新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第1冊全冊學(xué)案(附解析)

新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第1冊全冊精品學(xué)案1.1.2集合的表示 111.2集合間的基本關(guān)系 211.3.1并集與交集 321.3.2補(bǔ)集及集合運算的綜合應(yīng)用 431.4.1充分條件與必要條件 541.4.2充要條件 641.5.1全稱量詞與存在量詞 741.5.2全稱量詞命題與存在量詞命題的否定 84第一章集合與常用邏輯用語復(fù)習(xí)課 912.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì) 972.2.1基本不等式 1082.2.2利用基本不等式求最值 1182.3.1二次函數(shù)與一元二次方程、不等式 1302.3.2一元二次不等式的應(yīng)用 141第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式復(fù)習(xí)課 1513.1.1.1函數(shù)的概念 1553.1.1.2函數(shù)概念的應(yīng)用 1673.1.2.1函數(shù)的表示法 1783.1.2.2分段函數(shù) 1903.2.1.1函數(shù)的單調(diào)性 2053.2.1.2函數(shù)的最大(小)值 2183.2.2.1函數(shù)奇偶性的概念 2333.2.2.2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 2453.3冪函數(shù) 2583.4函數(shù)的應(yīng)用(一) 270第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)復(fù)習(xí)課 2834.1.1根式 2914.1.2指數(shù)冪及其運算 2994.2.1指數(shù)函數(shù)及其圖象性質(zhì) 3114.2.2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 3214.3.1對數(shù)的概念 3344.3.2對數(shù)的運算 3424.4.1對數(shù)函數(shù)及其圖象 3534.4.2對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 3644.4.3不同函數(shù)增長的差異 3754.5.1函數(shù)的零點與方程的解 3884.5.2用二分法求方程的近似解 4024.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用 413第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)復(fù)習(xí)課 4255.1.1任意角 4335.1.2弧度制 4445.2.1三角函數(shù)的概念 4545.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 4645.3.1誘導(dǎo)公式二、三、四 4755.3.2誘導(dǎo)公式五、六 4865.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象 4975.4.2.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(一) 5095.4.2.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(二) 52054.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象 5345.5.1.1兩角差的余弦公式 5485.5.1.2兩角和與差的正弦、余弦公式 5605.5.1.3兩角和與差的正切公式 5735.5.1.4二倍角的正弦、余弦、正切公式 5855.5.2.1簡單的三角恒等變換 5975.5.2.2三角恒等變換的應(yīng)用 6095.6.1函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象(一) 6215.6.2函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象(二) 6345.7三角函數(shù)的應(yīng)用 650三角恒等變換復(fù)習(xí)課 663第五章三角函數(shù)復(fù)習(xí)課 6691.1.1集合的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)1．了解集合與元素的含義．2．理解集合中元素的特征，并能利用它們進(jìn)行解題．3．理解集合與元素的關(guān)系．4．掌握數(shù)學(xué)中一些常見的集合及其記法．要點整理1．元素與集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素，元素常用小寫的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)，集合通常用大寫的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合是相等的．2．元素的特性(1)確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．簡記為“確定性”．(2)互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的．也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．簡記為“互異性”．(3)無序性：給定集合中的元素是不分先后，沒有順序的．簡記為“無序性”．溫馨提示：集合含義中的“研究對象”指的是集合的元素，研究集合問題的核心即研究集合中的元素，因此在解決集合問題時，首先要明確集合中的元素是什么．集合中的元素可以是數(shù)、點，也可以是一些人或一些物．3．元素與集合的關(guān)系(1)屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A．(2)不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A．溫馨提示：(1)符號“∈”“?”刻畫的是元素與集合之間的關(guān)系．對于一個元素a與一個集合A而言，只有“a∈A”與“a?A”這兩種結(jié)果．(2)∈和?具有方向性，左邊是元素，右邊是集合，形如R∈0是錯誤的．4．常用的數(shù)集及其記法思考診斷1．某中學(xué)2019年高一年級20個班構(gòu)成一集合．(1)高一(3)班、高一(2)班是這個集合的元素嗎？(2)高二(3)班是這個集合中的元素嗎？[答案](1)是(2)不是2．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)本班的高個子同學(xué)組成集合．()(2)聯(lián)合國常任理事國組成集合．()(3)由1,2,2,4,1組成的集合有五個元素．()(4)由a，b，c組成的集合與由b，a，c組成的集合是同一個集合．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√課堂互動題型一集合的基本概念【典例1】判斷下列每組對象的全體能否構(gòu)成一個集合？(1)接近于2019的數(shù)；(2)大于2019的數(shù)；(3)育才中學(xué)高一(1)班視力較好的同學(xué)；(4)方程x2－2＝0在實數(shù)范圍內(nèi)的解；(5)函數(shù)y＝x2圖象上的點．[思路導(dǎo)引]構(gòu)成集合的關(guān)鍵是要有明確的研究對象，即元素不能模糊不清、模棱兩可．[解](1)(3)由于標(biāo)準(zhǔn)不明確，故不能構(gòu)成集合；(2)(4)(5)能構(gòu)成集合．對集合含義的理解給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了，所謂“確定”，是指所有被“研究的對象”都是這個集合的元素，沒有被“研究的對象”都不是這個集合的元素．[針對訓(xùn)練]1．下列所給的對象能構(gòu)成集合的是______．(填序號)①所有的正三角形；②比較接近1的數(shù)的全體；③某校高一年級16歲以下的學(xué)生；④平面直角坐標(biāo)系內(nèi)到原點距離等于1的點的全體；⑤我校教職員工中的年輕人；⑥eq\r(2)的近似值的全體．[解析]①能構(gòu)成集合，其中的元素需滿足三條邊相等；②不能構(gòu)成集合，因為“比較接近1”的標(biāo)準(zhǔn)不明確，所以元素不確定，故不能構(gòu)成集合；③能構(gòu)成集合，其中的元素是“某校高一年級16歲以下的學(xué)生”；④能構(gòu)成集合，其中的元素是“平面直角坐標(biāo)系內(nèi)到原點距離等于1的點”；⑤不能構(gòu)成集合，因為“年輕”的標(biāo)準(zhǔn)是模糊的、不確定的，故不能構(gòu)成集合；⑥不能構(gòu)成集合，因為“eq\r(2)的近似值”不明確精確到什么程度，所以不能構(gòu)成集合．[答案]①③④題型二元素與集合的關(guān)系【典例2】(1)下列關(guān)系中，正確的有()①eq\f(1,2)∈R；②eq\r(2)?Q；③|－3|∈N；④|－eq\r(3)|∈Q.A．1個B．2個C．3個 D．4個(2)集合A中的元素x滿足eq\f(6,3－x)∈N，x∈N，則集合A中的元素為________．[思路導(dǎo)引]判斷一個元素是否為某集合的元素，關(guān)鍵是抓住集合中元素的特征．[解析](1)eq\f(1,2)是實數(shù)；eq\r(2)是無理數(shù)；|－3|＝3，是自然數(shù)；|－eq\r(3)|＝eq\r(3)，是無理數(shù)．故①②③正確，選C．(2)當(dāng)x＝0時，eq\f(6,3－0)＝2；當(dāng)x＝1時，eq\f(6,3－1)＝3；當(dāng)x＝2時，eq\f(6,3－2)＝6；當(dāng)x≥3時不符合題意，故集合A中元素有0,1,2.[答案](1)C(2)0,1,2判斷元素與集合關(guān)系的2種方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可．(2)推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應(yīng)首先明確已知集合中的元素具有什么特征．[針對訓(xùn)練]2．已知集合A中有四個元素0,1,2,3，集合B中有三個元素0,1,2，且元素a∈A，a?B，則a的值為()A．0B．1C．2 D．3[解析]∵a∈A，a?B，∴由元素與集合之間的關(guān)系知，a＝3.[答案]D3．用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨阂阎螦中的元素x是被3除余2的整數(shù)，則有：17________A；－5________A．[解析]由題意可設(shè)x＝3k＋2，k∈Z，令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.所以17∈A．令3k＋2＝－5得，k＝－eq\f(7,3)?Z.所以－5?A．[答案]∈?題型三集合中元素的特性【典例3】已知集合A含有兩個元素a和a2，若1∈A，則實數(shù)a的值為________．[思路導(dǎo)引]由集合中元素的確定性和互異性切入．[解析]若a＝1，則a2＝1，此時集合A中兩元素相同，與互異性矛盾，故a≠1；若a2＝1，則a＝－1或a＝1(舍去)，此時集合A中兩元素為－1,1，故a＝－1.綜上所述a＝－1.[答案]－1[變式](1)本例若將條件“1∈A”改為“2∈A”，其他條件不變，求實數(shù)a的值．(2)本例若去掉條件“1∈A”，其他條件不變，則實數(shù)a的取值范圍是什么？[解](1)若a＝2，則a2＝4，符合元素的互異性；若a2＝2，則a＝eq\r(2)或a＝－eq\r(2)，符合元素的互異性．所以a的取值為2，eq\r(2)，－eq\r(2).(2)根據(jù)集合中元素的互異性可知，a≠a2，所以a≠0且a≠1.應(yīng)用集合元素的特性解題的要點(1)集合問題的核心即研究集合中的元素，在解決這類問題時，要明確集合中的元素是什么．(2)構(gòu)成集合的元素必須是確定的(確定性)，而且是互不相同的(互異性)，在書寫時可以不考慮先后順序(無序性)．(3)利用集合元素的特性求參數(shù)問題時，先利用確定性解出字母所有可能值，再根據(jù)互異性對集合中元素進(jìn)行檢驗，要注意分類討論思想的應(yīng)用．[針對訓(xùn)練]4．已知集合A由三個元素m，m2＋1,1組成，若2∈A，求實數(shù)m的值．[解]∵2∈A，∴m＝2或m2＋1＝2，則m＝2或m＝±1.當(dāng)m＝2時，集合A中的元素為：2,5,1，符合題意；當(dāng)m＝1時，集合A中的元素為：1,2,1，不滿足互異性，舍去；當(dāng)m＝－1時，集合A中的元素為：－1,2,1，符合題意．綜上知，m＝2或m＝－1.課堂歸納小結(jié)1．判斷一組對象的全體能否構(gòu)成集合，關(guān)鍵是看研究對象是否確定．若研究對象不確定，則不能構(gòu)成集合．2．集合中的元素是確定的，某一元素a要么滿足a∈A，要么滿足a?A，兩者必居其一．這也是判斷一組對象能否構(gòu)成集合的依據(jù)．3．集合中元素的三種特性：確定性、互異性、無序性．求集合中字母的取值時，一定要檢驗是否滿足集合中元素的互異性.驗收鞏固1．已知a∈R，且a?Q，則a可以為()A．eq\r(2)B．eq\f(1,2)C．－2D．－eq\f(1,3)[解析]eq\r(2)是無理數(shù)，所以eq\r(2)?Q，eq\r(2)∈R.[答案]A2．若由a2,2019a組成的集合M中有兩個元素，則a的取值可以是()A．a(chǎn)＝0B．a(chǎn)＝2019C．a(chǎn)＝1D．a(chǎn)＝0或a＝2019[解析]若集合M中有兩個元素，則a2≠2019a.即a≠0，且a≠2019.故選C．[答案]C3．下列各組對象能構(gòu)成集合的有()①接近于0的實數(shù)；②小于0的實數(shù)；③(2019,1)與(1,2019)；④1,2,3,1.A．1組B．2組C．3組D．4組[解析]①中“接近于0”不是一個明確的標(biāo)準(zhǔn)，不滿足集合中元素的確定性，所以不能構(gòu)成集合；②中“小于0”是一個明確的標(biāo)準(zhǔn)，能構(gòu)成集合；③中(2019,1)與(1,2019)是兩個不同的對象，是確定的，能構(gòu)成集合，注意該集合有兩個元素；④中的對象是確定的，可以構(gòu)成集合，根據(jù)集合中元素的互異性，可知構(gòu)成的集合為{1,2,3}．[答案]C4．若方程ax2＋ax＋1＝0的解構(gòu)成的集合中只有一個元素，則a為()A．4B．2C．0D．0或4[解析]當(dāng)a＝0時，方程變?yōu)?＝0不成立，故a＝0不成立；當(dāng)a≠0時，Δ＝a2－4a＝0，a＝4，故選A．[答案]A5．下列說法正確的是________．①及第書業(yè)的全體員工形成一個集合；②2019年高考試卷中的難題形成一個集合；③方程x2－1＝0與方程x＋1＝0所有解組成的集合中共有3個元素；④x，eq\r(3,x3)，eq\r(x2)，|x|形成的集合中最多有2個元素．[解析]①及第書業(yè)的全體員工是一個確定的集體，能形成一個集合，正確；②難題沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，不能形成集合，錯誤；③方程x2－1＝0的解為x＝±1，方程x＋1＝0的解為x＝－1，由集合中元素的互異性知，兩方程所有解組成的集合中共有2個元素1，－1，故錯誤；④x＝eq\r(3,x3)，eq\r(x2)＝|x|，故正確．[答案]①④課后作業(yè)(一)一、選擇題1．下列說法正確的是()A．某班中年齡較小的同學(xué)能夠形成一個集合B．由1,2,3和eq\r(9)，1，eq\r(4)組成的集合不相等C．不超過20的非負(fù)數(shù)組成一個集合D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解構(gòu)成的集合中有3個元素[解析]A項中元素不確定．B項中兩個集合元素相同，因集合中的元素具有無序性，所以兩個集合相等．D項中方程的解分別是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互異性知，構(gòu)成的集合含2個元素．[答案]C2．已知集合A由x<1的數(shù)構(gòu)成，則有()A．3∈AB．1∈AC．0∈AD．－1?A[解析]很明顯3,1不滿足不等式，而0，－1滿足不等式．[答案]C3．下列各組中集合P與Q，表示同一個集合的是()A．P是由2,3構(gòu)成的集合，Q是由有序數(shù)對(2,3)構(gòu)成的集合B．P是由π構(gòu)成的集合，Q是由3.14159構(gòu)成的集合C．P是由元素1，eq\r(3)，π構(gòu)成的集合，Q是由元素π，1，|－eq\r(3)|構(gòu)成的集合D．P是滿足不等式－1≤x≤1的自然數(shù)構(gòu)成的集合，Q是方程x2＝1的解集[解析]由于C中P、Q元素完全相同，所以P與Q表示同一個集合，而A、B、D中元素不相同，所以P與Q不能表示同一個集合．故選C．[答案]C4．已知集合A含有三個元素2,4,6，且當(dāng)a∈A，有6－a∈A，則a為()A．2B．2或4C．4D．0[解析]若a＝2∈A，則6－a＝4∈A；或a＝4∈A，則6－a＝2∈A；若a＝6∈A，則6－a＝0?A．故選B．[答案]B5．由實數(shù)－a，a，|a|，eq\r(a2)所組成的集合最多含有的元素個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4[解析]當(dāng)a＝0時，這四個數(shù)都是0，所組成的集合只有一個元素0.當(dāng)a≠0時，eq\r(a2)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a>0，,－a，a<0，))所以一定與a或－a中的一個一致．故組成的集合中有兩個元素．故選B．[答案]B二、填空題6．給出下列關(guān)系：①eq\f(1,3)∈Z；②eq\r(5)∈R；③|－5|?N＋；④|－eq\f(\r(3),2)|∈Q；⑤π∈R.其中，正確的個數(shù)為________．[解析]由Z，R，Q，N＋的含義，可知②⑤正確，①③④不正確．故正確的個數(shù)為2.[答案]27．由a2,2－a,4組成一個集合A，A中含有3個元素，則實數(shù)a滿足的條件是________．[解析]由元素的互異性，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2≠4，,2－a≠4，,a2≠2－a，))即a≠±2，且a≠1.[答案]a≠±2且a≠18．若集合A中含有三個元素a－3,2a－1，a2－4，且－3∈A，則實數(shù)a的值為________．[解析]①若a－3＝－3，則a＝0，此時A中元素為－3，－1，－4，滿足題意．②若2a－1＝－3，則a＝－1，此時A中元素為－4，－3，－3，不滿足元素的互異性．③若a2－4＝－3，則a＝±1.當(dāng)a＝1時，A中元素為－2,1，－3，滿足題意；當(dāng)a＝－1時，由②知不合題意．綜上可知：a＝0或a＝1.[答案]0或1三、解答題9．已知集合A中含有兩個元素x，y，集合B中含有兩個元素0，x2，若A＝B，求實數(shù)x，y的值．[解]因為集合A，B相等，則x＝0或y＝0.①當(dāng)x＝0時，x2＝0，B中元素為0,0，不滿足集合中元素的互異性，故舍去．②當(dāng)y＝0時，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由①知x＝0應(yīng)舍去．綜上知：x＝1，y＝0.10．設(shè)集合A中含有三個元素3，x，x2－2x.(1)求實數(shù)x應(yīng)滿足的條件；(2)若－2∈A，求實數(shù)x.[解](1)由集合中元素的互異性可知，x≠3.且x≠x2－2x，x2－2x≠3.解之得x≠－1，且x≠0，x≠3.(2)由－2∈A，知x＝－2或x2－2x＝－2，當(dāng)x＝－2時，x2－2x＝(－2)2－2×(－2)＝8.此時A中含有三個元素3，－2,8滿足條件．當(dāng)x2－2x＝－2，即x2－2x＋2＝0時，Δ＝(－2)2－4×1×2＝4－8<0，故方程無解，顯然x2－2x≠－2.綜上，x＝－2.綜合運用11．下面有四個命題：①集合N中最小的數(shù)是1；②若－a不屬于N，則a屬于N；③若a∈N，b∈N，則a＋b的最小值為2；④x2＋1＝2x的解構(gòu)成的集合有兩個元素．其中正確命題的個數(shù)為()A．0個B．1個C．2個D．3個[解析]①最小的數(shù)應(yīng)該是0；②反例：－0.5?N，且0.5?N；③當(dāng)a＝0，b＝1時，a＋b＝1；④因為元素的互異性，故集合中有一個元素．[答案]A12．若以集合A的四個元素a，b，c，d為邊長構(gòu)成一個四邊形，則這個四邊形可能是()A．梯形B．平行四邊形C．菱形D．矩形[解析]由于a，b，c，d四個元素互不相同，故它們組成的四邊形的四條邊都不相等．[答案]A13．已知集合P中元素x滿足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三個元素，則整數(shù)a＝________.[解析]∵x∈N,2<x<a，且集合P中恰有三個元素，∴整數(shù)a為6.[答案]614．若集合A中有三個元素1，a＋b，a；集合B中有三個元素0，eq\f(b,a)，b.若集合A與集合B相等，則b－a的值為______．[解析]由題意可知a＋b＝0且a≠0，∴a＝－b，∴eq\f(b,a)＝－1.∴a＝－1，b＝1，故b－a＝2.[答案]215．集合A中共有3個元素－4,2a－1，a2，集合B中也共有3個元素9，a－5,1－a，現(xiàn)知9∈A且集合B中再沒有其他元素屬于A，能否根據(jù)上述條件求出實數(shù)a的值？若能，則求出a的值，若不能，則說明理由．[解]∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，若2a－1＝9，則a＝5，此時A中的元素為－4,9,25；B中的元素為9,0，－4，顯然－4∈A且－4∈B，與已知矛盾，故舍去．若a2＝9，則a＝±3，當(dāng)a＝3時，A中的元素為－4,5,9；B中的元素為9，－2，－2，B中有兩個－2，與集合中元素的互異性矛盾，故舍去．當(dāng)a＝－3時，A中的元素為－4，－7,9；B中的元素為9，－8,4，符合題意．綜上所述，滿足條件的a存在，且a＝－3.1.1.2集合的表示學(xué)習(xí)目標(biāo)1．掌握用列舉法表示有限集．2．理解描述法格式及其適用情形．3．學(xué)會在集合不同的表示法中作出選擇和轉(zhuǎn)換．要點整理1．列舉法把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．溫馨提示：(1)元素與元素之間必須用“，”隔開．(2)集合中的元素必須是明確的．(3)集合中的元素不能重復(fù)．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法(1)定義：一般地，設(shè)A表示一個集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．有時也用冒號或分號代替豎線．(2)具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．溫馨提示：(1)寫清楚集合中元素的符號．如數(shù)或點等．(2)說明該集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函數(shù)式或幾何圖形等．(3)不能出現(xiàn)未被說明的字母．思考診斷1．觀察下列集合：①方程x2－4＝0的根；②20的所有正因數(shù)組成的集合．(1)上述兩個集合中的元素能一一列舉出來嗎？(2)如何表示上述兩個集合？[答案](1)能．①中的元素為－2,2；②中的元素為1,2,4,5,10,20(2)用列舉法表示2．觀察下列集合：①不等式x－2≥3的解集；②函數(shù)y＝x2－1的圖象上的所有點．(1)這兩個集合能用列舉法表示嗎？(2)你覺得用什么方法表示這兩個集合比較合適？[答案](1)不能(2)利用描述法3．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)由1,1,2,3組成的集合可用列舉法表示為{1,1,2,3}．()(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.()(3)集合A＝{x|x－1＝0}與集合B＝{1}表示同一個集合．()(4)集合{x|4<x<5}可用列舉法表示．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×課堂互動題型一用列舉法表示集合【典例1】用列舉法表示下列集合：(1)方程x(x－1)2＝0的所有實數(shù)根組成的集合；(2)不大于10的非負(fù)偶數(shù)集；(3)一次函數(shù)y＝x與y＝2x－1圖象的交點組成的集合．[思路導(dǎo)引]用列舉法表示集合的關(guān)鍵是弄清集合中的元素是什么，還要弄清集合中的元素個數(shù)．[解](1)方程x(x－1)2＝0的實數(shù)根為0,1，故其實數(shù)根組成的集合為{0,1}．(2)不大于10的非負(fù)偶數(shù)即為從0到10的偶數(shù)，故不大于10的非負(fù)偶數(shù)集為{0,2,4,6,8,10}．(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x,y＝2x－1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))故一次函數(shù)y＝x與y＝2x－1圖象的交點組成的集合為{(1,1)}．用列舉法表示集合的3個步驟[針對訓(xùn)練]1．用列舉法表示下列集合：(1)我國現(xiàn)有的所有直轄市；(2)絕對值小于3的整數(shù)集合；(3)一次函數(shù)y＝x－1與y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(4,3)的圖象交點組成的集合．[解](1)我國現(xiàn)有的直轄市有北京市、天津市、上海市和重慶市，故我國現(xiàn)有的所有直轄市組成的集合為{北京市，天津市，上海市，重慶市}．(2)絕對值小于3的整數(shù)有－2，－1,0,1,2，故絕對值小于3的整數(shù)集合為{－2，－1,0,1,2}．(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y＝－\f(2,3)x＋\f(4,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(7,5)，,y＝\f(2,5).))故一次函數(shù)y＝x－1與y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(4,3)的圖象交點組成的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,5)，\f(2,5))))).題型二用描述法表示集合【典例2】用描述法表示下列集合：(1)正偶數(shù)集；(2)被3除余2的正整數(shù)的集合；(3)平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點組成的集合；(4)不等式3x－2<4的解集．[思路導(dǎo)引]用描述法表示集合的關(guān)鍵是確定代表元素的屬性和表示元素的共同特征．[解](1)偶數(shù)可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此題要求為正偶數(shù)，故限定n∈N*，所以正偶數(shù)集可表示為{x|x＝2n，n∈N*}．(2)設(shè)被3除余2的數(shù)為x，則x＝3n＋2，n∈Z，但元素為正整數(shù)，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整數(shù)集合可表示為{x|x＝3n＋2，n∈N}．(3)坐標(biāo)軸上的點(x，y)的特點是橫、縱坐標(biāo)中至少有一個為0，即xy＝0，故坐標(biāo)軸上的點的集合可表示為{(x，y)|xy＝0}．(4)不等式3x－2<4可化簡為x<2，所以不等式3x－2<4的解集為{x|x<2}．用描述法表示集合應(yīng)注意的3點(1)用描述法表示集合，首先應(yīng)弄清楚集合的屬性，是數(shù)集、點集還是其他的類型．一般地，數(shù)集用一個字母代表其元素，而點集則用一個有序數(shù)對來表示．(2)用描述法表示集合時，若描述部分出現(xiàn)元素記號以外的字母，要對新字母說明其含義或取值范圍．(3)多層描述時，應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“且”和“或”，所有描述的內(nèi)容都要寫在集合內(nèi)．[針對訓(xùn)練]2．用描述法表示下列集合：(1)所有被5整除的數(shù)；(2)方程6x2－5x＋1＝0的實數(shù)解集；(3)直線y＝x上去掉原點的點的集合．[解](1)被5整除的數(shù)可用式子x＝5n，n∈Z表示，所以所有被5整除的數(shù)的集合可表示為{x|x＝5n，n∈Z}．(2)由6x2－5x＋1＝0解得x＝eq\f(1,2)或x＝eq\f(1,3)，所以方程6x2－5x＋1＝0的實數(shù)解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)或x＝\f(1,3))))).(3)直線y＝x上除去原點，即x≠0，所以直線y＝x上去掉原點的點的集合為{(x，y)|y＝x，且x≠0}.題型三集合表示方法的應(yīng)用【典例3】(1)若集合A＝{x|ax2－8x＋16＝0，a∈R}中只有一個元素，則a的值為()A．1B．4C．0 D．0或1(2)已知A＝{x|kx＋2>0，k∈R}，若－2∈A，則k的取值范圍是________．[思路導(dǎo)引]借助描述法求值或范圍的關(guān)鍵是弄清集合中元素的特征．[解析](1)①當(dāng)a＝0時，原方程為16－8x＝0.∴x＝2，此時A＝{2}；②當(dāng)a≠0時，由集合A中只有一個元素，∴方程ax2－8x＋16＝0有兩個相等實根，則Δ＝64－64a＝0，即a＝1.從而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}．綜上所述，實數(shù)a的值為0或1.故選D．(2)∵－2∈A，∴－2k＋2>0，得k<1.[答案](1)D(2)k<1[變式](1)本例(1)中條件“有一個元素”改為有“兩個元素”，其他條件不變，求a的取值范圍．(2)本例(2)中條件“－2∈A”改為“－2?A”，其他條件不變，求k的取值范圍．[解](1)由題意可知方程ax2－8x＋16＝0有兩個不等實根．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,Δ＝64－64a>0，))解得a<1，且a≠0.(2)∵－2?A，∴－2k＋2≤0，得k≥1.集合表示方法的應(yīng)用的注意點(1)若已知集合是用描述法給出的，讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的關(guān)鍵．(2)與方程ax2－8x＋16＝0的根有關(guān)問題易忽視a＝0的情況．[針對訓(xùn)練]3．已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，求a，b的值．[解]由A＝{2,3}知，方程x2－ax＋b＝0的兩根為2,3，由根與系數(shù)的關(guān)系得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋3＝a，,2×3＝b，))因此a＝5，b＝6.4．設(shè)集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(6,2＋x)∈N)))).(1)試判斷元素1,2與集合B的關(guān)系；(2)用列舉法表示集合B.[解](1)當(dāng)x＝1時，eq\f(6,2＋1)＝2∈N.當(dāng)x＝2時，eq\f(6,2＋2)＝eq\f(3,2)?N.所以1∈B,2?B.(2)∵eq\f(6,2＋x)∈N，x∈N，∴2＋x只能取2,3,6.∴x只能取0,1,4.∴B＝{0,1,4}．課堂歸納小結(jié)1．表示集合的要求(1)根據(jù)要表示的集合元素的特點，選擇適當(dāng)方法表示集合，一般要符合最簡原則．(2)一般情況下，元素個數(shù)無限的集合不宜用列舉法表示，描述法既可以表示元素個數(shù)無限的集合，也可以表示元素個數(shù)有限的集合.2.在用描述法表示集合時應(yīng)注意的問題(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是數(shù)、還是有序?qū)崝?shù)對(點)、還是集合或其他形式？(2)元素具有怎樣的屬性？當(dāng)題目中用了其他字母來描述元素所具有的屬性時，要去偽存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.驗收鞏固1．用列舉法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}為()A．{1,1}B．{1}C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}[解析]∵x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，∴x＝1，選B.[答案]B2．已知集合A＝{x∈N*|－eq\r(5)≤x≤eq\r(5)}，則必有()A．－1∈AB．0∈AC.eq\r(3)∈A D．1∈A[解析]∵x∈N*，－eq\r(5)≤x≤eq\r(5)，∴x＝1,2，即A＝{1,2}，∴1∈A，選D.[答案]D3．一次函數(shù)y＝x－3與y＝－2x的圖象的交點組成的集合是()A．{1，－2}B．{x＝1，y＝－2}C．{(－2,1)} D．{(1，－2)}[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－3，,y＝－2x))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2，))∴交點為(1，－2)，故選D.[答案]D4．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列舉法表示集合B為________．[解析]當(dāng)t＝－2時，x＝4；當(dāng)t＝2時，x＝4；當(dāng)t＝3時，x＝9；當(dāng)t＝4時，x＝16；∴B＝{4,9,16}．[答案]{4,9,16}5．選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)絕對值不大于2的整數(shù)組成的集合；(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的實數(shù)解組成的集合；(3)一次函數(shù)y＝x＋6圖象上所有點組成的集合．[解](1)絕對值不大于2的整數(shù)是－2，－1,0,1,2，共有5個元素，則用列舉法表示為{－2，－1,0,1,2}．(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的實數(shù)解僅有兩個，分別是eq\f(5,3)，－2，用列舉法表示為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，－2)).(3)一次函數(shù)y＝x＋6圖象上有無數(shù)個點，用描述法表示為{(x，y)|y＝x＋6}．課內(nèi)拓展課外探究集合的表示方法1．有限集、無限集根據(jù)集合中元素的個數(shù)可以將集合分為有限集和無限集．當(dāng)集合中元素的個數(shù)有限時，稱之為有限集；而當(dāng)集合中元素的個數(shù)無限時，則稱之為無限集．當(dāng)集合為有限集，且元素個數(shù)較少時宜采用列舉法表示集合；對元素個數(shù)較多的集合和無限集，一般采用描述法表示集合．對于元素個數(shù)較多的集合或無限集，其元素呈現(xiàn)一定的規(guī)律，在不產(chǎn)生誤解的情況下，也可以列舉出幾個元素作為代表，其他元素用省略號表示．【典例1】用列舉法表示下列集合：(1)正整數(shù)集；(2)被3整除的數(shù)組成的集合．[解](1)此集合為無限集，且有一定規(guī)律，用列舉法表示為{1,2,3,4，…}．(2)此集合為無限集，且有一定規(guī)律，用列舉法表示為{…，－6，－3,0,3,6，…}．[點評](1){1,2,3,4，…}一般不寫成{2,1,4,3，…}；(2)此題中的省略號不能漏掉．2．集合含義的正確識別集合的元素類型多是以數(shù)、點、圖形等形式出現(xiàn)的．對于已知集合必須弄清集合元素的形式，特別是對于用描述法給定的集合要弄清它的代表元素是什么，代表元素有何屬性(如表示數(shù)集、點集等)．【典例2】已知下面三個集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．問：它們是否為同一個集合？它們各自的含義是什么？[解]∵三個集合的代表元素互不相同，∴它們是互不相同的集合．集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，即滿足條件y＝x2＋1中的所有x，∴{x|y＝x2＋1}＝R.集合②{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，滿足條件y＝x2＋1的y的取值范圍是y≥1，∴{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可認(rèn)為是滿足條件y＝x2＋1的實數(shù)對(x，y)的集合，也可認(rèn)為是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(x，y)，且這些點的坐標(biāo)滿足y＝x2＋1.∴{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是拋物線y＝x2＋1上的點}．[點評]使用特征性質(zhì)描述來表示集合時，首先要明確集合中的元素是什么，如本題中元素的屬性都與y＝x2＋1有關(guān)，但由于代表元素不同，因而表示的集合也不一樣．課后作業(yè)(二)一、選擇題1．已知M中有三個元素可以作為某一個三角形的邊長，則此三角形一定不是()A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形[解析]集合M的三個元素是互不相同的，所以作為某一個三角形的邊長，三邊是互不相等的，故選D.[答案]D2．下列集合中，不同于另外三個集合的是()A．{x|x＝1}B．{x|x2＝1}C．{1} D．{y|(y－1)2＝0}[解析]{x|x2＝1}＝{－1,1}，另外三個集合都是{1}，選B.[答案]B3．已知M＝{x|x－1<eq\r(2)}，那么()A．2∈M，－2∈MB．2∈M，－2?MC．2?M，－2?M D．2?M，－2∈M[解析]若x＝2，則x－1＝1<eq\r(2)，所以2∈M；若x＝－2，則x－1＝－3<eq\r(2)，所以－2∈M.故選A.[答案]A4．下列集合的表示方法正確的是()A．第二、四象限內(nèi)的點集可表示為{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}B．不等式x－1<4的解集為{x<5}C．{全體整數(shù)}D．實數(shù)集可表示為R[解析]選項A中應(yīng)是xy<0；選項B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的規(guī)范格式，缺少了豎線和豎線前面的代表元素x；選項C的“{}”與“全體”意思重復(fù)．[答案]D5．方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x2－y2＝9))的解集是()A．(－5,4)B．(5，－4)C．{(－5,4)} D．{(5，－4)}[解析]解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x2－y2＝9，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝－4，))故解集為{(5，－4)}，選D.[答案]D二、填空題6．設(shè)集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a,0}，若A，B相等，則實數(shù)a＝________.[解析]由集合相等的概念得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1＝0，,a2－3a＝－2，))解得a＝1.[答案]17．設(shè)－5∈{x|x2－ax－5＝0}，則集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________.[解析]由題意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一個根，所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4，則方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．[答案]{1,3}8．若A＝{－2,0,2,3}，B＝{(x，y)|y＝x2，x∈A}，用列舉法表示集合B為________．[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝4，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝9，))得集合B＝{(－2,4)，(0,0)，(2,4)，(3,9)}．[答案]{(－2,4)，(0,0)，(2,4)，(3,9)}三、解答題9．用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)一年中有31天的月份的全體；(2)由直線y＝－x＋4上的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是自然數(shù)的點組成的集合．[解](1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．(2)用描述法表示該集合為M＝{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}，或用列舉法表示該集合為{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．10．含有三個實數(shù)的集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a2，\f(b,a)，a))，若0∈A且1∈A，求a2019＋b2019的值．[解]由0∈A，“0不能做分母”可知a≠0，故a2≠0，所以eq\f(b,a)＝0，即b＝0.又1∈A，可知a2＝1或a＝1.當(dāng)a＝1時，得a2＝1，由集合元素的互異性，知a＝1不合題意．當(dāng)a2＝1時，得a＝－1或a＝1(舍)．故a＝－1，b＝0，所以a2019＋b2019的值為－1.綜合運用11．集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)．選項中元素與集合的關(guān)系都正確的是()A．2∈A，且2∈BB．(1,2)∈A，且(1,2)∈BC．2∈A，且(3,10)∈BD．(3,10)∈A，且2∈B[解析]集合A中元素y是實數(shù)，不是點，故選項B，D不對．集合B的元素(x，y)是點而不是實數(shù)，2∈B不正確，所以A錯．[答案]C12．定義P*Q＝{ab|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,1,2}，Q＝{1,2,3}，則P*Q中元素的個數(shù)是()A．6個B．7個C．8個D．9個[解析]若a＝0，則ab＝0；若a＝1，則ab＝1,2,3；若a＝2，則ab＝2,4,6.故P*Q＝{0,1,2,3,4,6}，共6個元素．[答案]A13．已知集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，則B＝________.[解析]∵x∈A，∴當(dāng)x＝－1時，y＝|x|＝1；當(dāng)x＝0時，y＝|x|＝0；當(dāng)x＝1時，y＝|x|＝1.[答案]{0,1}14.用描述法表示圖中陰影部分的點構(gòu)成的集合為________．[解析]依題設(shè)知：該集合為一點集，且其橫坐標(biāo)滿足0≤x≤2，縱坐標(biāo)滿足0≤y≤1，所以該集合為{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤1}．[答案]{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤1}15．設(shè)集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0}．(1)當(dāng)a＝2時，試求出集合A；(2)a為何值時，集合A中只有一個元素；(3)a為何值時，集合A中有兩個元素．[解]集合A是方程x2＋ax＋1＝0的解構(gòu)成的集合．(1)當(dāng)a＝2時，x2＋2x＋1＝0，即(x＋1)2＝0，x＝－1，所以A＝{－1}．(2)A中只有一個元素，即方程x2＋ax＋1＝0有兩個相等實根，由Δ＝a2－4＝0，得a＝±2.所以a＝±2時，集合A中只有一個元素．(3)A中有兩個元素，即方程x2＋ax＋1＝0有兩個不相等的實根，由Δ＝a2－4>0，得a<－2或a>2.所以a<－2或a>2時，集合A中有兩個元素．1.2集合間的基本關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解子集、真子集、空集的概念．2．能用符號和Venn圖表示集合間的關(guān)系．3．掌握列舉有限集的所有子集的方法．要點整理1．子集的概念溫馨提示：“A是B的子集”的含義是：對任意x∈A都能推出x∈B.2．集合相等的概念如果集合A的任何一個元素是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么，集合A與集合B相等，記作A＝B.也就是說，若A?B且B?A，則A＝B.3．真子集的概念溫馨提示：在真子集的定義中，AB首先要滿足A?B，其次至少有一個x∈B，但x?A.4.空集的概念思考診斷1．給出下列集合：A＝{a，b，c}，B＝{a，b，c，d，e}．(1)集合A與集合B有什么關(guān)系？(2)集合B中的元素與集合A有什么關(guān)系？[答案](1)AB(2)a，b，c∈A；d，e?A2．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)空集中只有元素0，而無其余元素．()(2)任何一個集合都有子集．()(3)若A＝B，則A?B.()(4)方程x2＋2＝0的解集為空集?.()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√課堂互動題型一集合間關(guān)系的判斷【典例1】判斷下列兩個集合之間的關(guān)系：(1)A＝{－1,1}，B＝{x|x2＝1}；(2)A＝{x|x是等邊三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．[思路導(dǎo)引]集合間基本關(guān)系的刻畫均是由元素的從屬關(guān)系決定的．[解](1)用列舉法表示集合B＝{－1,1}，故A＝B.(2)等邊三角形是三邊相等的三角形，等腰三角形是兩邊相等的三角形，故AB.(3)集合B＝{x|x<5}，用數(shù)軸表示集合A，B，如圖所示，由圖可知AB.(4)解法一(特殊值法)：兩個集合都表示正奇數(shù)組成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.解法二(列舉法)：由列舉法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以NM.判斷集合間關(guān)系的3種方法(1)列舉法：用列舉法將兩個集合表示出來，再通過比較兩集合中的元素來判斷兩集合之間的關(guān)系．(2)元素特征法：根據(jù)集合中元素滿足的性質(zhì)特征之間的關(guān)系判斷．(3)圖示法：利用數(shù)軸或Venn圖判斷兩集合間的關(guān)系．[針對訓(xùn)練]1．設(shè)集合M＝{x|x>－2}，則下列選項正確的是()A．{0}?MB．{0}∈MC．?∈M D．0?M[解析]選項B、C中均是集合之間的關(guān)系，符號錯誤；選項D中是元素與集合之間的關(guān)系，符號錯誤．[答案]A2．下列正確表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}關(guān)系的Venn圖是()[解析]M＝{－1,0,1}，N＝{0，－1}，∴NM.[答案]B題型二有限集合子集、真子集的確定【典例2】(1)填寫下表，并回答問題原集合子集子集的個數(shù)?________________{a}________________{a，b}________________{a，b，c}________________由此猜想，含n個元素的集合的所有子集的個數(shù)是多少？真子集的個數(shù)及非空真子集個數(shù)呢？(2)求滿足{1,2}M?{1,2,3,4,5}的集合M.[解](1)原集合子集子集的個數(shù)??1{a}?，{a}2{a，b}?，{a}，，{a，b}4{a，b，c}?，{a}，，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}8猜想：含n個元素的集合的子集共有2n個，真子集有2n－1個，非空真子集有2n－2個．(2)由題意可得{1,2}M?{1,2,3,4,5}，可以確定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一個，因此依據(jù)集合M的元素個數(shù)分類如下：含有三個元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；含有四個元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；含有五個元素：{1,2,3,4,5}．故滿足題意的集合M為{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．(1)求解有限集合子集問題的3個關(guān)鍵點①確定所求集合，是子集還是真子集．②合理分類，按照子集所含元素的個數(shù)依次寫出．③注意兩個特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)與子集、真子集個數(shù)有關(guān)的3個結(jié)論假設(shè)集合A中含有n個元素，則有：①A的子集的個數(shù)為2n個；②A的真子集的個數(shù)為2n－1個；③A的非空真子集的個數(shù)為2n－2個．[針對訓(xùn)練]3．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4個子集，則實數(shù)m＝()A．1B．2C．3D．4[解析]根據(jù)題意，集合M有4個子集，則M中有2個元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素為大于等于1而小于等于m的全部整數(shù)，則m＝2.[答案]B4．已知集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A滿足A?B，A?C，則滿足條件的集合A的個數(shù)是________．[解析]若集合A＝?，滿足A?B，A?C；若集合A≠?，集合A可能是{a}，，{a，b}．故集合A共4個．[答案]4題型三利用集合間的關(guān)系求參數(shù)值(或范圍)【典例3】已知集合A＝{x|－3<x<4}，B＝{x|1－m<x≤2m－1}，且A?B，求實數(shù)m的取值范圍．[思路導(dǎo)引]A?B，即集合A中的數(shù)在集合B中，特別注意A＝?的情況．[解]由A?B，將集合A，B分別表示在數(shù)軸上，如圖所示，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤－3，,1－m<2m－1，,4≤2m－1，))解得m≥4.故m的取值范圍是{m|m≥4}．[變式](1)本例中若將“A?B”改為“B?A”，其他條件不變，求m的取值范圍．(2)本例若將集合A，B分別改為A＝{3，m2}，B＝{1,3,2m－1}，其他條件不變，求實數(shù)m的值．[解](1)由B?A，將集合A，B分別表示在數(shù)軸上，如圖所示．∵B?A，∴當(dāng)B＝?時，1－m≥2m－1，解得m≤eq\f(2,3)；當(dāng)B≠?時，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1>1－m，,2m－1<4，,1－m≥－3，))解得eq\f(2,3)<m<eq\f(5,2).綜上可知，m的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(m<\f(5,2))))).(2)由A?B，按m2＝1和m2＝2m－1兩種情況分類討論．①若m2＝1，則m＝－1或m＝1.當(dāng)m＝－1時，B中元素為1,3，－3，適合題意；當(dāng)m＝1時，B中元素為1,3,1，與元素的互異性矛盾．②若m2＝2m－1，則m＝1，由①知不合題意．綜上所述，m＝－1.由集合間的關(guān)系求參數(shù)的2種方法(1)當(dāng)集合為連續(xù)數(shù)集時，常借助數(shù)軸來建立不等關(guān)系求解，此時應(yīng)注意端點處是實點還是虛點．(2)當(dāng)集合為不連續(xù)數(shù)集時，常根據(jù)集合包含關(guān)系的意義，建立方程求解，此時應(yīng)注意分類討論思想的運用．[針對訓(xùn)練]5．已知集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|x<a}，若AB，求實數(shù)a的取值集合．[解]結(jié)合數(shù)軸，∵AB，∴a≥4，故實數(shù)a的取值集合為{a|a≥4}．6．設(shè)集合M＝{x|2x2－5x－3＝0}，N＝{x|mx＝1}，若N?M，求m的取值集合．[解]集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(3，－\f(1,2))).若N?M，則N＝{3}或eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))或?.于是當(dāng)N＝{3}時，m＝eq\f(1,3)；當(dāng)N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))時，m＝－2；當(dāng)N＝?時，m＝0.所以m的取值集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0，\f(1,3))).課堂歸納小結(jié)1．對子集、真子集有關(guān)概念的理解(1)集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B，這是判斷A?B的常用方法．(2)不能簡單地把“A?B”理解成“A是B中部分元素組成的集合”，因為若A＝?時，則A中不含任何元素；若A＝B，則A中含有B中的所有元素．(3)在真子集的定義中，AB首先要滿足A?B，其次至少有一個x∈B，但x?A.2．集合子集的個數(shù)求集合的子集問題時，一般可以按照子集元素個數(shù)分類，再依次寫出符合要求的子集．集合的子集、真子集個數(shù)的規(guī)律為：含n個元素的集合有2n個子集，有2n－1個真子集，有2n－2個非空真子集．寫集合的子集時，空集和集合本身易漏掉．3．由集合間的關(guān)系求參數(shù)問題的注意點及常用方法(1)注意點：①不能忽視集合為?的情形；②當(dāng)集合中含有字母參數(shù)時，一般需要分類討論．(2)常用方法：對于用不等式給出的集合，已知集合的包含關(guān)系求相關(guān)參數(shù)的范圍(值)時，常采用數(shù)形結(jié)合的思想，借助數(shù)軸解答.驗收鞏固1．下列四個關(guān)系式：①{a，b}?{b，a}；②?＝{?}；③?{0}；④0∈{0}．其中正確的個數(shù)是()A．4B．3C．2D．1[解析]對于①，任何集合是其本身的子集，正確；對于②，相對于集合{?}來說，?∈{?}，也可以理解為??{?}，錯誤；對于③，空集是非空集合的真子集，故?{0}正確；對于④，0是集合{0}的元素，故0∈{0}正確．[答案]B2．集合A＝{x|－1≤x<2，x∈N}的真子集的個數(shù)為()A．4B．7C．8 D．16[解析]A＝{－1,0,1}，其真子集為?，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}，共有22－1＝4(個)．[答案]A3．已知集合A＝{3，－1}，集合B＝{|x－1|，－1}，且A＝B，則實數(shù)x等于()A．4B．－2C．4或－2 D．2[解析]∵A＝B，∴|x－1|＝3，解得x＝4或x＝－2.[答案]C4．已知集合A?{0,1,2}，且集合A中至少含有一個偶數(shù)，則這樣的集合A的個數(shù)為________．[解析]集合{0,1,2}的子集為：?，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶數(shù)的集合有6個．[答案]65．設(shè)集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，已知B?A.(1)求實數(shù)m的取值范圍；(2)當(dāng)x∈N時，求集合A的子集的個數(shù)．[解](1)當(dāng)m－1>2m＋1，即m<－2時，B＝?，符合題意．當(dāng)m－1≤2m＋1，即m≥－2時，B≠?.由B?A，借助數(shù)軸(如圖)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≥－1，,2m＋1≤6，))解得0≤m≤eq\f(5,2).綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(m<－2或0≤m≤\f(5,2))))).(2)當(dāng)x∈N時，A＝{0,1,2,3,4,5,6}，∴集合A的子集的個數(shù)為27＝128.課后作業(yè)(三)一、選擇題1．下列關(guān)系式不正確的是()A．{1}?{1,2}B．{0}?{1,2}C．{2}?{1,2} D．1∈{1,2}[解析]∵0?{1,2}，∴{0}?{1,2}不正確；根據(jù)子集的概念可知A，C正確；D顯然正確．[答案]B2．下列四個集合中，是空集的是()A．{0}B．{x|x>8且x<5}C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4}[解析]選項A、C、D都含有元素，而選項B中無元素，故選B.[答案]B3．設(shè)集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若AB，則實數(shù)a的取值范圍為()A．{a|a≥2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}[解析]在數(shù)軸上表示出兩個集合(圖略)，因為AB，所以a≥2.[答案]A4．若集合A滿足A?B，A?C，B＝{0,1,2,3}，C＝{0,2,4,8}，則滿足上述條件的集合A的個數(shù)為()A．0B．1C．2D．4[解析]∵A?B，A?C，∴A中最多能含有0,2兩個元素，∴A＝?，{0}，{2}，{0,2}共4個．[答案]D5．若集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)＋\f(1,4)，k∈Z))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)＋\f(1,2)，k∈Z))))，則()A．M＝NB．MNC．MND．M與N沒有相同元素[解析]M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2k＋1,4)，k∈Z))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k＋2,4)，k∈Z)))).∵k∈Z,2k＋1為奇數(shù)，k＋2為整數(shù)，∴MN.故選C.[答案]C二、填空題6．集合A＝{2n＋1|n∈Z}，集合B＝{4k±1|k∈Z}，則A與B間的關(guān)系是________．[解析]因為整數(shù)包括奇數(shù)與偶數(shù)，所以n＝2k或2k－1(k∈Z)，當(dāng)n＝2k時，2n＋1＝4k＋1，當(dāng)n＝2k－1時，2n＋1＝4k－1，故A＝B.[答案]A＝B7．已知非空集合A滿足：①A?{1,2,3,4}；②若x∈A，則5－x∈A，則滿足上述要求的集合A的個數(shù)為________．[解析]由題意知，滿足題中要求的集合A可以是{1,4}，{2,3}，{1,2,3,4}，共3個．[答案]38．定義集合A*B＝{x|x∈A且x?B}，若A＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,4,5}，則A*B的子集個數(shù)是________．[解析]在A*B中，x∈A，∴x可能取1,2,3,4,5.又x?B，∴x又不能取2,4,5.因此x可能取值只有1和3，∴A*B＝{1,3}，其子集個數(shù)為4.[答案]4三、解答題9．設(shè)集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且BA，求a的值．[解]∵BA，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.①當(dāng)a2－a＋1＝3時，解得a＝－1或a＝2.經(jīng)檢驗，滿足題意．②當(dāng)a2－a＋1＝a時，解得a＝1，此時集合A中的元素1重復(fù)，與元素互異性矛盾，故a＝1不合題意．綜上所述，a＝－1或a＝2為所求．10．已知集合M＝{x|x2＋2x－a＝0}．(1)若?M，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若N＝{x|x2＋x＝0}且M?N，求實數(shù)a的取值范圍．[解](1)由題意得，方程x2＋2x－a＝0有實數(shù)解，∴Δ＝22－4×(－a)≥0，得a≥－1.(2)∵N＝{x|x2＋x＝0}＝{0，－1}，又M?N，當(dāng)M＝?時，即Δ＝22－4(－a)<0得a<－1，符合題意．當(dāng)M≠?時，當(dāng)Δ＝0時，即a＝－1時，此時M＝{－1}，滿足M?N，符合題意．當(dāng)Δ>0時，即a>－1時，M中有兩個元素，若M?N則M＝N，從而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋0＝－2，,－1×0＝a，))無解．綜上，a的取值范圍為{a|a≤－1}．綜合運用11．已知集合A，B，若A不是B的子集，則下列說法中正確的是()A．對任意的a∈A，都有a?BB．對任意的b∈B，都有b?AC．存在a0，滿足a0∈A，a0?BD．不存在a0，滿足a0∈A，a0∈B[解析]A不是B的子集，也就是說A中存在某個元素不屬于B，顯然正是C選項要表達(dá)的．對于A和B選項，取A＝{1,2}，B＝{2,3}可否定，對于D選項，可存在a0∈A，a0∈B，但A不是B的子集，如A＝{1,3}，B＝{2,3}．[答案]C12．若B＝{1,2}，A＝{x|x?B}，則A與B的關(guān)系是()A．A∈BB．B∈AC．A?B D．B?A[解析]因為B的子集為{1}，{2}，{1,2}，?，所以A＝{x|x?B}＝{{1}，{2}，{1,2}，?}，所以B∈A.[答案]B13．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，則集合M與N之間的關(guān)系是________．[解析]∵y＝(x－1)2－2≥－2，∴M＝{y|y≥－2}，∴NM.[答案]NM14．已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若B?A，則實數(shù)a的取值范圍是________．[解析]∵B?A，∴B的可能情況有B≠?和B＝?兩種．①當(dāng)B≠?時，∵B?A，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>3，,a≤2a－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1<－2，,a≤2a－1))成立，解得a>3；②當(dāng)B＝?時，由a>2a－1，得a<1.綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是{a|a<1或a>3}．[答案]{a|a<1或a>3}15．已知集合A＝{x||x－a|＝4}，B＝{1,2，b}．(1)是否存在實數(shù)a，使得對于任意的實數(shù)b，都有A?B？若存在，求出對應(yīng)的a的值；若不存在，請說明理由．(2)若A?B成立，求出對應(yīng)的實數(shù)對(a，b)．[解](1)由題意知，當(dāng)且僅當(dāng)集合A中的元素為1,2時，對于任意的實數(shù)b，都有A?B.因為A＝{a－4，a＋4}，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－4＝1，,a＋4＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－4＝2，,a＋4＝1，))方程組均無解，所以不存在實數(shù)a，使得對于任意的實數(shù)b，都有A?B.(2)由(1)知，若A?B，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－4＝1，,a＋4＝b))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－4＝2，,a＋4＝b))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－4＝b，,a＋4＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－4＝b，,a＋4＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝9))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6，,b＝10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝－7))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－6，))所以所求實數(shù)對(a，b)為(5,9)，(6,10)，(－3，－7)，(－2，－6)．1.3.1并集與交集學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解并集、交集的概念．2．會用符號、Venn圖和數(shù)軸表示并集、交集．3．會求簡單集合的并集和交集．要點整理1．并集的概念及表示2.交集的概念及表示溫馨提示：(1)兩個集合的并集、交集還是一個集合．(2)對于A∪B，不能認(rèn)為是由A的所有元素和B的所有元素所組成的集合．因為A與B可能有公共元素，每一個公共元素只能算一個元素．(3)A∩B是由A與B的所有公共元素組成，而非部分元素組成．3．并集、交集的運算性質(zhì)并集的運算性質(zhì)交集的運算性質(zhì)A∪B＝B∪AA∩B＝B∩AA∪A＝AA∩A＝AA∪?＝AA∩?＝?思考診斷1．已知下列集合：A＝{x|x2－1＝0}，B＝{x∈N|1≤x≤4}，C＝{－1,1,2,3,4}．(1)集合A與集合B各有幾個元素？(2)若將集合A與集合B的元素放在一起，構(gòu)成一個新的集合是什么？(3)集合C中的元素與集合A，B有什么關(guān)系？[答案](1)A有2個元素，B有4個元素(2){－1,1,2,3,4}(3)集合A、B中的元素屬于集合C2．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)A∪B表示由集合A和集合B中元素共同組成的集合．()(2)A∩B是由屬于A且屬于B的所有元素組成的集合．()(3)并集定義中的“或”就是“和”．()(4)若A∩B＝C∩B，則A＝C.()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×課堂互動題型一并集的運算【典例1】(1)若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，則集合A∪B等于()A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{1,2} D．{0}(2)已知集合P＝{x|x<3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于()A．{x|－1≤x<3}B．{x|－1≤x≤4}C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1}[思路導(dǎo)引]由并集的定義，結(jié)合數(shù)軸求解．[解析](1)A∪B＝{0,1,2,3,4}，選A.(2)在數(shù)軸上表示兩個集合，如圖．∴P∪Q＝{x|x≤4}．選C.[答案](1)A(2)C求集合并集的2種方法(1)定義法：若是用列舉法表示的數(shù)集，可以根據(jù)并集的定義直接觀察或用Venn圖表示出集合運算的結(jié)果．(2)數(shù)形結(jié)合法：若是用描述法表示的數(shù)集，可借助數(shù)軸分析寫出結(jié)果，此時要注意當(dāng)端點不在集合中時，應(yīng)用“空心點”表示．[針對訓(xùn)練]1．已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，則集合A∪B是()A．{－1,2,3}B．{－1，－2,3}C．{1，－2,3} D．{1，－2，－3}[解析]∵A＝{1，－2}，B＝{－2,3}，∴A∪B＝{1，－2,3}．[答案]C2．若集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，則M∪N＝________.[解析]將－3<x≤5，x<－5或x>5在數(shù)軸上表示出來．則M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．[答案]{x|x<－5或x>－3}題型二交集的運算【典例2】(1)設(shè)集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，則A∩B等于()A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}(2)設(shè)A＝{x∈N|1≤x≤5}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，則如圖中陰影部分表示的集合為()A．{2}B．{3}C．{－3,2} D．{－2,3}[思路導(dǎo)引]既屬于集合A，又屬于集合B的所有元素組成的集合，借助圖示方法求解．[解析](1)在數(shù)軸上表示出集合A與B，如下圖．則由交集的定義可得A∩B＝{x|0≤x≤2}．選A.(2)A＝{x∈N|1≤x≤5}＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，圖中陰影部分表示的是A∩B，∴A∩B＝{2}．選A.[答案](1)A(2)A求集合交集的2個注意點(1)求兩集合的交集時，首先要化簡集合，使集合的元素特征盡量明朗化，然后根據(jù)交集的含義寫出結(jié)果．(2)在求與不等式有關(guān)的集合的交集運算中，應(yīng)重點考慮數(shù)軸分析法，直觀清晰．[針對訓(xùn)練]3．若A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x＝3a，a∈A}，則A∩B＝()A．{1,2}B．{0,1}C．{0,3}D．{3}[解析]∵A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x＝3a，a∈A}，∴B＝{0,3,6,9}，∴A∩B＝{0,3}．[答案]C4．設(shè)A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x－y＝4}，則A∩B＝________.[解析]A∩B＝{(x，y)|x＋y＝0且x－y＝4}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0,x－y＝4))))))，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,x－y＝4，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2.))∴A∩B＝{(2，－2)}．[答案]{(2，－2)}題型三由集合的并集、交集求參數(shù)【典例3】(1)設(shè)集合A＝{x|－1<x<a}，B＝{x|1<x<3}且A∪B＝{x|－1<x<3}，求a的取值范圍．(2)已知集合A＝{x|－3<x≤4}，B＝{x|2－k≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，試求k的取值范圍．[思路導(dǎo)引](1)畫出數(shù)軸求解．(2)若A∪B＝A，則B?A；若A∩B＝A，則A?B.[解](1)如下圖所示，由A∪B＝{x|－1<x<3}知，1<a≤3.(2)∵A∪B＝A，∴B?A.若B＝?，則2－k>2k－1，得k<1；若B≠?，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－k≤2k－1，,2－k>－3，,2k－1≤4，))解得1≤k≤eq\f(5,2).綜上所述，k≤eq\f(5,2).[變式]本例(2)若將“A∪B＝A”改為“A∩B＝A”，其他條件不變，求k的取值范圍．[解]∵A∩B＝A，∴A?B.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－k≤－3，,2k－1≥4，))解得k≥5.由集合交集、并集的性質(zhì)解題的策略、方法及注意點(1)策略：當(dāng)題目中含有條件A∩B＝A或A∪B＝B，解答時常借助于交集、并集的定義及集合間的關(guān)系去分析，將A∩B＝A轉(zhuǎn)化為A?B，A∪B＝B轉(zhuǎn)化為A?B.(2)方法：借助數(shù)軸解決，首先根據(jù)集合間的關(guān)系畫出數(shù)軸，然后根據(jù)數(shù)軸列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，求解即可，特別要注意端點值的取舍．(3)注意點：當(dāng)題目條件中出現(xiàn)B?A時，若集合B不確定，解答時要注意討論B＝?的情況．[針對訓(xùn)練]5．已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a