函數(shù)性質(zhì)2：“廣義”奇偶性【 考點(diǎn)深挖 多種考法 】 高考數(shù)學(xué)一輪高效備考 精講精練（全國通用）

專題2-2函數(shù)性質(zhì)2：“廣義”奇偶性目錄TOC\o"1-3"\h\u一、熱點(diǎn)題型歸納 1【題型一】奇偶函數(shù)性質(zhì) 1【題型二】“廣義奇函數(shù)”：點(diǎn)（a，b）中心對(duì)稱 3【題型三】“廣義偶函數(shù)”：豎直對(duì)稱軸 4【題型四】奇偶性與周期性 4【題型五】奇偶性與零點(diǎn) 6【題型六】奇偶性與比大小 6【題型七】奇偶性與導(dǎo)數(shù) 7【題型八】奇偶性與求參 8【題型九】抽象函數(shù)與奇偶性 9【題型十】中心對(duì)稱應(yīng)用：倒序求和 10二、真題再現(xiàn) 11三、模擬檢測(cè) 13【題型一】奇偶函數(shù)性質(zhì)【典例分析】已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為A．或 B．1或 C．或2 D．或1【提分秘籍】基本規(guī)律奇偶性(1)奇偶函數(shù)的性質(zhì)①偶函數(shù)?f(－x)＝f(x)?關(guān)于y軸對(duì)稱?對(duì)稱區(qū)間的單調(diào)性相反；②奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x)?關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱?對(duì)稱區(qū)間的單調(diào)性相同；③奇函數(shù)在x＝0處有意義時(shí)，必有結(jié)論f(0)＝0；(2)奇偶性的判定①“奇±奇”是奇，“偶±偶”是偶，“奇×/÷奇”是偶，“偶×/÷偶”是偶，“奇×/÷偶”是奇；②奇(偶)函數(shù)倒數(shù)或相反數(shù)運(yùn)算，奇偶性不變； ③奇(偶)函數(shù)的絕對(duì)值運(yùn)算，函數(shù)的奇偶性均為偶函數(shù)．(2)常見奇函數(shù)①f(x)＝eq\f(ax－1,ax＋1) ②f(x)＝logaeq\f(x－b,x＋b) ③f(x)＝g(x)－g(－x) ④f(x)＝loga(eq\r(,x2＋1)＋x)f(x)＝sinx，f(x)＝tanx等等；【變式演練】1.若函數(shù)對(duì)任意的，總有恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．2.設(shè)函數(shù)，若，滿足不等式，則當(dāng)時(shí)，的最大值為A． B． C． D．3.已知函數(shù)，則在同一個(gè)坐標(biāo)系下函數(shù)與的圖像不可能是（

）A．B．C． D．【題型二】“廣義奇函數(shù)”：點(diǎn)（a，b）中心對(duì)稱【典例分析】定義在上的函數(shù)若滿足：①對(duì)任意、，都有；②對(duì)任意，都有，則稱函數(shù)為“中心捺函數(shù)”，其中點(diǎn)稱為函數(shù)的中心.已知函數(shù)是以為中心的“中心捺函數(shù)”，若滿足不等式，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律對(duì)任意，都有，則稱函數(shù)為“中心捺函數(shù)”，其中點(diǎn)稱為函數(shù)的中心.【變式演練】1.已知定義在上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)，在區(qū)間上有10個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2.已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，，對(duì)任意，，均有，已知a，b為關(guān)于x的方程的兩個(gè)解，則關(guān)于t的不等式的解集為（

）A． B． C． D．3.已知函數(shù)圖像與函數(shù)圖像的交點(diǎn)為，，…，，則（

）A．20 B．15 C．10 D．5【題型三】“廣義偶函數(shù)”：豎直對(duì)稱軸【典例分析】已知函數(shù)在區(qū)間的值域?yàn)椋瑒t（）A．2 B．4 C．6 D．8【提分秘籍】基本規(guī)律函數(shù)對(duì)于定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)滿足，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，特別地當(dāng)時(shí)，函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱；【變式演練】1.已知函數(shù)，下面是關(guān)于此函數(shù)的有關(guān)命題，其中正確的有①函數(shù)是周期函數(shù)；②函數(shù)既有最大值又有最小值；③函數(shù)的定義域?yàn)椋移鋱D象有對(duì)稱軸；④對(duì)于任意的，（是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）A．②③ B．①③ C．②④ D．①②③2.定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足：①對(duì)任意，都有；②函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.若實(shí)數(shù)s，t滿足，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍為（

）A． B．C． D．3.已知函數(shù)，則使得不等式成立的t的取值范圍為（

）A． B．C． D．【題型四】奇偶性與周期性【典例分析】定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，.若在區(qū)間上，存在個(gè)不同的整數(shù)，滿足，則的最小值為A．15 B．16 C．17 D．18【提分秘籍】基本規(guī)律若可知函數(shù)的周期，關(guān)于對(duì)稱中心與對(duì)稱軸構(gòu)造周期的經(jīng)驗(yàn)結(jié)論1.若函數(shù)有兩個(gè)對(duì)稱中心（a，0）與（b，0）），則函數(shù)具有周期性，周期T=2|a-b|。2.若函數(shù)有兩條對(duì)稱軸x=a與x=b，則函數(shù)具有周期性，周期T=2|a-b|。3.若函數(shù)有一個(gè)對(duì)稱中心（a，0）與一條對(duì)稱軸x=b，，則函數(shù)具有周期性，周期T=4|a-b|?！咀兪窖菥殹?.黎曼函數(shù)是一個(gè)特殊的函數(shù)，由德國著名的數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼發(fā)現(xiàn)提出，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，其定義為：，若函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意x都有，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．2.已知函數(shù)對(duì)任意都有，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且對(duì)任意的，，當(dāng)時(shí)，都有，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．3.若函數(shù)滿足對(duì)都有，且為R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則集合中的元素個(gè)數(shù)為（

）A．11 B．12 C．13 D．14【題型五】奇偶性與零點(diǎn)【典例分析】設(shè)函數(shù)為定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)的和為A．6 B．7 C．13 D．14【提分秘籍】基本規(guī)律利用函數(shù)性質(zhì)，推導(dǎo)出中心對(duì)稱，軸對(duì)稱等等函數(shù)圖像特征性質(zhì),因而函數(shù)的零點(diǎn)也可以對(duì)稱性來研究計(jì)算?！咀兪窖菥殹?.定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，.則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（

）A．7 B．14 C．21 D．282.已知定義在上的奇函數(shù)恒有，當(dāng)時(shí)，，已知，則函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．4個(gè) B．5個(gè) C．3個(gè)或4個(gè) D．4個(gè)或5個(gè)3.設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意，都有，且當(dāng)時(shí)，．若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于x的方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【題型六】奇偶性與比大小【典例分析】已知定義在上的函數(shù)滿足函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且當(dāng)成立（是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)），若，則的大小關(guān)系是A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律1.對(duì)于抽象函數(shù)，可以借助中心對(duì)稱、軸對(duì)稱、周期等性質(zhì)來“去除f（）外衣”比較大小。2.有解析式函數(shù)，可以通過函數(shù)性質(zhì)或者求導(dǎo)等，尋找函數(shù)單調(diào)性對(duì)稱性，以用于比較大小【變式演練】1.已知函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，成立，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．2.已知函數(shù)，若不相等的實(shí)數(shù)，，成等比數(shù)列，，，，則、、的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．3.已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，且當(dāng)，成立，若，，，則（

）A． B． C． D．【題型七】奇偶性與導(dǎo)數(shù)【典例分析】已知函數(shù)，若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律解函數(shù)不等式：（1）把不等式轉(zhuǎn)化為的模型；（2）判斷的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將“”脫掉，得到具體的不等式組來求解，但注意奇偶函數(shù)的區(qū)別【變式演練】1.已知偶函數(shù)的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意，都有恒成立，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．2.已知可導(dǎo)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．3.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，對(duì)，都有，當(dāng)時(shí)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【題型八】奇偶性與求參【典例分析】定義在R上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，若關(guān)于x的不等式的整數(shù)解有且僅有9個(gè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律利用奇偶性和單調(diào)性，解決恒成立或者存在型求參常見不等式恒成立轉(zhuǎn)最值問題：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；【變式演練】1.設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程（且）有且只有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2.已知定義在上的奇函數(shù)在上是減函數(shù)，且對(duì)于任意的都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3.已知偶函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)，，且當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在上恰有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【題型九】抽象函數(shù)與奇偶性【典例分析】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，函?shù)具有下列性質(zhì)：（1）若，則；（2）若，則.下列結(jié)論正確是（

）①函數(shù)可能是奇函數(shù)；②函數(shù)可能是周期函數(shù)；③存在，使得；④對(duì)任意，都有.A．①③④ B．②③④ C．②④ D．②③【提分秘籍】基本規(guī)律涉及到抽象型題，一般要用到奇偶性和對(duì)稱性，周期性，單調(diào)性，對(duì)學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力要求較高，試題綜合度高，沒有固定的方法，較難【變式演練】1已知f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數(shù)，且f（﹣1）＝﹣1，當(dāng)a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0時(shí)，（a+b）（f（a）+f（b））＞0成立，若f（x）＜m2﹣2tm+1對(duì)任意的t∈[﹣1，1]恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A．（﹣∞，﹣2）∪{0}∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣2，2） D．（﹣2，0）∪（0，2）2.已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖像的交點(diǎn)為，則____________.【題型十】中心對(duì)稱應(yīng)用：倒序求和【典例分析】已知函數(shù)為定義域R上的奇函數(shù)，且在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)，數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，若，則A．45 B．15 C．10 D．0【提分秘籍】基本規(guī)律倒序求和的數(shù)學(xué)思想是中心對(duì)稱。【變式演練】1.已知函數(shù)，若，其中，則的最小值為A． B． C． D．2.設(shè)函數(shù)是的導(dǎo)數(shù)，經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，任意一個(gè)三次函數(shù)的圖象都有對(duì)稱中心，其中滿足，已知函數(shù)，則（）A．2021 B． C．2022 D．3.已知函數(shù)滿足，與函數(shù)圖象的交點(diǎn)為，則=A．0 B． C． D．二1．已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則該函數(shù)在上的圖像大致是A． B．C． D．2．已知函數(shù)的定義域是，若對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，總有成立，則函數(shù)一定是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．增函數(shù) D．減函數(shù)4．函數(shù)的圖像大致為（

）A． B．C． D．5．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為偶函?shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．6．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則（

）A． B． C． D．7．設(shè)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且.若，則（

）A． B． C． D．8．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是增函數(shù)，則A． B．C． D．9．定義在R上的函數(shù)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，是它的一個(gè)正周期.若將方程在閉區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)記為，則可能為A．0 B．1 C．3 D．510．若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．11．設(shè)函數(shù)，則f(x)（

）A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減12．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)a滿足,則a的取值范圍是A． B． C． D．13．若定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意有則下列說法一定正確的是A．為奇函數(shù) B．為偶函數(shù) C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)三1.已知正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)圖象上，且函數(shù)圖象上的點(diǎn)都滿足，則這樣的正方形最多有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2.已知是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1).若g(x＋1)是偶函數(shù)，則＝(

)A．－3 B．－2 C．2 D．33.已知函數(shù)，其中，則（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．曲線是軸對(duì)稱圖形 D．曲線是中心對(duì)稱圖形4.已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，都有不等式成立，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．5.函數(shù)的大致圖象為（

）A．B．C． D．6.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且為奇函數(shù).若，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．7.偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，不等式在上有且只有200個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．8.設(shè)函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，已知，且，，，則使得成立的的取值范圍是（

）A． B． C． D．9.已知函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意x∈R，f(﹣x)=﹣f(x)，f(2﹣x)=f(2+x)，且在區(qū)間[0，2]上，f(x)=+cosx﹣1，m=f()，n=f(7)，t=f(10)，則（

）A．m<n<t B．n<m<t C．m<t<n D．n<t<m10.已知函數(shù)