大一第二學期微積分9.1微分方程的概念

第九章微分方程9.1

微分方程的基本概念9.2一階微分方程20:53:40微積分研究的主要對象是函數(shù)，因此,如何尋找函數(shù)關(guān)系,這在實踐中具有十分重要的意義.物科學以及經(jīng)濟與管理科學的許多領(lǐng)域中,反映變量之間內(nèi)在聯(lián)系的函數(shù)關(guān)系，往往很難直接得到，通過建立實際問題的數(shù)學模型因此，微分方程是數(shù)學聯(lián)系實際，并應(yīng)用于實際的重要途徑和橋梁，是各個學科進行科學研究的強有力的工具。起這些變量與它們的導(dǎo)數(shù)或微分之間的聯(lián)系,從而得到一個含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程,即微分方程.因此，微分方程，這個微分方程就能得到所需的函數(shù)關(guān)系。并求解第九章微分方程但在自然科學、生卻比較容易建立20:53:40

如果說“數(shù)學是一門理性思維的科學，是研究、了解和知曉現(xiàn)實世界的工具”，那么微分方程就是顯示數(shù)學的這種威力和價值的一種體現(xiàn)?，F(xiàn)實世界中的許多實際問題都可以抽象為微分方程問題。例如，物體的冷卻、人口的增長、琴弦的振動、電磁波的傳播等都可以歸結(jié)于微分方程問題.這時微分方程也稱為所研究問題的數(shù)學模型。微分方程是一門獨立的數(shù)學學科，有完整的理論體系。是現(xiàn)代數(shù)學的一個重要分支。第九章微分方程20:53:40第九章微分方程9.1

微分方程的基本概念9.2一階微分方程20:53:40

9.1微分方程的基本概念

20:53:40

我們在學習不定積分時就已經(jīng)遇到過了一些最簡單的微分方程。9.1

微分方程的基本概念

例

一曲線過點(1,2),曲線上任意點P(x,y)處的切線斜率等于該點的橫坐標平方的3倍,求此曲線的方程.①③②由條件代入（3）式，一、基本概念引例④得解：微分方程初始條件方程通解方程特解20:53:40例一階微分方程二階微分方程三階微分方程二、微分方程的基本概念1.微分方程及微分方程的階

定義

微分方程的階.稱為微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)微分方程，含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱為20:53:40簡稱方程；的最高階數(shù)，注：在微分方程中，未知函數(shù)及自變量可以不出現(xiàn)，但未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分否則就不稱其為微分方程。必須出現(xiàn)，例非微分方程2.常微分方程與偏微分方程定義：把未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程方程.把未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程例都是偏微分方程.都是常微分方程,稱為常微分稱為偏微分方程.本章只討論常微分方程20:53:40二、微分方程的基本概念高階(n)微分方程常微分方程的一般形式為（1）如果能從方程（1）中解出最高階導(dǎo)數(shù)，就得到這種已就最高階導(dǎo)數(shù)解出來的方程，稱為正規(guī)形微分方程，有時也把方程（1）稱為隱式微分方程。（主要討論）（2）20:53:40二、微分方程的基本概念一階微分方程二階微分方程常微分方程的一般形式為20:53:40二、微分方程的基本概念如果把一個函數(shù)代入微分方程后，三、微分方程的解微分方程的主要問題-----1、微分方程的解定義：使微分方程成為恒等式，則稱此函數(shù)為微分方程的解.

均有求微分方程的解.9.1

微分方程的基本概念20:53:40微分方程的解不唯一例得兩邊再積分得這個微分方程全部解的表達式中含有兩個任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相等。20:53:40三、微分方程的解或確定了通解中任意常數(shù)以后的解.若微分方程的解中含有相互獨立的任意常數(shù)2、通解的個數(shù)與方程的階數(shù)相同，則稱這樣的解為方程的通解。前例中，3、特解把微分方程中不含任意常數(shù)的解，稱為微分方程的特解。前例中，特解為特解為20:53:40三、微分方程的解（即它們不能合并而使任意常數(shù)的個數(shù)減少），且任意常數(shù)確定通解中的任意常數(shù)的條件，由于通解中含有任意常數(shù)，所以它還不能完全、確定地反映物質(zhì)運動的規(guī)律性。為了能完全、確定地反映物質(zhì)運動的規(guī)律性，就必須對這些任意常數(shù)作出具體的指定或根據(jù)實際情況提出確定這些常數(shù)的附加條件.前例1中，便是這樣的條件。4、初始條件稱為初始條件，也稱為定值條件。一般地，20:53:40三、微分方程的解一階:二階:微分方程的解的圖形是一條曲線，通解的圖形:5、初值問題求微分方程的滿足初始條件的特解的問題.6、積分曲線稱為微分方程的積分曲線.積分曲線族.特解的圖形:是這族積分曲線中的一條.（4）（5）初值問題（4）的幾何意義：求微分方程的通過點的那條積分曲線.(柯西問題）20:53:40三、微分方程的解初值問題（5）的幾何意義：

求微分方程的通過點且在該點處的切線斜率為的那條積分曲線.二階:（5）20:53:40三、微分方程的解初值問題（4）的幾何意義：求微分方程的通過點的那條積分曲線.一階:（4）解要驗證一個函數(shù)是否是方程的通解，只要將函數(shù)代入方程，驗證是否恒等，再看函數(shù)式中所含的獨立的任意常數(shù)的個數(shù)是否與方程的階數(shù)相同．例120:53:40三、微分方程的解例120:53:40含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱為微分方程.

微分方程中未知函數(shù)的的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程的階。１、微分方程、微分方程的階2、線性微分方程與非線性微分方程如果微分方程中所含的未知函數(shù)及未知函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)都是一次的，稱為線性微分方程。不是線性方程的微分方程，稱為非線性微分方程。微分方程的基本概念小結(jié)（簡稱為方程）3、微分方程的解通解、特解.解、20:53:40練習P3691,220:53:40

下次課內(nèi)容9.2

一階微分方程含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱為微分方程.

微分方程中未知函數(shù)的的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程的階。１、微分方程、微分方程的階2、線性微分方程與非線性微分方程如果微分方程中所含的未知函數(shù)及未知函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)都是一次的，稱為線性微分方程。不是線性方程的微分方程，稱為非線性微分方程。微分方程的基本概念（簡稱為方程）3、微分方程的解通解、特解.解、20:53:40復(fù)習例2解20:53:40三、微分方程的解20:53:40三、微分方程的解思考題9.1

微分方程的基本概念思考題解答中不含任意常數(shù),故為微分方程的特解.20:53:40解9.1

微分方程的基本概念20:53:40所求特解為9.1

微分方程的基本概念20:53:40例3.Solution.對所給方程求導(dǎo)得再求導(dǎo)得，9.1

微分方程的基本概念20:53:40練習題20:53:40練習題20:53:40練習題答案20:53:40目的要求：1.微分方程的解、通解、特解的概念

1.了解微分方程的解、通解、初始條件和特解等概念重點：2.掌握可分離變量的微分方程的求解方法2.可分離變量的微分方程的求解方法第九章微分方程20:53:40由條件得①②③④解法概念命名微分方程初始條件方程通解方程特解9.1

微分方程的基本概念20:53:40