2022高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何單元測(cè)試新人教A版選修2-1

第三章空間向量與立體幾何注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．已知三棱錐，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，且，，，用，，表示，則等于（）A． B．C． D．2．已知、，且，則向量與的夾角是（）A．90° B．60° C．30° D．0°3．已知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、，若，則等于（）A．28 B． C．14 D．4．若向量是空間的一個(gè)基底，則一定可以與向量，構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的向量是（）A． B． C． D．5．在空間直角坐標(biāo)系中，已知、、、，若、、分別表示三棱錐在、、坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則（）A． B．C． D．6．已知、是兩異面直線(xiàn)，、，、，，且，，則直線(xiàn)、所成的角為（）A．30° B．60° C．90° D．45°7．如圖所示，在平行六面體中，點(diǎn)為上底面對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，若，則（）A．， B．，C．， D．，8．已知、，設(shè)在直線(xiàn)上，且，設(shè)，若，則的值為（）A． B． C． D．9．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，、分別是面、面的中心，則、兩點(diǎn)間的距離為（）A．1 B． C． D．10．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方體，，，，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為（）A． B． C． D．111．如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)是棱AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（）A． B． C． D．12．如圖所示，正方體中，、分別是正方形和的中心，是的中點(diǎn)，設(shè)、與所成的角分別為，，則等于（）A．120° B．60° C．75° D．90°二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線(xiàn)上）13．已知、，是軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)____________．14．已知正四棱臺(tái)中，上底面邊長(zhǎng)為1，下底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱與底面所成的角為60°，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為_(kāi)__________．15．三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，則直線(xiàn)PA與底面ABC所成角的大小為_(kāi)_______________．16．已知矩形ABCD中，AB＝1，，將矩形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)AC折起，使平面ABC與平面ACD垂直，則B與D之間的距離為_(kāi)_________________．三、解答題(本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)17．（10分）在四棱錐P－ABCD中，ABCD為平行四邊形，AC與BD交于O，G為BD上一點(diǎn)，BG＝2GD，，，，試用基底表示向量．18．（12分）如圖，在直三棱柱中，，是棱的中點(diǎn)，且．（1）求證：平面；（2）求異面直線(xiàn)與所成的角．19．（12分）如圖所示，在四面體ABCD中，AB、BC、CD兩兩互相垂直，且．（1）求證：平面ACD⊥平面ABC；（2）求二面角C－AB－D的大?。唬?）若直線(xiàn)BD與平面ACD所成的角為30°，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度．20．（12分）如圖，在正四棱柱中，已知AB＝2，，E、F分別為、上的點(diǎn)，且．（1）求證：BE⊥平面ACF；（2）求點(diǎn)E到平面ACF的距離．21．（12分）如圖所示，PD⊥底面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)．（1）證明：PA∥平面BDE；（2）求二面角B－DE－C的余弦值．22．（12分）如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面ABCD，AB⊥AC，，，，且點(diǎn)M和N分別為和的中點(diǎn)．（1）求證：MN∥平面ABCD；（2）求二面角的正弦值；（3）設(shè)為棱上的點(diǎn)．若直線(xiàn)和平面所成角的正弦值為，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．2022-2022學(xué)年選修2-1第三章訓(xùn)練卷空間向量與立體幾何（二）答案一、選擇題1．【答案】D【解析】，故選D．2．【答案】A【解析】∵，，，∴．故選A．3．【答案】D【解析】，，∵，∴，解得，故選D．4．【答案】C【解析】∵，所以、、共面，故、、不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，排除A；∵，所以、、共面，故b、、不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，排除B；∵，所以、、共面，故、、不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，排除D；故選C．5．【答案】B【解析】由題意可得，，，故．故選B．6．【答案】B【解析】由于，∴．，故選B．7．【答案】A【解析】，∴，．故選A．8．【答案】B【解析】設(shè)，則，，，∵，∴，∴．∴，，∵，∴，∴．故選B．9．【答案】C【解析】以點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、，所以，故選C．10．【答案】B【解析】過(guò)點(diǎn)作垂直，垂足為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，，，，．因?yàn)?，所以，解得，所以，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，故選B．11．【答案】C【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、．從而、、，設(shè)平面的法向量為，則，即，得．令，則．所以點(diǎn)到平面的距離為．故選C．12．【答案】D【解析】建立坐標(biāo)系如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則、、、、、．則、、，∴，，∴，，，，，∴．故選D．二、填空題13．【答案】【解析】設(shè)，則，，，∴當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．14．【答案】【解析】設(shè)上、下底面中心分別為、，則平面，以為原點(diǎn)，直線(xiàn)、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系．∵，，∴，，∵平面⊥平面，∴為側(cè)棱與底面所成的角，∴，設(shè)棱臺(tái)高為，則，∴，∴，，，，∴，，∴，故異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為．15．【答案】45°【解析】由條件知，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，∴，∵PB＝PC＝1，∴∠BPC＝90°，取BC邊中點(diǎn)E，則，，又PA＝1，∴∠PEA＝90°，故∠PAE＝45°，∵E為BC中點(diǎn)，∴PE⊥BC，AE⊥BC，∴BC⊥平面PAE，∴平面PAE⊥平面ABC，∴∠PAE為直線(xiàn)PA與平面ABC所成角．16．【答案】【解析】如圖，過(guò)B、D分別向AC作垂線(xiàn)，垂足分別為M、N．則可求得、、、、．由于，∴，∴．三、解答題17．【答案】．【解析】∵BG＝2GD，∴．又，∴．18．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1）如圖，連接交于點(diǎn)O，連接OD．∵O為的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)，∴．∵平面，平面，∴平面．（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B－xyz．則、、、．∴、．，設(shè)異面直線(xiàn)與所成的角為，則，∵，∴．19．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）45°；（3）1．【解析】解法一：（1）∵CD⊥AB，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC．又∵CD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC．（2）∵AB⊥BC，AB⊥CD，∴AB⊥平面BCD，∴AB⊥BD．∴∠CBD是二面角C－AB－D的平面角．∵在Rt△BCD中，BC＝CD，∴∠CBD＝45°．∴二面角C－AB－D的大小為45°．（3）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC，垂足為H，連接DH．∵平面ACD⊥平面ABC，∴BH⊥平面ACD，∴∠BDH為BD與平面ACD所成的角．∴∠BDH＝30°．在Rt△BHD中，，∴．又∵在Rt△BHC中，BC＝1，∴∠BCH＝45°，∴在Rt△ABC中，AB＝1．解法二：（1）同解法一．（2）設(shè)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，、．平面ABC的法向量，設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為，則有，，∴，取，則，∴．∴，由圖可知二面角C－AB－D為銳角，∴二面角C－AB－D的大小為45°．（3）、、．設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量是，則，，令，∴，則．∵直線(xiàn)BD與平面ACD所成角為30°，∴，解得，∴AB＝1．20．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1）證明：以D為原點(diǎn)，DA、DC、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、．∴、、、．∵，，∴，，且．∴BE⊥平面ACF．（2）解：由（1）知，為平面ACF的一個(gè)法向量，∴點(diǎn)E到平面ACF的距離．故點(diǎn)E到平面ACF的距離為．21．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－xyz．設(shè)，則、、、、、，∴、、、．（1）設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為，則有，即，∴．∴．，∴，又∵平面BDE，∴AP∥平面BDE．（2）設(shè)平面CDE的一個(gè)法向量為．，∴二面角B－DE－C的余弦值為．22．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）．【解析】如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得、、、、、、、，又因?yàn)镸、N分