W華中師大一附中屆高三課外基礎(chǔ)訓(xùn)練題八答案

最新課外訓(xùn)練題(八)1.已知函數(shù)f(x)=sinxcosx+3cos2x.333（I）將f(x)寫成Asin(wx+j)+B的形式，并求其圖象對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)；（II）假如△ABC的三邊a,b,c知足b2=ac，且邊b所對(duì)的角為x，試求x的范圍及此時(shí)函數(shù)f(x)的值域.解：（I）f(x)=1sin2x+3(1+cos2x)=1sin2x+3cos2x+3232323232=sin(2x+p)+3.由sin(2x+p)=0，即2x+p=kπ(k∈Z)，得x=3k-1p(k∈Z)，即對(duì)稱中心的33233332橫坐標(biāo)為3k-1p，(k∈Z).2222222（IIa+c-ac2ac-ac11≤cosx＜1，0＜x≤p.）由已知b=ac，得cosx=a+c-b==2ac2ac≥2ac2.∴23∴p＜2x+p≤5p.∵|p-p|＞|5p-p|，∴sinp＜sin(2x+p)≤1.333932923333+3<sin(2x+p)+3≤１+3,即f(x)的值域?yàn)椋?，１+3）.22332222．如圖，四棱錐S—ABCD中，平面SAC與底面ABCD垂直，側(cè)棱SA、SB、SC與底面ABCD所成的角均為45°，AD//BC，且AB=BC=2AD.1）求證：四邊形ABCD是直角梯形；2）求異面直線SB與CD所成角的大??；3）求直線AC與平面SAB所成角的大小.解：（1）作SO⊥AC交AC于點(diǎn)O，連結(jié)OB.∵面SAC⊥ABCD，∴SO⊥ABCD，∵側(cè)棱SA、SB、SC與底面ABCD所成的角均為45°，∴∠SAO=∠SBO=∠SCO=45°，∴△SAO≌△SBO≌△SCO，∴SA=SB=SC，OA=OB=OC，∴AC是△ABC外接圓的直徑，∴AB⊥BC，又AD//BC，AD≠BC，∴四邊形ABCD是直角梯形.（2）分別取BC中點(diǎn)M，SC中點(diǎn)N，連結(jié)AM，AN，MN，則MN//SB，又AD//BC，AD=1BC=MC，∴ADCM為平行四邊形，∴AM//DC，∴∠AMN是異面直線SB與CD所成角.2由（1），△SAO，△SBO，△SCO是全等的等腰直角三角形，AB=BC，∴△SAC，△BAC是全等的等腰直角三角形.設(shè)SO=a，則MN=1SB=2a，AM=AB2BM210a,∵AM=AN，∴在等腰三角形22aAMN中，1MN5.∴異面直線SB與CD所成角為arccos5.cosAMN2AM1010（3）取SB中點(diǎn)E，連結(jié)AE、CE、OE，由（2）知AE⊥SB，CE⊥SB，∴SB⊥平面AEC，∴平面SAB⊥平面AEC，且交線就是AE，∴AC在平面SAB上的射影是AE，∴∠CAE是AC與平面SAB所成的角在等腰直角三角形SOB中，E是SB的中點(diǎn)，∴OE2SO2AO.在RtAOE中,tanOAEOE2,22AO2∴直線AC與平面SAB所成角的大小是arctan2.2方法二：（1）作SO⊥AC交AC于點(diǎn)O，連OB，∵面SAC⊥面ABCD，∴SO⊥面ABCD，∵側(cè)棱SA、SB、SC與底面，ABCD所成的角均為45°，∴∠SAO=∠SBO=∠SCO=45°，∴△SAO≌△SBO≌△SCO，∴SA=SB=SC，OA=OB=OC=OS，又AB=BC，∴OB⊥AC，以O(shè)A、OB、OS所在射線分別作為非負(fù)x軸、非負(fù)y軸、非負(fù)z軸成立空間直角坐標(biāo)系。設(shè)OS=a，則A（a，0，0），B（0，a，0），C（－a，0，0），S（0，0，a）∴ABBC(a,a,0)(a,a,0)a2a20,∴ABBC,即ABBC,又AD//BC,ADBC,∴四邊形ABCD是直角梯形.（2）由（1），△SAO，△SBO，△SCO是全等的等腰直角三角形，∴△SAC，△BAC是全等的等腰直角三角形.則D(1a,1a,0),CD(3a,1a,0),SB(0,a,a),cosSB,CDSBCD1a25∴異面直22222,|SB||CD|2a10102a線SB，CD所成角的大小是arccos5.10（3）設(shè)n(x,y,z)是平面SAB的法向量.則由nSA0ax1az10，取nAB0ax1ay10x11,得n(1,1,1),則cosnACnAC2a3。|n||AC|32a3設(shè)AC和面SAB所成的角的大小為，則cossinn,AC6∴AC和面SAB所成的角的大,3小是arccos6.33．已知函數(shù)f(x)lnxa2x2ax(aR)．（Ⅰ）當(dāng)a1時(shí)，證明函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)；（Ⅱ）若函數(shù)f(x)在區(qū)間1,上是減函數(shù)，務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（Ⅰ）當(dāng)a1時(shí)，f(x)lnxx2x，其定義域是(0,)∴f(x)12x2x10，即2x2x10，解得x1或x1．2x1.令f(x)x2xxQx0，∴x1舍去．2當(dāng)0x1時(shí)，f(x)0；當(dāng)x1時(shí)，f(x)0．∴函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1上單一遞加，在區(qū)間1,上單一遞減.∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f(x)獲得最大值，其值為f(1)ln11210．當(dāng)x1時(shí)，f(x)f(1)，即f(x)0,∴函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)．（Ⅱ）明顯函數(shù)f(x)lnxa2x2ax的定義域?yàn)?0,)12a2xa2a2x2ax1(2ax1)(ax1).∴f(x)xxx①當(dāng)a0時(shí)，f10,f(x)在區(qū)間1,上為增函數(shù)，不合題意.(x)x②當(dāng)a0時(shí)，fx0x0等價(jià)于2ax1ax10x0，即x1,此時(shí)f(x)a的單一1,11,解之得a遞減區(qū)間為．依題意，得a1．當(dāng)a0時(shí)，fx0x0等價(jià)aa0.于2ax11ax10x0，即x2a1112a得aa02

1.此時(shí)f(x)的單一遞減區(qū)間為,，∴2a綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(,1).]U[1,12方法二：①當(dāng)a0時(shí)，f(x)0,f(x)在區(qū)間1,上為增函數(shù)，不合題意.x②當(dāng)a0時(shí)，要使函數(shù)f(x)在區(qū)間1,上是減函數(shù)，只需fx0在區(qū)間1,上a11恒成立，Qx0只需2a2x2ax10恒成立，4a2,解得a1或a2a2a102.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(,1).]U[1,24．如圖，一船在海上由西向東航行，在A處測(cè)得某島M的方向角為北偏東角，行進(jìn)4km后在B處測(cè)得該島的方向角為北偏東角。已知該島周轉(zhuǎn)3.5km范圍內(nèi)有暗礁，現(xiàn)該船持續(xù)東行。（1）若260o，問(wèn)該船有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？假如沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理北M由；假如有，那么該船自B處向東航行多少距離會(huì)有觸礁危險(xiǎn)？βα（2）當(dāng)與知足什么條件時(shí)（用三角函數(shù)式表示），該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)？A4kmB解：（1）作MC⊥AB交AB的延伸線于C，由已知60o,30o，因此∠ABM=120°，∠AMB=30°，因此BM=AB=4，∠MBC=60°，因此MC=BM·sin=233.5，因此該船有觸礁的危險(xiǎn)。設(shè)該船自B向東航行至點(diǎn)D有觸礁危險(xiǎn)，則MD=3.5。設(shè)BDx，則有16x22x4cos60o12.25，即x24x3.750，得x1.5，因此BD=1.5（km），因此，該船自B向東航行1.5km會(huì)有觸礁危險(xiǎn)。（2）設(shè)CMx，在MAB中，由正弦定理得，ABBM。sinAMBsinMAB由于MAB90o,AMB180o(90o)(90o)，因此sin(4)BM,即BM4cos)。cossin(而xBMsinMBCBMsin(90o)BMcos4coscos，由題意知x3.5，sin()即4coscos7,即coscos)7，整理得tan17。Q,均為銳角，sin()2sin(8tan8∴有0tantan8,知足0tantan8，即當(dāng)銳角時(shí)，該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)。775．已知兩點(diǎn)F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，曲線C上的動(dòng)點(diǎn)M知足|MF1||MF2|2|F1F2|，直線MF2與曲線C交于另一點(diǎn)P．（Ⅰ）求曲線C的方程及離心率；（Ⅱ）設(shè)N(4,0)，若SMNF2:SPNF23:2，求直線MN的方程．解：由于|F1F2|4,|MF1||MF2|2|F1F2|84，因此曲線C是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓．曲線C的方程為x2y21，離心率為1．16122（Ⅱ）明顯直線MN不垂直于x軸，也不與x軸重合或平行.設(shè)M(xM,yM),P(xP,yP)，直線MN方程為yx2y21，k(x4)，此中k0.由1612yk(x4)得(34k2)y224ky0.解得y0或y24k.4k23依題意yM24k，xM1416k212由于SMNF2:SPNF23:2，因此23yM4k23.4kk|MF2|3uuuur3uuuur2xM3(xP2),.于是2所以|F2P|2，則MF22F2P30yM0),(yP2xP2(2xM24k223)24k2,3由于點(diǎn)P在橢圓上，216kyPyM.34k23因此24k22216k248.整理得48k48k2210，解得k27233(2)4(2)或k（舍4k34k3124去），進(jìn)而k21.因此直線MN的方程為y21(x4).666．已知數(shù)列{an}知足：a1,a1,且[3(1)n]a2a2[(1)n1]0，2nN*．（Ⅰ）求a3，a4，a5，a6的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bna2n1a2n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn；a33，a41，a55，a61an2，即解：（Ⅰ）經(jīng)計(jì)算4，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an281數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，a2n1a1(n1)22n1；當(dāng)n為偶數(shù)，an2an，即2(1)n1(1)n，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為數(shù)列{an}的偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，a2na222n(n為奇數(shù))an1)n)．2為偶數(shù)2（Ⅱ）b