二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問題2

閉區(qū)間二函數(shù)的值題一定次數(shù)定間上最二次函數(shù)是給定的，給出的定義域區(qū)間也是固定的，我們稱這種情況是“定二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值例1.函

x

在區(qū)間[，3]的最大值是_，小值_______解函

22

是定義在區(qū)間[0上的二次函數(shù)其稱軸方程是x

，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，其象開口向下，顯然其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在03］上，如圖1所示。函數(shù)的最大值為

f(2)2

，最小值為

f

。圖1例2.已

2x3x

，求函數(shù)

f()x

的最值。解：由已知

2x

3x

，可得

0x

32

，即函數(shù)

f()

是定義在區(qū)間

0，上二次函數(shù)。將二次函數(shù)配方得

f(x)

12

34

113其稱軸方程x頂坐標(biāo)，象開口22419向上。顯然其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不在區(qū)間f大值為。4

0，內(nèi)如圖所。函數(shù)2

f(

的最小值為

f(0)

，最圖2/

2222解后反思：已知二次函數(shù)

f()ax

2

（不妨設(shè)0它的圖象是頂點(diǎn)為bac2，軸2

b2a

開口向上的拋物線由數(shù)形結(jié)可得[n]

f(

的最大值或最小值：（1）當(dāng)

a

時(shí)，

f()

的最小值是

f

b42，f(x)a4

的最大值是f()、f(n

中的較大者。（2當(dāng)

b2

若

b2

，由

f(

在

則

f()

的最小值是

f(m)

，最大值是

f()若

a

，由

f()在則

f()

的最大值是

f(m)

，最小值是

f()二動(dòng)次數(shù)定間的值二次函數(shù)隨著參數(shù)a的化而變化，即其圖象是運(yùn)動(dòng)的，但定義域區(qū)間是固定的，我們稱這種情況是“動(dòng)二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值例已知

，，函數(shù)f()x2

的最值。解已知有

x，2

是數(shù)

f()

是定義在區(qū)間

f()配方得：af()4二次函數(shù)

f(

的對(duì)稱軸方程是

x

a2aa2頂點(diǎn)坐標(biāo)為，象開口向上由a可x

a2

，顯然其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間

/

函數(shù)的最小值是

f(

，最大值是

f(1)4

。圖3例4.已知次函數(shù)

f()2ax

在區(qū)間

a值。解：將二次函數(shù)配方得

f()(2)

22

a

，其對(duì)稱軸方程為

，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(

2

，圖象開口方向由決定。很明顯，其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間

若

a

，函數(shù)圖象開口向下，如圖所示，當(dāng)

時(shí)，函數(shù)取得最大值即

f(a

2

a

解得

2

故

210(210舍去)圖4若

a

時(shí)，函數(shù)圖象開口向上，如圖5所，當(dāng)

x

時(shí)，函數(shù)取得最大值5即

f(1)

解得

或

故

aa)/

圖5綜上討論，函數(shù)

f()

在區(qū)間

a210或解后反思：例中，二次函數(shù)的對(duì)稱是隨參數(shù)變的，但圖象開口方向是固定的；例4中二次函數(shù)的對(duì)稱軸是固定的，但圖象開口方向是隨參數(shù)變化的。三定次數(shù)動(dòng)間的值二次函數(shù)是確定的，但它的定義域區(qū)間是隨參數(shù)而變化的，我們稱這種情況是“定數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值例如果函數(shù)

f(x)x

定義在區(qū)間

f(

的最小值。解：函數(shù)

f(x)x

2

，其對(duì)稱軸方程為x，點(diǎn)坐標(biāo)，1象口向上。如圖6所，若頂點(diǎn)橫標(biāo)在區(qū)間

。x時(shí)函數(shù)取得最小值f(x)

f()

2

。如圖7所，若頂點(diǎn)橫標(biāo)在區(qū)間

圖6

t，。x時(shí)函數(shù)取得最小值：

f(x)

f(1)

。圖7如圖8所，若頂點(diǎn)橫標(biāo)在區(qū)

t

，即

t0

。當(dāng)

x

時(shí)，函數(shù)取得最小值/

ttf(x)

(t

2

綜上討論，

f()

min

t2t圖8例設(shè)數(shù)

f()x

2

x

的定義域?yàn)?/p>

，求函數(shù)fx)

的最小值()的解析式。解：將二次函數(shù)配方得：

f()x

2x2

其對(duì)稱軸方程為

x

，頂點(diǎn)坐標(biāo)為

，8)

，圖象開口向上若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間

2

，即

t4

。當(dāng)

時(shí)，函數(shù)取得最小值：

ft(t

2

t若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間

2，。當(dāng)x時(shí)函數(shù)取得最小值：

f(2)若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間

t2

，即

t3

。當(dāng)

x

時(shí)，函數(shù)取得最小值：

f(t

22

t綜上討論，得

tt

t

2

tt3)四動(dòng)次數(shù)動(dòng)間的值二次函數(shù)是含參數(shù)的函數(shù)，而定義域區(qū)間也是變化的，我們稱這種情況是“動(dòng)二次函數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值例已知

y2a(x)(a

，且當(dāng)

xa

時(shí)，

x2y

的最小值為，求參數(shù)/

最小最小的值。解：將

y

4(x)

代入S中，得x

2

a(x)

2

2(3)a

22)則是的次函數(shù)，其定義域?yàn)?/p>

x

3a

，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3，12a

2

)

，圖象開口向上。若

3aa

0a

當(dāng)

時(shí)

最

a24

時(shí)a

a

12若

3aa

，即

，則當(dāng)

時(shí)，

S

最小

)a2此時(shí)，

a

，或

（因

a，

舍去）綜上討論，參變數(shù)的取值為a，或

12

，或

a例8.已知

(x4

2

22(

，且當(dāng)

xa

時(shí)，

(x4)2

的最小值為1求參變數(shù)a的值。解：將

y

2

(4

2

2

代入中得(4)2

(4

2

2

54

x

175

9

2則P是的二次函數(shù)，其定義域?yàn)?/p>

，

，對(duì)稱軸方程為

175

，頂點(diǎn)坐標(biāo)為

17，5

圖象開口向上。若

175

a，a

65則當(dāng)

179時(shí)，P55

，此時(shí)，

/

若

175

a

，即

a

65

，則當(dāng)

x

時(shí)，

P最小

54

1

175

5此時(shí)，

，或

（因

a

65

，

舍去）綜上討論，