小學(xué)奧數(shù)之容斥原理(雜項(xiàng))

建工容斥原理（一）【例題析】例.有長(zhǎng)厘米寬厘米的長(zhǎng)方形與邊長(zhǎng)厘米的正方形如圖放在桌面上求這兩個(gè)圖形蓋住桌面的面積？分析與：影部分是直角三角形，是兩個(gè)圖形的重疊部分，它的面積是：（平方厘米）方法一方法二方法三

（平方厘米）（平方厘米）（平方厘米）答：蓋住桌面的面積是平方厘米。例.六一班參加無線電小組和航模小組的共人其中參加無線電小組的有人參加航模小組的有人，兩組都參加的有多少人？分析與：人和人相加，是把兩組都參加的人算了兩次，所以減去總?cè)藬?shù)，就是兩組都參加的人數(shù)（人）。也可以這樣解：或（人）答：兩組都參加的有人。

（人）1/7

建工例.六一班有學(xué)生人其中會(huì)騎自行車的有人會(huì)游泳的有人既會(huì)騎車又會(huì)游泳的有人，既不會(huì)騎自行車又不會(huì)游泳的有多少人？分析與：求出人中會(huì)騎車或會(huì)游泳的有多少人，從中減去會(huì)騎車或會(huì)游泳的人數(shù)，剩下的就是既不會(huì)騎車也不會(huì)游泳的人數(shù)。（人）（人）答：既不會(huì)騎車又不會(huì)游泳的有人。例.某年級(jí)的課外小組分為美術(shù)、音樂、手工三個(gè)小組，參加美術(shù)小組有人，參加音樂小組有人參加手工小組有人同時(shí)參加美術(shù)和音樂兩個(gè)小組有人同時(shí)參加音樂和手工兩個(gè)小組有人同時(shí)參加美術(shù)和手工兩個(gè)小組的有人三個(gè)小組都參加的有人，這個(gè)年級(jí)參加課外小組的同學(xué)共有多少人？分析與：圖中的都是兩兩重疊的部分圖中的人是三個(gè)重疊的部分，要從三個(gè)組的總?cè)藬?shù)中減去重復(fù)多余的部分。（人）答：這個(gè)年級(jí)參加課外小組的有人。例.某班在短跑投擲和跳遠(yuǎn)三項(xiàng)檢測(cè)中有人三項(xiàng)都未達(dá)到優(yōu)秀其他人至少有一項(xiàng)是優(yōu)秀，下表是得優(yōu)秀的情況，請(qǐng)你算出全班人數(shù)。短跑

投擲

跳遠(yuǎn)

跑跳

跑投

跳投

三項(xiàng)2/7

建工分析與：據(jù)題意畫出如下圖要求全班有多少人，先要求出跑、跳、投至少有一項(xiàng)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，加上三項(xiàng)都未達(dá)到優(yōu)秀的，就是全班人數(shù)。（人）（人）答：全班有人。例.分母是的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？分析與：些分?jǐn)?shù)是最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)，所以分子應(yīng)小于，只能是—中的自然數(shù)而且分子與要互質(zhì)因?yàn)樗苑帜覆荒苁堑谋稊?shù)或的倍數(shù)或的倍數(shù)所以要求有多少個(gè)最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)實(shí)際上就是求—這個(gè)自然數(shù)中不能被整除的數(shù)有多少個(gè)因此要先求出能被整除或能被整除或能被整除的數(shù)有多少個(gè)。能被整除的數(shù)：能被整除的數(shù)：能被整除的數(shù)：能同時(shí)被和整除的數(shù)：能同時(shí)被和整除的數(shù)：能同時(shí)被和整除的數(shù)：

（個(gè)）（個(gè)）（個(gè)）（個(gè)）3/7

建工（個(gè)）答：分母是的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有個(gè)?！灸M題】（答題時(shí)間：分鐘）.有三個(gè)面積各為平方厘米的圓放在桌面上兩兩相交的面積分別是平方厘米，三個(gè)圓相交的面積是平方厘米，求三個(gè)圓蓋住桌面的面積？.某區(qū)有名外語教師懂英語或日語其中懂英語的有名既懂英語又懂日語的有人。只懂日語的有多少名？.某班數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)時(shí)有人得優(yōu)英語得優(yōu)有人兩門都得優(yōu)有人兩門都沒得優(yōu)的有人。全班有多少人？.六年級(jí)一班春游礦泉水的有人水果的有人這兩種至少帶一種的有人，求兩種都帶的有多少人？.在至的自然數(shù)中，不能被整除的數(shù)或不能被整除或不能被整除的數(shù)共有多少個(gè)？容斥原理（二）【例題析】例.有人參加跳遠(yuǎn)達(dá)標(biāo)賽每人跳三次每人至少有一次達(dá)到優(yōu)秀第一次達(dá)到優(yōu)秀的有人第二次達(dá)到優(yōu)秀的有人第三次達(dá)到優(yōu)秀的有人三次都達(dá)到優(yōu)秀的只有人。只有兩次達(dá)到優(yōu)秀的有多少人？分析與解每人至少有一次達(dá)到優(yōu)秀”說明沒有三次都沒達(dá)到優(yōu)秀的。要求只有兩次達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，就是求重疊兩層的部分（圖中陰影部分）。（人）4/7

建工答：只有兩次達(dá)到優(yōu)秀的有人。例.在一個(gè)炎熱的夏日幾個(gè)小朋友去冷飲店每人至少要了一樣冷飲其中有人要了冰棍，人要了汽水，人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有人，只要冰棍和雪碧的沒有，只要汽水和雪碧的有人。三樣都要的有人。問：共有幾個(gè)小朋友去了冷飲店？分析與解：根據(jù)題意畫圖。方法一：

（人）方法二：答：共有個(gè)小朋友去了冷飲店。

（人）例.有人參加田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，每人至少參加兩項(xiàng)比賽。已知有人沒參加跑的項(xiàng)目，參加投擲項(xiàng)目的人數(shù)與參加跑和跳兩項(xiàng)的人數(shù)都是人問只參加跑和投擲兩項(xiàng)的有多少人？分析與解：“每人至少參加兩項(xiàng)比賽”說明沒有不參加的，也沒有參加一項(xiàng)比賽的，我們可以在下圖中參加一項(xiàng)的區(qū)域用表示。（人）答：只參加跑和投擲兩項(xiàng)的有人。5/7

建工例.某校六年級(jí)二班有人參加了數(shù)學(xué)英語語文學(xué)習(xí)小組其中數(shù)學(xué)有人參加，英語有人參加語文小組有人老師告訴同學(xué)既參加數(shù)學(xué)小組又參加語文小組的有人既參加數(shù)學(xué)又參加英語和既參加英語又參加語文的人數(shù)均為質(zhì)數(shù)而三種全參加的只有人，求既參加英語又參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)。分析與解：根據(jù)已知條件畫出圖。三圓蓋住的總體為人，假設(shè)既參加數(shù)學(xué)又參加英語的有人，既參加語文又參加英語的有人，可以列出這樣的方程：整理后得：由于、均為質(zhì)數(shù)，因而這兩個(gè)質(zhì)數(shù)中必有一個(gè)偶質(zhì)數(shù)，另一個(gè)質(zhì)數(shù)為。答：既參加英語又參加數(shù)學(xué)小組的為人或人。例.某班同學(xué)參加升學(xué)考試，得滿分的人數(shù)如下：數(shù)學(xué)人，語文人，英語人，數(shù)學(xué)、英語兩科滿分者人，數(shù)學(xué)、語文兩科滿分者人，語文、英語兩科滿分者人，三科都沒得滿分者人。問這個(gè)班最多多少人？最少多少人？分析與解：根據(jù)題意畫圖。設(shè)三科都得滿分者為全班人數(shù)6/7

建工整理后：全班人數(shù)＝＋表示全班人數(shù)，當(dāng)取最大值時(shí)，全班人數(shù)就最多，當(dāng)取最小值時(shí)，全班人數(shù)就最少。是數(shù)學(xué)、語文、英語三科都得滿分的同學(xué)，因而中的人數(shù)一定不超過兩科得滿分的人數(shù)，即且最小可能是，即沒有三科都得滿分的。當(dāng)取最大值時(shí)全班有人。答：這個(gè)班最多有人，最少有人。

，由此我們得到。另一方面人當(dāng)取最小值時(shí)全班有【模擬試題】答題時(shí)間：分鐘）.六年級(jí)共有人，兩種刊物每人至少訂其中一種，有的人訂《少年報(bào)》，有的人訂《數(shù)學(xué)報(bào)》，兩種刊物都訂的有多少人？.小明和小龍兩家合住一套房子門廳廚房和廁所為公用登記住房面積時(shí)，兩家登記表如下表（單位：平方米）姓名

居室

門廳

廚房

廁所

總面積小明小龍他們住的一套房子共有多少平方米？.某班名同學(xué)參加體育測(cè)試，其中百米得優(yōu)者人，跳遠(yuǎn)得優(yōu)者人，又知百米、跳遠(yuǎn)都得優(yōu)者人，跳高、百米得優(yōu)者人，跳高、跳遠(yuǎn)均得優(yōu)者人，跳高得優(yōu)者人，全班