高中物理競賽的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(自用)

普通理的數(shù)基礎(chǔ)選自趙華老師概念力一、微分初步物理學(xué)研究的是物質(zhì)的運動規(guī)律我們經(jīng)常遇到的物理量大多數(shù)是變量而我們要研究的正是一些變量彼此間的聯(lián)系這樣微積分這個數(shù)學(xué)工具就成為必要的了我們考慮到讀者在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)物理課時若能較早地掌握一些微積分的初步知,

對于物理學(xué)的一些基本概念和規(guī)律的深入理解是很有好處的以我們在這里先簡單地介紹一下微積分中最基本的概念和簡單的計算方法,

在講述方法上不求嚴格和完整，而是較多地借助于直觀并密切地結(jié)合物理課的需要至于更系統(tǒng)和更深入地掌握微積分的知識和方法者將通過高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)去完成.．函數(shù)其圖形1數(shù)

自變量因變量

絕對常和任意量1數(shù)的圖象1理學(xué)中函的實例．導(dǎo)數(shù)2限如果當(dāng)自變量x無限趨近某一數(shù)值（記作x→x）時，函數(shù)f（x）的數(shù)00值無限趨近某一確定的數(shù)值a，a叫做x→x時函數(shù)fx的極限值，并記作0A．17）式中的“l(fā)im”是英語“l(fā)imit極限）”一詞的縮寫,

（A．17)式讀作“當(dāng)x趨近x，f（x）的極限值等于a”0極限是微積分中的一個最基本的概念它涉及的問題面很廣。這里我們不企圖給“極限”這個概念下一個普遍而嚴格的定義

只通過一個特例來說明它的意義.考慮下面這個函數(shù)：這里除x＝1外,算任何其它地方的函數(shù)值都是沒有困難的。例如當(dāng)1

22但是若問x＝1時函數(shù)值f（1）＝？我們就會發(fā)現(xiàn)，這時(A．18）式的說是沒有意義的.以表達式(A）沒有直接給f(1,

但給出了x無論如何接近1時的函數(shù)值來列出了當(dāng)?shù)闹祻男∮?和大于1兩方面趨于1時f（x）值的變化情況:表x與的變化值x3x—xx-10.90.9900.9999

—0-0-0.004997—0.000499

—0。1—0.01-0.001—0。

44.9744.99977

00011。11.011.0011

00.50300

0。10.0100.0001

5555從上表可以看出值無論從哪邊趨近時,

分子分母的比值都趨于一個確定的數(shù)值-—5，這便是x→1時f（x)的極限值。其實計算（x）值的極限無需這樣麻煩,們只要將(A．18式的分子作因式分解:3x2—x—2＝（3x）(x—1),并在x≠1的情況下從分子和分母中將因式(x－1）消去：即可看出，趨于1時函數(shù)f(x）的數(shù)值趨于3×1＋2＝5。所以根據(jù)函數(shù)極限的定義，求極限式2)2

(3）（4等價無小量代～x;～x;arcsinx～x2限的物理義（1)瞬時速度對于勻變速直線運動來說，這就是我們熟悉的勻變速直線運動的速率公式（．5）。（2)瞬時加速度時的極限，這就是物體在t＝t刻的瞬時加速度a：03

3水渠的坡度任何排灌水渠的兩端都有一定的高度差這樣才能使水流動.

為簡單起見，我們假設(shè)水渠是直的,

這時可以把x坐標(biāo)軸取為逆水渠走向的方向見圖A—5),于是各處渠底的高度h便是x的函數(shù)：h=h（x）．知道了這個函數(shù),們就可以計算任意兩點之間的高度差。是△

就愈能精確地反映出x=x一點的坡度。所以在x=x一點的坡度k應(yīng)002數(shù)的變化—導(dǎo)數(shù)前面我們舉了三個例子,

在前兩個例子中自變量都是t三個例子中自變量是x．這三個例子都表明,

在我們研究變量與變量之間的函數(shù)關(guān)系時,

除了它們數(shù)值上“靜態(tài)的”對應(yīng)關(guān)系外，我們往往還需要有“運動”或“變化"的觀點著眼于研究函數(shù)變化的趨勢增減的快慢亦即函數(shù)“變化率概念。當(dāng)變量由一個數(shù)值變到另一個數(shù)值時，后者減去前者

叫做這個變量的增量.

增量,

通常用代表變量的字母前面加個“△"來表示

例如，當(dāng)自變量的數(shù)值由x變到x,增量就是1eq\o\ac(△,0)≡x．A．25）10與此對應(yīng)。因變量y的數(shù)值將由y＝fx）變到y(tǒng)=f）,0011為

于是它的增量△y≡y-y=f（x－f(x＝f（x+△x）－f（x）．（A．26）應(yīng)當(dāng)指出，101000增量是可正可負的，負增量代表變量減少。增量比可以叫做函數(shù)在x＝xx＝x+△x這一區(qū)間內(nèi)的平均變化率,它在△x→000時的極限值叫做函數(shù)y＝f(x）對x的導(dǎo)數(shù)或微商，記作y′或′（x）,4

（x）等其它形式。導(dǎo)數(shù)與增量不同，它代表函數(shù)在一點的性質(zhì)，即在該點的變化率。應(yīng)當(dāng)指出，函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)′（x）本身也是x的一個函數(shù),

因此我們可以再取它對x的導(dǎo)數(shù),叫做函數(shù)y＝f（x）據(jù)此類推,

我們不難定義出高階的導(dǎo)數(shù)來。有了導(dǎo)數(shù)的概念，前面的幾個實例中的物理量就可表示為2數(shù)的幾何義在幾何中切線的概念也是建立在極限的基礎(chǔ)上的。如圖—6所示，為了確定曲線在P的切線，我們先在曲線上近選另一點P并設(shè)想P沿著0011曲線向P靠攏。PP的聯(lián)線是曲線的一條割線，它的方向可用這直線與橫坐001標(biāo)軸的夾角α來描述.圖上不難看出，P愈靠近P，α角就愈接近一個10確定的值α,P點完全和P點重合的時候，割線PP變成切線T,α的極限010010值α就是切線與橫軸的夾角。05

在解析幾何中我們把一條直線與橫坐標(biāo)軸夾角的正切α叫做這條直線的斜率.

斜率為正時表示α是銳角，從左到右直線是上坡的（見圖—7a；斜率為負時表示α是鈍角，從左到右直線是下坡見圖A—7b現(xiàn)在我們來研究圖A-6中割線P和切PT的斜率.010設(shè)PP的坐標(biāo)分別為（x,y）(xeq\o\ac(△,+))，以割線PP為斜邊作000001一直角三角形eq\o\ac(△,1)P，它的水平邊PM的長度為eq\o\ac(△,0)，豎直MP的長度為△y，0101因此這條割線的斜率為如果圖A-6中的曲線代表函數(shù)y=f）

則割線PP的斜率就等于函數(shù)在01線P斜率的極限值，即01所以導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線的斜率。．導(dǎo)數(shù)運算在上節(jié)里我們只給出了導(dǎo)數(shù)的定,用它們可以把常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出來.6

本節(jié)將給出以下一些公式和定理，利

3本函數(shù)的數(shù)公式1)y＝fx)＝C（常量）（2）y=f（x）＝x3）y＝f（x）=x4）y＝f（x）＝x7

上面推導(dǎo)的結(jié)果可以歸納成一個普遍公式：當(dāng)n時等等。利（A式我們還可以計算其它冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（見A—2）。除了冪函數(shù)xn外，物理學(xué)中常見的基本函數(shù)還有三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)。我們只給出這些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（見表）而不推導(dǎo)，讀者可以直接引用.3關(guān)導(dǎo)數(shù)運的幾個理定理一證：8

n定理二n函數(shù)y=f(x)

表基本導(dǎo)公式導(dǎo)數(shù)y′=f′(x）c任意常量）0x為任意常量）nx

n—1n=1,x1n=2，x

2

2xn=3，x

3

3x

2……sinxcosxcosx—sinxlnxex定理三

ex定理四9

例題y=x22(a為常量的導(dǎo)數(shù)。例題y=ax2（a為常量）的導(dǎo)數(shù)。例題y=x2ex的導(dǎo)數(shù).例題y＝tanx的導(dǎo)數(shù)例題y＝cos（ax)（a、b為常量）的導(dǎo)數(shù)。解令v＝ax＋b

y＝u（v）＝cosv，則10

例題y=x2e－ax2（a常量）的導(dǎo)數(shù)。解：令u＝ev，v＝－ax

則4分自變量的微分,

．微分和函的冪級展開就是它的任意一個無限小的增量△x用dx代表x的微分，則dx=△x．（A．38)一個函數(shù)（x）的導(dǎo)數(shù)f′）乘以自變量的微分dx，叫做這個函數(shù)的微分，用dy或df（x)表示，即dy≡df（x）≡f′（x）dx，(A．39）一個整體引入的當(dāng)時它雖然表面上具有分數(shù)的形式但在運算時并不象普通分數(shù)那樣可以拆成“分子”和“分母"兩部分。在引入微分的概念之,

我們就可把導(dǎo)數(shù)看成微分dy與dx之商（所謂“微"），即一個真正的分數(shù)了。把導(dǎo)數(shù)寫成分數(shù)形式,常是很方便的,

例如,

把上節(jié)定理四（A．37）此公式從形式上看就和分數(shù)運算法則一致了，很便于記憶。下面看微分的幾何意義。圖A—8是任一函數(shù)＝f（x）的圖形，P，00y和P（x+△x，y+△y）是曲線上兩個鄰近的點,PT是通過P的切線。直角010000三角形eq\o\ac(△,P)eq\o\ac(△,)MP的水平邊01的交點為N，則11

但tan∠NPM為切線P的斜率，它等于x=x的導(dǎo)數(shù)f′x），因此0000所以微分dy在幾何圖形上相當(dāng)于線段的長度，它和增量是正比于（△x）以及△x更高冪次的各項之和[例如對于函數(shù)(x）＝x3，△y＝3x△x（△x)2＋eq\o\ac(△,()）

,

而dy=f′（xeq\o\ac(△,))x=3x△x］．當(dāng)eq\o\ac(△,x)eq\o\ac(△,)很小時，eq\o\ac(△,()）2、（△x3、…比△x小得多，中的線性主部.就是說，如果函數(shù)在x=x地方象線性函數(shù)那樣增長，0則它的增量就是dy．。積分5.1個物理的實例（1）變速直線運動的路程我們都熟悉勻速直線運動的路程公式。如果物體的速率是，則它在t到t一段時間間隔內(nèi)走過的路程是bs＝v(t－t)。(A.45）ba對于變速直線運動來說，物體的速率是時間的函數(shù)：

av＝v(t)，12

函數(shù)的圖形是一條曲線（見圖A-10a)只有在勻速直線運動的特殊情況下，它才是一條直線(參見圖A—4b)。對于變速直線運動，式已不適用。但是，我們可以把t＝tt＝t段時間間隔分割成許多小段,小段足ab夠短時，在每小段時間內(nèi)的速率都可以近似地看成是不變的。這樣一來物體在每小段時間里走過的路程都可以按照勻速直線運動的公式來計算后把各小段時間里走過的路程都加起來，就得到到t段時間里走過的總路程。ab設(shè)時間間隔（t－t）被t＝t（=t)、t、t、…、t分割成n小段，ba1a23nb每小段時間間隔都是△t,則在t時刻速率分別是v(t123n12v(t)…).如果我們把各小段時間的速率v看成是不變的,則按照勻速直3n線運動的公式，物體在這些小段時間走過的路程分等于）△t、v（t）12△t、v（t）△t、…、v（t)△t。于是，在整個（t—t)這段時間里的總路3nba程是現(xiàn)在我們來看看上式的幾何意義在函數(shù)（t的圖形中通過t=t、1t、t、…、t點垂線的高度分別是v（t）（t）、v(t）、…、v(t)23n12（見圖A-10b），所以v（t）△t、v）△t、v（t）eq\o\ac(△,3)、…、v(t)eq\o\ac(△,n)123n就分13

這些矩形面積的總和,

即圖中畫了斜線的階梯狀圖形的面積。在上面的計算中，我們把各小段時間△里的速率v看做是不變的,際上在每小段時間里v多少還是有些變化的，所以上面的計算并不精確。要使計算精確,

就需要把小段的數(shù)目n加大，同時所有小段的△縮短(見圖A-10c）

eq\o\ac(△,.)愈短，在各小段里v就改變得愈少，把各小段里的運動看成勻速運動也就愈接近實際情況。所以要嚴格地計算變速運動的路程，我們就應(yīng)對（A.46）式取n→∞、△t→0極限，即當(dāng)n愈來愈大，△t愈來愈小的時候

圖A—10中的階梯狀圖形的面積就愈來愈接近v(t）曲線下面的面積（A-10d）。所以A）式中的極限值等于（t－t）區(qū)間內(nèi)v（t)曲線下的面積。ba總之，在變速直線運動中物體在任一段時間間隔t－t)里走過的路程ba要用(A）式來計算，這個極限值的幾何意義相當(dāng)于這區(qū)間v(t）曲線下的面積。（2)變力的功當(dāng)力與物體移動的方向一致時，在物體由位置到過程中，ab恒力F對它所作的功為A＝F（s）A。48）ba如果力F是隨位置變化的,即Fs的函數(shù)（s)不能運）式來計算力F的功了。這時，我們也需要象計算變速運動的路程那樣，把s－s）這段距離分割成n個長度為△s的小段見圖A-11）a

b并把各小段內(nèi)力F的數(shù)值近似看成是恒定的恒力作功的公式計算出每小段路程eq\o\ac(△,s)eq\o\ac(△,)上的功，然后加起來取n→∞、△s→0的極限值。具體地說，設(shè)力F在各小段路程內(nèi)的數(shù)值分別為F（s）、F)、F（s）、…、F(sn),123在各小段路程上力F所作的功分別為F（s)△s)△s、F(s3)△s、…、12F(s）△s。在s－s)段路程上力F的總功A就nba14

都是變化的，所以嚴格地計算，還應(yīng)取→∞、△s→0的極限值,

即同上例,

這極限值應(yīng)是(s－s）區(qū)間內(nèi)）下面的面積(見圖A—12）。ba52定積分以上兩個例子表明，許多物理問題中需要計算象(A和A。49）式中給出的那類極限值.

概括起來說就是要解決如下的數(shù)學(xué)問題給定一個函數(shù)（x)，用x＝x、x、…、x把自變量x在(b）區(qū)間內(nèi)的數(shù)值123n分成n小段，設(shè)每小段的大小為△x，求→∞、△x→0時函數(shù),

b和a分別叫做定積分的上限和下限。用定積分的符號來表示，（A。47）和（。49）式可分別寫為15

在變速直線運動的路程公式(A。51)，自變量是t,

被積函數(shù)是v(t）,

積分的上、下限分別是tt；在變力作功的公式(A。52）里,自變量是s,ba函數(shù)是F(s），積分的上、下限分別是和s。ba求任意函數(shù)定積分的辦法有賴于下面關(guān)于定積分的基本定理：

被積如果被積函數(shù)f（x）是某個函數(shù)Ф）的導(dǎo)數(shù)，即f（x）=Ф′（x）,則在x＝a到x＝b區(qū)間內(nèi)（x）x的定積分等于Ф(x)在這區(qū)間內(nèi)的增量，即現(xiàn)在我們來證明上述定理。在a≤x≤b區(qū)間內(nèi)任選一點x首先考慮Ф（x）x=x+△x≡xiii區(qū)間的增量△Ф(x）=Ф(x)-Ф（x):ii

但按照定理的前提，Ф′（x)=f）

故△Ф（x≈Ф′（x）△x=f（x)△x。iii式中≈表示“近似等于"，若取△x→0的極限，上式就是嚴格的等式。把a≤x≤b區(qū)間分成n－1小段，每段長△上式適用于每小段。根據(jù)積分的定義和上式,

我們有16

因x,xn＝b于是得（A。53）式至此定理證訖。1下面看看函數(shù)Ф(x)在f—x見圖A—13中所表現(xiàn)的幾何意義.

如前所述，△Ф(x）=Ф（x)-Ф（x）=f（x)△x,iii

正是寬為△x、高為積.和曲線段PP下面的梯xxPP面積只是相差一小三角形Piiiii的面積.△x→0時，可認為△Ф(x就是梯形xPP面積.＋1iii既然當(dāng)x由x到x時（x的增量的幾何意義是相應(yīng)區(qū)間f-x線i下的面積,Ф（x）本身的幾何意義就是從原點到x區(qū)間f—x曲線下面的面積加上一個常量C＝Ф(0)例如（x的幾何意義是圖形OxP的面積加ii0C，Ф（x）的幾何意義是圖形OxPP的面積加C，等等.這樣，eq\o\ac(△,i)Ф（x)=i0iФ（x)-Ф(x)就是：i（OxPP面積+C)0—（OxP的面積+C)ii0=xxPP面積，ii而Ф(b）—Ф（a）的幾何意義是：（ObPP面積+C)b0－(OaPP面積+C)a0＝abPP面積。ba5.3定積分其運算17

在證明了上述定積分的基本定理之后們就可以著手解決積分的運算問題了。根據(jù)上述定理，只要我們求得函數(shù)Ф）的表達式

利用（A.53)式立即可以算出定積分去求Ф（x）的表達式呢？上述定理告訴我們，Ф）=f(x）,

所以這就相當(dāng)于問f（x）是什么函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。由此可見，積分運算是求導(dǎo)的逆運算。如果（x）是Ф(x)導(dǎo)數(shù)，我們可以稱(x）是f(x)的逆導(dǎo)數(shù)或原函數(shù)。求f(x）的定積分就可以歸結(jié)為求它的逆導(dǎo)數(shù)或原函數(shù)。在上節(jié)里我們講了一些求導(dǎo)數(shù)的公式和定理見的函數(shù)我們都可以按照一定的法則把它們的導(dǎo)數(shù)求出來。然而求逆導(dǎo)數(shù)的問題卻不像求導(dǎo)數(shù)那樣容易而需要靠判斷和試探例如我們知道了Ф(x＝x導(dǎo)數(shù)Ф＝3x2，也就知道了F(x）＝3x的逆導(dǎo)數(shù)是Ф）＝x3.這時，如果要問函數(shù)（x)＝x2的逆導(dǎo)數(shù)是什么么我們就不難想到,

它的逆導(dǎo)數(shù)應(yīng)該是x3/3這里要指出一點，即對于一個給定的函數(shù)f(x)來說，它的逆導(dǎo)數(shù)并不是唯一的。Ф（x）1＝x3/3是（x）＝x的逆導(dǎo)數(shù)，（x）3/3＋1和Ф3/3－5也都是它23的逆導(dǎo)數(shù),為Ф′）、′（x）、′（x)都等于x2。一般說來，在函123數(shù)f（x）的某個逆導(dǎo)數(shù)Ф（x)上加一任意常量，仍舊是f(x)的逆導(dǎo)數(shù)。通常把一個函f(x)的逆導(dǎo)數(shù)的通式Ф(x)＋C叫做它的不定積分,

并記作∫f(x）dx，于是因在不定積分中包含任意常量，它代表的不是個別函數(shù)，而是一組函數(shù)表基本不積分公函數(shù)f（xxn（n≠—1)n=1時,

x1=xn=2時，x218

n=3時，x3…………sinxcosxex

…………—cosx+Csinx+Cln｜x|+Cex+C上面所給的例子太簡單了，我們一眼就能猜到逆導(dǎo)數(shù)是什么

在一般的情況下求逆導(dǎo)數(shù),

首先要求我們對各種函數(shù)的導(dǎo)數(shù)掌握得很熟練，才能確定選用那一種形式的函數(shù)去試探.此外,掌握表A-4中給出的基本不定積分公式和其后的幾個有關(guān)積分運算的定理也是很重要的表中的公式可以通過求導(dǎo)運算倒過來驗證，望讀者自己去完成)下面是幾個有關(guān)積分運算的定理.定理一如果f(x)＝au(x)(a是常量,

則定理二

如果f（