2019版數(shù)學(xué)大江蘇專版：第八章 立體幾何與空間向量8.4 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§8。4直線、平面垂直的判定與性質(zhì)考情考向分析直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)是高考中的重點考查內(nèi)容，涉及線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定及其應(yīng)用等內(nèi)容．題型主要以解答題的形式出現(xiàn),解題要求有較強的推理論證能力,廣泛應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想．1．直線與平面垂直(1）定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α,直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么這條直線垂直于這個平面eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1(a，b?α，a∩b＝O,l⊥a,l⊥b））?l⊥α性質(zhì)定理如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1（a⊥α,b⊥α）)?a∥b2.直線和平面所成的角(1)定義平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線與這個平面所成的角．若一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角，若一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°的角．(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（0，\f(π，2)））.3．平面與平面垂直（1)二面角的有關(guān)概念①二面角：一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角；②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．(2）平面和平面垂直的定義如果兩個平面所成的二面角是直二面角，那么就說這兩個平面互相垂直．(3）平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β）)?α⊥β性質(zhì)定理如果兩個平面互相垂直,那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β，α∩β＝a，l⊥a））?l⊥α知識拓展重要結(jié)論（1）若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線（證明線線垂直的一個重要方法）．(2)垂直于同一條直線的兩個平面平行．（3）一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直．題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正確（請在括號中打“√”或“×”)(1）直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.(×）(2）垂直于同一個平面的兩平面平行．(×）(3)若α⊥β，a⊥β,則a∥α。(×)（4)若直線a⊥平面α,直線b∥α，則直線a與b垂直．（√）（5）若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥β。（×)題組二教材改編2．［P45練習(xí)T2]下列命題中正確的是________．(填序號）①如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β;②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β；③如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ;④如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β。答案①②③解析對于④,若平面α⊥平面β，則平面α內(nèi)的直線可能不垂直于平面β，即與平面β的關(guān)系還可以是斜交、平行或在平面β內(nèi)，①②③均是正確的．3．［P42習(xí)題T11,16]在三棱錐P－ABC中，點P在平面ABC中的射影為點O。（1)若PA＝PB＝PC，則點O是△ABC的________心;（2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點O是△ABC的________心．答案（1)外(2）垂解析（1）如圖1，連結(jié)OA,OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以O(shè)A＝OB＝OC，即O為△ABC的外心．(2）如圖2，延長AO,BO,CO分別交BC，AC,AB于H，D,G?！逷C⊥PA,PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，又AB?平面PAB，∴PC⊥AB，∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC,又CG?平面PGC,∴AB⊥CG，即CG為△ABC邊AB上的高．同理可證BD，AH分別為△ABC邊AC，BC上的高,即O為△ABC的垂心．題組三易錯自糾4．“直線l垂直于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線"是“l(fā)⊥α”的________條件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”）答案必要不充分解析這無數(shù)條直線可能是一組平行直線,此時l與α可能不垂直．5.如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中,點O，M，N分別是線段BD，DD1，D1C1的中點,則直線OM與AC，MN的位置關(guān)系是________．答案垂直解析因為DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，又因為AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，因為OM?平面BDD1B1，所以O(shè)M⊥AC。設(shè)正方體的棱長為2，則OM＝eq\r（1＋2）＝eq\r(3),MN＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2），ON＝eq\r（1＋4)＝eq\r(5),所以O(shè)M2＋MN2＝ON2，所以O(shè)M⊥MN。6。如圖所示，AB是半圓O的直徑，VA垂直于半圓O所在的平面，點C是圓周上不同于A，B的任意一點，M，N分別為VA，VC的中點,則下列結(jié)論正確的是________．（填序號)①MN∥AB;②平面VAC⊥平面VBC；③MN與BC所成的角為45°;④OC⊥平面VAC.答案②解析由題意得BC⊥AC，因為VA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以VA⊥BC。因為AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC.因為BC?平面VBC,所以平面VAC⊥平面VBC.故②正確．題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)典例（2017·蘇錫常鎮(zhèn)四市調(diào)研）如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C是菱形，AC1與A1C交于點O,E是棱AB上一點，且OE∥平面BCC1B1。（1）求證：E是AB的中點;（2)若AC1⊥A1B，求證：AC1⊥BC.證明(1)連結(jié)BC1,因為OE∥平面BCC1B1，OE?平面ABC1，平面BCC1B1∩平面ABC1＝BC1，所以O(shè)E∥BC1。因為側(cè)面AA1C1C是菱形，AC1∩A1C＝O,所以O(shè)是AC1的中點,所以eq\f(AE,EB)＝eq\f(AO，OC1)＝1，E是AB的中點．(2)因為側(cè)面AA1C1C是菱形,所以AC1⊥A1C,又AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C,A1B?平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC，又因為BC?平面A1BC，所以AC1⊥BC.思維升華證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；③面面垂直的性質(zhì)．（2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想．跟蹤訓(xùn)練(2015·江蘇)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1。設(shè)AB1的中點為D，B1C∩BC1＝E。求證：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1。證明（1)由題意知，E為B1C的中點，又D為AB1的中點，因此DE∥AC。又因為DE?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.（2)因為棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC。因為AC?平面ABC，所以AC⊥CC1.又因為AC⊥BC，CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因為BC1?平面BCC1B1，所以BC1⊥AC。因為BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形,因此BC1⊥B1C.因為AC，B1C?平面B1AC,AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因為AB1?平面B1AC，所以BC1⊥AB1。題型二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)典例如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)，G，M,N分別為PB，AB，BC,PD，PC的中點．(1）求證:CE∥平面PAD；(2)求證:平面EFG⊥平面EMN.證明(1)方法一取PA的中點H，連結(jié)EH，DH。因為E為PB的中點，所以EH綊eq\f（1，2)AB。又CD綊eq\f（1，2)AB,所以EH綊CD。所以四邊形DCEH是平行四邊形,所以CE∥DH。又DH?平面PAD,CE?平面PAD，所以CE∥平面PAD。方法二連結(jié)CF.因為F為AB的中點,所以AF＝eq\f（1,2)AB.又CD＝eq\f(1，2)AB，所以AF＝CD。又AF∥CD，所以四邊形AFCD為平行四邊形．因此CF∥AD，又CF?平面PAD，AD?平面PAD,所以CF∥平面PAD.因為E，F(xiàn)分別為PB,AB的中點，所以EF∥PA。又EF?平面PAD,PA?平面PAD，所以EF∥平面PAD.因為CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE?平面CEF，所以CE∥平面PAD。（2)因為E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點，所以EF∥PA。又因為AB⊥PA，所以EF⊥AB,同理可證AB⊥FG。又因為EF∩FG＝F，EF，F(xiàn)G?平面EFG，所以AB⊥平面EFG，所以AB垂直于平面EFG內(nèi)的任意一條直線．又因為M，N分別為PD，PC的中點，所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN垂直于平面EFG內(nèi)的任意一條直線,所以MN⊥平面EFG.又因為MN?平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN。引申探究1．在本例條件下，證明：平面EMN⊥平面PAC。證明因為AB⊥PA，AB⊥AC，且PA∩AC＝A,PA，AC?平面PAC，所以AB⊥平面PAC。又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB，所以MN⊥平面PAC。又MN?平面EMN，所以平面EMN⊥平面PAC。2．在本例條件下，證明：平面EFG∥平面PAC.證明因為E，F(xiàn)，G分別為PB，AB，BC的中點，所以EF∥PA，F(xiàn)G∥AC，又EF?平面PAC，PA?平面PAC，所以EF∥平面PAC。同理FG∥平面PAC.又EF∩FG＝F,所以平面EFG∥平面PAC.思維升華(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β）．(2)在已知平面垂直時,一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．跟蹤訓(xùn)練（2014·江蘇)如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求證：（1）直線PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.證明（1)因為D,E分別為棱PC，AC的中點，所以DE∥PA.又因為PA?平面DEF，DE?平面DEF,所以直線PA∥平面DEF。(2)因為D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝eq\f(1,2）PA＝3，EF＝eq\f(1,2）BC＝4。又因為DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2,所以∠DEF＝90°,即DE⊥EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC。因為AC∩EF＝E，AC?平面ABC，EF?平面ABC，所以DE⊥平面ABC，又DE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC。題型三垂直關(guān)系中的探索性問題典例如圖所示，平面ABCD⊥平面BCE,四邊形ABCD為矩形,BC＝CE,點F為CE的中點．(1）證明：AE∥平面BDF；(2)點M為CD上任意一點,在線段AE上是否存在點P，使得PM⊥BE？若存在，確定點P的位置,并加以證明；若不存在，請說明理由．(1)證明連結(jié)AC交BD于點O，連結(jié)OF.∵四邊形ABCD是矩形，∴O為AC的中點．又F為EC的中點,∴OF∥AE.又OF?平面BDF,AE?平面BDF，∴AE∥平面BDF。(2）解當(dāng)點P為AE的中點時，有PM⊥BE，證明如下：取BE的中點H，連結(jié)DP,PH，CH.∵P為AE的中點，H為BE的中點，∴PH∥AB。又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四點共面．∵平面ABCD⊥平面BCE,且平面ABCD∩平面BCE＝BC,CD⊥BC，CD?平面ABCD，∴CD⊥平面BCE。又BE?平面BCE，∴CD⊥BE，∵BC＝CE，且H為BE的中點，∴CH⊥BE。又CH∩CD＝C，且CH，CD?平面DPHC，∴BE⊥平面DPHC。又PM?平面DPHC，∴PM⊥BE.思維升華(1）對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論則否定假設(shè)．（2)對于探索性問題用向量法比較容易入手．一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若有解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在．跟蹤訓(xùn)練如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,M為棱AC的中點．AB＝BC，AC＝2，AA1＝eq\r(2)。（1)求證：B1C∥平面A1BM;(2)求證：AC1⊥平面A1BM；(3）在棱BB1上是否存在點N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此時eq\f(BN,BB1）的值；如果不存在，請說明理由．(1)證明連結(jié)AB1與A1B，兩線交于點O，連結(jié)OM。在△B1AC中，∵M(jìn)，O分別為AC，AB1的中點，∴OM∥B1C，又∵OM?平面A1BM，B1C?平面A1BM，∴B1C∥平面A1BM。（2)證明∵側(cè)棱AA1⊥底面ABC，BM?平面ABC，∴AA1⊥BM，又∵M(jìn)為棱AC的中點，AB＝BC，∴BM⊥AC.∵AA1∩AC＝A，AA1，AC?平面ACC1A1,∴BM⊥平面ACC1A1,∴BM⊥AC1.∵AC＝2，∴AM＝1.又∵AA1＝eq\r(2)，∴在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝eq\r(2），∴∠AC1C＝∠A1MA，即∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°,∴A1M⊥AC1?！連M∩A1M＝M，BM，A1M?平面A1BM，∴AC1⊥平面A1BM.（3)解當(dāng)點N為BB1的中點，即eq\f(BN,BB1）＝eq\f（1，2）時，平面AC1N⊥平面AA1C1C.證明如下：設(shè)AC1的中點為D，連結(jié)DM,DN?！逥，M分別為AC1，AC的中點,∴DM∥CC1,且DM＝eq\f(1,2)CC1.又∵N為BB1的中點，∴DM∥BN，且DM＝BN，∴四邊形BNDM為平行四邊形，∴BM∥DN,∵BM⊥平面ACC1A1，∴BM垂直于平面ACC1A1內(nèi)的任意一條直線,∴DN垂直于平面ACC1A1內(nèi)的任意一條直線，∴DN⊥平面AA1C1C.又∵DN?平面AC1N，∴平面AC1N⊥平面AA1C1C。立體幾何證明問題中的轉(zhuǎn)化思想典例(14分）如圖所示，M，N，K分別是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱AB,CD，C1D1的中點．求證：（1）AN∥平面A1MK；(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.思想方法指導(dǎo)(1)線面平行、垂直關(guān)系的證明問題的指導(dǎo)思想是線線、線面、面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，交替使用平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理．(2)線線關(guān)系是線面關(guān)系、面面關(guān)系的基礎(chǔ)．證明過程中要注意利用平面幾何中的結(jié)論，如證明平行時常用的中位線、平行線分線段成比例；證明垂直時常用的等腰三角形的中線等．（3)證明過程一定要嚴(yán)謹(jǐn),使用定理時要對照條件,步驟書寫要規(guī)范．規(guī)范解答證明(1）如圖所示，連結(jié)NK.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，∵四邊形AA1D1D，DD1C1C都為正方形，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD,C1D1＝CD。[2分]∵N，K分別為CD，C1D1的中點，∴DN∥D1K,DN＝D1K，∴四邊形DD1KN為平行四邊形，[3分]∴KN∥DD1,KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN，∴四邊形AA1KN為平行四邊形，∴AN∥A1K.［4分]又∵A1K?平面A1MK，AN?平面A1MK，∴AN∥平面A1MK。［6分](2)如圖所示，連結(jié)BC1.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.∵M(jìn)，K分別為AB,C1D1的中點，∴BM∥C1K，BM＝C1K，∴四邊形BC1KM為平行四邊形，∴MK∥BC1。[8分]在正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1?平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.∵M(jìn)K∥BC1，∴A1B1⊥MK.[10分］∵四邊形BB1C1C為正方形，∴BC1⊥B1C，［12分］∴MK⊥B1C。∵A1B1?平面A1B1C，B1C?平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.又∵M(jìn)K?平面A1MK，∴平面A1B1C⊥平面A1MK。［14分]1．若平面α⊥平面β,平面α∩平面β＝直線l，則下列說法中正確的為________．(填序號）①垂直于平面β的平面一定平行于平面α；②垂直于直線l的直線一定垂直于平面α；③垂直于平面β的平面一定平行于直線l;④垂直于直線l的平面一定與平面α，β都垂直．答案④解析對于①，垂直于平面β的平面與平面α平行或相交，故①錯誤；對于②，垂直于直線l的直線與平面α垂直、斜交、平行或在平面α內(nèi),故②錯誤;對于③，垂直于平面β的平面與直線l平行或相交,故③錯誤．④正確．2．若平面α，β滿足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P?l，則下列命題中是假命題的為________．（填序號）①過點P垂直于平面α的直線平行于平面β；②過點P垂直于直線l的直線在平面α內(nèi)；③過點P垂直于平面β的直線在平面α內(nèi)；④過點P且在平面α內(nèi)垂直于l的直線必垂直于平面β。答案②解析由于過點P垂直于平面α的直線必平行于平面β內(nèi)垂直于交線的直線，因此也平行于平面β，因此①正確；過點P垂直于直線l的直線有可能垂直于平面α，不一定在平面α內(nèi),因此②不正確;根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，知③④正確．3．設(shè)α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線,且l?α，m?β，則下列命題正確的是________．（填序號）①若l⊥β,則α⊥β； ②若α⊥β,則l⊥m;③若l∥β，則α∥β; ④若α∥β，則l∥m。答案①解析對于①，∵l⊥β,l?α，∴α⊥β,①正確;對于②，α⊥β，l?α，m?β，l與m的位置關(guān)系不確定；對于③，∵l∥β,l?α，∴α∥β或α與β相交;對于④，∵α∥β，l?α，m?β，此時,l與m的位置關(guān)系不確定．4．已知m和n是兩條不同的直線,α和β是兩個不重合的平面,則下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是________．(填序號）①α⊥β且m?α； ②α⊥β且m∥α;③m∥n且n⊥β； ④m⊥n且n∥β。答案③解析對于①，由α⊥β且m?α，可得m∥β或m與β相交或m?β,故①不成立；對于②,由α⊥β且m∥α，可得m?β或m∥β或m與β相交，故②不成立；對于③，由m∥n且n⊥β，可得m⊥β,故③成立;對于④，由m⊥n且n∥β，可得m∥β或m與β相交或m?β，故④不成立．5．設(shè)α，β是空間兩個不同的平面，m，n是平面α及β外的兩條不同直線．從“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中選取三個作為條件，余下一個作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題：________.(用序號表示)答案①③④?②(或②③④?①）解析逐一判斷．若①②③成立，則m與α的位置關(guān)系不確定,故①②③?④錯誤；同理①②④?③也錯誤；①③④?②與②③④?①均正確．6。如圖所示，直線PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，點M為線段PB的中點．現(xiàn)有結(jié)論：①BC⊥PC；②OM∥平面APC;③點B到平面PAC的距離等于線段BC的長．其中正確的是________．（填序號）答案①②③解析對于①，∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC，∵AB為⊙O的直徑，∴BC⊥AC,∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，又PC?平面PAC，∴BC⊥PC；對于②，∵點M為線段PB的中點,∴OM∥PA，∵PA?平面PAC,OM?平面PAC，∴OM∥平面PAC；對于③，由①知BC⊥平面PAC，∴線段BC的長即是點B到平面PAC的距離，故①②③都正確．7.如圖，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC,則圖中直角三角形的個數(shù)為________．答案4解析∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC?平面ABC,∴PA⊥AB,PA⊥AC，PA⊥BC，則△PAB，△PAC為直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，得BC⊥平面PAC，從而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．8。如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當(dāng)點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD.（只要填寫一個你認(rèn)為正確的條件即可)答案DM⊥PC（或BM⊥PC等)解析∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA,連結(jié)AC,則BD⊥AC,且PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC?！喈?dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC等)時，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.9.如圖,∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC,則在△ABC和△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有________；與AP垂直的直線有________．答案AB，BC，ACAB解析∵PC⊥平面ABC,∴PC垂直于直線AB，BC，AC;∵AB⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴與AP垂直的直線是AB。10.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中,側(cè)棱長為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點，F(xiàn)是BB1上的動點,AB1，DF交于點E，要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F的長為________．答案eq\f（1,2）解析設(shè)B1F＝x，因為AB1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF，所以AB1⊥DF。由已知可得A1B1＝eq\r（2)，設(shè)Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h，則DE＝eq\f（1,2）h。又eq\f(1,2)×2×eq\r(2)＝eq\f(1，2)×heq\r（22＋\r(2)2），所以h＝eq\f（2\r（3),3）,DE＝eq\f（\r（3)，3）.在Rt△DB1E中，B1E＝eq\r(\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r(2),2）））2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(\r（3),3）））2）＝eq\f(\r(6），6).由面積相等得eq\f（1,2)×eq\f（\r（6)，6）×eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(\r（2），2)))2）＝eq\f（1，2）×eq\f（\r(2），2)x，得x＝eq\f(1,2)。11。如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，P，Q，M,N分別是棱AB，AD,DD1，BB1，A1B1，A1D1的中點．求證：（1)直線BC1∥平面EFPQ；(2）直線AC1⊥平面PQMN。證明（1）如圖,連結(jié)AD1，由ABCD－A1B1C1D1是正方體，知AD1∥BC1,因為F，P分別是AD，DD1的中點,所以FP∥AD1，從而BC1∥FP.而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直線BC1∥平面EFPQ.（2）連結(jié)AC，BD，則AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，可得CC1⊥BD。又AC∩CC1＝C,AC，CC1?平面ACC1，所以BD⊥平面ACC1。而AC1?平面ACC1，所以BD⊥AC1。因為M，N分別是A1B1，A1D1的中點，所以MN∥BD，從而MN⊥AC1。同理可證PN⊥AC1.又PN∩MN＝N，PN,MN?平面PQMN，所以直線AC1⊥平面PQMN.12．(2016·江蘇）如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中,D，E分別為AB，BC的中點，點F在側(cè)棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1。求證：(1)直線DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F。證明(1）由已知，DE為△ABC的中位線，∴DE∥AC，又由三棱柱的性質(zhì)可得AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，且DE?平面A1C1F，A1C1?平面A1C1F,∴DE∥平面A1C1F。(2）在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1,∴AA1⊥A1C1，又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1,∴A1C1⊥平面ABB1A1，∵B1D?平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D，又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，∴B1D⊥平面A1C1F,又∵B1D?平面B1DE,∴平面B1DE⊥平面A1C1F。13.如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在直線________上．答案AB解析由AC⊥AB,AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC。∴C1在平面ABC上的射影H必在兩平面交線AB上．14.如圖,PA⊥圓O所在的平面,AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點,E，F(xiàn)分別是點A在PB，PC上的射影,給出下列結(jié)論:①AF⊥PB;②EF⊥PB；③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC。其中正確結(jié)論的序號是________．答案①②③解析由題意知PA⊥平面ABC,