信號及其描述修改

中北大學機電工程學院2008年3月

機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)熊詩波、黃長藝主編當前1頁，總共92頁。1第1章信號及其描述1.1信號的分類與描述1.2周期信號與離散頻譜1.3瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜1.4隨機信號機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)當前2頁，總共92頁。2

1.0概述在生產(chǎn)實踐和科學試驗中，需要觀察大量的現(xiàn)象及其參量的變化。這些變化量可以通過測量裝置變成容易測量、記錄和分析的電信號。一個信號中包含著被測系統(tǒng)的某些有用信息，這些信息反映被測系統(tǒng)的狀態(tài)或特性，它是人們認識客觀事物內(nèi)在規(guī)律、研究事物之間的相互關(guān)系、預測未來發(fā)展趨勢的依據(jù)。第1章信號及其描述當前3頁，總共92頁。31.1信號的分類與描述

為深入了解信號的物理實質(zhì)，將其進行分類研究是非常必要的，從不同角度觀察信號，可以將其分為：1按信號隨時間的變化特征分類--確定性信號與隨機信號；3按信號的能量特征分類--能量信號與功率信號；2按信號幅值隨時間變化的連續(xù)性分類--連續(xù)信號與離散信號當前4頁，總共92頁。41確定性信號與隨機信號確定性信號：可用明確數(shù)學關(guān)系式描述的信號。隨機信號：不能用數(shù)學關(guān)系式描述的信號。信號確定性信號隨機信號周期信號非周期信號簡單周期信號復雜周期信號準周期信號瞬態(tài)信號平穩(wěn)隨機信號非平穩(wěn)隨機信號當前5頁，總共92頁。5周期信號：經(jīng)過一定時間可以重復出現(xiàn)的信號

x(t)=x(t+nT)簡單周期信號mkAx(t)復雜周期信號當前6頁，總共92頁。6b)非周期信號：再不會重復出現(xiàn)的信號。準周期信號:由多個周期信號合成，其中至少有一對頻率比不是有理數(shù)。當前7頁，總共92頁。7瞬態(tài)信號:在有限時間段內(nèi)存在，或隨著時間的增加而幅值衰減至零的信號。0當前8頁，總共92頁。8c)隨機信號：不能用數(shù)學式描述，其幅值、相位變化不可預知，所描述物理現(xiàn)象是一種隨機過程。平穩(wěn)與非平穩(wěn)當前9頁，總共92頁。92連續(xù)信號與離散信號a)連續(xù)時間信號b)離散時間信號當前10頁，總共92頁。103能量信號與功率信號

a)能量信號在所分析的區(qū)間（-∞，∞），能量為有限值的信號稱為能量信號，滿足條件：

一般持續(xù)時間有限的瞬態(tài)信號是能量信號。瞬態(tài)信號當前11頁，總共92頁。11在測量中，常把被測信號轉(zhuǎn)換為電壓或電流信號來處理。當電壓信號x(t)加到R=1的電阻上，其瞬時功率對時間積分就是信號在該積分時間內(nèi)的能量（p19）。注意：信號的功率和能量未必具有真實的量綱。當前12頁，總共92頁。12b)功率信號當信號x(t)在所分析的區(qū)間（-∞，∞），能量。此時，在有限區(qū)間(t1,t2)內(nèi)的平均功率是有限的。一般持續(xù)時間無限的信號都屬于功率信號。噪聲信號一般周期信號當前13頁，總共92頁。13

1.1.2信號的時域描述和頻域描述圖1-4.信號的時域描述和信號的頻域描述當前14頁，總共92頁。14當前15頁，總共92頁。15信號的頻譜：將組成信號的各頻率成分按序排列，以頻率為橫坐標，分別以幅值和相位為縱坐標，便分別得到信號的幅頻譜和相頻譜。信號時域描述直觀地反映信號瞬時值隨時間變化的情況；頻域描述則反映信號的頻率組成及其幅值、相角之大小。它們是從兩個側(cè)面，觀察事物本質(zhì)特征的兩種不同方法，兩種描述方法能相互轉(zhuǎn)換，而且包含同樣的信息量。當前16頁，總共92頁。16例如：表1-1為兩個周期方波的二維頻譜圖，注意：幅頻相同，但相頻不同。當前17頁，總共92頁。17

1.2周期信號和離散頻譜狄里赫利條件：1.函數(shù)在一周期內(nèi)極大值與極小值為有限個2.函數(shù)在一周期內(nèi)間斷點為有限個3.函數(shù)在一周期內(nèi)函數(shù)絕對值積分為有限值即

當前18頁，總共92頁。181.2.1傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式

（1-7，8，9）當前19頁，總共92頁。19當前20頁，總共92頁。20

周期信號是由一個或幾個、甚至無窮多個不同頻率的諧波疊加而成的，以頻率為橫坐標，以幅值和相角為縱坐標作圖，則分別得到幅頻譜圖和相頻譜圖，由于n是整數(shù)序列，各頻率成分都是w0的整倍數(shù)，相鄰頻率的間△w=w0=2π/T0，因而譜線是離散的。通常，把w0成為基頻，并把成分稱為n次諧波。當前21頁，總共92頁。21例1-1P9求圖1-6中周期性三角波的傅里葉級數(shù)當前22頁，總共92頁。221.2.2傅里葉級數(shù)的復指數(shù)函數(shù)形式根據(jù)歐拉公式有：

（1-10，11，12）當前23頁，總共92頁。231.2.2傅里葉級數(shù)的復指數(shù)函數(shù)形式因此式（1-7）可改寫為：

令則（1-13，14，15）當前24頁，總共92頁。241.2.2傅里葉級數(shù)的復指數(shù)函數(shù)形式將式（1-8）帶入式（1-14），并令即得：（1-16）一般情況下，是復數(shù)，可以寫成（1-17）式中（1-18，19）當前25頁，總共92頁。25當前26頁，總共92頁。26當前27頁，總共92頁。27例1-2畫出余弦、正弦函數(shù)的實、虛頻譜圖。解：根據(jù)歐拉公式（1-11，12），余弦函數(shù)只有實頻譜圖，與縱軸偶對稱。正弦函數(shù)只有虛頻譜圖，與縱軸奇對稱。一般周期函數(shù)按傅里葉級數(shù)的復指數(shù)函數(shù)形式展開后，其實頻譜總是偶對稱的，其虛頻譜總是奇對稱的。當前28頁，總共92頁。28第1章信號及其描述當前29頁，總共92頁。29說明：周期信號的頻譜具有如下三個特點：①周期信號的頻譜是離散的。②每條譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整倍數(shù)上，基波頻率是各分量頻率的公約數(shù)。③各頻率分量的譜線高度表示該諧波的幅值或相位角。工程中常見的周期信號，其諧波幅值總的趨勢是隨諧波次數(shù)的增高而減小的。因此，在頻譜分析中沒必要取那些次數(shù)過高的諧波分量。當前30頁，總共92頁。30從0頻率到所必須考慮的最高次諧波分量之間的頻段稱為信號的頻帶寬度。信號的頻帶寬度是一個重要的概念，這在信號處理中，在設計和選用測試裝置時要充分注意。信號的頻帶指信號包含頻率成份的范圍。當前31頁，總共92頁。311.2.3周期信號的強度表述（衡量標準）周期信號的強度以峰值、絕對均值、有效值和平均功率來表述。當前32頁，總共92頁。32當前33頁，總共92頁。33當前34頁，總共92頁。34表1-2幾種典型周期信號上述各值之間的數(shù)量關(guān)系第1章信號及其描述當前35頁，總共92頁。35

1.3瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜概述：

非周期信號包括準周期信號和瞬變非周期信號，其頻譜各有獨自的特點。

周期信號可展開成許多乃至無限項簡諧信號之和，其頻譜具有離散性，且諸簡諧分量之間的頻率具有一個公約數(shù)——基頻。但是，幾個簡諧信號的疊加，不一定是周期信號。也就是說，具有離散頻譜的信號不一定是周期信號。只有各個簡諧成分的頻率比是有理數(shù)時，它們才能在某個時間間隔后周而復始，合成后的信號才是周期信號。當前36頁，總共92頁。36 如果各個簡諧成分的頻率比不是有理數(shù)，例如,各個簡諧成分在合成以后，不可能經(jīng)過某一時間間隔后重演，其合成信號就不是周期信號。但這種信號有離散頻譜，故稱為準周期信號。多個獨立振源激勵起某對象的振動往往是這類信號。當前37頁，總共92頁。37通常所說的非周期信號是指瞬變非周期信號。常見的此類信號如圖1-11所示。圖1-11a為矩形脈沖信號，圖1-11b為指數(shù)衰減信號，圖1-11c為衰減震蕩，圖1-11d為單一脈沖。下面討論這種非周期信號的傅立葉變換及其頻譜。當前38頁，總共92頁。381.3.1傅立葉變換

周期信號，當周期T→∞時，變成非周期信號，這時就不能用傅立葉級數(shù)展開了，但是信號中各頻率成分的比例關(guān)系還是存在的，因此我們還希望研究信號的頻率成分，這就需要借助于另外一種數(shù)學方法――傅立葉變換。當前39頁，總共92頁。39當前40頁，總共92頁。40當前41頁，總共92頁。41于是，

（1-25，26，27）由于時間t是積分變量，故積分之后僅是w的函數(shù)。當前42頁，總共92頁。42當前43頁，總共92頁。43而周期函數(shù)的傅立葉系數(shù)Cn反映的是對應頻率成分幅值的大小當前44頁，總共92頁。44例1-3求矩形窗函數(shù)的頻譜。當前45頁，總共92頁。45引用式(1-12)稍作修改,有代入上式得(1-33)Sincθ以2π為周期并隨θ的增加而做衰減震蕩，是偶函數(shù)，在nπ（n=±1，±2…）處其值為零。當前46頁，總共92頁。46矩形窗函數(shù)的幅值頻譜為矩形窗函數(shù)的相位頻譜視符號而定。當為正值時相角為零，當為負值時相角為π。當前47頁，總共92頁。471.3.2傅立葉變換的主要性質(zhì)傅立葉變換構(gòu)建了信號時域描述和頻域描述的對應關(guān)系，熟悉傅立葉變換的主要性質(zhì)，有助于了解信號在某個域的變化和運算在另一個域中產(chǎn)生何種相應的變換和運算關(guān)系，最終有助于對復雜工程問題的分析和簡化計算。當前48頁，總共92頁。48表1-3傅立葉變換的主要性質(zhì)當前49頁，總共92頁。49當前50頁，總共92頁。50對稱性（1-38）當前51頁，總共92頁。51應用這個性質(zhì)，利用已知的傅里葉變換對即可得出相應的變換對。對稱性舉例：圖1-14。當前52頁，總共92頁。52③時間尺度改變特性（1-39）當前53頁，總共92頁。53時間尺度改變特性舉例如圖1-15。第1章信號及其描述當前54頁，總共92頁。54 當時間尺度壓縮（k>1）時，頻譜的頻帶加寬，幅值壓低，圖1-15c； 當時間尺度擴展（k<1）時，頻譜的頻帶變窄，幅值增高，圖1-15a。 例如：記錄磁帶慢錄快放，時間尺度壓縮，處理信號效率提高，信號頻帶加寬；記錄磁帶快錄慢放，時間尺度擴展，處理信號效率降低，信號頻帶變窄。當前55頁，總共92頁。55④時移和頻移特性（1-40，41）

證明略。當前56頁，總共92頁。56時移特性表明：將信號在時域中平移，則其幅頻譜不變，相頻譜中相角的改變量與頻率成正比，例（表1-1）：頻移特性表明：如果頻譜函數(shù)在頻域中平移f0，則其代表的信號波形將與頻率為f0的正、余弦信號相乘，即進行了調(diào)制。當前57頁，總共92頁。57

第3節(jié)傅立葉變換與瞬變非周期信號的連續(xù)頻譜第1章信號及其描述當前58頁，總共92頁。58卷積積分是一種數(shù)學方法，在信號與系統(tǒng)的理論研究中占有重要的地位。特別是關(guān)于信號的時間域與頻率域分析，它是溝通時域－頻域的一個橋梁。在系統(tǒng)分析中，系統(tǒng)輸入／輸出和系統(tǒng)特性的作用關(guān)系在時間域就體現(xiàn)為卷積積分的關(guān)系x(t)h(t)

y(t)當前59頁，總共92頁。59當前60頁，總共92頁。60補充：線性疊加證明略。

a，b為常數(shù)

當前61頁，總共92頁。61例：求下圖波形的頻譜+X1(f)X2(f)用線性疊加定理簡化當前62頁，總共92頁。621.3.3幾種典型信號的頻譜1.矩形窗函數(shù)的頻譜由例1-3的討論可知，一個在時域有限區(qū)間內(nèi)有值的信號，其頻譜卻延伸至無限頻率。在時域中截取信號的一段記錄長度，則相當于原信號和矩形窗函數(shù)之乘積。因而，所得頻譜將是原信號頻域函數(shù)和函數(shù)的卷積，它的頻譜將是無限延伸的。當前63頁，總共92頁。63當前64頁，總共92頁。64函數(shù)及其頻譜①函數(shù)的定義（P33）從函數(shù)值極限來看（1-47）從函數(shù)強度（面積）的角度來看

（1-48）

用它可描述一些作用時間極短、但取值極大的物理現(xiàn)象，如云層之間的放電，瞬時間的沖擊力等。定義中積分等于1，說明其強度為1，若強度為K的脈沖用kδ(t)表示。當前65頁，總共92頁。65

第3節(jié)傅立葉變換與瞬變非周期信號的連續(xù)頻譜第1章信號及其描述當前66頁，總共92頁。66當前67頁，總共92頁。67函數(shù)與其它函數(shù)的卷積當前68頁，總共92頁。68當前69頁，總共92頁。69函數(shù)的頻譜（1-53，54）可見，時域的函數(shù)，在頻域具有無限寬廣的頻譜，而且在所有頻段上都是等強度的，這種頻譜稱為“均勻譜”。如圖1-18所示。

當前70頁，總共92頁。70特性：（1）乘積性（2）積分性（3）卷積性（4）傅氏變換當前71頁，總共92頁。71根據(jù)傅里葉變換的對稱性、時移性、頻移性，可以得到下列傅里葉變換對(p35)：（1-55）當前72頁，總共92頁。72正、余弦函數(shù)的頻譜密度函數(shù)因為正、余弦函數(shù)不滿足絕對可積條件，所以不能直接進行傅里葉變換。解決的辦法是：在傅里葉變換時引入函數(shù)。根據(jù)歐拉公式，正、余弦函數(shù)可以寫成當前73頁，總共92頁。73應用式（1-55），可以認為，正、余弦函數(shù)是把頻域中的兩個函數(shù)向不同方向平移后，它們的差或和的傅里葉逆變換。即：（1-56，57）正、余弦函數(shù)及其頻譜如下圖1-19所示。

當前74頁，總共92頁。74當前75頁，總共92頁。754.周期單位脈沖序列的頻譜當前76頁，總共92頁。76當前77頁，總共92頁。77其頻譜如圖1-20所示，當前78頁，總共92頁。78

第4節(jié)隨機信號1.4.1概述隨機信號是不能用確定的數(shù)學關(guān)系式來描述的，而且不能預測其未來任何瞬時值，任何一次觀察值只能代表在其變動范圍中可能產(chǎn)生的結(jié)果之一。隨機信號服從統(tǒng)計規(guī)律，描述隨機信號必須用概率統(tǒng)計的方法。隨機信號廣泛存在于工程技術(shù)的各個領(lǐng)域。確定性信號一般是在一定條件下出現(xiàn)的特殊情況，或者是忽略了次要的隨機因素后，抽象出來的模型。測試信號總是受到環(huán)境噪聲污染的，故研究隨機信號具有普遍、現(xiàn)實的意義。當前79頁，總共92頁。79對隨機信號按時間歷程所做的各次長時間觀測稱為樣本函數(shù)，記作，如圖1-21所示。當前80頁，總共92頁。80

樣本函數(shù)在有限時間區(qū)間上的部分稱為樣本記錄。在同一試驗條件下，全部樣本函數(shù)的集合（總體）就是隨機過程，記作

（1-61）

隨機過程的各種平均值，比如均值、方差、均方值和均方根值等，都是按集合平均來計算的。集合平均的計算不是沿著某個樣本的時間軸進行，而是將集合中所有樣本函數(shù)對同一時刻的觀察值取平均。為了與集合平均相區(qū)別，把按單個樣本的時間歷程進行的計算叫做時間平均。當前81頁，總共92頁。81隨機過程有平穩(wěn)過程和非平穩(wěn)過程之分。所謂平穩(wěn)隨機過程，是指其統(tǒng)計特征參數(shù)不隨時間而變化的隨機過程，否則，為非平穩(wěn)隨機過程。在平穩(wěn)隨機過程中，若任一單個樣本函數(shù)的時間平均統(tǒng)計特征等于該過程的集合平均統(tǒng)計特征，這樣的平穩(wěn)隨機過程叫各態(tài)歷經(jīng)隨機過程，也稱這樣的隨機過程其具有遍歷性。工程上