第四章反饋控制系統(tǒng)的性能

4.1控制系統(tǒng)的性能與測試信號

反饋控制系統(tǒng)的優(yōu)點是可以調(diào)節(jié)系統(tǒng)的動態(tài)和靜態(tài)性能，在系統(tǒng)分析和設(shè)計中如何度量這些性能？性能與系統(tǒng)參數(shù)間存在何種數(shù)量關(guān)系？如何測試這些性能？本章將討論、解決這些問題。一、控制系統(tǒng)性能及性能指標(biāo)控制系統(tǒng)本身是時域系統(tǒng)，其性能表現(xiàn)為動態(tài)性能和靜態(tài)性能。工程上常規(guī)定若干時域性能指標(biāo)（Specifications）度量其性能。動態(tài)性能反映系統(tǒng)在輸入信號激勵下運(yùn)行的快慢、平穩(wěn)程度。靜態(tài)性能反映系統(tǒng)達(dá)到平衡態(tài)時的精確程度。系統(tǒng)分析就是求取特定系統(tǒng)在特定輸入信號激勵下系統(tǒng)的動、靜態(tài)性能指標(biāo)。系統(tǒng)設(shè)計就是設(shè)計系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、選擇系統(tǒng)參數(shù)使系統(tǒng)滿足一組在特定輸入信號激勵下的性能指標(biāo)要求。無論系統(tǒng)分析還是系統(tǒng)設(shè)計，求取系統(tǒng)性能指標(biāo)十分重要。也是對工程師的基本要求。CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前1頁，總共38頁。二、測試輸入信號控制系統(tǒng)在運(yùn)行時實際輸入信號是未知的，系統(tǒng)在不同信號激勵下的瞬態(tài)響應(yīng)與靜態(tài)響應(yīng)各不相同。因此需要選擇標(biāo)準(zhǔn)測試信號來分析、測試系統(tǒng)性能。工程上常用的標(biāo)準(zhǔn)測試信號：階躍信號、斜坡信號、拋物線信號及脈沖信號。CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前2頁，總共38頁。4.2二階系統(tǒng)性能及系統(tǒng)時域性能指標(biāo)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系

二階系統(tǒng)：以二階微分方程作為運(yùn)動方程或閉環(huán)傳遞分母最高階次為2的控制系統(tǒng)。

二階系統(tǒng)在控制工程中的應(yīng)用極為普遍。高階系統(tǒng)在一定條件下可用二階系統(tǒng)來近似。標(biāo)準(zhǔn)形式ωn稱為自然振蕩頻率，ζ稱為阻尼比。CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前3頁，總共38頁。一、系統(tǒng)性能分析方法解析法求取系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)T(s)求取系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系Y(s)=T(s).R(s)求取系統(tǒng)特定輸入下輸出并作部分分式分解做拉氏反變換求取系統(tǒng)時域輸出y(t)根據(jù)時域輸出求性能指標(biāo)圖解法根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)編程求取系統(tǒng)仿真模型sys求取系統(tǒng)特定輸入下時域響應(yīng)y(t)利用繪圖函數(shù)繪制響應(yīng)曲線在響應(yīng)曲線上求取相關(guān)數(shù)據(jù)根據(jù)定義求性能指標(biāo)CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前4頁，總共38頁。特征方程：解方程阻尼比ζ不同，特征根的性質(zhì)就不同，部分分式形式不同，系統(tǒng)的響應(yīng)特性也就不同。0<ζ

<1，欠阻尼ζ

=１，臨界阻尼ζ

＞１，過阻尼ζ

=0，無阻尼二、二階系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)特征單位階躍輸入下系統(tǒng)輸出做部分分式展開，其形式取決于極點的值，也是二階系統(tǒng)特征根CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前5頁，總共38頁。以欠阻尼0<ζ<1為例，經(jīng)拉氏反變換有繪制不同阻尼ζ下階躍響應(yīng)曲線由圖可見：隨阻尼ζ減小，其動態(tài)響應(yīng)振蕩得更厲害。同樣可求出欠阻尼0<ζ<1下，二階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)繪制不同阻尼ζ下響應(yīng)曲線CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前6頁，總共38頁。三、系統(tǒng)時域性能指標(biāo)在系統(tǒng)穩(wěn)定的情況下，定義下列時域指標(biāo)：1.上升時間Tr(Risetime):響應(yīng)首次到達(dá)期望值的時間。2.峰值時間Tp(Peaktime):響應(yīng)到達(dá)第一個峰值的時間。以上兩個指標(biāo)反映了系統(tǒng)的響應(yīng)快速性。如果響應(yīng)是單調(diào)非振蕩的，就不會有上升時間和峰值時間。此時選擇10—90%作為上升時間Tr1。3.調(diào)節(jié)時間Ts(Settlingtime):響應(yīng)到達(dá)且維持在穩(wěn)態(tài)值的某個百分比δ范圍內(nèi)的時間。δ通常取2%或5%。4.超調(diào)量P.O.或σ%(PercentOvershoot):5.穩(wěn)態(tài)誤差ess:CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前7頁，總共38頁。上升時間Tr四、二階系統(tǒng)性能指標(biāo)計算峰值時間Tp脈沖輸入下的輸出在t=Tp時為

超調(diào)量P.O.峰值響應(yīng)為CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前8頁，總共38頁。調(diào)節(jié)時間Ts討論：上升時間和峰值時間反映系統(tǒng)快速性，調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量反映響應(yīng)對期望輸出的逼近程度。兩者是矛盾的，需要折中（見右圖）。對于給定的ζ，當(dāng)ωn增加時，響應(yīng)變快。對于給定的ωn，ζ減小則響應(yīng)變快，但會改變超調(diào)量。二階系統(tǒng)典型的ζ取值與超調(diào)量對應(yīng)值見P203表5.2，工程上經(jīng)常取0.6<ζ<0.8

。CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前9頁，總共38頁。例1.單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為對系統(tǒng)階躍響應(yīng)的設(shè)計要求為：峰值時間1.1s，超調(diào)量為5%。（1）試判斷系統(tǒng)能否同時滿足這兩個設(shè)計指標(biāo)要求？（2）如果不能同時滿足上述要求，試確定增益K的折中值，使系統(tǒng)能夠滿足按相同的比例放寬后的設(shè)計要求。解：（1）系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為按照超調(diào)量5%可得求得此時的峰值時間顯然不能同時滿足設(shè)計指標(biāo)（2）折中設(shè)計設(shè)設(shè)計指標(biāo)比例系數(shù)為x解得設(shè)計指標(biāo)比例系數(shù)為x=2.07說明同時滿足兩個有矛盾的指標(biāo)的話，必須對指標(biāo)同時放大2倍。計算出K=2.86CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前10頁，總共38頁。進(jìn)行Matlab仿真仿真程序k1=sqrt(2);k2=2.86;num1=k1;num2=k2;den1=[12k1];den2=[12k2];sys1=tf(num1,den1);sys2=tf(num2,den2);t=[0:0.1:7];[y1,x,t]=step(sys1,t);[y2,x,t]=step(sys2,t);plot(t,y1,t,y2);hold;grid;xlabel('Time(s)');ylabel(‘stepresponsey(t)');CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前11頁，總共38頁。五、二階系統(tǒng)不同極點的響應(yīng)特征前面重點討論具有共軛極點（0<ζ<1）的二階系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)特征。隨著阻尼變化，二階系統(tǒng)極點呈現(xiàn)不同性質(zhì)，其動態(tài)響應(yīng)特征將會變化。ζ=0，無阻尼。系統(tǒng)極點S1,2=

±jωn。一對虛根，系統(tǒng)對任何激勵都處于等幅振蕩狀態(tài)。ζ≧1，過阻尼。系統(tǒng)極點為兩個實根，系統(tǒng)響應(yīng)為單調(diào)變化，不振蕩。CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前12頁，總共38頁。六、第三個極零點對二階系統(tǒng)性能的影響前面討論的是標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)特征。所謂標(biāo)準(zhǔn)指系統(tǒng)僅含有兩個極點，無零點。此時，系統(tǒng)性能指標(biāo)可以按照前面方法計算。如果系統(tǒng)除了一對共軛極點之外，含有其它的實數(shù)極點或（和）零點時，系統(tǒng)響應(yīng)如何變化？如何計算系統(tǒng)性能指標(biāo)？附加極點主導(dǎo)極點的實部絕對值小于另外極點實部絕對值十分之一時，不影響動態(tài)響應(yīng)特性。見教材P205表5.3CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前13頁，總共38頁。附加零點二階系統(tǒng)增加一個z=-a的零點，零點與極點實部的比值A(chǔ)=a/ζωn表示二者的相對位置。零點位置與超調(diào)的關(guān)系不同零點位置時階躍響應(yīng)ζ=0.45增加一個靠近ζωn

的零點使得超調(diào)增大，響應(yīng)速度加快；零點越遠(yuǎn)離極點，對系統(tǒng)響應(yīng)影響越小。CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前14頁，總共38頁。七、系統(tǒng)極零點位置與動態(tài)響應(yīng)其單位階躍輸入響應(yīng)為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)無重根情況下時域響應(yīng)其中Dk是依賴于Bk，Ck及特征根的常數(shù)，響應(yīng)的形態(tài)完全取決于特征根。因此，熟悉特征根在根平面位置與階躍響應(yīng)的形態(tài)對系統(tǒng)設(shè)計非常重要?？傮w講：T(s)的極點（特征根）確定了系統(tǒng)響應(yīng)的模態(tài)，零點確定每個模態(tài)函數(shù)在整個響應(yīng)中的權(quán)重。CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前15頁，總共38頁。CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前16頁，總共38頁。4.3反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)動態(tài)性能：穩(wěn)態(tài)性能：

穩(wěn)態(tài)誤差根據(jù)前面介紹誤差定義為對線性系統(tǒng)，系統(tǒng)有給定輸入和干擾輸入存在時，誤差由兩部分組成：根據(jù)終值定理給定輸入作用下干擾輸入作用下具體求取特定輸入下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差時，可分別求取。CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前17頁，總共38頁。一、給定輸入R(s)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差單位負(fù)反饋時，H(s)=11.階躍輸入R(s)=A/s定義：位置誤差常數(shù)Kp階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差討論：積分器的個數(shù)N稱為系統(tǒng)的型數(shù)N=0，零型系統(tǒng)Kp=G(0)N≧1，I型及以上系統(tǒng)Kp=∞CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前18頁，總共38頁。2.斜坡輸入R(s)=A/s2定義：速度誤差常數(shù)Kv討論：N=0，零型系統(tǒng)，Kv=0，ess=∞N=1，I型系統(tǒng)，Kv≠0，ess=A/KvN≧2，II型及以上系統(tǒng)，Kv=∞

，ess=03.加速度輸入R(s)=A/s3定義：加速度誤差常數(shù)Ka討論：N≤1，I型及以下系統(tǒng)，Ka=0，ess=∞N=2，II型系統(tǒng)，Ka≠0，ess=A/KaN≧3，III型及以上系統(tǒng)，Kv=∞

，ess=0CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前19頁，總共38頁?？刂葡到y(tǒng)的誤差系數(shù)Kp,Kv,Ka描述了系統(tǒng)減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力，可以作為穩(wěn)態(tài)性能的衡量指標(biāo)。工程師在進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計時，既要增大誤差系數(shù)以增加穩(wěn)態(tài)精度，也要照顧動態(tài)指標(biāo)。小結(jié)CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前20頁，總共38頁。二、非單位反饋系統(tǒng)R(s)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差以上給出的穩(wěn)態(tài)誤差計算方法都是在單位反饋情況下，如果不是單位反饋即H(s)

≠1，如何求穩(wěn)態(tài)誤差？實際工程上H(s)是傳感器的數(shù)學(xué)模型，因此系統(tǒng)輸出Y(s)與傳感器輸出具有不同的量綱，是不同的物理量。如Y(s)是速度、溫度等，傳感器輸出為電壓或電流（mA或V）。為了同類信號比較，實際系統(tǒng)框圖為：如果H(s)的直流增益為K2即令K1=K2，這在工程上是成立的。CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前21頁，總共38頁。用于計算穩(wěn)態(tài)誤差的結(jié)構(gòu)圖方法一：對H(s)≠1的一般系統(tǒng)，必須做單位反饋系統(tǒng)的等效。方法二：對H(s)≠1系統(tǒng)，也可采用下列方法求穩(wěn)態(tài)誤差。CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前22頁，總共38頁。例1.具有測速發(fā)電機(jī)內(nèi)反饋的位置隨動系統(tǒng)，試計算輸入分別為單位階躍信號、單位斜坡信號和單位加速度信號時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。伺服電動機(jī)測速發(fā)電機(jī)解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)及穩(wěn)態(tài)誤差：CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前23頁，總共38頁。例2.哈勃太空望遠(yuǎn)鏡指向控制設(shè)計目標(biāo)：選擇K1,K使得（1）階躍指令r(t)作用下，輸出的超調(diào)小于或等于10%；（2）在斜坡輸入作用下，穩(wěn)態(tài)誤差達(dá)到最??；（3）減小階躍干擾的影響。解：首先選擇K1,K以滿足對階躍輸入的超調(diào)要求。設(shè)R(s)=A/s,Td(s)=0。參照P203圖5.8，超調(diào)小于等于10%時阻尼ζ在0.6左右，選擇ζ=0.6。按照超調(diào)計算式求得此時：P.O.=9.5%CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前24頁，總共38頁。接著討論穩(wěn)態(tài)誤差斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差：可見，K/K1越大，斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差越小。同時，K越大，消除干擾的能力越強(qiáng)。系統(tǒng)的特征方程為（ζ=0.6

）選擇K=25,將有K1=6,K/K1=4.17。選擇K=100,將有K1=12,K/K1=8.33。在物理可實現(xiàn)的情況下選擇K=100。CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前25頁，總共38頁。三、干擾N(s)作用下的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)在干擾作用下誤差為在干擾動作用下，系統(tǒng)的理想輸出Rd(s)應(yīng)為零。系統(tǒng)在干擾作用下穩(wěn)態(tài)誤差為上例中，單位階躍干擾引起的穩(wěn)態(tài)誤差為干擾作用下有無誤差系數(shù)？？CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前26頁，總共38頁。例3控制系統(tǒng)如圖，參考輸入信號為階躍擾動轉(zhuǎn)矩為求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，對于階躍參考輸入的誤差為零。系統(tǒng)在干擾作用下的誤差為：解：CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前27頁，總共38頁。4.4控制系統(tǒng)的綜合性能指標(biāo)（PerformanceIndices）上升時間、峰值時間、調(diào)節(jié)時間、超調(diào)量及穩(wěn)態(tài)誤差等性能指標(biāo)是控制系統(tǒng)的單項性能指標(biāo)，反映了系統(tǒng)動態(tài)或靜態(tài)的某個方面。綜合性能指標(biāo)也是系統(tǒng)性能的量化度量，它綜合了系統(tǒng)多項重要的性能要求。

調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)使綜合性能指標(biāo)達(dá)到極值（一般為極?。瑒t稱系統(tǒng)為最優(yōu)控制系統(tǒng)（Optimumcontrolsystem）。因此，綜合性能指標(biāo)是系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化的基礎(chǔ)指標(biāo)。

一、常用到的綜合性能指標(biāo)控制工程師常用的綜合性能指標(biāo)有四個。1.誤差平方積分（ISE(Integralofthesquareoferror)）積分時間T通常取調(diào)節(jié)時間Ts。2.誤差絕對值積分（IAE(Integraloftheabsolutemagnitudeoferror)）積分時間T通常取調(diào)節(jié)時間Ts。CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前28頁，總共38頁。ISE易于采用電路實現(xiàn)測量，兩者都易于計算機(jī)數(shù)值計算，是參數(shù)優(yōu)化經(jīng)常選擇的指標(biāo)。他們共同的特點是：對系統(tǒng)受擾動初期大誤差消除非常有效，但對系統(tǒng)動態(tài)后期小誤差敏感度不足。3.時間乘誤差絕對值積分（ITAE(Integraloftimemultipliedbyabsoluteerror)）4.時間乘誤差平方積分（ITSE(Integraloftimemultipliedbythesquarederror)）他們共同的特點是：減小了對系統(tǒng)受擾動初期大誤差的影響，強(qiáng)調(diào)了系統(tǒng)動態(tài)后期小誤差影響。三種指標(biāo)對二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)阻尼比最優(yōu)比較CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前29頁，總共38頁。

二、一些優(yōu)化參數(shù)結(jié)果CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前30頁，總共38頁。CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前31頁，總共38頁。4.4高階系統(tǒng)分析系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的階次大于2的稱為高階系統(tǒng)。高階系統(tǒng)分析多采用近似法或圖解法。一、近似法控制系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)形態(tài)取決于系統(tǒng)閉環(huán)極點，不同極點對響應(yīng)形態(tài)及性能指標(biāo)的影響與貢獻(xiàn)不同，這是近似法的依據(jù)。主導(dǎo)極點：對系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)起主導(dǎo)或決定作用的閉環(huán)極點。如果閉環(huán)極點負(fù)實部的絕對值小于等于其它極點負(fù)實部絕對值的五分之一，則該極點作為系統(tǒng)主導(dǎo)極點。高階系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)可以用主導(dǎo)極點構(gòu)成的低階系統(tǒng)響應(yīng)近似。（一階或二階）如果主導(dǎo)極點附近有一個極點或零點，參照附加極零點對二階系統(tǒng)影響的相關(guān)結(jié)論分析。如果不存在主導(dǎo)極點，可按照系統(tǒng)模型簡化或圖解法分析。CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT當(dāng)前32頁，總共38頁。例1.某系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：（1）確定系統(tǒng)對單位階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差；（2）將共軛復(fù)極點視為主導(dǎo)極點，估計系統(tǒng)的超調(diào)量和2%準(zhǔn)則的調(diào)節(jié)時間；（3）畫出系統(tǒng)實際響應(yīng)曲線，并與（2）的結(jié)果相比較。解：（1）由E(s)=R(s)-Y(s)=R(s)-T(s)R(s)=(1-T(s))R(s)求穩(wěn)態(tài)誤