多邊形及其內角和八年級數(shù)學上冊

多邊形及其內角和八年級數(shù)學上冊第1頁/共50頁觀察下列圖案由這圖形你抽象出什么幾何圖形？第2頁/共50頁生活中的平面圖形由這圖形你抽象出什么幾何圖形？三角形點此播放動畫視頻第3頁/共50頁長方形生活中的平面圖形由這圖形你抽象出什么幾何圖形？點此播放動畫視頻第4頁/共50頁由這圖形你抽象出什么幾何圖形？四邊形生活中的平面圖形點此播放動畫視頻第5頁/共50頁點此播放動畫視頻第6頁/共50頁六邊形生活中的平面圖形由這圖形你抽象出什么幾何圖形？點此播放動畫視頻第7頁/共50頁八邊形生活中的平面圖形由這圖形你抽象出什么幾何圖形？點此播放動畫視頻第8頁/共50頁三角形長方形六邊形四邊形八邊形在平面內，由若干條不在同一條直線上的線段首尾順次相連組成的封閉圖形叫做多邊形。多邊形的定義你能仿照三角形的定義給出多邊形的定義嗎？點此播放動畫視頻第9頁/共50頁了解一下頂點內角邊對角線對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段?？杀硎緸椋何暹呅蜛BCDE或五邊形DCBAEABCDE點此播放動畫視頻第10頁/共50頁ABCD12345內角：多邊形相鄰兩邊組成的角外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角。內角外角678910點此播放動畫視頻第11頁/共50頁比一比你能說出這兩幅圖形的異同點嗎？（1）（2）如圖（1）這樣，畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，整個四邊形都在這條直線的同一側，那么這個多邊形就是凸多邊形。本節(jié)我們只討論凸多邊形。點此播放動畫視頻第12頁/共50頁想一想：觀察下面多邊形，它們的邊，角有什么特點？

在平面內，內角都相等，邊也都相等的多邊形叫做正多邊形點此播放動畫視頻第13頁/共50頁1、在平面內，_____________________叫做多邊形。２、在多邊形中連接_________________的線段叫做多邊形的對角線。３、三角形的內角和是_____度．４、你能夠利用三角形的內角和求四邊形的內角和嗎？試試看？ABCD思路：多邊形問題轉化為三角形問題來解決．四邊形的內角和為360０由一些線段首尾順次相接組成的圖形多邊形不相鄰的兩個頂點的線段1800第14頁/共50頁問題，新知

長方形的內角和是多少？為什么？如果是任意四邊形呢？第15頁/共50頁BADC（1）四邊形ABCD的內角和是多少？（2）你是怎樣求的？第16頁/共50頁(1)從頂點A可以畫幾條對角線？分別是哪幾條？(2)這樣五邊形被分成了幾個三角形？

(3)五邊形的內角和是多少度？ABDCE第17頁/共50頁你來探索六邊形的內角和，你一定行！ABCDEF被分得三角形個數(shù)六邊形的內角和4

4×180°第18頁/共50頁這種探索方法你掌握了嗎？請完成下表多邊形的邊數(shù)34567…n分成的三角形個數(shù)12…多邊形的內角和180°180°×2180°×3…345n-2180°

×5(n-2)×180180°×4想一想：從表中你能發(fā)現(xiàn)什么？第19頁/共50頁n邊形的內角和等于(n－2)．180°第20頁/共50頁想一想

AnA5

A1A4

A2A3

AnA5

A1A4

A2A3PP(1)(2)你還有其他的方法將多邊形分割成三角形嗎？第21頁/共50頁ABCDABCDEABCDEF

該圖中n邊形共有n個三角形，故所有三角形內角和為n×180°，但每個圖中都有一個以紅圈圈住的點，它是一個圓周角360°，因此n邊形的內角和為

n×180°-360°=(n-2)×180°多了什么？如何處理？第22頁/共50頁多了什么？如何處理？ABCDABCDEABCDEF這種分割方式，將多邊形分成n-1個三角形，故所有三角形的內角和為（n-1）×180°，邊上一點周圍所形成的平角不是多邊形的內角，因此n邊形的內角和為

（n-1）×180°-180°=(n-2)×180°第23頁/共50頁例1：求八邊形的內角和的度數(shù)。

解：（n－2）×180°＝（8－2）×180°

＝1080°答：八邊形的內角和為1080°。第24頁/共50頁例2：一個正多邊形的一個內角為150°，你知道它是幾邊形嗎？

解：設這個多邊形為n邊形，根據(jù)題意得：（n－2）×180＝1５0n

n＝12答：這個多邊形是12邊形。另解：由于多邊形外角和等于360°

而這個正多邊形的每個外角都等于

180°－150°＝30°，所以這個正多邊形的邊數(shù)等于

360°÷30°＝12。第25頁/共50頁例題、已知兩個多邊形的內角和為1440°，且兩多邊形的邊數(shù)之比為1︰3，求它們的邊數(shù)分別是多少？

解:設它們的邊數(shù)分別是x,y.由題意得：（x-2）·180+（y-2）·180=1440x:y=1:3

解之得x=3y=9

答：它們的邊數(shù)分別是3和9。第26頁/共50頁牛刀小試：

（1）八邊形的內角和等于

。

（2）已知一個多邊形的內角和等于2340°，

它的邊數(shù)是

。

（3）小明在計算多邊形的內角和時求得的

度數(shù)是1000°，他的答案正確嗎？為

什么？

1080°15第27頁/共50頁

（4）已知四邊形4個內角的度數(shù)比是1︰2︰3︰4，那么這個四邊形中最大角的度數(shù)是

。（5）一個五邊形的三個內角是直角，另兩個內角都是n°，則n=

。（6）六角螺母的面是六邊形，它的內角都相等，則這個六邊形的每個內角是

。（7）在四邊形ABCD中，∠A與∠C互補，那么∠B與∠D有什么關系呢？為什么？144°135°120°第28頁/共50頁問題

大家清晨跑步嗎？小明就有每天堅持跑步的好習慣，他怎樣跑步呢？右圖就是小明清晨沿一個五邊形廣場周圍的小跑，按逆時針方向跑步的效果圖.請你觀察并思考如下幾個問題:(1)小明每從一條街道轉到下一條街道時，身體轉過的角是哪個角？在圖中標出它們.ABCDE12345(2)他每跑完一圈，身體轉過的角度之和是多少？(3)在上圖中，你能求出1+∠2+∠3+∠4+∠5的大小嗎？你是怎樣得到的？第29頁/共50頁探索

（1）什么是三角形的外角？外角有什么性質？

（2）類似地，在多邊形中找出外角多邊形的一邊與另一邊的延長線的夾角，叫做多邊形的外角。第30頁/共50頁做一做（1）如圖，求△ABC的三個外角的和。

三角形的三個外角之和為3600

第31頁/共50頁（2）四邊形的外角和等于多少度？（3）五邊形的外角和怎么求？n邊形呢？第32頁/共50頁猜想與說理:n邊形的外角和是多少度呢?

答:都是360°.因為多邊形的外角與它相鄰的內角是鄰補角，所以n邊形的外角和加內角和等于n·180°，內角和為(n－2)·180°,因此，外角和為：n·180°－(n－2)·180°=360°.結論:多邊形的外角和都等于360°.第33頁/共50頁例3：一個多邊形的內角和等于它的外角和的3倍，它是幾邊形？解：設它是n邊形，則(n-2).180=3×360解得：n=8答：它是8邊形第34頁/共50頁例3：一個正多邊形的每個內角比相鄰外角大36°求這個多邊形的邊數(shù)。

解：設一個外角為x°，則內角為（x＋36）°

根據(jù)題意得：

x+x+36＝180

x＝72360÷72＝5答：這個正多邊形為正五邊形。第35頁/共50頁（1）一個多邊形的每一個外角都是600，這個多邊形是幾邊形？它的內角和等于多少度?(2)有沒有這樣的多邊形，它的內角和是外角和的3倍？

（3）一個多邊形的每一個外角都相等，且每一個內角都比外角大900，求這個多邊形的邊數(shù)和每個內角的度數(shù)。

第36頁/共50頁7、兩個多邊形的邊數(shù)比是1:2,兩個多邊形的內角和為1440度,求這兩個多邊形的邊數(shù),6、一個多邊形的每個內角都比相鄰的外角3倍多20度,求這個多邊形的邊數(shù),5、四邊形的四個內角的比是8:6:3:7,求它的四個內角,4、一個多邊形的內角和是外角和的4倍,這是幾邊形第37頁/共50頁強化訓練第38頁/共50頁

三角形三個內角的度數(shù)分別是（x+y)o,(x-y)o,xo,且x>y>0,則該三角形有一個內角為（） A、30O B、45O C、60O D、90O2.一個正多邊形每一個內角都是120o，這個多邊形是（） A、正四邊形 B、正五邊形

C、正六邊形 D、正七邊形CC第39頁/共50頁

３．一個多邊形木板，截去一個三角形后（截線不經過頂點），得到新多邊形內角和為2160o，則原多邊形的邊數(shù)為（ ）

A、13條 B、14條 C、15條 D、16條下列說法中，錯誤的是（ ）

A、一個三角形中至少有一個角不大于60O；B、有一個外角是銳角的三角形是鈍角三角形；C、三角形的外角中必有兩個角是鈍角；D、銳角三角形中兩銳角的和必然小于60O；AD第40頁/共50頁5.小明繞五邊形各邊走一圈，他共轉了___度。6.下列正多邊形（1）正三角形（2）正方形（3）正五邊形（4）正六邊形，其中用一種正多邊形能鑲嵌成平面圖案的是

；360（1）、（2）、（4）7.如下圖，AD是BC邊上的高，BE是△

ABD的角平分線，∠1=40°，∠2=30°，則∠C=___∠BED=

。65°60°ABCD12E第41頁/共50頁8、兩個多邊形的邊數(shù)比是1:2,兩個多邊形的內角和為1440度