2018高中數(shù)學(xué)初高中銜接讀本專題52三角形重心垂心外心和內(nèi)心精講深剖學(xué)案

第2講三角形的重心、垂心、外心和心里三角形是最重要的基本平面圖形，它包括了豐富的知識(shí)，也包含了深刻的思想，好多較復(fù)雜的圖形問(wèn)題能夠化歸為三角形的問(wèn)題。三角形與高中三角函數(shù)、向量、解三角形及立體幾何等部分都有親密的聯(lián)系，因此扎實(shí)掌握三角形的有關(guān)知識(shí)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。初中階段大家已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形邊上中線、高線、垂直均分線及內(nèi)角均分線的一些性質(zhì)。如三角形角均分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等；三角形邊的垂直均分線上的點(diǎn)到這條邊兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，諸這樣類(lèi)。在高中學(xué)習(xí)中，還會(huì)波及到三角形三條中線交點(diǎn)（重心）、三條高線交點(diǎn)（垂心）、三條邊的垂直均分線交點(diǎn)（外心）及三條內(nèi)角均分線交點(diǎn)（心里）的問(wèn)題，因此有必需進(jìn)一步認(rèn)識(shí)它們的性質(zhì)。【知識(shí)梳理】三角形的四心角均分線：三角形的三條角均分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的心里，它到三角形各邊的距離相等．高線：三角形的三條高線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的垂心．中線：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的重心．垂直均分線：三角形的三條垂直均分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的外心，外心到三角形三個(gè)極點(diǎn)的距離相等．【典例分析】求證三角形的三條中線交于一點(diǎn)，且被該交點(diǎn)分紅的兩段長(zhǎng)度之比為2：1.已知：D、E、F分別為△ABC三邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，求證：AD、BE、CF交于一點(diǎn)，且都被該點(diǎn)分紅2：1.【分析】證明：連接DE，設(shè)AD、BE交于點(diǎn)G，QD、E分別為BC、AE的中點(diǎn)，則DE//AB，且DE=1AB，2VGDE∽VGAB，且相像比為1：2，AG=2GD,BG=2GE.1設(shè)AD、CF交于點(diǎn)G'，同理可得，AG'=2G'D,CG'=2G'F.則G與G'重合，AD、BE、CF交于一點(diǎn)，且都被該點(diǎn)分紅2:1.【解題反省】三角形的三條中線訂交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)稱為三角形的重心.三角形的重心在三角形的內(nèi)部，恰巧是每條中線的三均分點(diǎn).【變式訓(xùn)練】求證重心和三角形3個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成的3個(gè)三角形面積相等。已知：G為VABC的重心,求證：SVABG=SVACG=SVACGAC1B1GBCA1【剖析】可聯(lián)系重心的性質(zhì)，重心為中線的三均分點(diǎn)即；GB1=1BB1,在運(yùn)用等底，高成比率達(dá)成證3明；【評(píng)論】將重心的性質(zhì)借助相像比，推出了重心對(duì)于三角形面積的性質(zhì)。同時(shí)應(yīng)該想到它還有其余性質(zhì)?！镜淅治觥恳阎猇ABC的三邊長(zhǎng)分別為BC=a,AC=b,AB=c，I為VABC的心里，且I在VABC的邊BC、AC、AB上的射影分別為D、E、F，b+c-a求證：AE=AF=.2【分析】證明：作VABC的內(nèi)切圓，則D、E、F分別為內(nèi)切圓在三邊上的切點(diǎn)，QAE,AF為圓的從同一點(diǎn)作的兩條切線，AE=AF，同理，BD=BF，CD=CE.b+c-a=AF+BF+AE+CE-BD-CD=AF+AE=2AF=2AE；b+c-a即AE=AF=.【解題反省】三角形的三條角均分訂交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)稱為三角形的心里。心里到三角形三邊的距離相等?！咀兪接?xùn)練】1.若三角形的心里與重心為同一點(diǎn)，求證：這個(gè)三角形為正三角形.已知：O為三角形ABC的重心和心里.求證：三角形ABC為等邊三角形.【分析】證明：如圖，連AO并延伸交BC于D.QO為三角形的心里，故AD均分DBAC，AB=BD（角均分線性質(zhì)定理）ACDCQO為三角形的重心，D為BC的中點(diǎn)，即BD=DC.ABAC

=1，即AB=AC.同理可得，AB=BC.VABC為等邊三角形.3【評(píng)論】等邊三角形擁有四心合一的性質(zhì)?！咀兪接?xùn)練】2.在三角形ABC中，G為重心，I為心里，若AB=6，BC=5，CA=4，求的值．【剖析】依據(jù)三角形重心性質(zhì)可得：3GI2222222=AI+BI+CI﹣（AG+BG+CG），求得GI后輩入求值即可．【評(píng)論】此題考察了三角形的五心的知識(shí)，解題的重點(diǎn)是認(rèn)識(shí)三角形重心性質(zhì)：2222﹣3GI=AI+BI+CI222（AG+BG+CG）．【典例分析】在△ABC中，H為垂心，BCa，CAb，ABc，R為△ABC外接圓半徑，求證:AH2a2BH2b2CH2c2．4AHOCBM注此性質(zhì)的證明，或由勾股定理有AH2BC2AE2HE2BE2CE2=AE2EB2HE2CE2AB2CH2等，即可．【解題反省】三角形的三條高線訂交于一點(diǎn)為垂心，經(jīng)過(guò)研究也擁有豐富的性質(zhì)?！咀兪接?xùn)練】設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，則求證：AH2RcosA，BH2RcosB，CH2RcosC【分析】證明當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖，5AFEHBDC明顯有AHEACB，進(jìn)而sinACBsinAHEAE．AH在Rt△ABE中，AEABcosBAC，ABcosBAC2RsinACBcosBAC2RcosBAC2RcosA．故AHACBsinACBsin同理，BH2RcosB，CH2RcosC．當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，不如設(shè)A為鈍角．此時(shí)，只要調(diào)動(dòng)圖中字母A與H，E與F