2014年高考數(shù)學(xué)中的內(nèi)切球和外接球問題附習(xí)題

資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系改正或者刪除高考數(shù)學(xué)中的內(nèi)切球和外接球問題一、 有關(guān)外接球的問題如果一個多面體的各個頂點(diǎn)都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內(nèi)接多面體，這個球稱為多面體的外接球.有關(guān)多面體外接球的問題，是立體幾何的一個重點(diǎn)，也是高考考查的一個熱點(diǎn).考查學(xué)生的空間想象能力以及化歸能力.研究多面體的外接球問題，既要運(yùn)用多面體的知識，又要運(yùn)用球的知識，并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關(guān)重要的作用.一、直接法（公式法）1、求正方體的外接球的有關(guān)問題例1若棱長為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為 .27兀.例2一個正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，若該正方體的表面積為24，則該球的體積為.4后.2、求長方體的外接球的有關(guān)問題例3一個長方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個頂點(diǎn)上的三條棱長分別為1,2,3，則此球的表面積為.14兀.例4、已知各頂點(diǎn)都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16,則這個球的表面積為（）.CA.1加 B.20K C.24兀 D.32人----完整版學(xué)習(xí)資料分享----資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系改正或者刪除例5.一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為9，底面周長為3，則這個球的體8積為^'6x=3, [_1<9Q2J]一下解設(shè)正六棱柱的底面邊長為x，高為3則有K=6x彳x2h,Ih=&???正六棱柱的底面圓的半徑r=1，球心到底面的距離d=槍.，外接球的半2 2徑R=,；京。.體積：V二把R3.3小結(jié)本題是運(yùn)用公式R2=r2+d2求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公式.二、構(gòu)造法（補(bǔ)形法）1、構(gòu)造正方體例5若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為%；3，則其外接球的表面積是.9兀.例3若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為三8，則其外接球的表面積是.故其外接球的表面積S=4兀R2=9兀.小結(jié)：一般地，若一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為a、b、cr，則有2R=aa2+b2+c2.出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形知識，聯(lián)系長方體?！驹怼浚洪L方體中從一個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長分別為/瓦?則體對角線長為/=、；a2+b2+c2，幾何體的外接球直徑為2R體對角線長l即R=4。2+b2+c2----完整版學(xué)習(xí)資料分享----

資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系改正或者刪除練習(xí)：在四面體川ca中，共頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直，其長度分別為1,弄,3，若該四面體的四個頂點(diǎn)在一個球面上，求這個球的表面積。球的表面積為S=4兀R2=16兀例6一個四面體的所有棱長都為無，四個頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（）3S=4兀R2=16兀例6一個四面體的所有棱長都為無，四個頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（）3冗4冗A.（如圖2）DE為AB的中點(diǎn)，將AADE例7在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,ZDAB=600,與ABEC分布沿ed、EC向上折起使A、B重合于點(diǎn)p則三棱錐P-DCE的外接球的體積為（）.4<3 兀27<64<3 兀27<6——兀2<6——兀8——兀D.24解析：（如圖3）因為AE=EB=DC=1,ZDAB=ZCBE=/DEA=60解析：（如圖3）AD=AE=EB=BC=DC=DE=CE=，即三棱錐P-DCE為正四面體，至此，這與例6就完全相同了，故選C.=BCk'3，則球O的例8（2已知球O=BCk'3，則球O的例8（2已知球O的面上四點(diǎn)A、B、C、D于DA=rD'AB1BC,"C解析：本題同樣用一般方法時，需要找出球心1r求出球的半徑而利用長方體模型很快便可找到球的直徑，DA1平面ABC,AB1BC,聯(lián)想長方體中體模型很快便可找到球的直徑，的相應(yīng)線段關(guān)系，構(gòu)造如圖4所示的長方體，又因為DA二AB二BCi；3，則此長方體為正方體，所以CD長即為外接球的直徑，利用直角三角形解出CD=3.故球O的----完整版學(xué)習(xí)資料分享----

資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系改正或者刪除9兀體積等于2.（如圖4）DBC圖DBC圖42、例9（2008年安徽高考題）已知點(diǎn)A、B、C、D在同一個球面上，AB1平面BCD，BC1DC，若AB=6,AC=2v13,AD=8，則球的體積是解析：首先可聯(lián)想到例8,構(gòu)造下面的長方體，于是AD為球的直徑，O為球心，OB=OC=4為半徑，要求B、C兩點(diǎn)間的球面距離，只要求出/BOC即可，4

兀在RtAABC中，求出BC=4，所以ZBOC=600，故B、C兩點(diǎn)間的球面距離是3.（如圖5）ACD圖ACD圖5----完整版學(xué)習(xí)資料分享----資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系改正或者刪除本文章在給出圖形的情況下解決球心位置、半徑大小的問題。例2已知各頂點(diǎn)都在同一個球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這個球的表面積是A.1阮 B.20K C.24兀 D.32人.選C.小結(jié)本題是運(yùn)用“正四棱柱的體對角線的長等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來求解的.例4正四棱錐S-ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為叵，點(diǎn)S、A、B、C、DTOC\o"1-5"\h\z都在同一球面上，則此球的體積為 ^解設(shè)正四棱錐的底面中心為內(nèi)，外接球的球心 為。，如圖1所示.，由球的截面的性質(zhì)，可得OO11平面ABCD. /O/。A圖3B又SO11平面ABCD，，球心O必在SO1所在的直線 上.???AASC的外接圓就是外接球的一個軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球的半徑.在AASC中，由SA=SC=5AC=2，得SA2+SC2=AC2..?.AASC是以AC為斜邊的RtA.AC:.小結(jié)根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方法的實質(zhì)就是通過尋找外接球----完整版學(xué)習(xí)資料分享----

資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系改正或者刪除的一個軸截面圓，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研允這種等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們學(xué)習(xí).五.確定球心位置法例5在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B—AC—角B—AC—D，則四面體ABCD的外接球的體積為125 兀A.12125兀B.9125兀C.6125兀D.3解設(shè)矩形對角線的交點(diǎn)為。解設(shè)矩形對角線的交點(diǎn)為。,則由矩形對角線互相平分，可知0A=OB=OC=OD.，點(diǎn)O到四面體的四個頂點(diǎn)A、B、C、D的距離相等，即點(diǎn)O ...一 R =OA=—為四面體的外接球的球心，如圖2所示.，外接球的半徑 2.故%」兀R3二9兀、上球3 6 .選C.出現(xiàn)兩個垂直關(guān)系，利用直角三角形結(jié)論?！驹怼?直角三角形斜邊中線等于斜邊一半。球心為直角三角形斜邊中點(diǎn)?！纠}】：已知三棱錐的四個頂點(diǎn)都在球"的球面上，再君，孑2且巳4二7,，=5,FC=屈，AC=1口，求球。的體積。解：<8,召仃且以=7,PB=5,*底，AC=\^因為黃十同匕行所以知所以內(nèi)且所以可得圖形為:所以內(nèi)且所以可得圖形為:----完整版學(xué)習(xí)資料分享----)資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系改正或者刪除在取A中斜邊為工C在選AR4c中斜邊為47取斜邊的中點(diǎn)"，在RthABC中口工=在斑A3中"一刃="所以在幾何體中"7八①，即為該四面體的外接球的球心R=-AC=52江4戒m50cl笈

r=—怨；= 所以該外接球的體積為$ 3【總結(jié)】斜邊一般為四面體中除了直角頂點(diǎn)以外的兩個點(diǎn)連線。1.（陜西理?6）一個正三棱錐的四個頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點(diǎn)在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是（）A.五B.±1 C.±1 D.亙答案B.直三棱柱ABC-A1B1cl的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB=AC=仆=2,/BAC=120。，則此球的表面積等于。解:在AABC中AB=AC=2,/BAC=120°，可得BC=2<3,由正弦定理，可得AABC外接圓半徑r=2,設(shè)此圓圓心為O，，球心為O，在RTAOBO中，易得球半徑R=v5，故此球的表面積為4兀R2=20兀..正三棱柱ABC-ABC內(nèi)接于半徑為2的球，若A,B兩點(diǎn)的球面距離為一則正三棱柱的體積為.----完整版學(xué)習(xí)資料分享----資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系改正或者刪除答案8.表面積為2<3的正八面體的各個頂點(diǎn)都在同一個球面上，則此球的體積為答案A【解析】此正八面體是每個面的邊長均為a的正三角形，所以由8X9二2后4知，a=1，則此球的直徑為五，故選A。.已知正方體外接球的體積是32.那么正方體的棱長等于（）3TOC\o"1-5"\h\zs B，2^ C.返 D.江3 3 3答案D（2006山東卷）正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為（）A.1：v3 B.1：3 C.1：3.<3 D.1：9答案C（2008海南、寧夏理科）一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面.已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為9，底面周長為3,則這個球的體積為 ^8 答案竺3（2007天津理?12）一個長方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個頂點(diǎn)上的三條棱的長分別為1,2,3,則此球的表面積為.----完整版學(xué)習(xí)資料分享----

資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系改正或者刪除答案14n（2007全國H理?15）一個正四棱柱的各個頂點(diǎn)在一個直徑為2cm的球面上。如果正四棱柱的底面邊長為1cm,那么該棱柱的表面積為cm2.答案2+4行（2006遼寧）如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐P一ABCDEF，則此正六棱錐的側(cè)面積是TOC\o"1-5"\h\z答案 6月（遼寧省撫順一中2009屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考）棱長為2的正四面體的