平面幾何基礎(chǔ)知識基本定理基本性質(zhì)

BDBD1勾股定理（畢達哥拉斯定理廣義勾股定理(1)銳角對邊的平方，等于其他兩邊之平方和，減去這兩邊中的一邊和另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍．鈍對邊的平方等于其他兩邊的平方和，加上這兩邊中的一邊與另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍．2射影定理（歐幾里得定理）3中線定理（巴布斯定理）設(shè)△的邊BC的中點為P則有ABAC

AP

BP

)

；中線長：

．4垂線定理：

AD

BC

．高線長：

2p(p)(p)sinAsinCaa5角平分線定理：三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應(yīng)成比例．如△ABC中，AD平分∠BAC，則角平分線定理角平分線長t

2bc()

（其中為周長一半6正弦定理：

acR中為三角形外接圓半徑AsinsinC7余弦定理：

cosC

．8張角定理：

sinBACsinAC

．9斯特瓦爾特(Stewart)定：設(shè)已知ABC及其底邊上B兩點間的一點，則有

·DC+

·BD

·＝DC．10圓周角定理：同弧所對的圓周角相等，等于圓心角的一半外角如何轉(zhuǎn)化？）11弦切角定理：弦切角等于夾弧所對的圓周角．12圓冪定理交弦定理：垂徑定理：切割線定理（割線定理線長定理13布拉美古塔（Brahmagupta定理：在內(nèi)接四邊形ABCD⊥BD，對角線的交一邊作垂線，其延長線必平分對邊．14點到圓的冪：設(shè)為⊙所在平面上任意一點，POd，O的半徑為r，則

－r

就是點對于⊙的冪．過P任作一直線與⊙O交于點AB，則=

－r

兩圓等冪的點的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線，如果此二圓相交，則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線”這個結(jié)論．這條直線稱為兩圓的“根軸兩兩的根軸如果不互相平行，則它們交于一點，這一點稱為三圓的“根心圓的根心對于三個圓等冪．當三個圓兩兩相交時，三條公共弦(就是兩兩的根軸所在直線交于一點．15托勒密Ptolemy）定理：圓內(nèi)接四邊形對角線之積等于兩組對邊乘積之和，=ABCD+ADBC(逆命題成立)義托勒密定理）ABCD+BC≥ACBD．16蝴蝶定理：AB⊙O的弦，M是其中點，弦CD、經(jīng)過點M、DE交AB于PQ求證：=QM．17費馬點定理等邊三角形外接圓上一點到該三角形較近兩頂點距離之和等于到另一頂點的距離不在等邊三角形外接圓上的點，到該三角形兩頂點距離之和大于到另一點的距離．定理2三角形每一內(nèi)角都小于120°時，在三角形內(nèi)必存在一點，它對三條邊所張的角都120°，該點到三頂點距離和達到最小，稱為“費馬點角形有一內(nèi)角不小于120°時，此角的頂點即為費馬點．

,18拿破侖三角形：在任意△ABC的外側(cè)，分別作等邊△ABD△△CAF則、CD三共點，并且＝CD，這個命題稱為拿破侖定理．以△ABC的三條邊分別向外作等邊△ABDCAF它們的外接圓⊙、⊙A、⊙B的圓心構(gòu)成的△——外拿破侖的三角形，⊙C、⊙、⊙B三圓共點，外拿破侖三角形是,一個等邊三角形；△的三條邊分別向△的內(nèi)側(cè)作等邊△、△△CAF，它們的外接圓⊙、⊙、⊙B的圓心構(gòu)成的△——內(nèi)拿破侖三角形，⊙C、⊙A、⊙三圓共點，內(nèi)拿破侖三角形也是一個等邊三角形．這兩個拿破侖三角形還具有相同的中心．19九點圓（round或拉圓或費爾巴赫圓角形中，三邊中心、從各頂點向其對邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點連線的中點，這九個點在同一個圓上，九點圓具有許多有趣的性質(zhì),例如（）角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半;（）點圓的圓心在歐拉線上恰為垂心與外心連線的中點;（）角形的九點圓與三角形的內(nèi)切圓三個旁切圓均相切〔費爾巴哈定理20歐拉（Euler）：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心依次位于同一直線（歐拉線）上．21歐拉（Euler）式：設(shè)三角形的外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d=－2Rr．22銳角三角形的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和．23重心：三角形的三條中線交于一點，并且各中線被這個點分成21的部分；

G(

)重心性質(zhì)1）設(shè)G為的重心，連結(jié)并延長交BC于D，則為中點，則

AG:GD2

；（2）設(shè)Geq\o\ac(△,)的重心，則

S

1S3

；（3）設(shè)為ABC的重心，過作∥BC交AB于，交E過作PF交于，交于F過作∥ABAC于K，交BCH，則（4）設(shè)Geq\o\ac(△,)的重心，則

FPKHKH;BCCAABCAAB

；①

AB

；②

13

BC

)

；③

PC

GA

GB

（內(nèi)任意一點④到三角形三頂點距離的平方和最小的點是重心，即

GC

最?。虎萑切蝺?nèi)到三邊距離之積最大的點是重心；反之亦（即滿足上述條件之一則G為的心24垂心：三角形的三條高線的交點；

(

abxxxyABcosCAcosBacosBcosAcosBC

)垂心性質(zhì)1）三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的倍；（2）垂心H關(guān)eq\o\ac(△,)的三邊的對稱點，均eq\o\ac(△,)ABC外接圓上；（3）的心為H，eq\o\ac(△,)，ABHeq\o\ac(△,)，ACH的外接圓是等圓；（4）設(shè)，H分別eq\o\ac(△,)外心和垂心，則

BAOHAC,HCA

．25內(nèi)心：三角形的三條角分線的交點—內(nèi)接圓圓心，即內(nèi)心到三角形各邊距離相等；I(

axbx,)a內(nèi)心性質(zhì)1）設(shè)I為ABC的內(nèi)心，則I三邊的距離相等，反之亦然；

ar1p()abar1p()ab（）Ieq\o\ac(△,)的內(nèi)心，則

111,90,22

；（三形一內(nèi)角平分線與其外接圓的交點到另兩頂點的距離與到內(nèi)心的距離相等之平線交ABC外接圓于點K，為線段AK的點且滿足KI=KB，Ieq\o\ac(△,)的心；（）I為ABC的內(nèi)心，

,AB

平分線交

于D，交外接圓于點K，則AIIKIDKDa

；（設(shè)Ieq\o\ac(△,)的心，

,,,

I

AB

上的射影分別為

F

內(nèi)切圓半徑r，令

()

，則①

pr；②AFp;BD;CEp

；③abcrp

．26外心：三角形的三條中垂線的交點——外接圓圓心，即外心到三角形各頂點距離相等；(

sin2sinsinAy2Bysin2ABCsinsinB2

)外心性質(zhì)1）外心到三角形各頂點距離相等；（2）設(shè)Oeq\o\ac(△,)的外心，則

BOC或

；（3）R）銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和．S27旁心：一內(nèi)角平分線與兩外角平分線交點——旁切圓圓心；設(shè)ABC的三邊BC,

令1p()2

，分別與

,,

外側(cè)相切的旁切圓圓心記為

I,I,I

，其半徑分別記為

rr,r

．旁心性質(zhì)1）

1CBIC,22

（對于頂角B也有類似的式子（）

II

12

()

；（）

AI

的連線eq\o\ac(△,)的外接圓于D則

DI

DBDC（對于BI,CI

有同樣的結(jié)論（）eq\o\ac(△,)III的垂足三角形，eq\o\ac(△,)III的外接圓半徑R等于的直徑為R28三角形面積公式

1ab2R2

2

A

4(cotAcotcot)pr

p(p)(p表示

邊上的高

為外接圓半徑，為內(nèi)切圓半徑，

2

．29三角形中內(nèi)切圓，旁切圓和外接圓半徑的相互關(guān)系：r

ACBBCAsinrRcosrRcosrR2222r

rrr111,rr;ACBrrrrtan22230梅涅勞斯（定理：設(shè)ABC的三邊BCAB或其延長線和一條不經(jīng)過它們?nèi)我豁旤c的直線的交點分別為PQR則有

BPARPCQA

定理也成立）

31梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理：eq\o\ac(△,)ABC∠A的外角平分線交邊Q，C的平分線交邊于，的分線交邊CA于Q，則P、R三點共線．32梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理過任意三個頂點、、C作的外接圓的切線，分別和、、AB的延長線交于點P、QR則、QR點共線．33塞瓦Ceva)定理：設(shè)X、別為△的邊、、上的一點，則AX、BY、在直線交于一點的充要條件是

AZCY·=1．ZBYA34塞瓦定理的應(yīng)用定理設(shè)平行于ABC的直線與兩AC的交點分別是D又設(shè)和交于則AS一定過邊中點M．35塞瓦定理的逆定理）36塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理：三角形的三條中線交于一點，三角形的三條高線交于一點，三角形的三條角分線交于一點．37塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理2設(shè)的內(nèi)切圓和邊、、分別相切于點、T，AR、BS交于一點．38西摩松（Simson定理：eq\o\ac(△,)的外接圓上任意一點P向邊BC、或其延長線作垂線，設(shè)其垂足分別是D、、，則D、、線條直線叫西摩松線Simsonline39西摩松定理的逆定理）40關(guān)于西摩松線的定理eq\o\ac(△,)的外接圓的兩個端點PQ關(guān)于該三角形的西摩松線互相垂直其交點在九點圓上．41關(guān)于西摩松線的定理（寧定理一個圓周上有4點，以其中任三點作三角形，再作其余一點的關(guān)于該三角形的西摩松線，這些西摩松線交于一點．42史坦納定理的垂心為外接圓的任意點P時關(guān)eq\o\ac(△,)ABC的點的摩松線通過線段中心．43史坦納定理的應(yīng)用定理eq\o\ac(△,)ABC外接圓上的一點P的關(guān)于邊、AB的對稱點和的垂心H在一條（與西摩松線平行的）直線上．這條直線被叫做點P關(guān)eq\o\ac(△,)的鏡象線．44牛頓定理1：邊形兩條對邊的延長線的交點所連線段的中點和兩條對角線的中點，三點共線．這條直線叫做這個四邊形的牛頓線．45牛頓定理2：外切四邊形的兩條對角線的中點，及該圓的圓心，三點共線．46笛沙格定理：平面上有兩個三角eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)DEF，它們的對應(yīng)頂點D和）的連線交于一點，這時如果對應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個交點共線．47笛沙格定理：相異平面上有兩個三角eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)DEF，它們的對應(yīng)頂點AD、和）的連線交于一點，這時如果對應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個交點共線．48波朗杰、騰下定理：eq\o\ac(△,)的外接圓上的三點為PQ，則P、Req\o\ac(△,)ABC交于一點的充要條件是：弧+弧BQ+CR=0(mod2)．49波朗杰騰下定理推論1設(shè)PQRABC的外接圓上的三點若關(guān)的西摩松線交于一點，則AB、三點關(guān)eq\o\ac(△,)的的西摩松線交于與前相同的一點．50波朗杰、騰下定理推論2：在推中，三條西摩松線的交點、PQR點任取三點所作的三角形的垂心和其余三點所作的三角形的垂心的連線段的中點．51波朗杰、騰下定理推：考eq\o\ac(△,)的接圓上的一點P的eq\o\ac(△,)的摩松線，如QR垂直于這條西摩松線該外接圓的弦，則三點PQR的關(guān)于ABC的西摩松線交于一點．52波朗杰、騰下定理推論：eq\o\ac(△,)ABC的點向邊BC、CA、引垂線，設(shè)垂足分別是DEF，且設(shè)邊CA、的中點分別是LM、N則D、、FL、M、N六點在同一個圓上，這時L、M、點關(guān)于關(guān)于ABC的西摩松線交于一點．

53卡諾定理：通過ABC的外接圓的一點P引與的三邊BC、AB分別成同向的等角的直線、PF與三邊的交點分別是D、、F則D、EF點共線．54奧倍爾定理：通過的三個頂點引互相平行的三條直線，設(shè)它們eq\o\ac(△,)ABC的外接圓的交點分別是M、，在ABC外接圓上取一點，PLPMeq\o\ac(△,)的三邊AB其延長線的交點分別是DEF，則D、、F三共線．55清宮定理：設(shè)Qeq\o\ac(△,)的外接圓的異于、B的兩點的關(guān)于三邊BCCAAB對稱點分別是U、、，這時，QUQVQW和邊BC、、或其延長線的交點分別是D、，則D、EF點共線．56他拿定理：PQ為關(guān)于ABC的外接圓的一對反點，P的關(guān)于三邊BCAB對稱點分別是U這時，如果QUQV、和、CA、AB或其延長線的交點分別是、、F，則、EF點共線點：、分別為圓O的半徑OC其延長線的兩點，如果

=OQ則稱P兩點關(guān)于圓O為反點）57朗古來定理：在同一圓周上A、四點，以其中任三點作三角形，在圓周取一PP點的關(guān)于這個三角形的西摩松線，再從P向這4條摩松線引垂線，則四個垂足在同一條直線上．58從三角形各邊的中點，向這條邊所對的頂點處的外接圓的切線引垂線，這些垂線交于該三角形的九點圓的圓心．59一個圓周上有個點，從其中任意n－1點的重心，向該圓周的在其余一點處的切線所引的垂線都交于一點．60康托爾定理：一個圓周上有n點，從其中任意－2點的重心向余下兩點的連線所引的垂線共點．61康托爾定理一個圓周上有BD四點及MN點則和N關(guān)于四個三角形eq\o\ac(△,)CDAeq\o\ac(△,)DAB、ABC的每一個的兩條西摩松線的交點在同一直線上．這條直線叫做M兩點關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線．62康托爾定理：一個圓周上有、CD四點及MNL三，M兩點的關(guān)于四邊形康托爾線、L兩點的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、M、兩點的關(guān)于四邊形ABCD康托爾線交于一點．這個點叫M、、L三關(guān)于四邊形ABCD的康托爾點．63康托爾定理：一個圓周上AD點及M、L點，MNL三關(guān)于四邊形BCDECDEA、中的每一個康托爾點在一條直線上．這條直線叫做、、L三點關(guān)于五邊形、、CD、E的康托爾線．64費爾巴赫定理：三角形的九點圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切．65莫利定理：將三角形的三個內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個交點，則這樣的三個交點可以構(gòu)成一個正三角形．這個三角形常被稱作莫利正三角形．66布利安松定理：連結(jié)外切于圓的六邊形相對的頂點D、、F則這三線共點．67帕斯卡（）定理：圓內(nèi)接六邊形ABCDEF相對的邊AB和DE、EF、和的（或延長線的）交點共線．68阿波羅尼斯（）定理：到兩定、距離之比為定比m（值不為1的點，位于將線段分成：的內(nèi)分點C外分點D為徑兩端點的定圓周上．這個圓稱為阿波羅尼斯圓．69庫立奇*上定理內(nèi)接四邊形的九點圓）圓周上有四點，過其中任三點作三角形，這四個三角形的九點圓圓心都在同一圓周上，我們把過這四個九點圓圓心的圓叫做圓內(nèi)接四邊形的九點圓．70密格爾（點：若AEAF、EDFB條直線相交于、、CD、F點，構(gòu)成四個三角形，它們是△ABF、△AED△BCE、△DCF則這四個三角形的外接圓共點，這個點稱為密格爾點．71葛爾剛Gergonne）點：ABC的切圓分別切邊AB、、點D、，則、、三線共點，這個點稱為葛爾剛點．72歐拉關(guān)于垂足三角形的面積公式：O三角形的外心，M是三角形中的任意一點，過向三邊作垂線，三個垂足形成的三角形的面積，其公式：

|R|R

．

平面幾何的意義就個人經(jīng)驗而言，我相信人的智力懵懂的大門獲得開悟往往緣于一些不經(jīng)意的偶然事件．羅素說過個人越是研究幾何學(xué)，就越能看出它們是多么值得贊賞想羅素之所以這么說，是因為平面幾何曾經(jīng)救了他一命的緣故．天知道是什么緣故，這個養(yǎng)尊處優(yōu)的貴族子弟鬼迷心竅，想要自殺來結(jié)束自己那份下層社會人家的孩子巴望一輩子都夠不到的幸福生活．在上吊或者抹脖子之前，頭戴假發(fā)的小子想到做最后一件事情，那就是了解一下平面幾何到底有多大迷人的魅力．而這個魅力是之前他的哥哥向他吹噓的．估計他的哥哥將平面幾何與人生的意義攪和在一起向他做了推介，不然萬念俱灰的的頭腦怎么會在離開之前想到去做最后的光顧？而羅素真的一下被迷住了，厭世的念頭因為沉湎于平面幾何而被淡化，最后竟被遺忘了．羅素畢竟是羅素面幾何對于我的意義只是發(fā)掘了一個成績本來不錯的中學(xué)生的潛力為解開了智力上的扭結(jié)；而在羅素那里，這門知識從一開始就使這個未來的偉大的懷疑論者顯露了執(zhí)拗的本性．他反對不加考察就接受平面幾何的公理，在與哥哥的反復(fù)爭論之后，只是他的哥哥使他確信不可能用其他的方法一步步由這樣的公理來構(gòu)建龐大的平面幾何的體系的以后，他才同意接受這些公理．公元前334年，年輕的亞歷山大從馬其頓麾師東進，短短的時間就建立了一個從尼羅河到印度河的龐大帝國．隨著他的征服，希臘文明傳播到了東方，開始了一個新的文明時代“希臘化時代，這時希臘文明的中心也從希臘本土轉(zhuǎn)移到了東方，準確地說，是從雅典轉(zhuǎn)移到了埃及的亞歷山大城．正是在這個城市，誕生“希臘化時代最為杰出的科學(xué)成就，其中就包括歐幾里德的幾何學(xué)．因為他的成就，平面幾何也被叫作歐氏幾何”．“歐氏幾何”以它無與倫比的完美體系一直被視為演繹知識的典范，哲學(xué)史家更愿意把它看作是古代希臘文化的結(jié)晶．它由人類理性不可辯駁的幾個極其簡單的“自明性公理”出發(fā)，通過嚴密的邏輯推理，演繹出一連串的定理，這些在結(jié)構(gòu)上緊密依存的定理和作為基礎(chǔ)的幾個公理一起構(gòu)筑了一個龐大的知識體系．世間事物的簡潔之美無出其右．★費馬點：法國著名數(shù)學(xué)家費爾馬曾提出關(guān)于三角形的一個有趣問題：在三角形所在平面上，求一點，使該點到三角形三個頂點距離之和最?。藗兎Q這個點為“費馬點是一個歷史名題，近幾年仍有不少文獻對此介紹．★拿破侖三角形：讀了這個題目，你一定覺得很奇怪．還有三角形用拿破侖這個名子來命名的呢！拿破侖與我們的幾何圖形三角形有什么關(guān)系？少年朋友知道拿破侖是法國著名的軍事家、政治家、大革命的領(lǐng)導(dǎo)者、法蘭西共和國的締造者，但對他任過炮兵軍官，對與射擊、測量有關(guān)的幾何等知識素有研究，卻知道得就不多了吧！史料記載，拿破侖攻占意大利之后，把意大利圖書館中有價值的文獻，包括歐幾里德的名著《幾何原本》都送回了巴黎，他還對法國數(shù)學(xué)家提出了“如何用圓規(guī)將圓周四等分”的問題，被法國數(shù)學(xué)家曼徹羅尼所解決．據(jù)說拿破侖在統(tǒng)治