高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題一集合常用邏輯用語(yǔ)不等式函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第四講不等式教案理

第四講不等式年份卷別考察角度及命題地點(diǎn)2018Ⅰ卷線性規(guī)劃求最值·T13Ⅱ卷線性規(guī)劃求最值·T14Ⅰ卷線性規(guī)劃求最值·T142017Ⅱ卷線性規(guī)劃求最值·T5Ⅲ卷線性規(guī)劃求最值·T13一元二次不等式的解法、會(huì)合的交集運(yùn)算·TⅠ卷不等式比較大小、函數(shù)的單一性·T8線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)應(yīng)用·T162016Ⅱ卷一元二次不等式的解法、會(huì)合的并集運(yùn)算·T

命題剖析選擇、填空題中的考察以簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃與不等式性質(zhì)為主，要點(diǎn)求目標(biāo)函數(shù)的最值，有時(shí)也與其余知識(shí)交匯考察．1基本不等式求最值及應(yīng)用在課標(biāo)卷考試中是低頻點(diǎn)，極少考察．2不等式的解法多與集一元二次不等式的解法、會(huì)合的交集運(yùn)算·T1合、函數(shù)、分析幾何、導(dǎo)Ⅲ卷不等式比較大小、函數(shù)的單一性·T6數(shù)交匯考察.線性規(guī)劃求最值·T13不等式性質(zhì)及解法講課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第9頁(yè)[悟通——方法結(jié)論]1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，＝b2－4ac>0)，假如a與ax2＋bx＋c同號(hào)，則其解集在兩根以外；假如a與2＋＋c異號(hào)，則其解集在兩根之間．簡(jiǎn)言之：axbx同號(hào)兩根以外，異號(hào)兩根之間．2．解簡(jiǎn)單的分式、指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式的基本思想是利用有關(guān)知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)檎讲坏仁?一般為一元二次不等式)求解．3．解含參數(shù)不等式要正確分類(lèi)議論．[全練——迅速解答]1．(2018·深圳一模)已知a>b>0，c<0，以下不等關(guān)系中正確的選項(xiàng)是( )A．a(chǎn)c>bcB．a(chǎn)c>bc1C．loga(a－c)>logb(b－c)D.ab－>－acbc分析：法一：(性質(zhì)推理法)A項(xiàng)，因?yàn)?gt;，<0，由不等式的性質(zhì)可知<，故A不abcacbc正確；－c－c11B項(xiàng)，因?yàn)閏<0，因此－c>0，又a>b>0，由不等式的性質(zhì)可得a>b>0，即ac>bc>0，再由反比率函數(shù)的性質(zhì)可得ac<bc，故B不正確；111a＝b3C項(xiàng)，若a＝2，b＝4，c＝－2，則log(a－c)1＝0，log(b－c)＝4>1＝0，即log(－)<log(－)，故C不正確；ababab－c－ba－cD項(xiàng)，a－c－b－c＝a－cb－cb－aa－cb－c，因?yàn)閍>b>0，c<0，因此a－c>b－c>0，b－a<0，因此cb－aa－b>0，a－c>0，即a－c－cb－cb因此a>b，故D正確．a(chǎn)－cb－c綜上，選D.法二：(特值考證法)由題意，不如取a＝4，b＝2，c＝－2.則A項(xiàng)，ac＝－8，bc＝－4，因此ac<bc，清除A；B項(xiàng)，c＝－21，c－21c<c，清除B；a4＝b＝2＝，因此a164bC項(xiàng)，log(a－)＝log4(4＋2)＝log46，log(－)＝log2(2＋2)＝2，明顯log46<2，acbbc即loga(a－c)<logb(b－c)，清除C.綜上，選D.答案：D2．(2018·湖南四校聯(lián)考21<－1或>2，則m2m－n＝( )15A.2B．－25C.2D．－11211n分析：由題意得，x＝－和x＝2是方程mx＋nx－＝0的兩根，因此－＋2＝－且－2m2m21135×2＝－2(m<0)，解得m＝－1，n＝，因此m－n＝－.2m22答案：B3．不等式4≤－2的解集是()x－2xA．(－∞，0]∪(2,4]B．[0,2)∪[4，＋∞)C．[2,4)D．(－∞，2]∪(4，＋∞)分析：①當(dāng)x－2>0，即x>2時(shí)，不等式可化為(x－2)2≥4，因此x≥4；②當(dāng)x－2<0，即x<2時(shí)，不等式可化為(x－2)2≤4，因此0≤x<2.綜上，不等式的解集是[0,2)∪[4，＋∞)．答案：B4．已知x∈(－∞，1]，不等式x2x1＋2＋(a－a)·4>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.－2，1B.－∞，14413D.(－∞，6]C.－2，2分析：依據(jù)題意，因?yàn)閤2x對(duì)于全部的x∈(－∞，1]x1＋2＋(a－a)·4>0恒成立，令22221＋t1＋t＝t(0<t≤2)，則可知1＋t＋(a－a)t>0?a－a>－t2，故只需求解h(t)＝－t2(0<t≤2)的最大值即可，h(t)＝－111＋12111，聯(lián)合二次函數(shù)圖象知，當(dāng)11t2－＝－t2＋，又t≥t＝，即t422323213t＝2時(shí)，h(x)獲得最大值－4，即a－a>－4，因此4a－4a－3<0，解得－2<a<2，故實(shí)數(shù)a13的取值范圍為－2，2.答案：C5．設(shè)函數(shù)f(x)＝lgx＋1，x≥0，則使得f(x)≤1成立的x的取值范圍是－x3，x<0，________．x≥0，得0≤x<0，得－1≤x<0，故使得f(x)≤1成立分析：由lgx＋1≤1≤9，由x－x3≤1的x的取值范圍是[－1,9]．答案：[－1,9]1．明確解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化為一般形式ax2＋bx＋>0(>0)，再聯(lián)合相應(yīng)二次方程的根及ca3二次函數(shù)圖象確立一元二次不等式的解集．含指數(shù)、對(duì)數(shù)的不等式：利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單一性將其轉(zhuǎn)變?yōu)檎讲坏仁角蠼猓?．掌握不等式恒成立問(wèn)題的解題方法f(x)>a對(duì)全部x∈I恒成立?f(x)min>a；f(x)<a對(duì)全部x∈I恒成立?f(x)max<a.f(x)>g(x)對(duì)全部x∈I恒成立?f(x)的圖象在g(x)的圖象的上方．解決恒成立問(wèn)題還能夠利用分別參數(shù)法，必定要搞清誰(shuí)是自變量，誰(shuí)是參數(shù)．一般地，知道誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是變量，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù)．利用分別參數(shù)法時(shí)，常用到函數(shù)單一性、基本不等式等．基本不等式講課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第10頁(yè)[悟通——方法結(jié)論]求最值時(shí)要注意三點(diǎn)：“一正”“二定”“三相等”．所謂“一正”指正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用定理求最值時(shí)，和或積為定值，“三相等”是指等號(hào)成立．[全練——迅速解答]1．(2018·長(zhǎng)春模擬)已知x>0，y>0，且4x＋y＝xy，則x＋y的最小值為()A．8B．9C．12D．1641＝1，則x＋y＝(x＋y)·4＋1＝4xy＋1＋4≥24＋5＝9，分析：由4x＋y＝xy得＋yxy＋yxx4xy，即x＝3，y＝6時(shí)取“＝”，應(yīng)選B.當(dāng)且僅當(dāng)y＝x答案：B2．(2017·高考天津卷)若a，∈R，>0，則a4＋4b4＋1的最小值為_(kāi)_______．babab4＋44＋12444＋1422＋111＝4ab＋ab≥24ab·ab＝4，分析：因?yàn)閍b>0，因此ab≥ab＝aba2＝2b2，當(dāng)且僅當(dāng)1時(shí)取等號(hào)，ab＝24故a4＋4b4＋1的最小值是4.ab答案：43．(2017·高考江蘇卷)某企業(yè)一年購(gòu)置某種貨物600噸，每次購(gòu)置x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的總儲(chǔ)存花費(fèi)為4x萬(wàn)元．要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總儲(chǔ)存花費(fèi)之和最小，則x的值是________．600600900分析：由題意，一年購(gòu)置x次，則總運(yùn)費(fèi)與總儲(chǔ)存花費(fèi)之和為x×6＋4x＝4x＋x900≥8x·x＝240，當(dāng)且僅當(dāng)x＝30時(shí)取等號(hào)，故總運(yùn)費(fèi)與總儲(chǔ)存花費(fèi)之和最小時(shí)x的值是30.答案：30掌握基本不等式求最值的3種解題技巧湊項(xiàng)：經(jīng)過(guò)調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積或和為定值．湊系數(shù)：若沒(méi)法直接運(yùn)用基本不等式求解，經(jīng)過(guò)湊系數(shù)后可獲取和或積為定值，進(jìn)而可利用基本不等式求最值．換元：分式函數(shù)求最值，往常直接將分子配湊后將式子分開(kāi)或?qū)⒎帜笓Q元后將式子A分開(kāi)，即化為y＝m＋gx＋Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，而后運(yùn)用基本不等式來(lái)求最值．簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題講課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第10頁(yè)[悟通——方法結(jié)論]平面地區(qū)確實(shí)定方法解決線性規(guī)劃問(wèn)題第一要找到可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義，數(shù)形聯(lián)合找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時(shí)可行域的極點(diǎn)(或界限上的點(diǎn))，但要注意作圖必定要正確，整點(diǎn)問(wèn)題5要考證解決．[全練——迅速解答]1．(2017·高考全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)x，y知足拘束條件3x＋2－6≤0，yx≥0，則z＝x－y的取值范圍是( )y≥0，A．[－3,0]B．[－3,2]C．[0,2]D．[0,3]分析：作出不等式組表示的可行域如圖中暗影部分所示，作出直線l0：y＝x，平移直線l0，當(dāng)直線z＝x－y過(guò)點(diǎn)A(2,0)時(shí)，z獲得最大值2，當(dāng)直線z＝x－y過(guò)點(diǎn)B(0,3)時(shí)，z獲得最小值－3，因此z＝x－y的取值范圍是[－3,2]．答案：Be1與e2的起點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O，它們的夾角為π2．已知平面上的單位向量3.平面地區(qū)λ＋μ≤1，→12P構(gòu)成，此中0≤λ，那么平面地區(qū)D的面積為D由全部知足OP＝λe＋μe的點(diǎn)0≤μ，()1A.2B.333C.D.24分析：成立如下圖的平面直角坐標(biāo)系，不如令單位向量e1＝(1,0)213→→12，，e＝2，2，設(shè)向量OP＝(x，y)，因?yàn)镺P＝λe＋μeμ3x＝λ＋，λ＝x－23，因此即因?yàn)?μ23yy＝，μ＝，23λ＋μ≤1，3x＋y≤3，λ≥0，因此3x－y≥0，表示的平面地區(qū)D如圖中暗影部分所示，所μ≥0，y≥03以平面地區(qū)D的面積為4，應(yīng)選D.6答案：D3．(2018·福州模擬)某工廠制作仿古的桌子和椅子，需要木匠和漆工兩道工序．已知生產(chǎn)一把椅子需要木匠4個(gè)工作時(shí)，漆工2個(gè)工作時(shí)；生產(chǎn)一張桌子需要木匠8個(gè)工作時(shí)，漆工1個(gè)工作時(shí)．生產(chǎn)一把椅子的收益為1500元，生產(chǎn)一張桌子的收益為2000元．該廠每個(gè)月木匠最多達(dá)成8000個(gè)工作時(shí)、漆工最多達(dá)成1300個(gè)工作時(shí)．依據(jù)以上條件，該廠安排生產(chǎn)每個(gè)月所能獲取的最大收益是________元．分析：設(shè)該廠每個(gè)月生產(chǎn)x把椅子，y張桌子，收益為z元，則得拘束條件4x＋8y≤8000，2x＋y≤1300，z＝1500x＋2000y.x，y∈N，x＋2y≤2000，2x＋y≤1300，畫(huà)出不等式組表示的可行域如圖中暗影部分所示，畫(huà)出直線x≥0，y≥03＋4＝0，平移該直線，可知當(dāng)該直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)Pzx＋2y＝2000，時(shí)，獲得最大值．由xy2x＋y＝1300，x＝200，500×200＋2000×900＝2100000.故每個(gè)月得即P(200,900)，因此zmax＝1y＝900，所獲取的最大收益為2100000元．答案：2100000解決線性規(guī)劃問(wèn)題的3步驟7[練通——即學(xué)即用]x＋2y≥0，．·湘東五校聯(lián)考)已知實(shí)數(shù)x，知足x－y≤0，且z＝＋y的最大值為1(2018yx0≤y≤k，6，則(x＋5)2＋y2的最小值為()A．5B．3C.5D.3x＋2y≥0，分析：作出不等式組x－y≤0，0≤y≤k表示的平面地區(qū)如圖中暗影部分所示，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，平移直線y＝－x，由圖形可知當(dāng)直線y＝－x＋z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線y＝－＋z的縱截距最大，此時(shí)z最大，最大值為6，即x＋＝6.由x＋y＝6，xyx－y＝0，得A(3,3)，∵直線y＝k過(guò)點(diǎn)A，∴k＝3.(x＋5)2＋y2的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與D(－5,0)的距離的平方，數(shù)形聯(lián)合可知，(－5,0)到直線x＋2y＝0的距離最小，可得(x＋5)2＋y2的最小值為|－5＋2×0|2應(yīng)選A.22＝5.1＋2答案：Ax－y≥0，2．已知變量x，y知足拘束條件x＋y≥0，記z＝4x＋y的最大值是a，則a＝2x＋y≤1，________.分析：如下圖，變量x，y知足的拘束條件的可行域如圖中陰影部分所示．作出直線4x＋y＝0，平移直線，知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，8z2x＋y＝1，x＝1，(1，－1)，此時(shí)z＝4×1－1＝3，獲得最大值，由解得因此x＋y＝0，y＝－1，A故＝3.a答案：3x－2－2≤0，y．(2018·高考全國(guó)卷Ⅰ)若x、y知足拘束條件x－y＋1≥0，則z＝3x＋2y的3y≤0，最大值為_(kāi)_______．分析：作出知足拘束條件的可行域如圖暗影部分所示．z由z＝3x＋2y得y＝－x＋.2作直線l：y＝－2x.平移直線l，當(dāng)直線y＝－2x＋2過(guò)點(diǎn)(2,0)時(shí)，z取最大值，zmax0303z＝3×2＋2×0＝6.答案：6講課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第118頁(yè)一、選擇題1．已知互不相等的正數(shù)a，b，c知足a2＋c2＝2bc，則以下等式中可能成立的是( )A．a(chǎn)>b>cB．b>a>cC．b>c>aD．c>a>b2222A，D；分析：若a>b>0，則a＋c>b＋c≥2bc，不切合條件，清除又由a2－c2＝2c(b－c)得a－c與b－c同號(hào)，清除C；當(dāng)b>a>c時(shí)，a2＋c2＝2bc有可能成立，比如：取a＝3，b＝5，c＝1.應(yīng)選B.答案：B2．已知b>a>0，a＋b＝1，則以下不等式中正確的選項(xiàng)是( )9A．log3a>0a－b1B．3<3C．log2＋log2<－2D．3ba≥6abab分析：對(duì)于A，由log3a>0可得log3a>log31，因此a>1，這與b>a>0，a＋b＝1矛盾，所a－b1a－b－1以A不正確；對(duì)于B，由3<3可得3<3，因此a－b<－1，可得a＋1<b，這與b>a>0，a＋＝1矛盾，因此B不正確；對(duì)于C，由log2＋log2<－2可得log2()<－2＝log21，所babab411以ab<4，又b>a>0，a＋b＝1>2ab，因此ab<4，二者一致，因此C正確；對(duì)于D，因?yàn)閎>a>0，＋ba>3×2ba因此D不正確，應(yīng)選C.＝1，因此3＋×＝6,ababab答案：C3．在R上定義運(yùn)算：xy＝x(1－y)．若不等式(x－a)(x－b)>0的解集是(2,3)，則a＋b＝()A．1B．2C．4D．8分析：由題知(x－a)(x－b)＝(x－a)[1－(x－b)]>0，即(x－a)[x－(b＋1)]<0，因?yàn)樵摬坏仁降慕饧癁?2,3)，因此方程(－)[x－(b＋1)]＝0的兩根之和等于5，即＋＋1xaab＝5，故a＋b＝4.答案：Cx－34．已知a∈R，不等式x＋a≥1的解集為P，且－2?P，則a的取值范圍為()A．(－3，＋∞)B．(－3,2)C．(－∞，2)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪[2，＋∞)2－3分析：∵－2?P，∴－2＋a<1或－2＋a＝0，解得a≥2或a<－3.答案：D2x－y≤0，5．已知x，y知足x－3y＋5≥0，則z＝8－x1y的最小值為( )x≥0，·2y≥0，32A．1B.41011C.16D.32分析：不等式組表示的平面地區(qū)如圖中暗影部分所示，而z1＝8－x·2y＝2－3x－y，欲使z最小，只需使－3x－y最小即可．由圖知當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)，－3x－y的值最小，且－3×1－2＝－5，此時(shí)2－3x－y最小，最小值為1.32應(yīng)選D.答案：D6．設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－4x＋6，x≥0，則不等式f(x)>f(1)的解集是()x＋6，x<0，A．(－3,1)∪(3，＋∞)B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1,3)分析：由題意得，(1)＝3，因此f(x)>f(1)，即f(x)>3.當(dāng)x<0時(shí)，＋6>3，解得－3<<0；fxx當(dāng)x≥0時(shí)，x2－4x＋6>3，解得x>3或0≤x<1.綜上，不等式的解集為(－3,1)∪(3，＋∞)．答案：Ay≥1，7．已知實(shí)數(shù)x，y知足y≤2x－1，假如目標(biāo)函數(shù)z＝3x－2y的最小值為0，則實(shí)x＋y≤m，數(shù)m等于()A．4B．3C．6D．5分析：作出不等式組所表示的可行域如圖中暗影部分所示，由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝3－2所對(duì)應(yīng)的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z獲得最小值0.xyy＝2x－1，由x＋y＝m，1＋m2m－1.求得A，33故z的最小值為3×1＋m2m－1m5－2×＝－3＋，33311m5由題意可知－3＋3＝0，解得m＝5.答案：D8．若對(duì)隨意正實(shí)數(shù)x，不等式1aa的最小值為()2≤恒成立，則實(shí)數(shù)x＋1xA．1B.21D.2C.221axx11分析：因?yàn)閤2＋1≤x，即a≥x2＋1，而x2＋1＝x＋1≤2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào))，因此x≥1.a2答案：C3x＋y＋3≥0，9．(2018·太原一模)已知實(shí)數(shù)x，知足條件2x－y＋2≤0，則z＝2＋2的取值yxyx＋2y－4≤0，范圍為()A．[1,13]B．[1,4]C.4，134，45D.5分析：畫(huà)出不等式組表示的平面地區(qū)如圖中暗影部分所示，由此得z＝x2＋y2的最小值為點(diǎn)O到直線BC：2x－y＋2＝0的距離的平方，因此z＝224min5＝5，最大值為點(diǎn)O與點(diǎn)A(－2,3)的距離的平方，因此2max答案：C10．(2018·衡水二模)若對(duì)于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，則x1a＋x2＋的最小值是()x1x2623A.3B.3124326C.3D.3分析：∵對(duì)于22a>0)的解集為(x1，x2)，∴22x的不等式x－4ax＋3a<0(＝16a－12a＝4a2>0，又x1＋x2＝4a，x1x2＝3a2，aa11433∴x1＋x2＋x1x2＝4a＋3a2＝4a＋3a≥24a·3a＝3，當(dāng)且僅當(dāng)a＝6時(shí)取等號(hào)．a(chǎn)43∴x1＋x2＋x1x2的最小值是3.答案：C11．某旅游社租用A，B兩種型號(hào)的客車(chē)安排900名客人旅游，A，B兩種車(chē)輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1600元/輛和2400元/輛，旅游社要求租車(chē)總數(shù)不超出21輛，且B型車(chē)不多于A型車(chē)7輛，則租金最少為()A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元分析：設(shè)租用A型車(chē)x輛，B型車(chē)y輛，目標(biāo)函數(shù)為z＝1600x＋2400y，則拘束條件36x＋60y≥900，x＋y≤21，為y－x≤7，x，y∈N，作出可行域如圖中暗影部分所示，可知目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)A(5,12)時(shí)，有最小值z(mì)min＝36800(元)．答案：Cy≥x，則→·→．·淄博模擬)已知點(diǎn)，∈，x＋2y≤2}，M(2，－1)12(2018P(xy){(xy)|OMOPx≥－2(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的最小值為()A．－2B．－4C．－6D．－8分析：由題意知→＝(2，－1)，→＝(，)，設(shè)z＝→·→＝2－，OMOPxyOMOPxy13y≥xy≥x明顯會(huì)合{(x，y)|x＋2y≤2}對(duì)應(yīng)不等式組x＋2y≤2所表示的平面地區(qū)．作出x≥－2x≥－2該不等式組表示的平面地區(qū)如圖中暗影部分所示，由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝2x－y對(duì)應(yīng)的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z獲得最小值．由x＝－2得A(－2,2)，因此目標(biāo)函數(shù)的最小值x＋2y－2