2022年遼寧地區(qū)中考數(shù)學(xué)專題突破訓(xùn)練解直角三角形及其應(yīng)用

第17講解直角三角形及其應(yīng)用(時(shí)間45分鐘滿分120分)A卷一、選擇題(每小題3分，共21分)1．(2022·天津)cos60°的值等于(D)\r(3)B．1\f(\r(2),2)\f(1,2)2．(2022·金華)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，則tanA的值是(A)\f(3,4)\f(4,3)\f(3,5)\f(4,5)3．(2022·懷化)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq\f(4,5)，AC＝6cm，則BC的長(zhǎng)度為(C)A．6cmB．7cmC．84．(2022·濱州)如圖，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，點(diǎn)D是CB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且BD＝BA，則tan∠DAC的值為(A)A．2＋eq\r(3)B．2eq\r(3)C．3＋eq\r(3)D．3eq\r(3)(導(dǎo)學(xué)號(hào)58824159)5．(2022·綏化)某樓梯的側(cè)面如圖所示，已測(cè)得BC的長(zhǎng)約為3.5米，∠BCA約為29°，則該樓梯的高度AB可表示為(A)A．29°米B．29°米C．29°米\f,cos29°)米第5題圖第6題圖6．(2022·宜昌)△ABC在網(wǎng)格中的位置如圖所示(每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1)，AD⊥BC于D，下列選項(xiàng)中，錯(cuò)誤的是(C)A．sinα＝cosαB．tanC＝2C．sinβ＝cosβD．7．(2022·重慶B)如圖，已知點(diǎn)C與某建筑物底端B相距306米(點(diǎn)C與點(diǎn)B在同一水平面上)，某同學(xué)從點(diǎn)C出發(fā)，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡頂D處，斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶，在D處測(cè)得該建筑物頂端A的俯視角為20°，則建筑物AB的高度約為(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin20°≈，cos20°≈，tan20°≈(A)A．29.1米B．31.9米C．45.9米二、填空題(每小題3分，共12分)8．(2022·廣州)如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝eq\f(15,8)，則AB＝_17_.9．(2022·煙臺(tái))在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝eq\r(3)，則sineq\f(A,2)＝_eq\f(1,2)_.10．(2022·山西)如圖，創(chuàng)新小組要測(cè)量公園內(nèi)一棵樹(shù)的高度AB，其中一名小組成員站在距離樹(shù)10米的點(diǎn)E處，測(cè)得樹(shù)頂A的仰角為54°.已知測(cè)角儀的架高CE＝1.5米，則這棵樹(shù)的高度為米．(結(jié)果保留一位小數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin54°≈，cos54°≈，tan54°≈第10題圖第11題圖11．(2022·蘇州)如圖，在一筆直的沿湖道路l上有A、B兩個(gè)游船碼頭，觀光島嶼C在碼頭A北偏東60°的方向，在碼頭B北偏西45°的方向，AC＝4km.游客小張準(zhǔn)備從觀光島嶼C乘船沿CA回到碼頭A或沿CB回到碼頭B，設(shè)開(kāi)往碼頭A、B的游船速度分別為v1、v2，若回到A、B所用時(shí)間相等，則eq\f(v1,v2)＝_eq\r(2)_(結(jié)果保留根號(hào))．三、解答題(本大題4小題，共46分)12．(11分)(2022·張家界)位于張家界核心景區(qū)的賀龍銅像，是我國(guó)近百年來(lái)最大的銅像．銅像由像體AD和底座CD兩部分組成．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝°，在Rt△DBC中，∠DBC＝45°，且CD＝2.3米，求像體AD的高度(最后結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：°≈，°≈，°≈解：∵在Rt△DBC中，∠DBC＝45°，且CD＝2.3∴BC＝2.3∵在Rt△ABC中，∠ABC＝°，∴°＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(AD＋,≈，解得：AD≈.答：像體AD的高度約為4.213．(11分)(2022·黃岡)在黃岡長(zhǎng)江大橋的東端一處空地上，有一塊矩形的標(biāo)語(yǔ)牌ABCD(如圖所示)，已知標(biāo)語(yǔ)牌的高AB＝5m，在地面的點(diǎn)E處，測(cè)得標(biāo)語(yǔ)牌點(diǎn)A的仰角為30°，在地面的點(diǎn)F處，測(cè)得標(biāo)語(yǔ)牌點(diǎn)A的仰角為75°，且點(diǎn)E，F(xiàn)，B，C在同一直線上，求點(diǎn)E與點(diǎn)F之間的距離．(計(jì)算結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈，eq\r(3)≈解：如解圖，作FH⊥AE于H.由題意可知∠HAF＝∠HFA＝45°，∴AH＝HF，設(shè)AH＝HF＝x，則EF＝2x，EH＝eq\r(3)x，在Rt△AEB中，∵∠E＝30°，AB＝5∴AE＝2AB＝10∴x＋eq\r(3)x＝10，∴x＝5eq\r(3)－5，∴EF＝2x＝10eq\r(3)－10≈7.3m，答：點(diǎn)E與點(diǎn)F之間的距離為7.314．(12分)(2022·陜西)某市一湖的湖心島有一顆百年古樹(shù)，當(dāng)?shù)厝朔Q它為“鄉(xiāng)思柳”，不乘船不易到達(dá)，每年初春時(shí)節(jié)，人們喜歡在“聚賢亭”觀湖賞柳．小紅和小軍很想知道“聚賢亭”與“鄉(xiāng)思柳”之間的大致距離，于是，有一天，他們倆帶著側(cè)傾器和皮尺來(lái)測(cè)量這段距離．測(cè)量方法如下：如圖，首先，小軍站在“聚賢亭”的A處，用側(cè)傾器測(cè)得“鄉(xiāng)思柳”頂端M點(diǎn)的仰角為23°，此時(shí)測(cè)得小軍的眼睛距地面的高度AB為1.7米，然后，小軍在A處蹲下，用側(cè)傾器測(cè)得“鄉(xiāng)思柳”頂端M點(diǎn)的仰角為24°，這時(shí)測(cè)得小軍的眼睛距地面的高度AC為1米．請(qǐng)你利用以上測(cè)得的數(shù)據(jù)，計(jì)算“聚賢亭”與“鄉(xiāng)思柳”之間的距離AN的長(zhǎng)(結(jié)果精確到1米)．(參考數(shù)據(jù)：sin23°≈，cos23°≈，tan23°≈，sin24°≈，cos24°≈，tan24°≈解：如解圖，作BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分別為點(diǎn)D、E，設(shè)AN＝x米，則BD＝CE＝x米，在Rt△MBD中，MD＝x·tan23°，在Rt△MCE中，ME＝x·tan24°，∵M(jìn)E－MD＝DE＝BC，∴x·tan24°－x·tan23°＝－1，∴x＝eq\f,tan24°－tan23°)，解得x≈34(米)．答：“聚賢亭”與“鄉(xiāng)思柳”之間的距離AN的長(zhǎng)約為34米．15．(12分)(2022·天津)如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東64°方向，距離燈塔120海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，求BP和BA的長(zhǎng)．(結(jié)果取整數(shù))(參考數(shù)據(jù)：sin64°≈，cos64°≈，tan64°≈，eq\r(2)取(導(dǎo)學(xué)號(hào)58824162)解：如解圖，作PC⊥AB于點(diǎn)C.由題意得∠A＝64°，∠B＝45°，PA＝120，在Rt△APC中，sinA＝eq\f(PC,PA)，cosA＝eq\f(AC,PA)，∴PC＝PA·sinA＝120·sin64°，AC＝PA·cosA＝120·cos64°.在Rt△PCB中，∵∠B＝45°，∴PC＝BC，∴PB＝eq\f(PC,sin45°)＝eq\f(120×,\f(\r(2),2))≈153，∴AB＝AC＋BC＝120·cos64°＋120·sin64°≈120×＋120×≈161.答：BP的長(zhǎng)約為153海里，BA的長(zhǎng)約為161海里．B卷1．(3分)(2022·牡丹江)在△ABC中，AB＝12eq\r(2)，AC＝13，cos∠B＝eq\f(\r(2),2)，則BC邊長(zhǎng)為(D)A．7B．8C．8或17D2．(3分)(2022·龍東地區(qū))△ABC中，AB＝12，AC＝eq\r(39)，∠B＝30°，則△ABC的面積是_21eq\r(3)或15eq\r(3)_.3．(3分)(2022·無(wú)錫)在如圖的正方形方格紙中，每個(gè)小的四邊形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于O，則tan∠BOD的值等于_3_.4．(10分)(2022·黔東南州)如圖，某校教學(xué)樓AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的長(zhǎng)為12米，坡角α為60°，根據(jù)有關(guān)部門的規(guī)定，α≤39°時(shí)，才能避免滑坡危險(xiǎn)，學(xué)校為了消除安全隱患，決定對(duì)斜坡CD進(jìn)行改造，在保持坡腳C不動(dòng)的情況下，學(xué)校至少要把坡頂D向后水平移動(dòng)多少米才能保證教學(xué)樓的安全？(結(jié)果取整數(shù))(參考數(shù)據(jù)：sin39°≈，cos39°≈，tan39°≈，eq\r(2)≈，eq\r(3)≈，eq\r(5)≈解：假設(shè)點(diǎn)D移到D′的位置時(shí)，恰好α＝39°，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，作D′E′⊥AC于點(diǎn)E′，∵CD＝12米，∠DCE＝60°，∴DE＝CD·sin60°＝12×eq\f(\r(3),2)＝6eq\r(3)米，CE＝CD·cos60°＝12×eq\f(1,2)＝6米．∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥D′E′，∴四邊形DEE′D′是矩形，∴DE＝D′E′＝6eq\r(3)∵∠D′CE′＝39°，∴CE′＝eq\f(D′E′,tan39°)≈eq\f(6\r(3),≈，∴EE′＝CE′－CE＝－6＝≈7米答：學(xué)校至少要把坡頂D向后水平移動(dòng)7米才能保證教學(xué)樓的安全．5．(11分)(2022·烏魯木齊)一艘漁船位于港口A的北偏東60°方向，距離港口20海里B處，它沿北偏西37°方向航行至C處突然出現(xiàn)故障，在C處等待救援，B，C之間的距離為10海里，救援船從港口A出發(fā)20分鐘到達(dá)C處，求救援艇的航行速度．(sin37°≈，cos37°≈，eq\r(3)≈，結(jié)果取整數(shù))(導(dǎo)學(xué)號(hào)58824163)解：作輔助線如解圖所示，BD⊥AD，BE⊥CE，CF⊥AF，由題意知，∠FAB＝60°，∠CBE＝37°，∴∠BAD＝30°，∵AB＝20海里，∴BD＝10海里．在Rt△ABD中，AD＝eq\r(AB2－BD2)＝10eq\r(3)≈17.32海里，在Rt△BCE中，sin37°＝eq\f(CE,BC)，∴CE＝BC·sin37°≈×10＝6海里，∵cos37°＝eq\f(EB,BC)，∴EB＝BC·cos37°≈×10＝8海里，EF＝AD＝17.32海里．∴FC＝EF－CE＝11.32海里，AF＝ED＝EB＋BD＝18海里，在Rt△AFC中，AC＝eq\r(AF2＋FC2)＝eq\r(182＋≈21.26海里，21．26×3≈64海里/小時(shí)．答：救援的艇的航行速度大約是64海里/小時(shí)．6．(11分)(2022·遵義)烏江快鐵大橋是快鐵渝黔線的一項(xiàng)重要工程，由主橋AB和引橋BC兩部分組成(如圖所示)，建造前工程師用以下方式做了測(cè)量：無(wú)人機(jī)在A處正上方97m處的P點(diǎn)，測(cè)得B處的俯角為30°(當(dāng)時(shí)C處被小山體阻擋無(wú)法觀測(cè))，無(wú)人機(jī)飛行到B處正上方的D處時(shí)能看到C處，此時(shí)測(cè)得C處俯角為80°36(1)求主橋AB的長(zhǎng)度；(2)若兩觀察點(diǎn)P、D的連線與水平方向的夾角為30°，求引橋BC的長(zhǎng)．(長(zhǎng)度均精確到1m，參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈，sin80°36′≈，cos80°36′≈，tan80°36′≈解：(1)由題意知∠ABP＝30°，AP＝97，∴AB＝eq\f(AP,tan