變額年金(1)課件

1變額年金

（VaryingAnnuities）2主要內(nèi)容遞增年金（離散支付，離散遞增）遞減年金（離散支付，離散遞減）連續(xù)支付的變額年金：連續(xù)支付，離散遞增（或遞減）復(fù)遞增年金：按幾何級(jí)數(shù)遞增的年金每年支付m次的遞增年金連續(xù)年金：連續(xù)支付，連續(xù)遞增（或遞減）一般變額現(xiàn)金流3回顧：等額年金公式年金基本年金永續(xù)年金的現(xiàn)值現(xiàn)值累積值期末付期初付5連續(xù)支付的年金（連續(xù)年金）連續(xù)支付的永續(xù)年金的現(xiàn)值現(xiàn)值累積值7

用第二式減去第一式則有

所以遞增年金的現(xiàn)值為8遞增年金分解表時(shí)期

0123…n–1

n遞增年金123…n–1n等額年金111…1111…111…11………111遞增年金=n年定期年金

+延期1年的(n–1)年定期年金

+延期2年的(n–2)年定期年金

+…+延期(n–1)年的1年定期年金10根據(jù)現(xiàn)值求得其累積值為期初付遞增年金的現(xiàn)值期初付遞增年金的累積值建議：只記憶期末付年金的現(xiàn)值公式，其他可以推出。11當(dāng)時(shí)，還可以得到遞增永續(xù)年金的現(xiàn)值為在計(jì)算上述極限時(shí)，13例：某人希望購(gòu)買一項(xiàng)年金，該項(xiàng)年金在第一年末的付款為1000元，以后每年增加100元，總的付款次數(shù)為10次。如果年實(shí)際利率為5%，這項(xiàng)年金的現(xiàn)價(jià)應(yīng)該是多少？解：這項(xiàng)年金可以表示為一項(xiàng)等額年金（每年末付款900元）和100項(xiàng)遞增年金的和，即10001100180019009009009009001002009001000練習(xí):一項(xiàng)遞增年金，第一年末支付500元，第二年末支付550元，第三年末支付600元，以此類推，直到最后一次支付1000元，假設(shè)年實(shí)際利率為5%，試計(jì)算此年金在最后一次支付時(shí)刻的終值。1416（2）由于，因此（1）17時(shí)期

0123…n–1

n遞減年金nn–1n–2…

21等額年金111…11111…1111…………

111111含義：假設(shè)在第一期末支付n元，第二期末支付n–1元，…，第n期末支付1元，那么這項(xiàng)年金就是按算術(shù)級(jí)數(shù)遞減的年金。3.2、遞減年金19遞減年金的其他公式：例：投資者A擁有一份10年期遞增期末付年金，第一年末支付100，以后每年遞增50；投資者B擁有一份10年期遞減期末付年金，第一年末支付X，以后每年遞減X/10。年實(shí)際利率為5%，兩項(xiàng)年金的現(xiàn)值相等。計(jì)算X。2021例：一項(xiàng)年金在第一年末付款1元，以后每年增加1元，直至第n年。從第n+1年開(kāi)始，每年遞減1元，直至最后一年付款1元。試計(jì)算該項(xiàng)年金的現(xiàn)值是多少？12nn-1122

24年金的現(xiàn)值：連續(xù)支付遞增年金的現(xiàn)值為：支付是連續(xù)進(jìn)行的支付金額按一定時(shí)期間隔離散增長(zhǎng)25例：一個(gè)現(xiàn)金流在第1年連續(xù)支付30元，第2年連續(xù)支付40元，第3年連續(xù)支付50元，直到第10年連續(xù)支付120元，假設(shè)年實(shí)際利率為5%，求這項(xiàng)年金的現(xiàn)值。解：可以把這項(xiàng)年金分解為兩項(xiàng)年金，如下圖。26從圖可以看出，本例年金的現(xiàn)值為：可以計(jì)算出

27連續(xù)支付的遞增年金的終值：連續(xù)支付的遞增永續(xù)年金的現(xiàn)值：第1年連續(xù)支付1元，第2年連續(xù)支付2元，第3年連續(xù)支付3元，并以此方式無(wú)限地延續(xù)下去。其現(xiàn)值為29連續(xù)支付的遞減年金：支付是連續(xù)進(jìn)行的，但支付金額隨時(shí)間離散遞減。假如第1年連續(xù)支付n元，第2年連續(xù)支付n-1元，直到第n年連續(xù)支付1元。該年金的現(xiàn)金流如下圖所示。30上述年金的現(xiàn)值：31例：一項(xiàng)年金在第1年連續(xù)支付100元，第2年連續(xù)支付90元，第3年連續(xù)支付80元，直到第10年連續(xù)支付10元，假設(shè)年實(shí)際利率為6％，求其現(xiàn)值。解：其現(xiàn)值的表達(dá)式為：因此本例年金的現(xiàn)值為：323.3、復(fù)遞增年金（compoundincreasingannuity）

含義：付款金額按照某一固定比例增長(zhǎng)的年金。期末付復(fù)遞增年金：假設(shè)一項(xiàng)年金在第1年末支付1元，此后每年的支付金額按的復(fù)利增長(zhǎng)，直到第n年末支付。33上述年金的現(xiàn)值：變形可得：定義，則現(xiàn)值為：其中

注：若e=i,則現(xiàn)值為n/(1+e)34例：小王擁有一項(xiàng)10年期期末付的復(fù)遞增年金，第一年末付1000元，此后的給付金額按5％的復(fù)利遞增，假設(shè)年實(shí)際利率為11.3%，請(qǐng)計(jì)算這項(xiàng)年金在時(shí)刻零的現(xiàn)值。解：本例年金的現(xiàn)金流如下圖所示：35

現(xiàn)值：其中因此該項(xiàng)年金的現(xiàn)值為：36期初付復(fù)遞增年金：假設(shè)一項(xiàng)年金在第1年初給付1元，此后給付金額按復(fù)利增長(zhǎng)，直到第n年初給付金額為元。37此項(xiàng)年金的現(xiàn)值表達(dá)式：令，可將上式化簡(jiǎn)為：

其中

注：若e=i,則現(xiàn)值為n38例：小