VAR模型與向量VECM模型

第7章向量自回歸模型（VAR）與向量偏差修正模型（VEC）§向量自回歸模型（VAR(p)）傳統(tǒng)的經(jīng)濟計量學聯(lián)立方程模型建摸方法,是以經(jīng)濟理論為基礎(chǔ)來描繪經(jīng)濟變量之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，采用的是結(jié)構(gòu)方法來成立模型，所成立的就是聯(lián)立方程結(jié)構(gòu)式模型。這類模型其長處是擁有明顯的經(jīng)濟理論含義。但是，從計量經(jīng)濟學建摸理論而言，也存在很多缺點而遇到懷疑。一是在模型成立之處，第一需要明確哪些是內(nèi)生變量，哪些是外生變量，只管能夠依據(jù)研究問題和目的來確立，但有時也其實不簡單；二是所設(shè)定的模型，每一結(jié)構(gòu)方程都含有內(nèi)生多個內(nèi)生變量，當將某一內(nèi)生變量作為被解說變量出現(xiàn)在方程左側(cè)時，右側(cè)將會含有多個其余內(nèi)生變量，因為它們與擾動項有關(guān)，進而使模型參數(shù)預(yù)計變得十分復(fù)雜，在未預(yù)計前，就需要議論辨別性；三是結(jié)構(gòu)式模型不可以很好地反應(yīng)出變量間的動向聯(lián)系。為認識決這一問題，經(jīng)過一些現(xiàn)代計量經(jīng)濟學家門的研究，就給出了一種非結(jié)構(gòu)性成立經(jīng)濟變量之間關(guān)系模型的方法，這就是所謂向量自回歸模型（VectorAutoregressionModel）。VAR模型最早是1980年，由引入到計量經(jīng)濟學中，它實質(zhì)上是多元AR模型在經(jīng)濟計量學中的應(yīng)用，VAR模型不是以經(jīng)濟理論為基礎(chǔ)描繪經(jīng)濟變量之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系來成立模型的，它是以數(shù)據(jù)統(tǒng)計性質(zhì)為基礎(chǔ)，把某一經(jīng)濟系統(tǒng)中的每一變量作為所有變量的滯后變量的函數(shù)來結(jié)構(gòu)模型的。它是一種辦理擁有相關(guān)關(guān)系的多變量的剖析和展望、隨機擾動對系統(tǒng)的動向沖擊的最方便的方法。并且在必定條件下，多元MA模型、ARMA模型，也可化為VAR模型來辦理，這為研究擁有有關(guān)關(guān)系的多變量的剖析和展望帶來很大方便。模型的一般形式1、非限制性VAR模型（高斯VAR模型）,或簡化式非限制性VAR模型設(shè)yt(y1ty2t...ykt)為一k維隨機時間序列，p為滯后階數(shù)，ut(u1tu2t...ukt)為一k維隨機擾動的時間序列，且有結(jié)構(gòu)關(guān)系y1ta(1)11y1t1a(1)12y2t1...a(1)1kykt1a(2)11y1t2a(2)12y2t2...a(2)1kykt2...a(p)11y1tpa(p)12y2tp...a(p)1kyktpu1ty2ta(1)21y1t1a(1)22y2t1...a(1)2kykt1a(2)21y1t2a(2)22y2t2...a(2)2kykt2...a(p)21y2tpa(p)12y2tp...a(p)2kyktpu2t.....................................................................................................................ykta(1)k1y1t1a(1)k2y2t1...a(1)kkykt1a(2)k1y1t2a(2)12y2t2...a(2)1kykt2...a(p)k1y1tpa(p)k2y2tp...a(p)kkyktpuktt1,2,...,T（7．1．1）若引入矩陣符號，記a(i)11a(i)12...a(i)1ka(i)21a(i)22...a(i)2k,i1,2,...,pAi.....................................a(i)k1a(i)k2...a(i)kk可寫成ytA1yt1A2yt2...Apytput，t1,2,...,T進一步，若引入滯后算子L，則又可表示成A(L)ytut,t1,2,...,T此中:A(L)IkA1LA2L2...ApLp,為滯后算子多項式.假如模型知足的條件:①參數(shù)陣Ap0,p0;

7．1．2）（）②特色方程det[A(L)]IkA1LA2L2...ApLp0的根全在單位園外；③ut~iidN(0,)，t1,2,...,T，即ut互相獨立，同聽從以E(ut)0為希望向量、Cov(ut)E(utut)為方差協(xié)方差陣的k維正態(tài)散布。這時，ut是k維白噪聲向量序列，因為ut沒有結(jié)構(gòu)性經(jīng)濟含義，也被稱為沖擊向量；Cov(utxtj)E(utxtj)0,j1,2,...，即ut與xt及各滯后期不相關(guān)。則稱上述模型為非限制性VAR模型（高斯VAR模型）,或簡化式非限制性VAR模型。2、受限制性VAR模型，或簡化式受限制性VAR模型假如將yt(y1ty2t...ykt)做為一k維內(nèi)生的隨機時間序列，受d維外生的時間序列xt(x1tx2t..xdt)影響（限制），則VAR模型為ytA1yt1A2yt2...ApytpDxtut，t1,2,...,T（7．1．4）或利用滯后算子表示成A(L)ytDxtut,t1,2,...,T（）d11d12...d1d此中：Dd21d22...d2d............................dk1dk2...dkd此時稱該模型為受限制性VAR模型，簡化式受限制性VAR模型。對于受限制性VAR模型，可經(jīng)過yt(y1ty2t...ykt)對xt(x1tx2t..xdt)作OLS回歸，獲取殘差預(yù)計%yt?%）或（）形式的非限制性VAR模型，即ytyt，進而將yt變換成（%%%2...%ut，t1,2,...,T（7．1．6）ytA1yt1A2ytApytp%t1,2,...,T（）A(L)ytut,這說明受限制性VAR模型可化為非限制性VAR模型。簡化式非限制、受限制VAR模型，皆簡記為VAR(p)。3、結(jié)構(gòu)式非限制性VAR模型假如yt(y1ty2t...ykt)中的每一重量受其余重量當期影響,無d維外生的時間序列xt(x1tx2t..xdt)影響（限制）,則模型化為AytAyAyt2...Ayu，t1,2,...,T（．．）01t12ptpt718或利用滯后算子表示成A(L)ytut,t1,2,...,T（）1a(0)12...a(0)1k此中：Aa(0)211...a(0)2k,這時的A(L)AALAL2...ALp0............................012pa(0)k1a(0)k2...1此時稱該模型為結(jié)構(gòu)式非限制性VAR模型。假如A0可逆，既逆陣A10存在，則結(jié)構(gòu)式非限制性VAR模型可化為簡化式非限制性VAR模型ytA10A1yt1A10A2yt2...A10ApytpA10ut，t1,2,...,T（7．1．10）或利用滯后算子表示成A(L)ytA10ut,t1,2,...,T（）這時，此中的A(L)IA10A1LA10A2L2...A10ApLp4、結(jié)構(gòu)式受限制性VAR模型假如將yt(y1ty2t...ykt)做為一k維內(nèi)生的隨機時間序列，此中每一重量受其余重量當期影響,且還受d維外生的時間序列xt(x1tx2t..xdt)影響（限制），則VAR模型為A0ytA1yt1A2yt2...ApytpDxtut，t1,2,...,T（7．1．12）或利用滯后算子表示成A(L)ytDxtut,t1,2,...,T（）此時稱該模型為結(jié)構(gòu)式受限制性VAR模型。假如A0可逆，既逆陣A10存在，則結(jié)構(gòu)式受限制性VAR模型可化為簡化式受限制性VAR模型ytA10A1yt1A10A2yt2...A10ApytpA10DxtA10ut，t1,2,...,T（7．1．14）或利用滯后算子表示成A(L)ytA10DxtA10ut,t1,2,...,T（）這時，此中的A(L)IA10A1LA10A2L2...A10ApLp結(jié)構(gòu)式非限制、受限制VAR模型，皆簡記為SVAR(p)。簡化式VAR模型的參數(shù)預(yù)計VAR模型參數(shù)預(yù)計,簡化式VAR模型比較簡單可采納Yule-Walker預(yù)計、OLS預(yù)計、極大似然預(yù)計法等進行預(yù)計,且可獲取擁有優(yōu)秀統(tǒng)計性質(zhì)的預(yù)計量。結(jié)構(gòu)式VAR模型參數(shù)預(yù)計比較復(fù)雜，可有兩種門路：一種是化成簡化式，直接預(yù)計簡化式模型參數(shù)，而后再經(jīng)過簡化式模型參數(shù)與結(jié)構(gòu)式模型參數(shù)的關(guān)系，求得結(jié)構(gòu)式模型參數(shù)預(yù)計，但這存在一個問題能否可行，什么狀況下可行，這與結(jié)構(gòu)式模型的辨別性有關(guān)。另一種門路是直接對結(jié)構(gòu)式模型參數(shù)進行預(yù)計，但這也存在一個問題，上述方法不行應(yīng)用，原由是每一方程含有眾多內(nèi)生的與擾動項有關(guān)變量，那么，怎樣預(yù)計？這也與結(jié)構(gòu)式模型的辨別性有關(guān)。對于簡化式VAR模型（）—（），在沖擊向量知足假定ut~iidN(0,)，t1,2,...,T，即ut相互獨立，同聽從以E(ut)0為希望向量、Cov(ut)E(utut)為方差協(xié)方差陣的k維正態(tài)散布。這時，t是k維白噪聲向量序列的條件下，模型參數(shù)陣A1,A2,...,Ap及也可采納Yule-Walker預(yù)計、預(yù)計、uOLS極大似然預(yù)計。設(shè)yt(y1ty2t...ykt),t1,2,...,T為長度為T的樣本向量1、Yule-Walker預(yù)計在T充分大時,第一預(yù)計自協(xié)方差陣T?hytyth/T(7.1.16)th1?????1A01...p11??...?2??令?10p,?2?A2............M,AM??...??APp1p20p?則可得模型參數(shù)陣的Yule-Walker預(yù)計(矩預(yù)計)為????1...?A1101p1??1??1?0...?p?2?A22,（）A............MM??p1?p2...?0?pAP2、OLS預(yù)計模型參數(shù)陣A1,A2,...,Ap的OLS預(yù)計，即求使???1Tp?ytj)(ytQ(A1,A2,...,Ap)(ytAjTjp1j1min???下的A1,A2,...,Ap作為A1,A2,...,Ap預(yù)計。

p?Ajytj)j1hT記ytyth/T(7.1.18)?tp1由此可推得???...?11?A101p1???1???...?2?A210p2,（）AM............M??p1?p2...?0?pAP因而可知,模型參數(shù)陣A1,A2,...,Ap的OLS預(yù)計(7.1.15)與Yule-Walker預(yù)計形式同樣,但式中的?h的計算不一樣.但是,當T充分大時,(7.1.16)與相差很小,這時與相差也很小,這時兩者的預(yù)計及預(yù)計量的性質(zhì)等價。所以，在T充分大時,可直接采納Yule-Walker預(yù)計比較簡單方便。而的預(yù)計為????1T（）???AA0ttTt1此中：u?t???ytA1yt1A2yt2...Apytp3、極大似然預(yù)計可證明,模型參數(shù)陣A1,A2,...,Ap的極大似然預(yù)計與OLS預(yù)計完整等價。除此以外，還有遞推預(yù)計法（拜見：馬樹才，《經(jīng)濟時序剖析》，遼寧大學第一版社，）,這里不在贅述。簡化式VAR模型的展望在已知yt1,yt2,...時，對yt的一步線性展望?(1)AYt1Ayt2...Aytp（）yt112p其一步展望偏差為%?(1)ytyt1etyt一步展望偏差的方差陣為%%EetetS的預(yù)計為Eytyt?kpp1(?0??i)（S(1)Ai）Ti1在已知yt1,yt2,...時，假如利用模型參數(shù)的預(yù)計量???A1,A2,...,Ap，對yt進行一步線性展望，則yt的實質(zhì)一步線性展望為?(1)??yt1AY1t1A2yt2其一步展望偏差為%?(1)ytyt1yt(A1?(A2A1)Yt1一步展望偏差的方差陣為Ey%%tytEetetD的預(yù)計為

?（）...Apytp?...(Ap?etA2)yt2Ap)ytpkpkpp?1(?0??i)(1)(1)（）DAiTTi1模型階數(shù)p確實定VAR模型的定階是一個矛盾過程，階數(shù)p確實定，既不可以太大，又不可以太小，一定兼?zhèn)?。因為，一方面，希望滯后階數(shù)p要大一些，以便使模型能更好地反應(yīng)出動向特色，但另一方面，又不希望太大，不然，階數(shù)p太大，會造成需要預(yù)計的模型參數(shù)過多，而使模型自由度減少。所以，在定階時需要綜合考慮，以既要有足夠大的滯后項，又能有足夠大的自由度為原則確立階數(shù)。VAR模型的定階方法有多種：1、FPE準則(最小最后展望偏差準則)FPE準則(最小最后展望偏差準則)，即利用一步展望偏差方差進行定階。因為，假如模型階數(shù)適合，則模型對實質(zhì)數(shù)據(jù)擬合優(yōu)度必定會高，其一步展望偏差方差也必定會小；反之，則相反。設(shè)給準時間序列向量長度為T的樣本向量為yt(y1ty2t...ykt),t1,2,...,T，則其一步展望偏差方差陣的預(yù)計量為（）式,它是一個kk階陣,所以可定義其最后展望偏差為?kpkkpp(1)kdet(?0?（）FPEk(p)detD)(1Ai?i)TTi1明顯,FPEk(p)是p的函數(shù)。所謂最小最后展望偏差準則，就是分別取p=1，2,，M,來計算FPEk(p),使FPEk(p)min值所對應(yīng)的p,為模型適合階數(shù)。相應(yīng)的模型參數(shù)預(yù)計???M為早先A1,A2,...,Ap為最正確模型參數(shù)預(yù)計。此中，選定的階數(shù)上界,一般取MT/10k~T/5k之間。在實質(zhì)計算過程中，可以下判斷：①假如FPEk(p)的值，跟著p從1開始漸漸增大就向來上漲，則可判斷p=1；②假如FPEk(p)的值，跟著p從1開始漸漸增大就向來降落，則可判斷該隨機時間序列不可以用AR（p）模型來描繪；③假如FPEk(p)的值，在某一p值降落很快，爾后又遲緩降落，則可判斷該p值為所確立的階數(shù)；④假如FPEk(p)的值，跟著p從1開始漸漸增大而上下強烈跳動，難以找到最小值，這可能因為樣本數(shù)據(jù)長度T太小造成的，應(yīng)增大樣本長度，從頭進行定階、預(yù)計模型參數(shù)，成立模型。利用FPE信息準則還能夠用來查驗?zāi)Ｐ偷某闪⒛芊窨捎刹糠种亓?，比方前r(rk)個重量y1ty2t...yrt，t1,2,...,T來進行，方法以下：p?p記（）式中的kk階矩陣(?0?i)的左上角r階子方陣為(?0??i)rr,則前r個分AiAii1i1量y1ty2t...yrt，t1,2,...,T的最后展望偏差為?kprkprp?det(?0(1)(1))rr（）FPEr(p)detDrAi?iTTi1當rk時，（）為式。假如，minFPEr(p)minFPEk(p)，則可以為僅用前r個重量y1ty2t...yrt，t1,2,...,T成立模型即可，沒有必需采納k維隨機時間序列yt(y1ty2t...ykt)成立模型，因為從最小最后展望偏差準則角度，用k維隨機時間序列yt(y1ty2t...ykt)成立模型比僅采前r個重量y1ty2t...yrt，t1,2,...,T成立模型，帶來擬合優(yōu)度的明顯改良；反之，則相反。2、AIC(AkaikeInformationCriterion)與SC（BayesInformationCriterion）信息準則AIC、SC信息準則，也稱最小信息準則，定義AIC2l/T2n/T，SC2l/TnlnT/T

（）此中：lTk(1ln2)Tln?,n為模型需要預(yù)計參數(shù)個數(shù)，對（）,npk2；對于22nk(dpk)；對于（n(p1)k2；對于（），nk(dpk)k2。所謂最小信息準則，就是分別取p=1，2,,來計算AIC或許SC,使AIC或SCmin值所對應(yīng)的p,為模型適合階數(shù)。相應(yīng)的模型參數(shù)預(yù)計???A1,A2,...,Ap為最正確模型參數(shù)預(yù)計。3、似然比查驗法（LikelihoodRatio,LR查驗）：因為ut~iidN(0,)，t1,2,...,T，即ut互相獨立，同聽從以E(ut)0為希望向量、Cov(ut)E(utut)為方差協(xié)方差陣的k維正態(tài)散布。所以，yt1記Yyt2,AAALA，則在給yt1,yt2,...,yp1的條件下，y(yy2t...y)的tM12Pt1tktytp條件散布為ytyt1,yt2,...,yp1~N(AYt,)于是，在給yt1,yt2,...,yp1的條件下，y1,y2,...,yT的結(jié)合散布密度，即似然函數(shù)為L(A,)(2)Tk/21T/2exp{(1T[(ytAYt)1(yt2t1對數(shù)似然函數(shù)為lnL(A,)Tkln(2)Tln11T[(ytAYt)222t1將參數(shù)預(yù)計代入，則有l(wèi)nL(A,)TkT11T??1)，ln(2)ln2(utut22t1

AYt)]}1(ytAYt)]又?1T??ututTt1所以，有l(wèi)nL(A,)Tkln(2)Tln?1Tk（）222此刻，欲查驗假定H0:樣本數(shù)據(jù)是由滯后階數(shù)為p的VAR模型生成；H1:樣本數(shù)據(jù)是由滯后階數(shù)為p1的VAR模型生成取似然比統(tǒng)計量為LR2[lnL(A,?p1)lnL(A,?p)]1ln?1):22（）T(ln?p1p(k)散布在給定的明顯性水平下，當LR2(k2)，則拒絕H0，表示增添滯后階數(shù)，可明顯增大似然函數(shù)值；不然，則相反。LR查驗在小樣本下，可取似然比統(tǒng)計量為LR(Tm)(ln?1ln?1):22（）p1p(k)散布此中,mdkp.模型的Granger因果關(guān)系查驗VAR模型的另一重要應(yīng)用是可用來查驗一個變量與另一變量間能否存在Granger因果關(guān)系，這也是建立VAR模型所需要的。1、Granger因果關(guān)系的涵義設(shè)yt(y1ty2t)為一2維隨機時間序列，假如在給定y1t、y2t的滯后值下y1t的條件散布與僅在給定的y1t的滯后值下y1t的條件散布同樣，即f(y1ty1t1,y1t2,...,y1tp,y2t1,y2t2,...,y2tp)f(y1ty1t1,y1t2,...,y1tp)則稱y2t對y1t存在Granger非因果性關(guān)系，不然，y2t對y1t存在Granger因果性關(guān)系。Granger因果性關(guān)系涵義的另一表述：在其條件不變下，假如加上y2t的滯后值，其實不對只由y1t的滯后值下對y1t進行展望有明顯改良，則稱y2t對y1t存在Granger非因果性關(guān)系，不然，y2t對y1t存在Granger因果性關(guān)系。2、Granger因果關(guān)系查驗設(shè)yt(y1ty2t)為一2維隨機時間序列，p為滯后階數(shù)，ut(u1tu2t)為一2維隨機擾動的時間序列，則有2元VAR模型為y1ta(1)11y1t1a(1)12y2t1a(2)11y1t2a(2)12y2t2...a(p)11y1tpa(p)12y2tpu1ty2ta(1)21y1t1a(1)22y2t1a(2)21y1t2a(2)22y2t2...a(p)21y2tpa(p)12y2tpu2tt1,2,...,T（7．1．31）明顯，欲查驗y2t對y1t能否存在Granger非因果性關(guān)系，等價地，查驗假定H0:a(1)12a(2)12...a(p)120；H1:a(1)12,a(2)12,...a(p)12中起碼有一個不為0。其用于查驗的統(tǒng)計量為(SSRSSR)/pFy1y1,y2~F(p,T2p1)（7．1．32）SSRy1,y2/(T2p1)此中，SSRy1,y2為模型（）中第1方程殘差平方和,SSRy1為模型（）中第1方程去掉y2各期滯后項后擬合殘差平方和。在給定的明顯性水平下，當FF(p,T2p1)時，拒絕H0。假如模型（7．1．31）知足ut~iidN(0,)，t1,2,...,T，即ut互相獨立，同聽從以E(ut)0為希望向量、Cov(ut)E(utut)為方差協(xié)方差陣的k維正態(tài)散布條件，則也可采納以下統(tǒng)計量進行查驗在給定的明顯性水平下，當

2T(SSRSSR,y2)2y1y1~(p)（7．1．33）SSRy1,y222(p)時，拒絕H0，上述Granger因果性關(guān)系查驗，可推行到對隨意k維VAR模型以及SVAR模型中的某一或某幾個隨機時間序列（包含內(nèi)生、外生變量）能否對另一時間序列擁有Granger因果性的查驗上去?！霽AR（p）模型的脈沖響應(yīng)函數(shù)與方差分解在實質(zhì)應(yīng)用中，因為往常所設(shè)定的VAR模型都是非經(jīng)濟理論性的簡化式模型，出它無需對變量作任何先驗性拘束，所以，在剖析應(yīng)用中，常常其實不利用VAR模型去剖析某一變量的變化對另一變量的影響怎樣，而是剖析當某一擾動項發(fā)生變化，或許說模型遇到某種沖擊時，對系統(tǒng)的動向影響，這鐘剖析方法稱為脈沖響應(yīng)函數(shù)方法（ImpulseResponseFunction,IRF）。脈沖響應(yīng)函數(shù)基本思想對VAR模型采納脈沖響應(yīng)函數(shù)剖析擾動項發(fā)生變化，或許說模型遇到某種沖擊時，對系統(tǒng)的動向影響，就是剖析擾動項發(fā)生變化是怎樣流傳到各變量的。設(shè)yt(y1ty2t)為一2維隨機時間序列，滯后階數(shù)p=2，ut(u1tu2t)為一2維隨機擾動的時間序列，則有2元VAR模型為y1ta(1)11y1t1a(1)12y2t1a(2)11y1t2a(2)12y2t2u1ty2ta(1)21y1t1a(1)22y2t1a(2)21y1t2a(2)22y2t2u2tt1,2,...,T（7．2．1）擾動項知足白噪聲假定條件，即E(ut)0,t1,2,...,T；Cov(ut)E(utut)[ij],t1,2,...,T；Cov(ut,us)E(utus)0(ts),t,s1,2,...,T此刻假定上述VAR模型系統(tǒng)從t0時期開始運轉(zhuǎn)，并設(shè)y1,1y1,2y2,1y2,20，在t0時給定擾動項u101、u200,并且后來u1tu2t0,(t1,2,...)，即在t0時給定y1t一脈沖，我們來議論y1t、y2t的響應(yīng)。因為0,721t01,01、y2,00由（時，于是有，；．．），在y將上述結(jié)果再代入（7．2．1），在t1時，于是有，ya(1)11、y2,1a(1)；1,121再將上述結(jié)果代入（15．2．1），在t2時，于是有，y1,2(a(1)11)2a(1)12a(2)11a(1)21,y2,2a(1)21a(1)11a(1)22a(2)21a(1)21這樣下去，可求得結(jié)果y1,0,y1,1,y1,2,y1,3,....，稱此結(jié)果為由y1的沖脈沖惹起的y1t的響應(yīng)函數(shù)；所求得的y2,0,y2,1,y2,2,y2,3,....，稱為由1的沖脈沖惹起的y2t的響應(yīng)函數(shù)。y反過來，也可求得在t0時，給定擾動項u100、u201,并且后來u1tu2t0,(t1,2,...)，即在t0給定y2t一脈沖時，由y2的沖脈沖惹起的y1t、y2t的響應(yīng)函數(shù)。模型的脈沖響應(yīng)函數(shù)假定有VAR(p)模型ytA1yt1A2yt2...Apytput，t1,2,...,T（7．2．2）引入滯后算子B，表示成A(L)ytut,t1,2,...,T（）此中:A(L)IkALAL2...ALp,為滯后算子多項式.12p在知足特色方程det[A(L)]IkA1LA2L2...ApLp0的根全在單位園外條件下，則VAR(p)是可逆的，即可將yt表示成白噪聲ut滑動和形式y(tǒng)tC(L)ut（）此中：C(L)A(L)1C0C1LC2L2....,C0Ik(k階單位陣）（）中第i方程為k(c(0)c(1)1c(2)yitj1ijujtijujtijujt2...),t1,2,,,.T（）當k2時,(7.2.4)為y1tc(0)11c(0)12u1tc(1)11c(1)12u1t1c(2)11c(2)12u1t2...y2tc(0)c(0)u2tc(1)21c(1)u2tc(2)c(2)u2t212222121222t1,2,...,T（7．2．6）此刻假定在基期給y1一個單位脈沖,即u1t1,t0而u2t0,t0,1,2,...0,t0則可求得由y1的脈沖惹起y2的響應(yīng)函數(shù)為：t0,y20c(0)21t1,yc(1)2121t2,y22c(2)21M由此可看出，對于（）式的一般情況，由yj的脈沖惹起yi的響應(yīng)函數(shù)為：t0,yi0c(0)ijt1,yi1c(1)ijt2,yi2c(2)ijM由yj的脈沖惹起yi的積累響應(yīng)函數(shù)為：c(q)ijq0由（）式,此中的Cq中的第i行、第j列元素可表示為c(q)ijyitq/ujt,q0,1,2,...;t1,2,...,T（）作為q的函數(shù)，它描繪了在時期t，其余變量和初期變量不變的狀況下，yitq對yjt的一個沖擊的反響，稱為脈沖——響應(yīng)函數(shù)。用矩陣可表示為Cq=ytq/ut（）即Cq中的第i行、第j列元素等于時期t的第j變量擾動項增添一個單位，其余時期擾動項為常數(shù)時，對時期tq的第i個變量值的影響。7．2．3方差分解VAR模型的脈沖響應(yīng)函數(shù)是用來描繪VAR模型中一個內(nèi)生變量的沖擊給其余內(nèi)生變量所帶來的影響的，它是隨時間的推移，察看模型中各變量對于沖擊是怎樣反響的。而方差分解是要經(jīng)過剖析每一結(jié)構(gòu)沖擊對內(nèi)生變量變化（往常用方差來胸懷）的貢獻度，進一步評論不一樣結(jié)構(gòu)沖擊的重要性的，與脈沖響應(yīng)函數(shù)相比，方差分解是一種比較粗拙的掌握變量間關(guān)系的方法，它給出的是對VAR模型中的變量產(chǎn)生影響的每個擾動項的相對重要信息。方差分解的基本思想是：由（）式kyit(c(0)ijujtc(1)ijujt1c(2)ijujt2...),i1,2,...,k;t1,2,,,.T（）j1可知，左側(cè)括號內(nèi)為是第j擾動項uj從過去無窮遠至此刻時點對第i內(nèi)生變量yi影響的總和。在E(uj)0，uj無序列有關(guān)的假定下，對其求方差，可得E(c(0)ijujtc(1)ijujt1c(2)ijujt2...)2(c(q)ij)2jj,i,j1,2,...,k（）q0它是把第j擾動項uj從過去無窮遠至此刻時點對第i內(nèi)生變量yi影響總和，用方差加以評論的結(jié)果。假如Cov(ut)E(utut)為對角陣，則yit的方差為k(c(q)ij)2Var(yit)[jj)],j1,2,...,k;t1,2,...,T（7.2.11）j1q0由此可知，yit的方差可分解成k個不有關(guān)的(c(q)ij)2jj（j1,2,...,k）的影響。q0由此，可測定出各個擾動項對yit方差的相對方差貢獻率為(c(q)ij)2jj(c(q)ij)2jjRVCji()q0Var(yit)q0k（）(c(q)ij)2[jj]j1q0i,j1,2,..,k在實質(zhì)應(yīng)用計算中，不行能從過去無窮遠的c(q)ij來評論。在模型知足安穩(wěn)性條件下，因為c(q)ij跟著q的增大是按幾何級數(shù)衰減的，故只需取前s有限項計算即可。其近似相對方差貢獻率為s1(c(q)ij)2jjRVCji(s)q0ks1，i,j1,2,..,k（）[(c(q)ij)2jj]j1q0RVCJI(s)有以下性質(zhì)：①0RVCj()1（）isk②RVCji(s)1,i1,2,...,k（）j1假如RVCJI(s)大，則意味著第j變量（第j擾動項）對第i變量yi影響大，反之，則相反。Johansen協(xié)整查驗與向量偏差修正模型(VEC)前面我們已經(jīng)介紹了單方程的協(xié)整查驗與偏差修正模型。且其協(xié)整查驗方法是以回歸模型為基礎(chǔ)的鑒于回歸殘差序列的ADF查驗法進行查驗的。此刻我們把它推行到VAR模型上去，并給出以VAR模型為基礎(chǔ)鑒于回歸系數(shù)的協(xié)整查驗方法。在單方程協(xié)整查驗中，因為是鑒于回歸殘差序列進行，故在第一階段需要采納OLS進行回歸剖析，應(yīng)用很不方便。為此，Johansen（1988）及Juselius(1990)提出了一個以VAR模型為基礎(chǔ)的鑒于回歸系數(shù)的特別適合于多變量的協(xié)整查驗法。7．3．1Johansen協(xié)整查驗1、協(xié)整定義：設(shè)yt(y1t,y2t,...,ykt)為一k維隨機時間序列，t1,2,...,T，假如①yt~I(d),且每一yit~I(d)，i1,2,...,k②存在非零向量=(1,2,...,k)，使yt~I(db),0bd則稱yt為協(xié)整，記為yt~CI(d,b)，為協(xié)整向量。若yt為協(xié)整，則最多存在k1個線性沒關(guān)的協(xié)整向量。即若記由yt的所有協(xié)整向量構(gòu)成的矩陣為A，則A秩，0rant(A)rk1。比如，k=2，yt(y1t,y2t)，y1t,y2t~I(1)，如有c1使y1tc1y2t~I(0)，依據(jù)上述，最多存在k1211個線性沒關(guān)的協(xié)整向量，則協(xié)整向量((1c1),c1)獨一。因為如有c2也使得y1tc2Y2t~I(0),則（y1tc1y2t）-（y1tc2Y2t）（c2c1)y2t~I(0)這與已知y2t~I(1)矛盾，故c1c2，即((1c1),c1)獨一。2、Johansen協(xié)整查驗基本思想設(shè)yt(y1t,y2t,...,ykt)為一k維隨機時間序列，t1,2,...,T，且yt~I(1),即每一yit~I(1)，i1,2,...,k，受d維外生的時間序列xt(x1tx2t..xdt)影響（限制），則第一可成立VAR模型ytA1yt1A2yt2...ApytpDxtut，t1,2,...,T（7．3．1）將上式進行差分變換，也稱為協(xié)整變換，可寫成p1ytyt1i1iytiDxtut（7．3．2）pp此中，AiI,iAj（7．3．3）i1ji1p1在（7．3．2）中，因為yt~I(1),所以yt~I(0)、ytj~I(0),j0,1,...,p，iyti~I(0)i1所以，只需yt1~I(0),則y1t1,y2t1,...,ykt1，亦即y1t,y2t,...,ykt之間擁有協(xié)整關(guān)系，而y1t1,y2t1,...,ykt1之間能否擁有協(xié)整關(guān)系取決于kk階矩陣的秩rank()。因為，與模型所有參數(shù)陣A1,A2,...,Ap有關(guān)，故稱為壓縮矩陣（影響矩陣）。設(shè)rank()r，則r有種狀況：3①假如rk，這意味著是一列滿秩陣，則只有當y1t1,y2t1,...,ykt1~I(0)時，才能保證yt1~I(0),但這與已知yt~I(1)相矛盾，故rk,只好有r<k.②假如r0，則0,由（7．3．2），這時用不著議論y1t1,y2t1,...,ykt1之間能否擁有有協(xié)整關(guān)系。除上述兩種極端情況外，一般狀況是：③假如0rk，這意味著y1t,y2t,...,ykt中必定存在r個協(xié)整關(guān)系（協(xié)整組合），其余kr個關(guān)系仍舊為I(1)關(guān)系。在這類狀況下，可將分解成兩個kr階陣、的乘積且rank()r、rank()r。將其代入到（7．4．2）式中，有p1ytyt1iytiDxtut（7．3．4）i1上式要求，yt1~I(0)向量，其每一行都是I(0)變量，即(12...r)的每一列都是一協(xié)整向量，所以決定了y1t1,y2t1,...,ykt1之間協(xié)整向量的個數(shù)和形式，故稱稱為協(xié)整向量陣，r為協(xié)整向量個數(shù)。的每一行是出此刻上述每一方程中的r個協(xié)整組合的一組權(quán)數(shù)，故稱為調(diào)整參數(shù)陣，或修正參數(shù)陣。顯然，在yt~I(1)假定條件下，最大可能rk1，這就是對于k維向量yt(y1t,y2t,...,ykt)最大可能存在k個線性沒關(guān)的協(xié)整向量的道理。1依據(jù)上述剖析，可知欲查驗yt(y1t,y2t,...,ykt)能否擁有協(xié)整關(guān)系，就轉(zhuǎn)變?yōu)閷仃嚨闹葦?shù)的檢驗，因為rank()=的非零特色根的個數(shù)，所以，就能夠經(jīng)過查驗的非零特色根的個數(shù)，來查驗rank()，進而來判斷yt(y1t,y2t,...,ykt)能否擁有協(xié)整關(guān)系。這就是Johansen協(xié)整查驗的基本思想。3、Johansen協(xié)整查驗此刻假定的k個特色根為12...k。Johansen協(xié)整查驗有兩種方法：1、特色根跡查驗（trace查驗）因為r個最大特色根可獲取r個協(xié)整向量，而對于其余kr個非協(xié)整組合而言，應(yīng)當有r1r2...k0，所以，查驗rank()能否等于r，等價地查驗假定Hr0:r0,r10;Hr1:r10,r0,1,2,...,k1可用于查驗的特色根跡統(tǒng)計量為krTln(1i),r0,1,2,...,k1（7．3．5）ir1詳細明顯性查驗程序以下：①當0某一明顯性水平下的Johansen散布臨界值，即不明顯時，接受H00(r0)，表示有k個特色根，0個協(xié)整向量，即yt(y1t,y2t,...,ykt)不存在協(xié)整關(guān)系。當0某一明顯性水平下的Johansen散布臨界值，即明顯時，拒絕H00(r0)，表示起碼有1協(xié)整向量。這時一定接著查驗1。②當1某一明顯性水平下的Johansen散布臨界值，即不明顯時，接受H10(r1)，表示只有1個協(xié)整向量。挨次進行下去，直到接受Hr0，說明存在r個協(xié)整向量時為止。這時，這r個協(xié)整向量就是最大的r個特色根所對應(yīng)的經(jīng)過正規(guī)化的特色向量。明顯整個查驗過程應(yīng)當是序貫進行的，整個序貫查驗過程以下：當0某一明顯性水平下的Johansen散布臨界值，即不明顯時，接受H00(r0)，表示只有0個協(xié)整向量（即不存在協(xié)整關(guān)系）。當0某一明顯性水平下的Johansen散布臨界值，即明顯時，拒絕H00(r0)，表示起碼有1協(xié)整向量。這時一定接著查驗1。當1向量。當1量。

某一明顯性水平下的Johansen散布臨界值，即不明顯時，接受H10(r1)，表示只有1個協(xié)整某一明顯性水平下的Johansen散布臨界值，即明顯時，拒絕H10(r1)，表示只少2個協(xié)整向M當r某一明顯性水平下的Johansen散布臨界值，即不明顯時，接受Hr0，表示只有r個協(xié)整向量。2、最大特色根查驗因為r個最大特色根可獲取r個協(xié)整向量，而對于其余kr個非協(xié)整組合而言，應(yīng)當有r1r2...k0，所以，最大特色根查驗用于查驗假定Hr0:r10;Hr1:r10,r0,1,2,...,k1用于查驗的最大特色根查驗的統(tǒng)計量為rTln(1r1),r0,1,2,...,k1（7．3．6）詳細明顯性查驗程序以下：當0臨界值，不明顯時，接受H00(r0)，表示最大特色根為0，無協(xié)整向量；當0臨界值，明顯時，拒絕H00(r0)，接受H10，表示起碼有1個最大特色根不為0，起碼有1個協(xié)整向量。須接著查驗1。當1臨界值，不明顯時，接受H10(r1)，表示最大特色根不為0，其余特色根皆為0，只有1個協(xié)整向量；查驗截止。當

1

臨界值，明顯時，拒絕

H10

(r

1)，接受

H11，表示起碼有兩個最大特色根不為

0，，起碼有

2個協(xié)整向量。須接著查驗

2。挨次進行下去，直到接受

H

r0

，共有

r

個協(xié)整向量時為止。4、協(xié)整方程形式7．3．2向量偏差修正模型(VEC)由（）式可知，設(shè)yt(y1t,y2t,...,ykt)為一k維隨機時間序列，t1,2,...,T，且yt~I(1),即每一yit~I(1)，i1,2,...,k，假如yt不受d維外生的時間序列xt(x1tx2t..xdt)影響（限制），VAR模型變?yōu)閥tAyAy2...Aytpu，t1,2,...,T（．．）1t12tpt737將上式進行協(xié)整變換，可寫成p1ytyt1i1iytiut（7．3．8）pp此中，AiI,iAj（7．3．9）i1ji1假如yt存在協(xié)整關(guān)系，則（）的yt1~I(0),這時可寫成p1ytyt1iytiut(7．3．10）i1此中,yt1ecmt1即為偏差修正項,反應(yīng)的是變量之間的長久平衡關(guān)系。即，上式可寫成p1ytecmt1iytiut(7．3．11）i1(7.3.11)即為向量偏差修正模型（VEC）,此中每一方程都是一個偏差修正模型（ECM）。VEC模型中的參數(shù)向量，反應(yīng)的是變量之間的平衡關(guān)系偏離長久平衡狀態(tài)時，將其調(diào)整到平衡狀態(tài)的調(diào)整速度，故稱其為調(diào)整參數(shù)陣，或修正參數(shù)陣。所有作為解說變量的差分項yti(i1,2,...,p1)的系數(shù)向量i(i1,2,...,p1)，反應(yīng)的是各變量的短期顛簸yti對作為被解說變量yt的短期變化yt的影響。在實質(zhì)應(yīng)用中，對于影響不明顯的那些短期顛簸yti的項能夠從模型中剔除。上述不過議論了簡單的VEC模型，我們也能夠象VAR模型那樣結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)式VEC模型，也能夠?qū)EC模型討論Granger因果關(guān)系查驗、脈沖響應(yīng)函數(shù)和方差分解等等。對于這些更詳盡的內(nèi)容，可拜見Davidson和Mackinnon(1993)以及漢蜜而頓（1999）的著作。Davidson,RussellandJamesandInferencein:OxfordUniversityPress,1993,715-730.②詹姆。漢密爾頓：時間序列剖析（劉明志譯），中國社會科學第一版社，1999，第19章。SVAR(p)模型．4．1SVAR模型的辨別與拘束條件假如yt(y1ty2t...ykt)中的每一重量受其余重量當期影響,無d維外生的時間序列xt(x1tx2t..xdt)影響（限制）,則由（7．1．8）式，結(jié)構(gòu)式非限制性SVAR（p）模型為AytAyAyt2...Ayu，t1,2,...,T（．．）01t12ptpt741或利用滯后算子表示成A(L)ytut,t1,2,...,T（）1a(0)12...a(0)1k此中：A0a(0)211...a(0)2k,這時的A(L)A0A1LA2L2...ApLp............................a(0)k1a(0)k2...1此時稱該模型為結(jié)構(gòu)式非限制性SVAR模型。結(jié)構(gòu)式非限制性SVAR模型，即便在擾動項知足白噪聲條件下也不可以采納一般最小二乘法預(yù)計模型參數(shù)來成立模型，因為每一方程含有同期有關(guān)的變量。假如A0可逆，既逆陣A10存在，則結(jié)構(gòu)式非限制性SVAR模型可化為簡化式非限制性VAR模型ytA1AyA1Ayt2...A1AyA1u，t1,2,...,T（7．4．3）01t1020ptp0t或利用滯后算子表示成A(L)ytA10ut,t1,2,...,T（）這時，此中的A(L)IA1ALA1AL2...A1ALp01020p若記A10A1D1,A10A2D2,...,A10ApDp,A10utvt（7．4．5）則（）可寫成ytD1yt1D2yt2...Dpytpvt，t1,2,...,T（7．4．6）簡化式非限制性模型VAR所含需要預(yù)計參數(shù)個數(shù)為k2p(k2k)/2（7．4．7）此中，(k2k)/2為擾動項ut的方差協(xié)方差陣Cov(ut)E(utut)所含未知待預(yù)計參數(shù)個數(shù)。在擾動項知足白噪聲條件下，（7．4．6）式可采納一般最小二乘法預(yù)計上述模型參數(shù)，來成立其簡化式非限制性VAR模型。我們知道，結(jié)構(gòu)式非限制性SVAR模型（7．4．1），即便在擾動項知足白噪聲條件下也不可以采納一般最小二乘法預(yù)計模型參數(shù)來成立模型，因為每一方程含有同期有關(guān)的變量。既然其簡化式非限制性VAR模型（7．4．6）模型參數(shù)能夠經(jīng)過一般最小二乘法預(yù)計，那么，能否依據(jù)上述簡化式非限制性

VAR模型的模型參數(shù)與結(jié)構(gòu)式非限制性

SVAR模型的模型參數(shù)之間的關(guān)系式（

7．4．5），經(jīng)過已預(yù)計的簡化式非限制性VAR模型參數(shù)，獲取相應(yīng)的結(jié)構(gòu)式非限制性

SVAR模型參數(shù)成立模型？這就波及到

結(jié)構(gòu)式非限制性

SVAR模型（7．4．1）的辨別性（對于辨別性及其方法，可見

14章聯(lián)立方程內(nèi)容），或許說取決于對

結(jié)構(gòu)式非限制性SVAR模型所施加的拘束條件。因為，由結(jié)構(gòu)式非限制性SVAR模型（7．4．1）可知，其需要預(yù)計的模型參數(shù)個數(shù)共k2p

k2

（7．4．8）k2p

k2

k2p

(k

2

k)/2

，所以，假如不對結(jié)構(gòu)式非限制性

SVAR模型（7．4．1）施加限制條件，其模型參數(shù)不行預(yù)計。那么，對結(jié)構(gòu)式非限制性

SVAR模型（

7．4．1）需要施加多少限制或拘束條件？需要施加的拘束條件數(shù)恰巧為[k2pk2]—[k2p(k2k)/2]k(k1)/2（7．4．9）即只需施加k(k1)/2個拘束條件，則結(jié)構(gòu)式非限制性SVAR模型（7．3．1）的模型參數(shù)便可預(yù)計。所施加的拘束條件既能夠是短期（同期）的，也能夠是長久的。1、短期拘束結(jié)構(gòu)式非限制性SVAR模型（7．4．1）式A0ytA1yt1A2yt2...Apytput，t1,2,...,T1a(0)12...a(0)1k此中：A0a(0)211...a(0)2k............................a(0)k1a(0)k2...1在A0可逆，既逆陣A10存在時，可化成簡化式非限制性VAR模型（7．4．6）ytD1yt1D2yt2...Dpytpvt，t1,2,...,T進一步，在知足特色方程det[D(L)]IkD1LD2L2...DpLp0的根全在單位園外條件下，則VAR(p)可逆，進而又可將y表示成白噪聲vt滑動和形式tytC(L)vtC0vtC1vt1C2vt2...，此中，C0A10（）依據(jù)Cholesky分解基本思想，短期拘束可直接施加在矩陣A0上，只需使A0成為主對角線上元素為1的下三角形矩陣，即10.........0A0a(0)211.........0............................a(0)k1a(0)k2...1則結(jié)構(gòu)式非限制性SVAR模型（7．4．1）式便可變?yōu)橐贿f歸形式的結(jié)構(gòu)式非限制性SVAR模型，進而為恰巧辨別，可直接采納OLS從第1方程開始預(yù)計該結(jié)構(gòu)式模型的模型參數(shù)，成立模型。在實質(zhì)中，對結(jié)構(gòu)式非限制性SVAR模型（7．4．1）式施加短期拘束，A0也能夠不呈下三角形，只要施加拘束條件數(shù)k(k1)/2，即可。比如，假如我們要成立一個以y1（GDP）、y2（稅收）、y3（政府支出）為變量的k3的結(jié)構(gòu)式非限制性SVAR模型，則只需施加k(k1)/23個拘束條件：(0)a230，當期y1（）影響當期y2（稅GDP收），不影響當期y3（政府支出）；a(0)0，當期（稅收）影響當期（政府支出）；a(0)1.71，1213Gy2y3G依據(jù)過去研究已得悉，稅收對于產(chǎn)出彈性為,則所建結(jié)構(gòu)式非限制性SVAR模型即可辨別,進而可預(yù)計。2、長久拘束所謂長久拘束,往常是指施加在（7．4．10）式C1,C2,...上的拘束,也但是獨自施加在某一Ci(i1,2,...)上的拘束而言。比較簡單的是一般都施加在C1上，與短期拘束近似，也可將長久拘束直接施加在A1上來進行。．4．2SVAR模型的三種種類SVAR模型依據(jù)模型特色主要有三種種類：K型、C型和AB型。此中最常用的是AB型，K型和C型可視為是AB型的特別形式。1、：K型SVAR模型設(shè)yt(y1ty2t...y