2021年初中物理競賽及自主招生專題講義第六講熱學(xué)第三節(jié)熱平衡方程與熱平衡問題含解析

第三節(jié)熱平衡方程與熱平衡問題兩個溫度不同的物體靠近時，會發(fā)生熱傳遞。高溫物體放出熱量，溫度降低，低溫物體吸收熱量，溫度升高。當(dāng)兩者溫度相同時，熱傳遞停止，此時物體即處于熱平衡狀態(tài)。熱平衡方程設(shè)高溫物體的比熱容為c，質(zhì)量為m，初始溫度為t，低溫物體的比熱容為c，質(zhì)量為m，1 1 1 2 2初始溫度為tt2 2

tt1

，那么可知t2

tt。假設(shè)不計能量0 1損失，那么高溫物體放出的熱量Q放

等于低溫物體吸收的熱量Q吸

，即Q放

Q，或吸c(diǎn)mtt

cm

t，這即是兩個物體熱交換時的平衡方程，可解得tt

cmt11

cmt2 22，11 1

2 2 0

cmtt

0 cm cm11 2 2假設(shè)已測得t0

的值，那么可求得c2

11 mt

0 ，因此可以用這種方法測物體的比熱容。t2 0 2例1〔上海第5假設(shè)不計熱量的損失，那么當(dāng)兩物體到達(dá)熱平衡狀態(tài)時，它們的溫度相同，且高溫物體放出的熱量等于低溫物體所吸收的熱量?，F(xiàn)有三種不同的液體ABC15℃，25℃，35℃A和B液體混合并到達(dá)平衡狀態(tài)時，其平衡溫度為21℃；當(dāng)B和CA和C液體混合并到達(dá)平衡狀態(tài)時的平衡溫度。分析與解ABC三種液體的比熱容分別為c1

，c，c2

；質(zhì)量分別為m1

m。那2 3A與B混合時，有c

c

℃，即c

2c

B與C混合時，11 2

11 32 2有cm32℃25℃cmc

，即cm 7c

；當(dāng)A與C混合時，設(shè)熱平衡后的2 2 3 3

3 3 32 2溫度為t，那么有cm11

tcm33

℃t，將以上各式代入，可解得t。例〔上海第27屆大同杯初賽改編再向容器內(nèi)倒入一杯相同質(zhì)量和溫度的熱水，容器中的水溫又升高了6℃。那么：〔1〕一杯熱水與容器中原有的冷水質(zhì)量之比?！?〕熱水與容器中原有的冷水的溫差℃?！?〕如果繼續(xù)向容器中倒入一杯同樣的熱水，那么容器中的冷水水溫會繼續(xù)升℃。分析與解不妨設(shè)容器中原有冷水的質(zhì)量為M，溫度為t，一杯熱水質(zhì)量為m，溫度為t，第一次倒入熱水平衡后，水溫均變?yōu)閠1

1t2

2t，1由吸熱等于放熱，有

cM10cmt2

t16①1第二次倒入熱水平衡后，水溫均變?yōu)?1

，冷水溫度再次升高了 6℃，熱水溫度降低了t t，有2 1

cM m6cmt2

t16②1由①式可得

M 1 t

10③由②式可得

m 10 2 1M 11tt

16④聯(lián)立③④式，可解得M 3，t

。

m 6 2 1m 2 1第三次倒入熱水平衡后，設(shè)冷水溫度又升高了t，那么冷水與熱水水溫均為t1

t，熱水溫度降低了t2變形后，得

tt1

cM 2m tcmt2

tt⑤1M 2 1 tt

16 t⑥將M 3，t

代入⑥式，可解得t

m t2 1m 2 1上文提供的方法可以解決兩種物質(zhì)彼此進(jìn)行熱交換時的一些問題，如果有三種或者三種以上的物質(zhì)彼此進(jìn)行熱交換，那么情況要復(fù)雜些。多個物體的熱平衡問題3設(shè)有Nc1 11

，c2 2

，c3 3

…，cN N N

，現(xiàn)將這N個物體置于封閉絕熱的容器中充分進(jìn)行熱交換，假設(shè)容器不吸熱且各物體之間不發(fā)生化學(xué)反響，也無物態(tài)變化，問熱平衡后，物體的溫度是多少？分析與解此題的困難在于，無法確定熱平衡后系統(tǒng)的溫度t與各物體初溫ttt等的大小0 1 2 3Qcmtt0

tt，0那么Q0，Q為物體放出的熱量；假設(shè)tt0

，那么Q0，Q為物體吸收的熱量。那么根據(jù)放出的總熱量與吸收的總熱量相等，有即解得有物態(tài)發(fā)生變化的熱平衡問題物體在吸熱或者放熱時，有時要發(fā)生物態(tài)變化，比方0℃的冰吸熱融化成0℃的水，或0℃的水放熱凝固成0℃質(zhì)的熔化熱。例〔上海第82.1J/kg3.36103J/kg，水的比熱容為4.2J/kg。把質(zhì)量為10g0℃的冰和質(zhì)量為200g100℃的金屬塊同時投入質(zhì)量為100g2030假設(shè)不計熱量損失，求金屬塊的比熱容。分析與解先將此題中各物質(zhì)吸熱、放熱情況計算如下：0℃的冰融化成0℃的水，需吸熱為冰融化成0℃的水后，質(zhì)量仍為0.01kg，這些0℃的水溫度升高30℃需吸收的熱量為質(zhì)量為100g2030金屬塊放出的熱量為又因此，可解得c金

392.4J/kg℃。物體的散熱問題高溫物體散熱的快慢，除了和物體的外表積、物體周圍的介質(zhì)以及物體外表介質(zhì)的流動性等有關(guān)以外，還和物體與環(huán)境的溫差有關(guān)。例5〔上海第29屆大同杯復(fù)賽〕把一個裝滿80℃熱水的熱水袋懸掛在空中，并用一支溫度計插入熱水中來測量水溫，假設(shè)室溫維持在20℃不變，測得溫度與時間的數(shù)據(jù)如表所示。表6.10102030405060T〔1〕請根據(jù)表中數(shù)據(jù)找出Tt的函數(shù)關(guān)系?！?〕試問水的溫度由80℃降為30℃，經(jīng)過的時間為多少？分析與解水的最終溫度為室溫〔20℃〕，水降溫的快慢與溫差有關(guān)，故將表改列表。表6.20102030405060T20/℃由表可以看出，每隔10min

60.01.65，36.436.422.122.1 13.4

60T20

11.610。因此解得當(dāng)T30℃t35.8min練習(xí)題5t，t

，t，而且t

t，把它們混合后，不計熱損失，那么混合溫度是〔

1 2

1 2 3ttA．1 2

t ttt3B．1 2 32 3tt tC．3

1 tD．tt 22 2 3 1 28m和m，c1 2 1和ct和

，且t

t。假設(shè)不計熱量損失，那么把它們混合后的共同溫度為〔2 1 2cmt

2 1cmt cmtcmtA．2 22 111B．2 2

111cm cm2 2 11

cm cm2 2 11cmt

cm

cmtcmtC．2 22 11

D．111 2 22cm cm2 2 11

cm cm11 2 2210010℃的煤油中，當(dāng)?shù)竭_(dá)A．煤油吸收的熱量一定等于銅塊放出的熱量B．煤油升高的溫度一定等于銅塊降低的溫度C10D．煤油升高的溫度一定小于銅塊降低的溫度〔上海第29屆大同杯初賽甲乙兩液體的密度比為 :甲 乙

5V:甲 乙

2，比熱容比為c:c甲 乙

1:2，且它們的初溫不等?，F(xiàn)將它們混合〔不發(fā)生化學(xué)反響的熱損失，到達(dá)熱平衡后液體溫度相對各自初溫變化量的絕對值分別為t和t甲 乙

，那么t:t甲 乙為〔〕。A3121℃，假設(shè)再將熱水杯內(nèi)剩余熱水的一半再次倒入冷水杯內(nèi)，冷水杯內(nèi)的水溫會升高〔A．9℃B．8℃C．6℃D．5℃28A，B5AB8℃，不考慮熱量的損耗，那么AB兩物體的比熱容之比為〔A〔上海第26屆大同杯初賽〕甲、乙兩容器中裝有質(zhì)量相等的水，水溫分別為25℃和75℃，現(xiàn)將一個溫度為65入到乙容器中，熱平衡后乙容器中的水溫為〔不計熱量損失和水的質(zhì)量變化A．65℃B．60℃C．55℃D．50℃24m、溫度為0℃的雪〔可看成是冰水混合物〕投入裝有熱水的容器中，熱水的質(zhì)量為M，平衡后水溫下降了；向容器中再投入質(zhì)量為2m的上述同樣性質(zhì)的雪，平衡后容器中的水溫恰好又下降了。那么mA23t，又向容器1內(nèi)倒入同樣一杯熱水，冷水溫度又升高t，假設(shè)再向容器內(nèi)倒入同樣一杯熱水，不計熱損失，那2么冷水溫度將再升高〔tA． 13t1tC． 13t1

t t2 2Bt2t t2 2Dt2

t t t1 2 13t t1 2t t t1 2 13t t1 220屆大同杯初賽〕將50g、0℃的雪〔可看成是冰水混合物〕投入到裝有450g、40℃5100g容器中的水溫將又要下降〔A．6℃B．℃C．9℃D．10℃〔上海第19屆大同杯初賽〕在利用混合法測量銅塊的比熱實(shí)驗(yàn)中，以下情況能導(dǎo)致銅的①銅塊從沸水中拿出來放入小筒時不小心代入了熱水②用天平測量銅塊的質(zhì)量時讀數(shù)偏大③用量筒測量水的體積后，倒入小筒時沒有倒干凈ABCD16m0的一小杯熱水倒入盛有質(zhì)量為m的冷水的保溫容器中，使得冷水溫度升高了3℃，上升了℃。不計熱量的損失，那么可判斷〔A87m01:28B69m01:32C54m01:24D48m:1:200〔上海第14屆大同杯初賽〕兩支完全相同的溫度計初溫度相同?，F(xiàn)用這兩只溫度計分別去測量甲、乙兩種液體的溫度，測得結(jié)果相同〔示數(shù)高于溫度計初溫度并且都比擬小，乙液體原來的溫度高于甲液體原來的溫度。如果不考慮溫度計、待測液體與外界的熱傳遞，那么可判斷〔A．甲液體的比熱容大于乙液體的比熱容B．甲液體的比熱容小于乙液體的比熱容C．甲液體的比熱容等于乙液體的比熱容D．無法判斷24100℃，然后將它們按不同的方式投入一杯冷水中，使冷水升溫。第一種方式：先從沸水中取出甲，其投入冷水，當(dāng)?shù)竭_(dá)熱平衡后將甲從杯中取出，測得水溫升高20℃；然后將乙從沸水中取出投入這杯水中，再次到達(dá)熱平衡，測得水溫又升高了20水中取出乙投入冷水，當(dāng)?shù)竭_(dá)熱平衡后將乙從杯中取出；然后將甲從沸水中取出，投入這杯水中，再次到達(dá)熱平衡。那么在第二種方式下，這杯冷水溫度的變化是〔CC40℃D條件缺乏，無法判斷〔上海第22屆大同杯復(fù)賽洗澡時將的冷水與66℃的熱水充分混合成550kg36℃溫水，在混合的過程中有2.31106J的熱量損失掉了，那么所用冷水為 kg，所用熱水為 kg?！采虾５?2屆大同杯復(fù)賽〕一密閉容器中，盛有高溫的油，放在溫度保持不變的環(huán)境中慢慢冷卻。小明每隔30min記錄一次容器內(nèi)的油溫，共記錄七次，具體數(shù)據(jù)如表所示。根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知在冷卻時間為60min時內(nèi)外溫度之差 ℃油溫T與冷卻時間t的關(guān)系式 表6.3冷卻時間t/min0306090120150180油溫T148845236282422內(nèi)外溫差T1286416842680g1℃1g0℃的10g0℃的冰與390g4℃的水混合，當(dāng)它們到達(dá)熱平衡時的溫度是多少？271.0kW，現(xiàn)有一太陽能熱水器，其收集陽光的面積為3.08.0m2，轉(zhuǎn)換太陽輻射能為水的熱能的效率為80%，假設(shè)此熱水器的進(jìn)水溫度與室溫皆為25℃，該熱水器的熱量損失率正比于熱水器內(nèi)水溫與室溫之差，當(dāng)熱6L〔即6kg〕的流量出水，經(jīng)過一段時間后，其穩(wěn)定的出水溫度為多少攝氏度？27t2

t，1正常工作時空調(diào)每秒消耗的電功W 2000J時，空調(diào)每秒從房間吸收的熱量為Q，向室外釋放的2熱量為Q，W與QQ滿足如下關(guān)系式：1 1 2①W Q Q；2 1Q T②設(shè)T273那么2 2。Q T1 1假設(shè)室外向房間每秒漏進(jìn)〔或漏出〕的熱量與房間內(nèi)外的溫差成正比，當(dāng)室外溫度為30℃時，溫度控制開關(guān)使空調(diào)間斷運(yùn)轉(zhuǎn)30%的時間〔例如，開了3min就停7min，如此交替開?！常l(fā)現(xiàn)這時室內(nèi)保持20℃不變。試問：〔1〕在夏天仍要求維持室內(nèi)溫度為20℃，那么該空調(diào)可允許正常連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)的最高室外溫度是多少？〔2〕假設(shè)在冬天，空調(diào)從外界吸熱，向室內(nèi)放熱，仍要求維持室內(nèi)溫度為20℃，那么它能正常運(yùn)轉(zhuǎn)的最低室外溫度是多少？〔上海第25P500W的加熱器置于裝有水的碗中2.0min后，碗中水溫從T1

上升到T2

90℃1.0min，發(fā)現(xiàn)水溫下降℃。試估算碗中所裝水的質(zhì)量。的水蒸氣所需吸收的熱量Q。該裝置的測量原理是：用加熱器使水沸騰，汽化的水蒸氣通過凝聚器液化后被收集在量杯中；測量加熱器的發(fā)熱功率及一段時間內(nèi)在量杯中收集到的水的質(zhì)量，根據(jù)能量守恒關(guān)系即可求出Q的水蒸氣所需吸收的熱量Q。該裝置的測量原理是：用加熱器使水沸騰，汽化的水蒸氣通過凝聚器液化后被收集在量杯中；測量加熱器的發(fā)熱功率及一段時間內(nèi)在量杯中收集到的水的質(zhì)量，根據(jù)能量守恒關(guān)系即可求出Q的值。這個汽化裝置工作時的散熱功率恒定不變，但散285.0W時，在300s冷凝和收集的液體質(zhì)量為28.0g100.0W300s時間內(nèi)被冷凝和收集的液體質(zhì)量為4.0g。根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求每千克100℃100℃的水蒸氣所需吸收的熱量Q。7A和B兩固體，它們的初溫均為20℃。把A和Bs和42J/gsA和B的比熱分別為2.1J/kg和3.36J/kgA和B兩個物體均未發(fā)生物態(tài)變化，求10s后：〔1A物體的溫度和它每克吸收的熱量；〔2B參考答案1．B。設(shè)混合溫度為t0

，根據(jù)吸熱等于放熱，有解得t0

ttt1 2 3。32．B。略。4．C。由吸熱等于放熱，有c4．C。由吸熱等于放熱，有cm t甲甲 甲cm t乙乙 乙，可得t甲tcm乙乙，乙與甲的質(zhì)量之比乙甲甲cmm v 6 t cm 2612乙 乙乙 ，因此甲 乙乙 。m v 5 t cm 15 5甲 甲甲 乙 甲甲m，冷水溫度為t，熱水溫度為t，那么將一半熱水〔質(zhì)量為1 21m〕倒入冷水杯內(nèi)后，冷水溫度變?yōu)閠，熱水溫度降低了t

21℃，那么根據(jù)熱平2衡方程有

1 2 1再將熱水杯內(nèi)剩余熱水的一半1m4t t熱水溫度降低了t 1 2

t

1m，2那么有聯(lián)立可解得t。此題正確選項(xiàng)為C。6．AAB兩物體的比熱容分別為ccA B

AB兩物體的質(zhì)量均為m1

，設(shè)甲、乙兩杯水的質(zhì)量均為m

A投入甲杯水中，平衡后末溫為46℃，那么cm2 A

4610 cm水2

4B投入乙杯水中，平衡后末溫為42℃，那么cmB 1

4210 cm水2

8，比擬兩式，可得c 4。Ac 9AB7．B。設(shè)水的質(zhì)量為m水入甲容器中有

，比熱容為c水

，金屬的質(zhì)量為m金

，比熱容為c金

，那么將金屬塊放再將金屬球放入乙容器中后，設(shè)熱平衡時溫度為t聯(lián)立解得t60℃。t0

m0Q，0那么第一次向容器中投入雪，熱平衡后有cMtQ0

cmt0

t0，第二次向熱水中投入質(zhì)量為2m的雪熱平衡后有cM mt0

c2mt0

tt0

即可得M 3m。09．A。設(shè)一杯熱水質(zhì)量為m1

，初溫為t，容器中冷水質(zhì)量為1

，初溫為t2

。那么向冷水中倒入一杯熱水，熱平衡后的末溫為t2

t，有1

cmt t 1 1 2

cmt①2 1再向冷水〔此時冷水質(zhì)量為m1

m〕中倒入一杯熱水，熱平衡后的末溫為t2

t t，有1 2cmtttcmttttcmm1 1212122繼續(xù)向冷水〔此時冷水質(zhì)量為2m1有

mt2

t t t，1 2 3①-②，得化簡可得②-③，得解得

cmt t1 1 2

t③tttttc2mm12312m t t1 1 2④m 2t2 2m m tt 1 2 2⑤將④代入⑤，可得

3 m1 2。設(shè)雪的質(zhì)量m 50g，熱水的質(zhì)量m 450g，第一次倒入質(zhì)量為m的0℃的雪，熱1 2 1℃，假設(shè)質(zhì)量為m0℃0Q1 0吸熱等于放熱有Q cm 350 cm5。當(dāng)再向熱水中倒入質(zhì)量為2m的0℃的雪，這些雪0 1 1 1全部融化為0℃的冰時，吸收的熱量為2Q，設(shè)水溫又下降了 t，那么有035 tcm m t，解得t。0 1 1 211．A。假設(shè)將銅塊從沸水中拿出來放入小筒時不小心帶入了熱水，那么混合后的溫度比實(shí)際溫度要高，即此時水的溫度變化變大，銅塊的溫度變化變小，根據(jù)公式Q水吸

cm t水 水

可知，水吸收的熱量變多，由于Q水吸

Q ，所以據(jù)公式Q銅放 銅

cm t銅 銅

，由于銅的溫度變化t銅

變小，而此時Q銅放

比實(shí)際值變大，故此時銅的比熱容變大，符合題意；在其他值都準(zhǔn)確的情況下，假設(shè)用天平測得銅塊的質(zhì)量變大，即根據(jù)Q銅放

cm t銅 銅

可知，此時測得的銅的比熱容變小，不符合題意；用量筒測量水的體積后，假設(shè)倒入小筒時沒有倒干凈，即銅塊放出的熱量是一定的，根據(jù)Q Q水吸 銅

，由于此時水的實(shí)際質(zhì)量變小，此時水的溫度變化變大，根據(jù)公式Q水吸

cm t，水 水 水計算出來的Q

變大，所得的Q水吸 銅

變大，由公式Q銅放

cm t銅 銅

可知，在t銅

一定的情況下，測得c銅

變大，符合題意；溫度計在測量水的初溫時，假設(shè)讀數(shù)比真實(shí)值大，那么會導(dǎo)致水的溫度變化偏小，根據(jù)公式Q水吸

cm t水 水

計算出來的Q水吸

變小，所得到的Q銅放

變小，由公式Q cm銅放 銅

t可知，在t銅

一定的情況下，測得c銅

變小，不符合題意。應(yīng)選A項(xiàng)正確。12．A。提示：可參照本節(jié)例2和練習(xí)題9的解答過程求解。Q因此乙液體溫度降低較多，據(jù)Qcm可知，乙液體的比熱容小于甲液體。選項(xiàng)A正確。14．Ccc甲 乙

，質(zhì)量均為m；設(shè)水的比熱容為c水

，冷水質(zhì)量為m

，初溫為t

。第一種方式，將甲放入冷水，熱平衡后有c

m100

20 c

20，水 0 甲 0 水水解得cm 20甲 ①cm 80t將甲取出，放入乙，熱平衡后有c乙

m100t0

2020 cm水水

20

水水 0cm 20乙 ②cm 60t水 水 0第二種方式，將乙放入冷水，設(shè)熱平衡后的溫度為t，那么有

m100

cm

t，解1 乙 1得

水水 1 0cm tt水 1 0③將乙取出后，放入甲，設(shè)熱平衡后的溫度為t

，那么有c

m100

cm水 水cm t

100t0，解得2 甲 2

水水 2c甲

1m tt2 1④由①④兩式可得

2080t0

tt2 1 ，化簡整理得100t2

cm 100t水 水 2tttt80t100t

20000⑤由②③兩式可得

2060t0

tt1 0 100t0

01 02 1 2tt0 01

60t0

80t1

20000⑥將⑤⑥兩式相加，并整理，得到關(guān)于t0

的一元二次方程：利用求根公式，解得

t60

140考慮到t

應(yīng)介于0℃與100℃之間因此t

2 t40t

40℃，0選項(xiàng)Ｃ正確。

0 2 2 2 015．290，260。設(shè)冷水質(zhì)量為m，熱水質(zhì)量為m，那么m m 550kg。熱水放出的熱量1 2 1 2等于冷水吸收的熱量加上損失的熱量，那么有cm 6636 cm 3611Q，解得2 1 損m 290kgm 260kg。1 216．32，T

1281230

。由內(nèi)外溫差T為油與外界環(huán)境溫度的差，可知環(huán)境溫度為20℃，分析表格中的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)T時間為60min32℃。繼續(xù)將每列的油溫與冷卻時間列舉計算如下：冷卻時間t0

0030min時，油溫T0

20℃128℃；20冷卻時間t1冷卻時間t2

30min130min時，油溫T160min230min時，油溫T2

84℃20℃52℃20℃

128℃；21128℃；22冷卻時間t3

90min330min時，油溫T2

36℃20℃128℃；23冷卻時間t4

120min430min時，油溫T4

28℃20℃

128℃；24……依次類推，那么得Tn

℃，其中2n

t，那么Tn30 n

20128℃。n230設(shè)最終溫度為。由題意，1g0℃0℃的水，吸收的熱量為10g0℃0℃的水，吸收的熱量為10g0℃的水溫度升高到，需要吸收的熱量為390g的4℃的水溫度降低到，放出的熱量由Q Q Q，解得t。1 2 3太陽能熱水器的輸入功率為設(shè)熱水器的損失功率為P損

kTT0

當(dāng)沒有出水時，熱水器的水溫維持在85℃，這