度變化等作用下的桿端彎矩,稱為固端彎矩。令MAB=X1，MBA=X2:1111當(dāng)前14頁，總共60頁。MAB=4iA+2iB__MBA=4iB+2iA__兩端固定梁桿端彎矩的一般公式，稱為轉(zhuǎn)角位移方程。對(duì)于一端固定另一端簡(jiǎn)支的等截面梁(見圖)，其轉(zhuǎn)角位移方程可由上式導(dǎo)出，B端鉸支，則:ABEIFlMBA=4iB+2iA__=0可見，B=f(A、△AB),不獨(dú)立,代入第一式:MAB=3iA（轉(zhuǎn)角位移方程）式中（固端彎矩）表明等直桿的桿端彎矩與荷載、桿端位移之間的關(guān)系.當(dāng)前15頁，總共60頁。AMAB幾種不同遠(yuǎn)端支座的剛度方程（1）遠(yuǎn)端為固定支座AMABMBA因B=0，代入(1)式可得（2）遠(yuǎn)端為固定鉸支座因MBA=0，代入(1)式可得AMABMBA（3）遠(yuǎn)端為定向支座因代入（2）式可得lEIlEIlEI當(dāng)前16頁，總共60頁。12．2位移法的基本概念一、超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算的總原則:

欲求超靜定結(jié)構(gòu)先取一個(gè)基本體系,然后讓基本體系在受力方面和變形方面與原結(jié)構(gòu)完全一樣。力法的特點(diǎn)：基本未知量——多余未知力；基本體系——靜定結(jié)構(gòu)；基本方程——位移條件（變形協(xié)調(diào)條件）位移法的特點(diǎn)：基本未知量——基本體系——基本方程——獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移平衡條件？一組單跨超靜定梁當(dāng)前17頁，總共60頁。位移法解超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，每根桿件都視為單跨超靜定梁?；窘Y(jié)構(gòu)是把每一根桿件都暫時(shí)變?yōu)槿惢境o定桿件。方法:

在每個(gè)剛結(jié)點(diǎn)上假想地加一個(gè)附加剛臂(僅阻止剛結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng));同時(shí),在有線位移的結(jié)點(diǎn)上加一個(gè)附加鏈桿(阻止結(jié)點(diǎn)移動(dòng))。二、基本結(jié)構(gòu)三、基本未知量位移法的基本未知量是各結(jié)點(diǎn)的角位移和線位移,計(jì)算時(shí)應(yīng)首先確定獨(dú)立的角位移和線位移數(shù)目。當(dāng)前18頁，總共60頁?，F(xiàn)通過一簡(jiǎn)單的例子來說明位移法求節(jié)點(diǎn)位移的基本原理。求如圖所示一兩跨連續(xù)梁，在集中力作用下的內(nèi)力圖。位移法求解時(shí)，在結(jié)點(diǎn)B處加一限制轉(zhuǎn)動(dòng)的約束，稱為角變約束，用符號(hào)表示。▲當(dāng)前19頁，總共60頁。加約束后，原兩跨連續(xù)梁變?yōu)?個(gè)單跨超靜定梁：梁AB為兩端固支；梁BC為一端固支一端鉸支。而B點(diǎn)處的角位移Z1即為本題中的位移法基本未知量。如何求Z1：1）求R1p：荷載作用下角變約束上產(chǎn)生的約束反力或反力矩。2）求Rz1：將角變約束轉(zhuǎn)動(dòng)一轉(zhuǎn)角Z1，使得結(jié)點(diǎn)B在基本結(jié)構(gòu)上的轉(zhuǎn)角與原結(jié)構(gòu)在荷載作用下的轉(zhuǎn)角相同，由此獲得約束反力矩Rz1。3）根據(jù)原結(jié)構(gòu)B點(diǎn)處約束反力矩為零建立位移法方程：Rz1+R1p=0當(dāng)前20頁，總共60頁。當(dāng)前21頁，總共60頁。

試用位移法計(jì)算圖(a)所示排架結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。

解：1)確定位移法基本未知量圖(b)

2)作出Mp、M1圖，求取系數(shù)及自由項(xiàng)當(dāng)前22頁，總共60頁。R1p=-3/8qhr11=6i/h2當(dāng)前23頁，總共60頁。

試用位移法計(jì)算圖(a)所示連續(xù)梁，并作梁的彎矩圖。

(a)當(dāng)前24頁，總共60頁。解1)確定位移法基本未知量圖(b)

2)寫出各桿端彎矩

(b)Z1當(dāng)前25頁，總共60頁。(c)(d)(e)Z1Z1當(dāng)前26頁，總共60頁。r11=7i

R1p=6kN.mZ1=-6/7i當(dāng)前27頁，總共60頁。一、獨(dú)立角位移數(shù)目同一剛結(jié)點(diǎn),各桿端轉(zhuǎn)角相等一個(gè)獨(dú)立的角位移未知量。固定支座處，轉(zhuǎn)角=0,已知量;鉸結(jié)點(diǎn)或鉸支座各桿端的轉(zhuǎn)角不獨(dú)立，不必作為基本未知量。獨(dú)立角位移數(shù)目=結(jié)構(gòu)剛結(jié)點(diǎn)的數(shù)目例如,圖示剛架123456獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)角位移數(shù)目為2。13．3位移法的基本未知量數(shù)目的確定當(dāng)前28頁，總共60頁。二、獨(dú)立線位移數(shù)目每一結(jié)點(diǎn)可能有水平和豎向兩個(gè)線位移。(受彎桿件略去軸向變形，彎曲變形微小，變形后長(zhǎng)度不變，每一受彎直桿=一個(gè)約束，可減少結(jié)點(diǎn)線位移數(shù)目)，結(jié)構(gòu)只有一個(gè)獨(dú)立線位移(側(cè)移)。1234564、5、6三個(gè)固定端均不動(dòng)，結(jié)點(diǎn)1、2、3均無豎向位移,又因兩根橫梁長(zhǎng)度不變，故三個(gè)結(jié)點(diǎn)均有相同的水平位移△

。F△△△(a)事實(shí)上，圖(a)所示結(jié)構(gòu)的獨(dú)立線位移數(shù)目，與圖(b)所示鉸結(jié)體系的線位移數(shù)目是相同的。因此，實(shí)用上為了能簡(jiǎn)捷地確定出結(jié)構(gòu)的獨(dú)立線位移數(shù)目，可以(b)將剛結(jié)點(diǎn)(包括固定支座)都變成鉸結(jié)點(diǎn),則使其成為幾何不變添加的最少鏈桿數(shù)，即為原結(jié)構(gòu)的獨(dú)立線位移數(shù)目。當(dāng)前29頁，總共60頁。線位移數(shù)也可以用幾何方法確定。140將結(jié)構(gòu)中所有剛結(jié)點(diǎn)和固定支座，代之以鉸結(jié)點(diǎn)和鉸支座，分析新體系的幾何構(gòu)造性質(zhì)，若為幾何可變體系，則通過增加支座鏈桿使其變?yōu)闊o多余聯(lián)系的幾何不變體系，所需增加的鏈桿數(shù)，即為原結(jié)構(gòu)位移法計(jì)算時(shí)的線位移數(shù)。當(dāng)前30頁，總共60頁。1.獨(dú)立角位移數(shù)目=結(jié)構(gòu)剛結(jié)點(diǎn)的數(shù)目2.獨(dú)立線位移數(shù)目=將剛結(jié)都變成鉸結(jié)后,使其成為幾何不變所需添加的最少鏈桿數(shù)注意:剛度=桿件所聯(lián)結(jié)的結(jié)點(diǎn),角位移相同;靜定部分的內(nèi)力直接由平衡方程求得,確定位移法基本未知量時(shí)無需再考慮;位移法的基本未知量個(gè)數(shù)與超靜定次數(shù)無關(guān).當(dāng)前31頁，總共60頁。練習(xí):確定獨(dú)立的位移數(shù)目:

靜定部分的位移不必作為基本未知量2角，n=2當(dāng)前32頁，總共60頁。6角2線，n=8當(dāng)前33頁，總共60頁。2線，n=2當(dāng)前34頁，總共60頁。當(dāng)前35頁，總共60頁。13．4位移法典型方程一、形成位移法基本結(jié)構(gòu)位移法解超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，每根桿件都視為單跨超靜定梁。基本結(jié)構(gòu)是把每一根桿件都暫時(shí)變?yōu)槿惢境o定桿件。123456例基本未知量3個(gè)。桿14,36:兩端固定桿12,23,25:一端固定一端鉸結(jié)當(dāng)前36頁，總共60頁?；窘Y(jié)構(gòu)

（5次超靜定）原結(jié)構(gòu)（4次超靜定）當(dāng)前37頁，總共60頁。二、位移法典型方程FL1234EI=常數(shù)基本未知量為:Z1、Z2。Z1Z2基本結(jié)構(gòu)如圖。(a)(b)基本結(jié)構(gòu)1234=Z1Z2?R1=0=0FR1—附加剛臂上的反力矩R2—附加鏈桿上的反力據(jù)疊加原理,=Z1?R211234?134F?R2P12234則有R1=R11+R12+R1P=0R2=R21+R22+R2P=0R22R2R12R11R1PZ2當(dāng)前38頁，總共60頁。R1=R11+R12+R1P=0R2=R21+R22+R2P=0第1個(gè)下標(biāo)——該反力的位置，第2個(gè)下標(biāo)——引起該反力的原因。設(shè)r11、r12——單位位移引起的剛臂上的反力矩；r21、r22——單位位移引起的鏈桿上的反力。這就是位移法的基本方程。物理意義：基本結(jié)構(gòu)在結(jié)點(diǎn)位移和荷載共同作用下，每一個(gè)附加約束中的附加反力矩或反力都應(yīng)等于零。r11Z1+r12Z2+R1P=0r21Z1+r22Z2+R2P=0則上式可寫成:當(dāng)前39頁，總共60頁。1342FMP圖R2PR1P以及載荷作用下的彎矩圖為計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)，繪出基本結(jié)構(gòu)在和MP圖：34213424i2i3ir22111121212??0???0r21r22R2Pr11=7i4i3i

r110r12R1P0r12=-6i/l2

R1P=Pl/8R2P=-P/2r21=-6i/l2

?3ir22=15i/l2

1當(dāng)前40頁，總共60頁。將系數(shù)和自由項(xiàng)代入典型方程:解得:正值，Z1、Z2與所設(shè)方向相同。由疊加法：如M31為:M圖1234P當(dāng)前41頁，總共60頁。對(duì)于具有n個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移的剛架，同樣可以建立n個(gè)方程：r11Z1+···+r1iZi+···+r1nZn+R1P=0····················································ri1Z1+···+riiZi+···+rinZn+RiP=0····················································rn1Z1+···+rniZi+···+rnnZn+RnP=0rii——主系數(shù)，恒正；rij(i≠j)——副系數(shù)；據(jù)反力互等定理，rij=rji;RiP——自由項(xiàng)。副系數(shù)和自由項(xiàng)可能為正、負(fù)或零。典型方程各系數(shù)都是單位位移引起附加約束上的反力(反力矩)，結(jié)構(gòu)剛度愈大，反力(反力矩)愈大，故稱為剛度系數(shù)。位移法也稱為剛度法。當(dāng)前42頁，總共60頁。13．5用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)

位移法計(jì)算步驟：1.確定基本未知量，附加約束形成基本結(jié)構(gòu)；2.建立位移法典型方程；3.作各圖、MP圖，求系數(shù)和自由項(xiàng)；4.解典型方程，得結(jié)點(diǎn)位移Zi；5.最后彎矩圖按疊加；6.內(nèi)力圖校核。當(dāng)前43頁，總共60頁。

試用位移法計(jì)算圖(a)所示剛架結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。

解1)確定位移法基本未知量圖(b)

2)畫出M1、M2及Mp圖當(dāng)前44頁，總共60頁。當(dāng)前45頁，總共60頁。用位移法計(jì)算圖示超靜定剛架，并作出此剛架的內(nèi)力圖。解：1.確定基本未知量此剛架有B、C兩個(gè)剛節(jié)點(diǎn)，所以有兩個(gè)轉(zhuǎn)角位移，分別記作Z1、Z22.將剛架拆成單桿

各桿的線剛度均相等當(dāng)前46頁，總共60頁。當(dāng)前47頁，總共60頁。試用位移法分析圖示剛架。（1）基本未知量（2）基本體系計(jì)算桿件線性剛度i，設(shè)EI0=1，則4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I04m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I0Δ

1Δ2Δ3Δ

1、

Δ2、Δ3當(dāng)前48頁，總共60頁。Δ

1=14m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2（3）位移法方程r111+r122+

r133+F1P=0

r211+r222+

r233+F2P=0

r311+r322+

r333+F3P=0

（4）計(jì)算系數(shù)：r11、r12、r13、r21、r22、r23、r31、k32、r333241.53r11=3+4+3=10r12=k21=2r13=k31=?ABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2Δ

2=134221r22=4+3+2=9r23=k32=?當(dāng)前49頁，總共60頁。Δ

3=14m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/21/21/29/89/8r33=(1/6)+(9/16)=35/48r31=k13=–9/8r32=k23=–1/2（5）計(jì)算自由項(xiàng)：F1P、F2P、F3P4m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2q=20kN/m(1/8)×20×42=40(1/12)×20×52=41.7F1P=40–41.7=–1.7F2P=41.7F3P=0當(dāng)前50頁，總共60頁。（6）建立位移法基本方程：（7）解方程求結(jié)點(diǎn)位移：（8）繪制彎矩圖ABCDFEM圖（kN?m）18.642.847.826.723.814.953.68.93.97（9）校核結(jié)點(diǎn)及局部桿件的靜力平衡條件的校核。當(dāng)前51頁，總共60頁。對(duì)稱結(jié)構(gòu)的計(jì)算PPMMQN對(duì)稱結(jié)構(gòu)在對(duì)稱荷載作用下變形是對(duì)稱的，其內(nèi)力圖的特點(diǎn)是：對(duì)稱結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱荷載作用下變形是反對(duì)稱的，其內(nèi)力圖的特點(diǎn)是：利用這些特點(diǎn)，可以取結(jié)構(gòu)的一半簡(jiǎn)化計(jì)算。NQ當(dāng)前52頁，總共60頁。一、單數(shù)跨(1)對(duì)稱荷載Δ1F1Pr11iBE2iAB4iABMPM1r11Δ1+F1P=0(2)反對(duì)稱荷載PPABCDEΔ1Δ2Δ3ABEl/2P反彎點(diǎn)ABZ3Δ1ABEl/2q當(dāng)前53頁，總共60頁。二、偶數(shù)跨(1)對(duì)稱荷載qqCCM=Q=0PPIN=0PP反彎點(diǎn)P無限短跨+P