【高中數(shù)學(xué)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)課件 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)

6.3.2

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)1．了解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)并能簡(jiǎn)單應(yīng)用．2．掌握“賦值法”并會(huì)靈活應(yīng)用．你從上面的表示形式可以直觀地看出什么規(guī)律？

通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們知道：(a＋b)n的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)

n取正整數(shù)時(shí)可以表示成如下形式：(a＋b)11

1

(a＋b)21

2

1

(a＋b)31

3

3

1

(a＋b)41

4

6

4

1

(a＋b)51

5

10

10

5

1

(a＋b)61

6

15

20

15

6

1

1615201561(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)2(a+b)61112113311464115101051二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)1．對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等．實(shí)際上，由

，所以2．增減性與最大值二項(xiàng)式系數(shù)先增后減，當(dāng)

n

為偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)

取得最大值；當(dāng)

n

為奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)

與

相等，且同時(shí)取得最大值．3．各二項(xiàng)式系數(shù)的和已知令

，得這就是說(shuō)，

的展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于.二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用例1.(1)已知

的展開(kāi)式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n＝(

)A．11

B．10

C．9

D．8(2)在

的二項(xiàng)展開(kāi)式中與第3項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相同的項(xiàng)是(

)A．第8項(xiàng)B．第7項(xiàng)C．第9項(xiàng) D．第10項(xiàng)CD1．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的求法求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對(duì)

中的

n進(jìn)行討論：(1)當(dāng)

n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；(2)當(dāng)

n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．2．展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)的求法求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是不同的，需要根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況進(jìn)行分析．如求

(a，b∈R)的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法．設(shè)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)分別為A0，A1，A2，…，An，且第

項(xiàng)最大，應(yīng)用

解出

k，即得出系數(shù)最大的項(xiàng)．1.(1)在

的二項(xiàng)展開(kāi)式中，若只有x5的系數(shù)最大，則

n等于(

)A．8 B．9C．10 D．11(2)已知

的展開(kāi)式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).C求二項(xiàng)展開(kāi)的系數(shù)和例2.若

，求(1)；(2)；(3)；(4).二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)和的求法(1)對(duì)形如

，

的式子求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令

即可；對(duì)

的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令

即可；(2)一般地，若

，則

f(x)展開(kāi)式中：各項(xiàng)系數(shù)之和為

f(1)；奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為

；偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為.(3)賦值法是解決二項(xiàng)展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)常用的方法，根據(jù)題目要求，靈活賦給字母不同的值.一般地，要使展開(kāi)式中項(xiàng)的關(guān)系變?yōu)橄禂?shù)的關(guān)系.令

可得常數(shù)項(xiàng)；令

可得所有項(xiàng)系數(shù)之和；令

可得偶次項(xiàng)系數(shù)之和與奇次項(xiàng)系數(shù)之和的差.2.設(shè)

．(1)求

的值；(2)求

的值；(3)求

的值．

解：(1)令

，得

，令

，得

，所以

(2)由(1)①令

，得

②

①－②得

，所以.(3)因?yàn)?/p>

，所以k為奇數(shù)時(shí)，

，k為偶數(shù)時(shí)，

，故. 整除、求余數(shù)問(wèn)題例3.(1)用二項(xiàng)式定理證明

能被100整除；(2)求

除以7的余數(shù).解：(1)因?yàn)樗?/p>

能被100整除.(2)因?yàn)樗?/p>

被7除余數(shù)為4.整除性問(wèn)題或求余數(shù)問(wèn)題的處理方法(1)解決這類問(wèn)題，必須構(gòu)造一個(gè)與題目條件有關(guān)的二項(xiàng)式；(2)用二項(xiàng)式定理處理這類問(wèn)題，通常把被除數(shù)的底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的