數(shù)學探究活動（一）：正方體截面探究 教學設(shè)計

教材：2019年北師大版高中數(shù)學選擇性必修一課題：第三章空間向量與立體幾何§5數(shù)學探究活動（一）：正方體截面探究教學內(nèi)容分析數(shù)學探究活動是圍繞某個具體的數(shù)學問題，開展自主探究、合作交流并最終解決問題的過程，是運用數(shù)學知識解決數(shù)學問題的一類綜合實踐活動，具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題，猜測合理的數(shù)學結(jié)論、提出解決問題的思路和方案、自主探索、合作研究論證數(shù)學結(jié)論。初中數(shù)學北師大版教材，已經(jīng)學習如何截一個幾何體，對“平面截正方體，截面分別是什么圖形”有了初步的探究?！镀胀ǜ咧袛?shù)學課程標準》的案例11從如何創(chuàng)設(shè)探究情境、如何開展探究活動、如何經(jīng)歷探究過程、如何提煉探究方法、如何提升數(shù)學學科核心素養(yǎng)等方面給出了明確的內(nèi)容要求：綜合利用基本立體圖形的結(jié)構(gòu)特征、基本圖形位置關(guān)系中的結(jié)論、定理，引導學生探究、發(fā)現(xiàn)、證明正方體截面的形狀、大小等變化規(guī)律，積累數(shù)學探究的經(jīng)驗。學情分析高二的學生已經(jīng)基本掌握立體幾何、解析幾何、函數(shù)等相關(guān)知識和研究方法，但尚未形成將這些知識融合起來分析問題的思路。本節(jié)內(nèi)容開放度高、挑戰(zhàn)性大、探究性強、研究手段與研究方法豐富多樣，對學生的發(fā)現(xiàn)問題、分類討論、作圖表達、邏輯論證等能力要求較高，高二的學生正在經(jīng)歷從感性思維到理性思維、具體思維到抽象思維的過渡，本次探究活動的開展，有助于學生對知識的融會貫通，提升分析與解決復雜的實際問題的能力，促進六大核心素養(yǎng)融合發(fā)展。教學目標設(shè)置知識目標：通過正方體切截過程歸納截面形狀，論證截面特征，掌握截面的作法及簡單實際應用。能力目標：經(jīng)歷實際操作、觀察猜想、推理論證、合作交流等數(shù)學活動過程，提高分析歸納和空間想象能力。素養(yǎng)目標：在具體情境中提升直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理等素養(yǎng)，積累數(shù)學探究活動經(jīng)驗。截面形狀、特征、作法是探究的重點。教學策略分析為了開展深度探究，給學生充分的探索空間與時間，關(guān)注學生探索與發(fā)現(xiàn)的過程，我面對的困難有：課題綜合性強、探究周期長、信息技術(shù)薄弱。課題綜合性強是面臨的首要問題。鼓勵學生課前參考《“正方體截面的探究”課題學習報告》自主研究學習，引導學生提出不同梯度的問題，按照問題自由分組，縮小學生空間想象能力與數(shù)學運算能力的個體差異，提升探究效率。探究周期長，占用時間多，如何激發(fā)學生學習興趣，積極主動參與到探究活動中來，是第二個面臨的問題。引導學生獨立思考，組長活動、組內(nèi)交流，讓學生切實感受到自己能力在活動中能獲得提高。信息技術(shù)薄弱，采取教師-課代表-組長-組員的層層負責制，充分發(fā)揮信息技術(shù)在探究活動中的優(yōu)勢。為此，本次活動是以課題研究和項目式學習為設(shè)計理念，活動前期確定主題、分解任務、組織活動，活動中期組織學生匯報成果并進行評價，活動后期形成報告并進行活動總結(jié)。學生活動設(shè)計為：前期獨立思考，提出驅(qū)動問題，設(shè)計并實施方案，形成初步結(jié)果，中期分享成果并遷移應用，后期反思改進，并類比引申。本節(jié)課在前期工作準備充分的情況下，對中期匯報進行展示，設(shè)置發(fā)現(xiàn)截面、尋覓截面、研究截面、截面應用四個環(huán)節(jié)，讓學生經(jīng)歷用數(shù)學思維方式探究正方體截面的逐漸深入過程。教學過程設(shè)計問題背景：通過極具中國文化特色的正方體榫卯視頻創(chuàng)設(shè)情境，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實生活中蘊含的數(shù)學問題，，提出驅(qū)動性問題.組裝正方體榫卯的關(guān)鍵是什么？學生根據(jù)“兩個截面怎樣才能吻合？”再次明確探究主題為“正方體截面探究”。發(fā)現(xiàn)截面學生通過收集資料，找到這樣一些截面內(nèi)容，在建筑中的截面、生活中的截面、地理中的截面、醫(yī)學中的截面，體會“用數(shù)學的眼光發(fā)現(xiàn)截面”過程，激發(fā)學生學習興趣。尋覓截面在高中知識范疇中，哪些內(nèi)容有截面的“蹤跡”？在這個階段，學生通過研究教材，在棱臺定義、蜂窩猜想、祖暅原理和圓錐曲線的命名方式找到截面的相應蹤跡。然后，通過分析這里的三個圖形給出截面的標準化定義：當一個平面截多面體時，多面體的表面與平面的交線所圍成的平面圖形稱為平面截多面體的截面，簡稱截面.為后續(xù)的研究提供了理論依據(jù)，這是用數(shù)學的思維分析截面的過程。研究截面在發(fā)現(xiàn)截面的有關(guān)研究背景和找到理論依據(jù)之后，本節(jié)課關(guān)于截面研究的內(nèi)容便自然展開了。這一部分內(nèi)容我設(shè)置了是什么、為什么、怎么做得研究過程。是什么：由于在研究報告中提供了相對開放的設(shè)計，學生在課前用各種獨特的方式模擬正方體的截面，完成并總結(jié)正方體截面有哪些不同的形狀。請看小李飛刀隊帶來的展示。（播放探究視頻）。水立方隊帶來的展示。（播放探究視頻）。技術(shù)達人隊帶來的展示。（播放探究視頻）。學生操作、體會、歸納不同截面產(chǎn)生的條件，實施“做中學、學中悟”，為后繼的數(shù)學化做好感性準備，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)和分類討論能力。為什么：結(jié)合所得到的截面的形狀特征，說明它們的性質(zhì)并嘗試證明。以小組挑戰(zhàn)賽展開，①為什么沒有直角三角形？②截面為三角形時何時面積最大？③截面可以是任意四邊形嗎？④截面為可以是直角梯形嗎？等問題，小組間的搶問與搶答，從線面平行的判定定理和性質(zhì)定理、面面平行的性質(zhì)定理、線面垂直判定定理、以及向量在立體幾何中的應用并結(jié)合三角函數(shù)進行證明。怎么做：過E、F、G三點的截面做法，讓學生對截面由直觀感受到深入認識。問題開放便于打開學生的思維，學生從“數(shù)與形”的關(guān)系上認識數(shù)學，歸納總結(jié)，提煉核心，實現(xiàn)“用數(shù)學的方法研究截面”這一過程。截面應用有孔的正方體最多可以裝多少水，是過EFG三點的截面？還是右圖的三角形截面？學生產(chǎn)生巨大爭執(zhí)。通過實際計算，發(fā)現(xiàn)正確結(jié)果，加深對：此容器可以任意放置這一條件的理解，使學生體會融合現(xiàn)實背景解決新問題的方法，增強利用新情境解讀知識的能力，提高創(chuàng)新能力，體會“用數(shù)學的語言表達截面”這一過程?？偨Y(jié)反思學生就知識的認知、方法的領(lǐng)悟、探究活動的情感體驗及收獲進行分享（見：研學報告）拓展延伸學生是學習和發(fā)展的主體，設(shè)計有梯度的作業(yè)能使不同的學生獲得不同的發(fā)展。課后的拓展延伸體現(xiàn)探究活動的連貫性、方法的一致性。板書設(shè)計教學評價章建躍先生所說：落實“四基”，