不等式恒成立問題

淺談高中數學不等式的恒成立問題摘要：近年來全國各地高考數學試題，考查不等式恒成立的有關試題非常普遍，這類問題既含參數又含變量，往往與函數、數列、方程、幾何有機結合起來，具有形式靈活、思維性強、不同知識交匯等特點..不等式恒成立的問題既含參數又含變量，往往與函數、數列、方程、幾何有機結合起來，具有形式靈活、思維性強、不同知識交匯等特點.考題通常有兩種設計方式：一是證明某個不等式恒成立，二是已知某個不等式恒成立，求其中的參數的取值范圍.解決這類問題的方法關鍵是轉化化歸，通過等價轉化可以把問題順利解決，下面我就結合自己記得教學經驗談談不等式的恒成立問題的處理方法。一、構造函數法在解決不等式恒成立問題時，一種最重要的思想方法就是構造適當的函數，即構造函數法，然后利用相關函數的圖象和性質解決問題，同時注意在一個含多個變量的數學問題中，需要確定合適的變量和參數，從而揭示函數關系，使問題更加面目更加清晰明了，一般來說，已知存在范圍的量視為變量，而待求范圍的量視為參數.例如;例1已知不等式2^-班（尸―1）對任意的酬三卜2121都成立，求工的取值范圍.解：由既一1〉冽（/T）移項得：網/7—3-1"口.不等式左側與二次函數非常相似，于是我們可以設八網=（/T""01'則不等式21：冽（/T）對滿足三卜2,2］的一切實數叫亙成立G*河cO對窗曰-2耳恒成立.當一2V刑工2時，?)<0 =-2(^-l)-(2x-l)<02^?)<0 =-2(^-l)-(2x-l)<02^-2^-1<02%口+2%—3%U評注：此類問題常因思維定勢，學生易把它看成關于式的不等式討論，從而因計算繁瑣出錯或者中途夭折；若轉換一下思路，把待求的x為參數，以耀為變量，令口“哨=（工-D梆-Q工-11則問題轉化為求一次函數（或常數函數）”聞的值在--22’」內恒為負的問題，再來求解參數工應滿足的條件這樣問題就輕而易舉的得到解決了。二、分離參數法在不等式中求含參數范圍過程中，當不等式中的參數（或關于參數的代數式）能夠與其它變量完全分離出來并，且分離后不等式其中一邊的函數（或代數式）的最值或范圍可求時，常用分離參數法.例2已知函數了⑴=山（段’+幻（厘為常數）是實數集衣上的奇函數，函數7T27r虱X）=；k-ssx在區(qū)間IjT3上是減函數.

開27r(I)若對(I中的任意實數開27r(I)若對(I中的任意實數q都有且⑶'兒T在I?上」上恒成立，求實數￡的取值范圍.解析：由題意知，函數虱幻二加一8*工7T27T在區(qū)間1_3上是減函數.注：此類問題可把要求的參變量分離出來，單獨放在不等式的一側，將另一側看成新函數，于是將問題轉化成新函數的最值問題：若對于工取值范圍內的任一個數都有/⑸之且㈤恒成立，則爪或工/⑴溫血；若對于K取值范圍內的任一個數都有/⑸冷㈤恒成立，則氟"?/(幻皿.三、數形結合法如果不等式中涉及的函數、代數式對應的圖象、圖形較易畫出時，可通過圖象、圖形的位置關系建立不等式求得參數范圍.一, 3^+6? -2y—jm.j-?！福?『..例3已知函數 L一見工.2若不等式/（R之2克一網恒成立，則實數濟的取值范圍是—.解：在同一個平面直角坐標系中分別作出函數〃二2二一網及,二產（"的圖象，由于不等式」（X）之2克一耀恒成立，所以函數＞=2》一微的圖象應總在函數/=/0）的圖象下方，因此，當冗二一2時，?="所以明之t故逸的取值范圍是注：解決不等式問題經常要結合函數的圖象，根據不等式中量的特點，選擇適當的兩個函數，利用函數圖像的上、下位置關系來確定參數的范圍.利用數形結合解決不等式問題2_h P， XW（。,一）關鍵是構造函數，準確做出函數的圖象.如：不等式”機工，在2時恒成立，求厘的取值范圍.此不等式為超越不等式，求解時一般使用數形結合法，設■-|=x居（x）T。&兀然后在同一坐標系下準確做出這兩個函數的圖象，借助圖象觀察便可求解.四、最值法>x(lnz+—)2恒成立.由于>x(lnz+—)2恒成立.由于解短(工"°；當先>1時，短⑶U口，即內⑶在電D上單調遞增，在口+^)上單調遞減，當不等式一邊的函數(或代數式)的最值較易求出時，可直接求出這個最值(最值可能含有參數)，然后建立關于參數的不等式求解./(x)=xflnx+m), =—x5+x.例4已知函數 3(I)當斌二一2時，求了(克)的單調區(qū)間；_3(II)若時，不等式飆力之丁(幻恒成立，求實數厘的取值范圍._3 a3(II)當5時，不等式式的之丁㈤即目3… 咐二一所以外切在走二1處取得極大值2,也就是函數儀用在定義域上的最大值.因此要3(111x+-) 3(111x+-) 多0> —— a>—使工恒成立，需要之，24CO所以厘的取值范圍為L2’例5對于任意實數x,不等式|x+l|+|x-2|>a恒成立，求實數a的取值范圍分析①：把左邊看作x的函數關系，就可利用函數最值求解.解法1：設f(x)=|x+l|+|x-2|=-2x+1,(xWI)3,(T<xW2)2x-1,(x>2)，f(x)i=3.Aa<3.分析②：利用絕對值不等式|a|-|b|<|a土b|<|a|+|b|求解f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值.解法 2：設 f(x) = | x+1 | + | x-2 | ,二| x+1 | + | x-2 |三| (x+1 ) - (x-2 ) | =3 ,/.f(x)min=3.Aa<3.分析③：利用絕對值的幾何意義求解.解法3：設x、-1、2在數軸上的對應點分別是P、A、B,則|x+1|+|x-2|=|PA|+|PB|,當點P在線段AB上時，|PA|+|PB|=|AB|=3,當點P不在線段AB上時，|PA|+|PB|>3,因此不論點P在何處，總有|PA|+|PB|N3,而當a<3時，|PA|+|PB|>a恒成立，即對任意實數x,不等式|x+1|+|x-2|>a恒成立....實數a的取值范圍為(-8,3).五關于函數中出現的恒成立的問題例6：已知函數fG)=x2+2x,g(x)=ax一3,(a>0)。(1)對任意x」1,21，都有f(x)>g(x)恒成立，求實數a的取值范圍。分析：f(x)的最小值不小于g(x)的最大值。(2)對任意xeh,2],xJ,2],都有f(x)>g(x)恒成立，求實數a的取值1 2 1 2范圍。分析：f(x)的最大值不小于g(x)的最小值。(3)對任意的xeh,2]，總存在xeh,2]，使得g(x)=f(x)成立，求實數1 2 2 1a的取值范圍。分析：f(x)的值域是g(x)的值域的子集。12點評：求“恒成立問題”中參數范圍，利用函數最值方便自然，利用二次不等式恒為正(負)的充要條件要分情況討論，利用圖象法直觀形象.從圖象上直觀得到0<m<1后，還需考查區(qū)間（0,）右端點x二處的函數值的大小，這一點往往被忽視.綜上，恒成立問題多與參數的取值范圍問題聯系在一起，是近幾年高考的一個熱門題型,它以“參數處理”為主要特征,以“導數”為主要解題工具.往往與函數的單調性、極值、最值等有關,所以解題時要善于將這類問題與函數最值聯系起來,通過函數最值求解相關問題.不等式恒成立問題,因題目涉及知