【課件】函數(shù)的極值課件-高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

5.3.2函數(shù)的極值課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.了解函數(shù)的極值、極值點(diǎn)的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件.(邏輯推理)3.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)知識(shí)回顧問(wèn)題1：如何判斷函數(shù)的單調(diào)性？定義法；函數(shù)圖象法；導(dǎo)函數(shù)的正負(fù).知識(shí)回顧增減知識(shí)回顧定義域零點(diǎn)零點(diǎn)正負(fù)思考在用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可以判斷函數(shù)的增減。如果函數(shù)在某些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，那么在這些點(diǎn)處函數(shù)有什么性質(zhì)呢？情境

蘇軾在《題西林壁》中這樣寫(xiě)道：“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，描述的就是廬山的高低起伏，錯(cuò)落有致。各個(gè)山峰的頂端，雖然不是群山的最高處，但它卻是其附近的最高點(diǎn)。

那么，在數(shù)學(xué)上，這種現(xiàn)象如何來(lái)刻畫(huà)呢？探

究思考1：從單調(diào)性的變化來(lái)看，圖中哪些點(diǎn)比較特殊？思考2：這些點(diǎn)處的函數(shù)值有什么共同特征？

局部最值思考3：這些點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是多少？思考4：這些點(diǎn)附近，導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性有什么規(guī)律？（以h,i兩點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)為例）極值概念

概念

深化概念

極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)，極大值、極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值。注：1、極值點(diǎn)不是點(diǎn)，而是該極值的橫坐標(biāo)的數(shù)值。2、極值刻畫(huà)的是函數(shù)的

特征。區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn).局部xyOabcde問(wèn)題1：函數(shù)f(x)有哪些極值點(diǎn)？

問(wèn)題2：極大值一定大于極小值嗎？不一定。極大值和極小值沒(méi)有必然的聯(lián)系（局部性質(zhì)）。問(wèn)題3：函數(shù)的極值唯一嗎？不唯一?？赡苡卸鄠€(gè)，可能不存在。

無(wú)極值無(wú)極值有極大值，無(wú)極小值有極大值和極小值某區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)沒(méi)有極值abxyx1Ox2x3x4x5x6探究一由函數(shù)圖象分析函數(shù)的極值abxyx1Ox2x3x4x5x6abxyx1Ox2x3x4x5x6abxyx1Ox2x3x4x5x6問(wèn)題4

導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)嗎？

那么，極值存在的條件是什么？

若函數(shù)有極值點(diǎn)，則在極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0,但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)可能不是函數(shù)的極值點(diǎn).也就是說(shuō),“f'(c)=0”是“f(x)在x=c處取到極值”的必要條件.探究三由函數(shù)圖象分析函數(shù)的極值例1已知函數(shù)y=xf'(x)的圖象如圖所示(其中f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)),給出以下說(shuō)法:①函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增;②函數(shù)f(x)在x=-1處取得極大值;③函數(shù)f(x)在x=-處取得極大值;④函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值,其中正確的說(shuō)法有

.(填序號(hào))

分析通過(guò)圖象考查f'(x)在相關(guān)區(qū)間上的符號(hào),以及在相關(guān)各點(diǎn)的左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值是否異號(hào),結(jié)合極值的定義進(jìn)行判斷.答案

①②④解析

從圖象上可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),xf'(x)>0,于是f'(x)>0,故f(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,①正確;當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),xf'(x)<0,所以f'(x)>0,當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),xf'(x)>0,所以f'(x)<0,故函數(shù)f(x)在x=-1處取得極大值,②正確;當(dāng)x∈(0,1)時(shí),xf'(x)<0,于是f'(x)<0,故f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,而在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值,④正確;當(dāng)x∈(-1,1)時(shí),f'(x)<0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞減,③錯(cuò)誤.方法技巧根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象確定函數(shù)的極值的方法根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象確定函數(shù)的極值的方法主要是根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間,然后結(jié)合函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)的極值.變式訓(xùn)練1

如圖是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A.-2是函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn)B.1是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)C.y=f(x)在x=0處的切線的斜率大于零D.y=f(x)在區(qū)間(-2,2)內(nèi)單調(diào)遞增答案

B解析

f'(1)=0,但在x=1附近的左、右兩側(cè)的導(dǎo)函數(shù)值同號(hào),則1不是f(x)的極值點(diǎn),故選B.變式訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象如圖所示,給出以下結(jié)論:①函數(shù)f(x)在(-2,-1)和(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增;②函數(shù)f(x)在(-2,0)內(nèi)單調(diào)遞增,在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減;③函數(shù)f(x)在x=-1處取得極大值,在x=1處取得極小值;④函數(shù)f(x)在x=0處取得極大值.其中正確結(jié)論的序號(hào)是

.

答案

②④解析

因?yàn)閒'(x)在(-2,0)內(nèi)大于0,所以函數(shù)f(x)在(-2,0)內(nèi)單調(diào)遞增,同理f(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減,故函數(shù)f(x)在x=0處取得極大值,故②④正確.探究二求函數(shù)的極值角度1

不含參數(shù)的函數(shù)求極值例2求下列函數(shù)的極值:分析求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),在函數(shù)定義域限制之下研究函數(shù)的單調(diào)性后,確定極值.解

(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽,f'(x)=x2-2x-3.令f'(x)=0,得x=3或x=-1.當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)f'(x)+0-0+f(x)單調(diào)遞增

極大值

單調(diào)遞減極小值-6單調(diào)遞增∴x=-1是f(x)的極大值點(diǎn),x=3是f(x)的極小值點(diǎn).∴f(x)極大值=,f(x)極小值=-6.歸納總結(jié)（2）已知函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解

(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f'(x)==x(2-x)e-x.令f'(x)=0,得x(2-x)·e-x=0,解得x=0或x=2.當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:因此,當(dāng)x=0時(shí),f(x)有極小值,并且極小值為f(0)=0;當(dāng)x=2時(shí),f(x)有極大值,并且極大值為f(2)=.x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f'(x)-0+0-f(x)單調(diào)遞減極小值0單調(diào)遞增極大值4e-2單調(diào)遞減（2）(－∞，－1)∪(2，＋∞)

[f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，∵函數(shù)f(x)既有極大值又有極小值，∴方程f′(x)＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.]角度2

含參數(shù)的函數(shù)求極值例3已知函數(shù)f(x)=x3-(a+1)x2+4ax+2(a為實(shí)數(shù)),求函數(shù)f(x)的極值.分析對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo),得到f'(x)=x2-2(a+1)x+4a=(x-2)(x-2a),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)2和2a的大小,分類(lèi)討論函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的極值.

(2)當(dāng)a<1時(shí),2a<2,當(dāng)x變化時(shí),f(x),f'(x)隨x的變化情況如下表:x(-∞,2a)2a(2a,2)2(2,+∞)g'(x)+0-0+g(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由上表可知f(x)在(-∞,2a)和(2,+∞)上單調(diào)遞增,在(2a,2)上單調(diào)遞減,方法技巧解析式中含參數(shù)的函數(shù)極值的求法1.根據(jù)參數(shù)對(duì)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的影響確定分類(lèi)討論的標(biāo)準(zhǔn)(導(dǎo)函數(shù)是否存在零點(diǎn)以及導(dǎo)函數(shù)存在零點(diǎn)時(shí)零點(diǎn)的大小)2.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)的極值.變式訓(xùn)練3若函數(shù)f(x)=x-alnx(a∈R),求函數(shù)f(x)的極值.解

函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=(1)當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,函數(shù)f(x)無(wú)極值.(2)當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)=0,解得x=a.當(dāng)0<x<a時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x>a時(shí),f'(x)>0.則f(x)在x=a處取得極小值,且f(a)=a-aln

a,無(wú)極大值.綜上可知,當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)f(x)無(wú)極值;當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值a-aln

a,無(wú)極大值.探究三由極值求參數(shù)的值或取值范圍角度1

根據(jù)極值求參數(shù)值例4已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+4在x=1處取得極值

.(1)求a,b的值;(2)求函數(shù)的另一個(gè)極值.分析(1)可利用f'(1)=0,f(1)=建立關(guān)于a,b的方程組求解;(2)按照求極值的步驟求解.變式訓(xùn)練4(1)函數(shù)f(x)=ax3+bx在x=1處有極值-2,則a,b的值分別為(

)A.1,-3

B.1,3C.-1,3 D.-1,-3(2)(2021湖南長(zhǎng)沙湖南師大附中高二月考)已知函數(shù)f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1處取得極值0,則m+n=(

)A.4 B.11C.4或11 D.3或9答案

(1)A

(2)B角度2

根據(jù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍例5已知函數(shù)f(x)=x3-(m+3)x2+(m+6)x(x∈R,m為常數(shù)),在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.分析f(x)在(1,+∞)內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn),等價(jià)于f'(x)=0在(1,+∞)內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根.解

f'(x)=x2-(m+3)x+m+6.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(1,+∞)內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn),所以f'(x)=x2-(m+3)x+m+6在(1,+∞)內(nèi)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),如圖所示.解得m>3.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(3,+∞).變式訓(xùn)練5(1)(2021寧夏固原隆德高二期末)函數(shù)f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]既有極大值又有極小值,則a的取值范圍是(

)A.(-1,2)B.(-2,1)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(2,+∞)解析

(1)∵f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1],∴f'(x)=3x2+6ax+3(a+2).∵函數(shù)f(x)有極大值又有極小值,∴f'(x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,∴Δ=36a2-36(a+2)>0,整理可得a2-a-2>0,解得a>2或a<-1.故a的取值范圍是(-∞,-1)∪(2,+∞).故選D.當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x>1時(shí),f'(x)<0.∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,∴函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值.

素養(yǎng)形成利用函數(shù)極值研究函數(shù)零點(diǎn)典例

已知函數(shù)f(x)=x3-3x+a(a為實(shí)數(shù)),若方程f(x)=0有三個(gè)不同實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析求出函數(shù)的極值,要使f(x)=0有三個(gè)不同實(shí)根,則應(yīng)有極大值大于0,極小值小于0,由此可得a的取值范圍.解

令f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)=0,解得x1=-1,x2=1.當(dāng)x<-1時(shí),f'(x)>0;當(dāng)-1<x<1時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x>1時(shí),f'(x)>0.所以當(dāng)x=-1時(shí),f(x)有極大值f(-1)=2+a;當(dāng)x=1時(shí),f(x)有極小值f(1)=-2+a.因?yàn)榉匠蘤(x)=0有三個(gè)不同實(shí)根,所以y=f(x)的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn),如圖.解得-2<a<2,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-2,2).小結(jié)2.求函數(shù)極值的方法和步驟1.函數(shù)極值點(diǎn)與極值概念1.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，它的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的部分圖象如圖所示，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A．在(1，2)上函數(shù)f