函數性質2：“廣義”奇偶性【 考點深挖 多種考法 】 高考數學一輪高效備考 精講精練（全國通用）

專題2-2函數性質2：“廣義”奇偶性目錄TOC\o"1-3"\h\u一、熱點題型歸納 1【題型一】奇偶函數性質 1【題型二】“廣義奇函數”：點（a，b）中心對稱 3【題型三】“廣義偶函數”：豎直對稱軸 4【題型四】奇偶性與周期性 4【題型五】奇偶性與零點 6【題型六】奇偶性與比大小 6【題型七】奇偶性與導數 7【題型八】奇偶性與求參 8【題型九】抽象函數與奇偶性 9【題型十】中心對稱應用：倒序求和 10二、真題再現 11三、模擬檢測 13【題型一】奇偶函數性質【典例分析】已知函數，分別是定義在上的偶函數和奇函數，且，若函數有唯一零點，則實數的值為A．或 B．1或 C．或2 D．或1【提分秘籍】基本規(guī)律奇偶性(1)奇偶函數的性質①偶函數?f(－x)＝f(x)?關于y軸對稱?對稱區(qū)間的單調性相反；②奇函數?f(－x)＝－f(x)?關于原點對稱?對稱區(qū)間的單調性相同；③奇函數在x＝0處有意義時，必有結論f(0)＝0；(2)奇偶性的判定①“奇±奇”是奇，“偶±偶”是偶，“奇×/÷奇”是偶，“偶×/÷偶”是偶，“奇×/÷偶”是奇；②奇(偶)函數倒數或相反數運算，奇偶性不變； ③奇(偶)函數的絕對值運算，函數的奇偶性均為偶函數．(2)常見奇函數①f(x)＝eq\f(ax－1,ax＋1) ②f(x)＝logaeq\f(x－b,x＋b) ③f(x)＝g(x)－g(－x) ④f(x)＝loga(eq\r(,x2＋1)＋x)f(x)＝sinx，f(x)＝tanx等等；【變式演練】1.若函數對任意的，總有恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．2.設函數，若，滿足不等式，則當時，的最大值為A． B． C． D．3.已知函數，則在同一個坐標系下函數與的圖像不可能是（

）A．B．C． D．【題型二】“廣義奇函數”：點（a，b）中心對稱【典例分析】定義在上的函數若滿足：①對任意、，都有；②對任意，都有，則稱函數為“中心捺函數”，其中點稱為函數的中心.已知函數是以為中心的“中心捺函數”，若滿足不等式，當時，的取值范圍為A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律對任意，都有，則稱函數為“中心捺函數”，其中點稱為函數的中心.【變式演練】1.已知定義在上的奇函數，滿足，當時，，若函數，在區(qū)間上有10個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2.已知函數是定義域為R的函數，，對任意，，均有，已知a，b為關于x的方程的兩個解，則關于t的不等式的解集為（

）A． B． C． D．3.已知函數圖像與函數圖像的交點為，，…，，則（

）A．20 B．15 C．10 D．5【題型三】“廣義偶函數”：豎直對稱軸【典例分析】已知函數在區(qū)間的值域為，則（）A．2 B．4 C．6 D．8【提分秘籍】基本規(guī)律函數對于定義域內任意實數滿足，則函數關于直線對稱，特別地當時，函數關于直線對稱；【變式演練】1.已知函數，下面是關于此函數的有關命題，其中正確的有①函數是周期函數；②函數既有最大值又有最小值；③函數的定義域為，且其圖象有對稱軸；④對于任意的，（是函數的導函數）A．②③ B．①③ C．②④ D．①②③2.定義域為R的函數滿足：①對任意，都有；②函數的圖象關于y軸對稱.若實數s，t滿足，則當時，的取值范圍為（

）A． B．C． D．3.已知函數，則使得不等式成立的t的取值范圍為（

）A． B．C． D．【題型四】奇偶性與周期性【典例分析】定義在上的奇函數滿足，當時，.若在區(qū)間上，存在個不同的整數，滿足，則的最小值為A．15 B．16 C．17 D．18【提分秘籍】基本規(guī)律若可知函數的周期，關于對稱中心與對稱軸構造周期的經驗結論1.若函數有兩個對稱中心（a，0）與（b，0）），則函數具有周期性，周期T=2|a-b|。2.若函數有兩條對稱軸x=a與x=b，則函數具有周期性，周期T=2|a-b|。3.若函數有一個對稱中心（a，0）與一條對稱軸x=b，，則函數具有周期性，周期T=4|a-b|?！咀兪窖菥殹?.黎曼函數是一個特殊的函數，由德國著名的數學家波恩哈德·黎曼發(fā)現提出，在高等數學中有著廣泛的應用，其定義為：，若函數是定義在R上的偶函數，且對任意x都有，當時，，則（

）A． B． C． D．2.已知函數對任意都有，若的圖象關于直線對稱，且對任意的，，當時，都有，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．3.若函數滿足對都有，且為R上的奇函數，當時，，則集合中的元素個數為（

）A．11 B．12 C．13 D．14【題型五】奇偶性與零點【典例分析】設函數為定義域為R的奇函數，且，當時，，則函數在區(qū)間上的所有零點的和為A．6 B．7 C．13 D．14【提分秘籍】基本規(guī)律利用函數性質，推導出中心對稱，軸對稱等等函數圖像特征性質,因而函數的零點也可以對稱性來研究計算?！咀兪窖菥殹?.定義在R上的函數滿足，且當時，.則函數的所有零點之和為（

）A．7 B．14 C．21 D．282.已知定義在上的奇函數恒有，當時，，已知，則函數在上的零點個數為（

）A．4個 B．5個 C．3個或4個 D．4個或5個3.設是定義在R上的偶函數，對任意，都有，且當時，．若在區(qū)間內關于x的方程恰有3個不同的實數根，則a的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【題型六】奇偶性與比大小【典例分析】已知定義在上的函數滿足函數的圖象關于直線對稱，且當成立（是函數的導數），若，則的大小關系是A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律1.對于抽象函數，可以借助中心對稱、軸對稱、周期等性質來“去除f（）外衣”比較大小。2.有解析式函數，可以通過函數性質或者求導等，尋找函數單調性對稱性，以用于比較大小【變式演練】1.已知函數滿足，且當時，成立，若，，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B．C． D．2.已知函數，若不相等的實數，，成等比數列，，，，則、、的大小關系為（

）A． B．C． D．3.已知函數的圖像關于直線對稱，且當，成立，若，，，則（

）A． B． C． D．【題型七】奇偶性與導數【典例分析】已知函數，若不等式對恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律解函數不等式：（1）把不等式轉化為的模型；（2）判斷的單調性，再根據函數的單調性將“”脫掉，得到具體的不等式組來求解，但注意奇偶函數的區(qū)別【變式演練】1.已知偶函數的定義域為R，導函數為，若對任意，都有恒成立，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．2.已知可導函數是定義在上的奇函數．當時，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．3.已知定義在R上的可導函數，對，都有，當時，若，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【題型八】奇偶性與求參【典例分析】定義在R上的偶函數滿足，且當時，若關于x的不等式的整數解有且僅有9個，則實數m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律利用奇偶性和單調性，解決恒成立或者存在型求參常見不等式恒成立轉最值問題：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；【變式演練】1.設是定義在上的偶函數，且，當時，，若在區(qū)間內關于的方程（且）有且只有5個不同的實數根，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．2.已知定義在上的奇函數在上是減函數，且對于任意的都有恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．3.已知偶函數的定義域為，對，，且當時，，若函數在上恰有6個零點，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【題型九】抽象函數與奇偶性【典例分析】已知函數的定義域為，值域為，函數具有下列性質：（1）若，則；（2）若，則.下列結論正確是（

）①函數可能是奇函數；②函數可能是周期函數；③存在，使得；④對任意，都有.A．①③④ B．②③④ C．②④ D．②③【提分秘籍】基本規(guī)律涉及到抽象型題，一般要用到奇偶性和對稱性，周期性，單調性，對學生的分析問題解決問題的能力、轉化與化歸能力要求較高，試題綜合度高，沒有固定的方法，較難【變式演練】1已知f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數，且f（﹣1）＝﹣1，當a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0時，（a+b）（f（a）+f（b））＞0成立，若f（x）＜m2﹣2tm+1對任意的t∈[﹣1，1]恒成立，則實數m的取值范圍是（

）A．（﹣∞，﹣2）∪{0}∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣2，2） D．（﹣2，0）∪（0，2）2.已知函數滿足，若函數與圖像的交點為，則____________.【題型十】中心對稱應用：倒序求和【典例分析】已知函數為定義域R上的奇函數，且在R上是單調遞增函數，函數，數列為等差數列，且公差不為0，若，則A．45 B．15 C．10 D．0【提分秘籍】基本規(guī)律倒序求和的數學思想是中心對稱?！咀兪窖菥殹?.已知函數，若，其中，則的最小值為A． B． C． D．2.設函數是的導數，經過探究發(fā)現，任意一個三次函數的圖象都有對稱中心，其中滿足，已知函數，則（）A．2021 B． C．2022 D．3.已知函數滿足，與函數圖象的交點為，則=A．0 B． C． D．二1．已知函數是偶函數，當時，，則該函數在上的圖像大致是A． B．C． D．2．已知函數的定義域是，若對于任意兩個不相等的實數，，總有成立，則函數一定是（

）A．奇函數 B．偶函數 C．增函數 D．減函數4．函數的圖像大致為（

）A． B．C． D．5．已知函數的定義域為，為偶函數，為奇函數，則（

）A． B． C． D．6．設函數的定義域為R，為奇函數，為偶函數，當時，．若，則（

）A． B． C． D．7．設是定義域為R的奇函數，且.若，則（

）A． B． C． D．8．已知定義在上的奇函數滿足，且在區(qū)間上是增函數，則A． B．C． D．9．定義在R上的函數既是奇函數，又是周期函數，是它的一個正周期.若將方程在閉區(qū)間上的根的個數記為，則可能為A．0 B．1 C．3 D．510．若定義在的奇函數f(x)在單調遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．11．設函數，則f(x)（

）A．是偶函數，且在單調遞增 B．是奇函數，且在單調遞減C．是偶函數，且在單調遞增 D．是奇函數，且在單調遞減12．已知函數是定義在R上的偶函數,且在區(qū)間單調遞增.若實數a滿足,則a的取值范圍是A． B． C． D．13．若定義在上的函數滿足：對任意有則下列說法一定正確的是A．為奇函數 B．為偶函數 C．為奇函數 D．為偶函數三1.已知正方形的四個頂點都在函數圖象上，且函數圖象上的點都滿足，則這樣的正方形最多有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2.已知是定義域為R的偶函數，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1).若g(x＋1)是偶函數，則＝(

)A．－3 B．－2 C．2 D．33.已知函數，其中，則（

）A．在上單調遞增 B．在上單調遞減C．曲線是軸對稱圖形 D．曲線是中心對稱圖形4.已知是定義在上的奇函數，且當時，都有不等式成立，若，，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B．C． D．5.函數的大致圖象為（

）A．B．C． D．6.已知函數是定義在上的偶函數，且為奇函數.若，則曲線在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．7.偶函數滿足，當時，，不等式在上有且只有200個整數解，則實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．8.設函數是函數的導函數，已知，且，，，則使得成立的的取值范圍是（

）A． B． C． D．9.已知函數f(x)滿足：對任意x∈R，f(﹣x)=﹣f(x)，f(2﹣x)=f(2+x)，且在區(qū)間[0，2]上，f(x)=+cosx﹣1，m=f()，n=f(7)，t=f(10)，則（

）A．m<n<t B．n<m<t C．m<t<n D．n<t<m10.已知函數