高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)15 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)—利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)專題綜述導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的便捷工具，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值、最值，再利用函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)的取值范圍、求零點個數(shù)、進行不等式的證明等應(yīng)用.解決函數(shù)問題的第一步也是關(guān)鍵的一步是，如何利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，明確了函數(shù)的單調(diào)性就可進一步研究函數(shù)的其他性質(zhì).對于函數(shù)的極值問題，要明確的同時，的左右兩側(cè)是否單調(diào)性相反；函數(shù)的最值問題，可能取最值的點在區(qū)間端點處或極值點處（若區(qū)間上存在極值），需比較端點處或極值點處函數(shù)值的大小.本專題重點探究，利用導(dǎo)數(shù)求含參函數(shù)的單調(diào)性及其最值問題.專題探究探究1：求含參函數(shù)的單調(diào)性對于不能用單調(diào)性的性質(zhì)判斷單調(diào)性的函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求導(dǎo)函數(shù)，對導(dǎo)函數(shù)的解析式化簡變形，取符號不確定的因式，設(shè)為，解不等式.答題方法：

第一種:不等式為含參的一元二次不等式：=1\*GB3①若能變形為，討論的正負及的大小關(guān)系；=2\*GB3②若不能變形，則討論的正負；

第二種:（或）恒成立：=1\*GB3①求的最值，證明的不等式恒成立；=2\*GB3②通過放縮證明（或）恒成立；第三種:求的零點，解出不等式：=1\*GB3①求，判斷函數(shù)的單調(diào)性；=2\*GB3②直接求出零點（如，1為函數(shù)的一個零點）；若出現(xiàn)隱零點問題，則利用設(shè)而不求思想解決（專題1.3.9）.第四種:若，則即為同號，轉(zhuǎn)化為求兩個函數(shù)零點，并比較零點大小，從而寫出解集，若含參數(shù)，則需分類討論（如當(dāng)時解不等式，分為與討論）.（2021江蘇蘇州模擬）已知函數(shù)在上可導(dǎo)其中是自然對數(shù)的底數(shù)

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)且時，證明：恒成立.【審題視點】（1）求導(dǎo)函數(shù)，化簡變形，選擇合適的方法討論；（2）已知參數(shù)，不含參，證明不等式不需要討論，不等式左右兩側(cè)都有項，可以將兩側(cè)合二為一，構(gòu)造函數(shù)求最值證明不等式.【思維引導(dǎo)】對導(dǎo)函數(shù)的解析式化簡變形：討論方程的根，由可得，討論的取值以0為分界若存在，與比較大小，寫出解集.【規(guī)范解析】對導(dǎo)函數(shù)的解析式先化簡變形，再對導(dǎo)函數(shù)的解析式先化簡變形，再解不等式形如的不等式，可拆解為形如的不等式，可拆解為或，分別求出與的零點，寫出解集令，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減

②當(dāng)時，令得，=1\*romani)當(dāng)即時，恒成立，

在上單調(diào)遞增；當(dāng)函數(shù)的零點只有一個時，比較兩個零點的大小，寫出解集=2\*romanii）當(dāng)函數(shù)的零點只有一個時，比較兩個零點的大小，寫出解集令，得或在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減

=3\*romaniii）當(dāng)即時，令，得或，

在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時，在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減;

當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）當(dāng)且時，則設(shè)，則當(dāng)時，恒成立在區(qū)間上單調(diào)遞增當(dāng)時，即當(dāng)且時恒成立.【探究總結(jié)】解不等式的關(guān)鍵是對化簡變形，去除符號確定的因式，簡化不等式，根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)，選擇合適的方法.理清上述方法的思路，關(guān)鍵是分類討論要確定討論區(qū)間，做到不重不漏.（2021廣東汕頭月考）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，，求的取值范圍.探究2：已知函數(shù)的極值、最值求參1.無論是求函數(shù)的極值、最值，還是已知函數(shù)的極值、最值求參，基本思路是一致的：先判斷函數(shù)的單調(diào)性，明確極值點或最值點，求出極值或最值（有參數(shù)，則含參表示）.答題思路：第一步:解不等式，判斷函數(shù)單調(diào)性；第二步:利用單調(diào)性判斷極值點或最值點；第三步:求出含參的極值或最值與已知的極值最值相等，求出參數(shù)的值或取值范圍.強調(diào)：（1）求函數(shù)的最值（閉區(qū)間）=1\*GB3①區(qū)間上單調(diào)：端點處取最值；=2\*GB3②區(qū)間上先增后減（先減后增）：極值點處取最大值，比較左右端點處的函數(shù)值得出最小值（極值點處取最小值，比較左右端點處的函數(shù)值得出最大值）；=3\*GB3③區(qū)間上增減增（或減增減）：比較極值與端點處函數(shù)值，即可得最值；2.已知函數(shù)極值點個數(shù)求參已知函數(shù)極值點個數(shù)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)零點個數(shù)，轉(zhuǎn)化已知函數(shù)零點個數(shù)求參的問題上去.第一步:令導(dǎo)函數(shù)，化簡變形構(gòu)造函數(shù)或分離參數(shù)使參數(shù)；第二步:判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用零點存在性定理，判斷函數(shù)零點個數(shù)是否滿足條件，求參；或轉(zhuǎn)化為圖象交點問題解決.（2021安徽合肥月考）已知，（1）當(dāng)時，求證：不等式在上恒成立；（2）若，是否存在實數(shù)，使得在的最小值是3，若存在，求的值，若不存在，請說明理由．【審題視點】（1）證明不等式即：=1\*GB3①對不等式進行適當(dāng)變形（不等式兩邊同除以或乘以某個因式），對不等式左邊構(gòu)造函數(shù)求最小值，若最小值大于零，則不等式成立；=2\*GB3②若構(gòu)造一個函數(shù)難以求最值，則不等式兩側(cè)分別構(gòu)造函數(shù)，證明兩個函數(shù)最值間的不等關(guān)系.（2）轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的最小值為3，求參數(shù)的值.【思維引導(dǎo)】（1）證明不等式恒成立問題，本質(zhì)上是求函數(shù)最值問題，總體思路是對不等式變形，若只夠造一個函數(shù)，盡量使前不含，使導(dǎo)函數(shù)中不含，方便解不等式；或者變形為的形式，證明.（2）判斷的單調(diào)性，求出的最小值含參表示，令求.【規(guī)范解析】證明不等式：轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，若構(gòu)造一個函數(shù)，求最值難度大，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)比較最值解：（1）當(dāng)時，證明不等式：轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，若構(gòu)造一個函數(shù)，求最值難度大，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)比較最值設(shè)，，

令，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減

設(shè)，，

令，則分別判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求最值，比較最值在分別判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求最值，比較最值當(dāng)時，不等式在上恒成立；解不等式需分類討論，，故討論的取值可分兩個區(qū)間（2）由題意得，

設(shè)存在實數(shù)，使得在的最小值是3，

又，

①當(dāng)時，解不等式需分類討論，，故討論的取值可分兩個區(qū)間令，求出進行取舍在上單調(diào)遞減，

，解得（舍）；

②當(dāng)時，令，則令，求出進行取舍在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，解得；

綜上所述：存在實數(shù)【探究總結(jié)】不等式證明、恒成立求參問題、形如“”的命題都要轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題解決，求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)最值，利用最值比較大小證明不等式或求出參數(shù)的取值范圍.而已知最值求參數(shù)的思路：含參討論函數(shù)單調(diào)性，并帶參表示最值，與已知最值相等，求出參數(shù)與給定范圍比較，進行取舍.(2021安徽蚌埠月考)已知函數(shù)（1）求證：當(dāng)時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極值點，求的取值范圍．專題升華導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)的落腳點是研究函數(shù)的單調(diào)性，已知函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減；反之當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增時，恒成立，當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減時，恒成立.通過解不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，不等式解集需借助導(dǎo)函數(shù)的零點表示，故在解不等式的過程中：若不等式為一元二次不等式，或簡單的指對不等式，可直接求出解集；若不等式較復(fù)雜，要轉(zhuǎn)化為構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的零點（利用零點存在性定理判斷零點是否存在及個數(shù)，帶特殊值驗證函數(shù)值是否為0，求出零點，若出現(xiàn)“隱零點”，運用設(shè)而不求的思想表示零點），借助零點求出（或）的解集，判斷原函數(shù)的單調(diào)性.解決導(dǎo)數(shù)問題難度較大，綜合性強，關(guān)鍵是理清每一環(huán)節(jié)的思路，萬變不離其宗.【答案詳解】變式訓(xùn)練1【解析】解：（1）當(dāng)時，，，，故單調(diào)遞增，又，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增.（2）由得，，，①當(dāng)時，不等式為：，成立；②當(dāng)時，，設(shè)，則，令，則，，故單調(diào)遞增，，故函數(shù)單調(diào)遞增，，由可得：恒成立，故當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；，綜上所述：實數(shù)的取值范圍是變式訓(xùn)練2【解析】證明：函數(shù)的定義域為，

當(dāng)時，，

設(shè)，

則，

則當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增;

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，

所以在內(nèi)，函數(shù)的最大值為，

當(dāng)時，，

由于，，所以時，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.

解：，

設(shè)，

，

若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有