小學(xué)數(shù)學(xué)公式以及定理(5篇)

本文格式為Word版，下載可任意編輯——小學(xué)數(shù)學(xué)公式以及定理(5篇)無(wú)論是身處學(xué)校還是步入社會(huì)，大家都嘗試過(guò)寫(xiě)作吧，借助寫(xiě)作也可以提高我們的語(yǔ)言組織能力。相信大量人會(huì)覺(jué)得范文很難寫(xiě)？下面是我為大家收集的優(yōu)秀范文，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

小學(xué)數(shù)學(xué)公式以及定理篇一

數(shù)學(xué)公式和定理透露了數(shù)學(xué)知識(shí)的基本規(guī)律，具有一定的形式符號(hào)化的抽象性和概括性的特征，是學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知水平發(fā)展的重要學(xué)習(xí)載體．要學(xué)好數(shù)學(xué)，必需對(duì)公式和定理有十分正確透徹的理解，也就是說(shuō)，穩(wěn)固把握并能靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)公式和定理是提高數(shù)學(xué)能力的重要前提．在教學(xué)過(guò)程中我積累了一些經(jīng)驗(yàn)，下面我就數(shù)學(xué)公式和定理的教學(xué)談?wù)勎业囊恍w會(huì)．

在數(shù)學(xué)公式和定理的學(xué)習(xí)中，需要學(xué)生具備多方面的能力，如對(duì)新舊知識(shí)聯(lián)系的理解能力，對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的歸納與探究能力，對(duì)公式與定理的推理與演繹能力，對(duì)知識(shí)的存儲(chǔ)、記憶與應(yīng)用能力等．

數(shù)學(xué)公式和定理教學(xué)簡(jiǎn)單產(chǎn)生“一背二套〞、“公式加例題〞的形式，這種形式的教學(xué)往往使學(xué)生頭腦里只留下公式、定理的外殼，忽略它們的來(lái)龍去脈，不明確它們運(yùn)用的條件和范圍．事實(shí)上在公式與定理的教學(xué)中一般應(yīng)有如下五個(gè)環(huán)節(jié)：引入，推導(dǎo)，條件和特例，應(yīng)用，最終把它們納入學(xué)生的知識(shí)體系．因此，教師在教學(xué)中注意創(chuàng)設(shè)情景、激發(fā)興趣，充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體作用，就能避免學(xué)生的死記硬背，生搬硬套，做到“活學(xué)活用〞．

一、知識(shí)引入多樣化，激發(fā)學(xué)生求知欲

公式、定理的引入是發(fā)展學(xué)生思維、培養(yǎng)摸索能力的首要環(huán)節(jié)．一開(kāi)始的引入如能把學(xué)生吸引住，將大大激發(fā)學(xué)生的求知欲，使他們的思維處于最亢奮的狀態(tài)．在平日的教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)，“開(kāi)門見(jiàn)山〞式的引入雖然省時(shí)省力，但學(xué)生學(xué)習(xí)缺乏興趣，只等著老師講．而針對(duì)不同的公式與定理，采用多樣化的引入，能很好地吸引學(xué)生，激發(fā)他們的探究欲望．在教學(xué)實(shí)踐中，我往往采用以下幾種引入的方法：

1、實(shí)踐引入：

教師要擅長(zhǎng)搜集與公式和定理相關(guān)的、好玩兒味的模型，使學(xué)生在接觸課題時(shí)，就產(chǎn)生猛烈的探求欲望．例如在引入線面垂直的判定定理時(shí),先讓學(xué)生自己動(dòng)手做一個(gè)試驗(yàn):如圖,拿一張矩形紙片,對(duì)折后略為展開(kāi),使矩形被折的一邊緊貼在桌面上,教師告訴學(xué)生，折痕和桌面是垂直的，這是為什么呢？學(xué)生一下子被吸引住了，急忙地想知道這是為什么．

2、類比引入：

數(shù)學(xué)具有系統(tǒng)性，因此新公式、新定理可以由舊公式、舊定理通過(guò)類比遷移而來(lái)．例如在引入余

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弦定理時(shí)，先給出三角形的三邊a、b、c,其中c為最大邊．探討c2與a2b2的關(guān)系．同學(xué)們已經(jīng)學(xué)過(guò)勾股定理，c900時(shí)有c2a2b2．教師向?qū)W生提出這樣的問(wèn)題，在斜三角形中a2b2與c2有什么關(guān)系？學(xué)生通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)c900時(shí)有c2a2b2；當(dāng)c900時(shí)有c2a2b2．通過(guò)對(duì)三種三角形的類比，學(xué)生會(huì)有很大的興趣去探討它們之間存在怎樣的一種關(guān)系式．此時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出在△abc中，三邊a、b、c有這樣一種關(guān)系：c2a2b2m．進(jìn)而得出m的符號(hào)與c的關(guān)系．這種引入方法，使學(xué)生對(duì)新公式、新定理不感到突然，而是舊公式、舊定理的延伸與擴(kuò)展．

3、發(fā)現(xiàn)法引入：

由于公式是對(duì)客觀實(shí)踐的抽象，為了完成這一過(guò)程，我?guī)ьI(lǐng)學(xué)生重涉前人摸索之路去發(fā)現(xiàn)公式．這種發(fā)現(xiàn)式的引入，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生觀測(cè)與探究能力有重要作用．在應(yīng)用這種引入方法時(shí)，關(guān)鍵是創(chuàng)設(shè)使學(xué)生感興趣的情景．例如在學(xué)習(xí)等差數(shù)列求和公式時(shí)，我給同學(xué)們講了他們都知道的高斯小時(shí)候求12100的故事，并加上了故事的尾巴：“在高斯說(shuō)出了他的方法后，老師又提出了新的問(wèn)題，請(qǐng)學(xué)生計(jì)算14798〞，大家想一想，該如何計(jì)算？更一般的等差數(shù)列前n項(xiàng)a1a2an的計(jì)算公式我們能推導(dǎo)出來(lái)嗎?同學(xué)們興致盎然，通過(guò)獨(dú)立探究與合作探討，很快就得出了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式．

二、重視推導(dǎo)和證明，弄清來(lái)龍去脈

公式的推導(dǎo)和定理的證明是教學(xué)的核心．由于第一環(huán)節(jié)恰當(dāng)?shù)匾?，學(xué)生的心理狀態(tài)是“興趣被激發(fā)，對(duì)證明、推導(dǎo)有迫切感〞，因此我抓住機(jī)遇給予證明．假如在教學(xué)中不重視推導(dǎo)，學(xué)生對(duì)它們的來(lái)龍去脈就會(huì)很模糊．在推導(dǎo)過(guò)程的教學(xué)中，我盡量發(fā)揮學(xué)生的主體作用，能讓學(xué)生推導(dǎo)的就讓學(xué)生推導(dǎo)，并注意指出學(xué)生推導(dǎo)中的錯(cuò)誤．有些推導(dǎo)過(guò)程繁瑣的公式與定理，教師重視分析，講清為什么用這樣的方法．假如公式和定理有幾種推導(dǎo)方法，教學(xué)中不是面面俱到，而是讓學(xué)生課后思考不同的推導(dǎo)方法，在下一節(jié)課上進(jìn)行交流．

三、強(qiáng)調(diào)條件和特例

公式成立是要有一定條件的．學(xué)生學(xué)習(xí)公式的最大弱點(diǎn)是把公式作為“萬(wàn)能公式〞亂用亂套．因此教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)公式成立的條件．如含有正切的三角公式的角的范圍是有限制的．在公式推導(dǎo)完成后，我往往讓學(xué)生做一個(gè)小練習(xí)，從中發(fā)現(xiàn)他們忽視條件而產(chǎn)生的錯(cuò)誤，讓學(xué)生探討公式應(yīng)用中要注意公式成立的條件．

另外，公式雖具有一定的普遍意義，但對(duì)一些具有特別條件的情形要給予注意，這就是公式的特例．如三角誘導(dǎo)公式及倍角公式是兩角和與差公式的特例．而一般結(jié)論往往是特例的發(fā)展與完善．如正弦定理是三角形面積公式的發(fā)展與推廣．

四、重視靈活應(yīng)用，提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于應(yīng)用，因此，在公式和定理的教學(xué)中，必需使學(xué)生靈活奇妙地應(yīng)用公式和定理，提高、培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際運(yùn)用的能力．在此教學(xué)環(huán)節(jié)中要注意引導(dǎo)學(xué)生靈活應(yīng)用公式．

每個(gè)公式本身均可作各種變化，為了在更廣闊的背景中運(yùn)用公式，就需要對(duì)公式本身進(jìn)各種變形．這一層次的思維量大，可很好地培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性．例如：ai（i1,2,,n）為正數(shù)，求證

222a12a2a2ana122(a1a2an)，可把基本不等式a2b22ab變形為

a2b2ab

2來(lái)用．再如求tg200tg400tg200tg400的值，是將tg()的公式變形使用．

五、把公式和定理納入學(xué)生的知識(shí)體系

數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)性強(qiáng)．學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)后，可以形成相應(yīng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展，是“同化〞與“順應(yīng)〞調(diào)理的辨證統(tǒng)一．“同化〞指的是新知識(shí)與舊知識(shí)相一致時(shí)，新知識(shí)被納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中；“順應(yīng)〞指的是新知識(shí)與舊知識(shí)不一致時(shí)，對(duì)原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)理，以適應(yīng)新的知識(shí)結(jié)構(gòu)．如在復(fù)數(shù)的教學(xué)中，判別式小于零的實(shí)系數(shù)一元兩次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可同化到學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中；而|z|2zz，就要學(xué)生將舊知識(shí)“順應(yīng)〞到新的知識(shí)機(jī)構(gòu)中去．因此，在教學(xué)中我們要注意把新知識(shí)納入學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中．為此，我在教學(xué)中充分注意以下幾點(diǎn)：

1、注意公式推導(dǎo)過(guò)程中包含的數(shù)學(xué)思想方法．

在公式與定理的推導(dǎo)過(guò)程中，往往要用到數(shù)形結(jié)合，從特別到一般，分類探討等數(shù)學(xué)思想方法．在推導(dǎo)過(guò)程中，教師常從特別的情景出發(fā)進(jìn)行分析．例如，在推導(dǎo)sinxa(|a|1)解集時(shí)，從a的特別值開(kāi)始進(jìn)行分析．在推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，要分q1與q1兩種狀況探討．在教學(xué)中要充分挖掘公式與定理推導(dǎo)中的數(shù)學(xué)思想方法，可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的思維的嚴(yán)密性與靈活性．

2、公式和定理的推廣及引申

由于學(xué)生學(xué)習(xí)的階段性和教材要求等原因，中學(xué)數(shù)學(xué)有大量公式和定理是可以推廣的，教會(huì)學(xué)生推廣，讓學(xué)生看清知識(shí)的內(nèi)部聯(lián)系，是把知識(shí)納入學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的有效途徑．例如三角形面積公式s11absinc中bsinc就是a邊上的高,它其實(shí)就是初中所學(xué)的公式sah的另一種新的形式．再如學(xué)2

2習(xí)了祖暅原理后，讓學(xué)生把它引申到平面幾何的相應(yīng)命題．

3、對(duì)比與鑒別

對(duì)比與鑒別是把公式和定理納入學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的必由之路．在教學(xué)的后階段，一般是應(yīng)用所學(xué)新知識(shí)來(lái)解題．假如僅僅盯住新公式，學(xué)生就失去一次獨(dú)立選擇公式的機(jī)遇，這無(wú)助于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展．特別是公式較多時(shí)，學(xué)生一旦面臨繁雜的問(wèn)題，他們會(huì)無(wú)所適從．因此在教學(xué)中用注意公式的對(duì)比

與鑒別，選擇適合的公式解題，使學(xué)生的解題能力得到發(fā)展．例如有這樣一道題：在△abc中，已知a3，b1,b300,求c邊的長(zhǎng)．假如用正弦定理來(lái)解，要分兩步而且面臨∠a是一解還是兩解的選擇，而直接用余弦定理就可一步到位．在數(shù)學(xué)公式和定理的教學(xué)中，教師必需使學(xué)生到達(dá)以下目標(biāo)：一是要用確切的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述公式與定理的內(nèi)容；二是要學(xué)會(huì)分析其條件與結(jié)論間的內(nèi)在關(guān)系；三是要正確地把握其證明及推導(dǎo)方法；四是要明確其使用的條件和適用的范圍及應(yīng)用的規(guī)律；五是要考慮對(duì)一些重要的公式和定理能否作適當(dāng)?shù)囊昱c推廣．我們?cè)诮虒W(xué)中，必需以適當(dāng)?shù)姆绞綄⒐胶投ɡ淼陌l(fā)生發(fā)展過(guò)程展示給學(xué)生，讓學(xué)生通過(guò)自主學(xué)習(xí)獲取知識(shí)，并領(lǐng)悟公式和定理所包含的教學(xué)思想方法，靈活地把握知識(shí)，應(yīng)用知識(shí)，達(dá)到提高分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力．

參考資料：

李果民《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)建?！窂V西教育出版社2023年

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小學(xué)數(shù)學(xué)公式以及定理篇二

基本概念

第一章數(shù)和數(shù)的運(yùn)算

一

概念

（一）整數(shù)整數(shù)的意義

自然數(shù)和0都是整數(shù)。

自然數(shù)

我們?cè)跀?shù)物體的時(shí)候，用來(lái)表示物體個(gè)數(shù)的1，2，3??叫做自然數(shù)。

一個(gè)物體也沒(méi)有，用0表示。0也是自然數(shù)。

3計(jì)數(shù)單位

一（個(gè)）、十、百、千、萬(wàn)、十萬(wàn)、百萬(wàn)、千萬(wàn)、億??都是計(jì)數(shù)單位。

每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10。這樣的計(jì)數(shù)法叫做十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。

數(shù)位

計(jì)數(shù)單位依照一定的順序排列起來(lái)，它們所占的位置叫做數(shù)位。

5數(shù)的整除

整數(shù)a除以整數(shù)b(b≠0），除得的商是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù)，我們就說(shuō)a能被b整除，或者說(shuō)b能整除a。

假如數(shù)a能被數(shù)b（b≠0）整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)（或a的因數(shù)）。倍數(shù)和約數(shù)是相互依存的。

由于35能被7整除，所以35是7的倍數(shù)，7是35的約數(shù)。

一個(gè)數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的約數(shù)是1，最大的約數(shù)是它本身。例如：10的約數(shù)有1、2、5、10，其中最小的約數(shù)是1，最大的約數(shù)是10。

一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。3的倍數(shù)有：3、6、9、12??其中最小的倍數(shù)是3，沒(méi)有最大的倍數(shù)。

個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。

個(gè)位上是0或5的數(shù)，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。

一個(gè)數(shù)的各位上的數(shù)的和能被3整除，這個(gè)數(shù)就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。

一個(gè)數(shù)各位數(shù)上的和能被9整除，這個(gè)數(shù)就能被9整除。

能被3整除的數(shù)不一定能被9整除，但是能被9整除的數(shù)一定能被3整除。

一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除，這個(gè)數(shù)就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。

一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，這個(gè)數(shù)就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。

能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)。

不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。

0也是偶數(shù)。自然數(shù)按能否被2整除的特征可分為奇數(shù)和偶數(shù)。

一個(gè)數(shù)，假如只有1和它本身兩個(gè)約數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)），100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

一個(gè)數(shù)，假如除了1和它本身還有別的約數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)，例如4、6、8、9、12都是合數(shù)。

1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，自然數(shù)除了1外，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。假如把自然數(shù)按其約數(shù)的個(gè)數(shù)的不同分類，可分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1。

每個(gè)合數(shù)都可以寫(xiě)成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個(gè)質(zhì)數(shù)都是這個(gè)合數(shù)的因數(shù)，叫做這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如15=3×5，3和5叫做15的質(zhì)因數(shù)。

把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)。

例如把28分解質(zhì)因數(shù)

幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)。其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，例如12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12；18的約數(shù)有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和18的公約數(shù)，6是它們的最大公約數(shù)。

公約數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)，成互質(zhì)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)，有以下幾種狀況：

1和任何自然數(shù)互質(zhì)。

相鄰的兩個(gè)自然數(shù)互質(zhì)。

兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)互質(zhì)。

當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時(shí)，這個(gè)合數(shù)和這個(gè)質(zhì)數(shù)互質(zhì)。

兩個(gè)合數(shù)的公約數(shù)只有1時(shí)，這兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)，假如幾個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)都互質(zhì)，就說(shuō)這幾個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。

假如較小數(shù)是較大數(shù)的約數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。

假如兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公約數(shù)就是1。

幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，如2的倍數(shù)有2、4、6、8、10、12、14、16、18??

3的倍數(shù)有3、6、9、12、15、18??其中6、12、18??是2、3的公倍數(shù)，6是它們的最小公倍數(shù)。

假如較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。假如兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。

幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，而幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的。

（二）小數(shù)小數(shù)的意義

把整數(shù)1平均分成10份、100份、1000份??得到的十分之幾、百分之幾、千分之幾??可以用小數(shù)表示。

一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾??

一個(gè)小數(shù)由整數(shù)部分、小數(shù)部分和小數(shù)點(diǎn)部分組成。數(shù)中的圓點(diǎn)叫做小數(shù)點(diǎn)，小數(shù)點(diǎn)左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點(diǎn)左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點(diǎn)右邊的數(shù)叫做小數(shù)部分。

在小數(shù)里，每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10。小數(shù)部分的最高分?jǐn)?shù)單位“十分之一〞和整數(shù)部分的最低單位“一〞之間的進(jìn)率也是10。

2小數(shù)的分類

純小數(shù)：整數(shù)部分是零的小數(shù)，叫做純小數(shù)。例如：0.25、0.368都是純小數(shù)。

帶小數(shù)：整數(shù)部分不是零的小數(shù)，叫做帶小數(shù)。例如：3.25、5.26都是帶小數(shù)。

有限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù)。例如：41.7、25.3、0.23都是有限小數(shù)。

無(wú)限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是無(wú)限的小數(shù)，叫做無(wú)限小數(shù)。例如：4.33??3.1415926??

無(wú)限不循環(huán)小數(shù)：一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分，數(shù)字排列無(wú)規(guī)律且位數(shù)無(wú)限，這樣的小數(shù)叫做無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。例如：∏

循環(huán)小數(shù)：一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分，有一個(gè)數(shù)字或者幾個(gè)數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)，這個(gè)數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。例如：3.555??0.0333??12.109109??

一個(gè)循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個(gè)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。例如：3.99??的循環(huán)節(jié)是“9〞，0.5454??的循環(huán)節(jié)是“54〞。

純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開(kāi)始的，叫做純循環(huán)小數(shù)。例如：3.111??0.5656??

混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開(kāi)始的，叫做混循環(huán)小數(shù)。3.1222??0.03333??

寫(xiě)循環(huán)小數(shù)的時(shí)候，為了簡(jiǎn)便，小數(shù)的循環(huán)部分只需寫(xiě)出一個(gè)循環(huán)節(jié)，并在這個(gè)循環(huán)節(jié)的首、末位數(shù)字上各點(diǎn)一個(gè)圓點(diǎn)。假如循環(huán)節(jié)只有一個(gè)數(shù)字，就只在它的上面點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)。例如：3.777??簡(jiǎn)寫(xiě)作

0.5302302??簡(jiǎn)寫(xiě)作。

（三）分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)的意義

把單位“1〞平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。

在分?jǐn)?shù)里，中間的橫線叫做分?jǐn)?shù)線；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)，叫做分母，表示把單位“1〞平均分成多少份；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)叫做分子，表示有這樣的多少份。

把單位“1〞平均分成若干份，表示其中的一份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)單位。

分?jǐn)?shù)的分類

真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)小于1。

假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù)，叫做假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)大于或等于1。

帶分?jǐn)?shù)：假分?jǐn)?shù)可以寫(xiě)成整數(shù)與真分?jǐn)?shù)合成的數(shù)，尋常叫做帶分?jǐn)?shù)。

約分和通分

把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成同它相等但是分子、分母都對(duì)比小的分?jǐn)?shù)，叫做約分。

分子分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)，叫做最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和原來(lái)分?jǐn)?shù)相等的同分母分?jǐn)?shù)，叫做通分。

（四）百分?jǐn)?shù)表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù),也叫做百分率或百分比。百分?jǐn)?shù)尋常用“%〞來(lái)表示。百分號(hào)是表示百分?jǐn)?shù)的符號(hào)。

二

方法

（一）數(shù)的讀法和寫(xiě)法

1.整數(shù)的讀法：從高位到低位，一級(jí)一級(jí)地讀。讀億級(jí)、萬(wàn)級(jí)時(shí)，先依照個(gè)級(jí)的讀法去讀，再在后面加一個(gè)“億〞或“萬(wàn)〞字。每一級(jí)末尾的0都不讀出來(lái)，其它數(shù)位連續(xù)有幾個(gè)0都只讀一個(gè)零。

2.整數(shù)的寫(xiě)法：從高位到低位，一級(jí)一級(jí)地寫(xiě)，哪一個(gè)數(shù)位上一個(gè)單位也沒(méi)有，就在那個(gè)數(shù)位上寫(xiě)0。

3.小數(shù)的讀法：讀小數(shù)的時(shí)候，整數(shù)部分依照整數(shù)的讀法讀，小數(shù)點(diǎn)讀作“點(diǎn)〞，小數(shù)部分從左向右順次讀出每一位數(shù)位上的數(shù)字。

4.小數(shù)的寫(xiě)法：寫(xiě)小數(shù)的時(shí)候，整數(shù)部分依照整數(shù)的寫(xiě)法來(lái)寫(xiě)，小數(shù)點(diǎn)寫(xiě)在個(gè)位右下角，小數(shù)部分順次寫(xiě)出每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字。

5.分?jǐn)?shù)的讀法：讀分?jǐn)?shù)時(shí)，先讀分母再讀“分之〞然后讀分子，分子和分母依照整數(shù)的讀法來(lái)讀。

6.分?jǐn)?shù)的寫(xiě)法：先寫(xiě)分?jǐn)?shù)線，再寫(xiě)分母，最終寫(xiě)分子，依照整數(shù)的寫(xiě)法來(lái)寫(xiě)。

7.百分?jǐn)?shù)的讀法：讀百分?jǐn)?shù)時(shí)，先讀百分之，再讀百分號(hào)前面的數(shù)，讀數(shù)時(shí)依照整數(shù)的讀法來(lái)讀。

8.百分?jǐn)?shù)的寫(xiě)法：百分?jǐn)?shù)尋常不寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，而在原來(lái)的分子后面加上百分號(hào)“%〞來(lái)表示。

（二）數(shù)的改寫(xiě)

一個(gè)較大的多位數(shù)，為了讀寫(xiě)便利，往往把它改寫(xiě)成用“萬(wàn)〞或“億〞作單位的數(shù)。有時(shí)還可以根據(jù)需要，省略這個(gè)數(shù)某一位后面的數(shù)，寫(xiě)成近似數(shù)。

1.確切數(shù)：在實(shí)際生活中，為了計(jì)數(shù)的簡(jiǎn)便，可以把一個(gè)較大的數(shù)改寫(xiě)成以萬(wàn)或億為單位的數(shù)。改寫(xiě)后的數(shù)是原數(shù)的確切數(shù)。例如把1254300000改寫(xiě)成以萬(wàn)做單位的數(shù)是125430萬(wàn)；改寫(xiě)成以億做單位的數(shù)12.543億。

2.近似數(shù)：根據(jù)實(shí)際需要，我們還可以把一個(gè)較大的數(shù)，省略某一位后面的尾數(shù)，用一個(gè)近似數(shù)來(lái)表示。例如：1302490015省略億后面的尾數(shù)是13億。

3.四舍五入法：要省略的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是4或者比4小，就把尾數(shù)去掉；假如尾數(shù)的最高位上的數(shù)是5或者比5大，就把尾數(shù)舍去，并向它的前一位進(jìn)1。例如：省略345900萬(wàn)后面的尾數(shù)約是35萬(wàn)。省略4725097420億后面的尾數(shù)約是47億。

4.大小對(duì)比

1.對(duì)比整數(shù)大?。簩?duì)比整數(shù)的大小，位數(shù)多的那個(gè)數(shù)就大，假如位數(shù)一致，就看最高位，最高位上的數(shù)大，那個(gè)數(shù)就大；最高位上的數(shù)一致，就看下一位，哪一位上的數(shù)大那個(gè)數(shù)就大。

2.對(duì)比小數(shù)的大?。合瓤此鼈兊恼麛?shù)部分，整數(shù)部分大的那個(gè)數(shù)就大；整數(shù)部分一致的，十分位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大；十分位上的數(shù)也一致的，百分位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大??

3.對(duì)比分?jǐn)?shù)的大小:分母一致的分?jǐn)?shù)，分子大的分?jǐn)?shù)對(duì)比大；分子一致的數(shù)，分母小的分?jǐn)?shù)大。分?jǐn)?shù)的分母和分子都不一致的，先通分，再對(duì)比兩個(gè)數(shù)的大小。

（三）數(shù)的互化

1.小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：原來(lái)有幾位小數(shù)，就在1的后面寫(xiě)幾個(gè)零作分母，把原來(lái)的小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)作分子，能約分的要約分。

2.分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：用分母去除分子。能除盡的就化成有限小數(shù)，有的不能除盡，不能化成有限小數(shù)的，一般保存三位小數(shù)。

3.一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，假如分母中除了2和5以外，不含有其他的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù)；假如分母中含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù)。

4.小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)：只要把小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，同時(shí)在后面添上百分號(hào)。

5.百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：把百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，只要把百分號(hào)去掉，同時(shí)把小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位。

6.分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)：尋常先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)（除不盡時(shí)，尋常保存三位小數(shù))，再把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)。

7.百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：先把百分?jǐn)?shù)改寫(xiě)成分?jǐn)?shù)，能約分的要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

（四）數(shù)的整除

1.把一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，尋常用短除法。先用能整除這個(gè)合數(shù)的質(zhì)數(shù)去除，一直除到商是質(zhì)數(shù)為止，再把除數(shù)和商寫(xiě)成連乘的形式。

2.求幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的方法是：先用這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商只有公約數(shù)1為止，然后把所有的除數(shù)連乘求積，這個(gè)積就是這幾個(gè)數(shù)的的最大公約數(shù)。

3.求幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法是：先用這幾個(gè)數(shù)（或其中的部分?jǐn)?shù)）的公約數(shù)去除，一直除到互質(zhì)（或兩兩互質(zhì)）為止，然后把所有的除數(shù)和商連乘求積，這個(gè)積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

4.成為互質(zhì)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)：1和任何自然數(shù)互質(zhì)；相鄰的兩個(gè)自然數(shù)互質(zhì)；

當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時(shí)，這個(gè)合數(shù)和這個(gè)質(zhì)數(shù)互質(zhì)；兩個(gè)合數(shù)的公約數(shù)只有1時(shí)，這兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)。

（五）約分和通分

約分的方法：用分子和分母的公約數(shù)（1除外）去除分子、分母；尋常要除到得出最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)為止。

通分的方法：先求出原來(lái)的幾個(gè)分?jǐn)?shù)分母的最小公倍數(shù)，然后把各分?jǐn)?shù)化成用這個(gè)最小公倍數(shù)作分母的分?jǐn)?shù)。

三

性質(zhì)和規(guī)律

（一）商不變的規(guī)律

商不變的規(guī)律：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或者同時(shí)縮小一致的倍，商不變。

（二）小數(shù)的性質(zhì)

小數(shù)的性質(zhì)：在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零小數(shù)的大小不變。

（三）小數(shù)點(diǎn)位置的移動(dòng)引起小數(shù)大小的變化

1.小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位，原來(lái)的數(shù)就擴(kuò)大10倍；小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，原來(lái)的數(shù)就擴(kuò)大100倍；小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)三位，原來(lái)的數(shù)就擴(kuò)大1000倍??

2.小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)一位，原來(lái)的數(shù)就縮小10倍；小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位，原來(lái)的數(shù)就縮小100倍；小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)三位，原來(lái)的數(shù)就縮小1000倍??

3.小數(shù)點(diǎn)向左移或者向右移位數(shù)不夠時(shí)，要用“0"補(bǔ)足位。

（四）分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)

分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或者除以一致的數(shù)（零除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。

（五）分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系

1.被除數(shù)÷除數(shù)=被除數(shù)/除數(shù)

2.由于零不能作除數(shù)，所以分?jǐn)?shù)的分母不能為零。

3.被除數(shù)相當(dāng)于分子，除數(shù)相當(dāng)于分母。

四

運(yùn)算的意義

（一）整數(shù)四則運(yùn)算

1整數(shù)加法：

把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算叫做加法。

在加法里，相加的數(shù)叫做加數(shù)，加得的數(shù)叫做和。加數(shù)是部分?jǐn)?shù)，和是總數(shù)。

加數(shù)+加數(shù)=和

一個(gè)加數(shù)=和－另一個(gè)加數(shù)

2整數(shù)減法：

已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算叫做減法。

在減法里，已知的和叫做被減數(shù)，已知的加數(shù)叫做減數(shù)，未知的加數(shù)叫做差。被減數(shù)是總數(shù)，減數(shù)和差分別是部分?jǐn)?shù)。

加法和減法互為逆運(yùn)算。

3整數(shù)乘法：

求幾個(gè)一致加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算叫做乘法。

在乘法里，一致的加數(shù)和一致加數(shù)的個(gè)數(shù)都叫做因數(shù)。一致加數(shù)的和叫做積。

在乘法里，0和任何數(shù)相乘都得0.1和任何數(shù)相乘都的任何數(shù)。

一個(gè)因數(shù)×一個(gè)因數(shù)=積

一個(gè)因數(shù)=積÷另一個(gè)因數(shù)

整數(shù)除法：

已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算叫做除法。

在除法里，已知的積叫做被除數(shù)，已知的一個(gè)因數(shù)叫做除數(shù)，所求的因數(shù)叫做商。

乘法和除法互為逆運(yùn)算。

在除法里，0不能做除數(shù)。由于0和任何數(shù)相乘都得0，所以任何一個(gè)數(shù)除以0，均得不到一個(gè)確定的商。

被除數(shù)÷除數(shù)=商

除數(shù)=被除數(shù)÷商

被除數(shù)=商×除數(shù)

（二）小數(shù)四則運(yùn)算

1.小數(shù)加法：

小數(shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義一致。是把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算。

2.小數(shù)減法：

小數(shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義一致。已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算.3.小數(shù)乘法：

小數(shù)乘整數(shù)的意義和整數(shù)乘法的意義一致，就是求幾個(gè)一致加數(shù)和的簡(jiǎn)便運(yùn)算；一個(gè)數(shù)乘純小數(shù)的意義是求這個(gè)數(shù)的十分之幾、百分之幾、千分之幾??是多少。

4.小數(shù)除法：

小數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義一致，就是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。

5.乘方:

求幾個(gè)一致因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方。例如3×3=32

（三）分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算

1.分?jǐn)?shù)加法：

分?jǐn)?shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義一致。是把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算。

2.分?jǐn)?shù)減法：

分?jǐn)?shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義一致。已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算。

3.分?jǐn)?shù)乘法：

分?jǐn)?shù)乘法的意義與整數(shù)乘法的意義一致，就是求幾個(gè)一致加數(shù)和的簡(jiǎn)便運(yùn)算。

4.乘積是1的兩個(gè)數(shù)叫做互為倒數(shù)。

5.分?jǐn)?shù)除法：

分?jǐn)?shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義一致。就是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。

（四）運(yùn)算定律

1.加法交換律：

兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變，即a+b=b+a。

2.加法結(jié)合律：

三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，再加上第三個(gè)數(shù)；或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，再和第一個(gè)數(shù)相加它們的和不變，即（a+b)+c=a+(b+c)。

3.乘法交換律：

兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置它們的積不變，即a×b=b×a。

4.乘法結(jié)合律：

三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，再乘以第三個(gè)數(shù)；或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，再和第一個(gè)數(shù)相乘，它們的積不變，即(a×b)×c=a×(b×c)。5.乘法分派律：

兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以把兩個(gè)加數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘再把兩個(gè)積相加，即(a+b)×c=a×c+b×c。

6.減法的性質(zhì)：

從一個(gè)數(shù)里連續(xù)減去幾個(gè)數(shù)，可以從這個(gè)數(shù)里減去所有減數(shù)的和，差不變，即a-b-c=a-(b+c)。

（五）運(yùn)算法則

1.整數(shù)加法計(jì)算法則：

一致數(shù)位對(duì)齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)相加滿十，就向前一位進(jìn)一。

2.整數(shù)減法計(jì)算法則：

一致數(shù)位對(duì)齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)不夠減，就從它的前一位退一作十，和本位上的數(shù)合并在一起，再減。

3.整數(shù)乘法計(jì)算法則：

先用一個(gè)因數(shù)每一位上的數(shù)分別去乘另一個(gè)因數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)，用因數(shù)哪一位上的數(shù)去乘，乘得的數(shù)的末尾就對(duì)齊哪一位，然后把各次乘得的數(shù)加起來(lái)。

4.整數(shù)除法計(jì)算法則：

先從被除數(shù)的高位除起，除數(shù)是幾位數(shù)，就看被除數(shù)的前幾位；假如不夠除，就多看一位，除到被除數(shù)的哪一位，商就寫(xiě)在哪一位的上面。假如哪一位上不夠商1，要補(bǔ)“0〞占位。每次除得的余數(shù)要小于除數(shù)。

5.小數(shù)乘法法則：

先依照整數(shù)乘法的計(jì)算法則算出積，再看因數(shù)中共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)；假如位數(shù)不夠，就用“0〞補(bǔ)足。

6.除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法計(jì)算法則：

先依照整數(shù)除法的法則去除，商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊；假如除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)，就在余數(shù)后面添“0〞，再繼續(xù)除。

7.除數(shù)是小數(shù)的除法計(jì)算法則：

先移動(dòng)除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，使它變成整數(shù)，除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)也向右移動(dòng)幾位（位數(shù)不夠的補(bǔ)“0〞），然后依照除數(shù)是整數(shù)的除法法則進(jìn)行計(jì)算。

8.同分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算方法:同分母分?jǐn)?shù)相加減，只把分子相加減，分母不變。

9.異分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算方法:先通分，然后依照同分母分?jǐn)?shù)加減法的的法則進(jìn)行計(jì)算。

10.帶分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法:整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分分別相加減，再把所得的數(shù)合并起來(lái)。

11.分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算法則:分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，用分?jǐn)?shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子，分母不變；分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。

12.分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則:甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。

（六）運(yùn)算順序

1.小數(shù)四則運(yùn)算的運(yùn)算順序和整數(shù)四則運(yùn)算順序一致。

2.分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的運(yùn)算順序和整數(shù)四則運(yùn)算順序一致。

3.沒(méi)有括號(hào)的混合運(yùn)算:同級(jí)運(yùn)算從左往右依次運(yùn)算；兩級(jí)運(yùn)算先算乘、除法，后算加減法。

4.有括號(hào)的混合運(yùn)算:先算小括號(hào)里面的，再算中括號(hào)里面的，最終算括號(hào)外面的。

5.第一級(jí)運(yùn)算：

加法和減法叫做第一級(jí)運(yùn)算。

6.其次級(jí)運(yùn)算：

乘法和除法叫做其次級(jí)運(yùn)算。

五

應(yīng)用

（一）整數(shù)和小數(shù)的應(yīng)用簡(jiǎn)單應(yīng)用題

（1）簡(jiǎn)單應(yīng)用題：只含有一種基本數(shù)量關(guān)系，或用一步運(yùn)算解答的應(yīng)用題，尋常叫做簡(jiǎn)單應(yīng)用題。

（2）解題步驟：

a審題理解題意：了解應(yīng)用題的內(nèi)容，知道應(yīng)用題的條件和問(wèn)題。讀題時(shí)，不丟字不添字邊讀邊思考，弄明白題中每句話的意思。也可以復(fù)述條件和問(wèn)題，幫助理解題意。

b選擇算法和列式計(jì)算：這是解允許用題的中心工作。從題目中告訴什么，要求什么著手，逐步根據(jù)所給的條件和問(wèn)題，聯(lián)系四則運(yùn)算的含義，分析數(shù)量關(guān)系，確定算法，進(jìn)行解答并標(biāo)明正確的單位名稱。

c檢驗(yàn)：就是根據(jù)應(yīng)用題的條件和問(wèn)題進(jìn)行檢查看所列算式和計(jì)算過(guò)程是否正確，是否符合題意。假如發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，立刻改正。復(fù)合應(yīng)用題

（1）有兩個(gè)或兩個(gè)以上的基本數(shù)量關(guān)系組成的，用兩步或兩步以上運(yùn)算解答的應(yīng)用題，尋常叫做復(fù)合應(yīng)用題。

（2）含有三個(gè)已知條件的兩步計(jì)算的應(yīng)用題。

求比兩個(gè)數(shù)的和多（少）幾個(gè)數(shù)的應(yīng)用題。

對(duì)比兩數(shù)差與倍數(shù)關(guān)系的應(yīng)用題。

（3）含有兩個(gè)已知條件的兩步計(jì)算的應(yīng)用題。

已知兩數(shù)相差多少（或倍數(shù)關(guān)系）與其中一個(gè)數(shù)，求兩個(gè)數(shù)的和（或差）。

已知兩數(shù)之和與其中一個(gè)數(shù)，求兩個(gè)數(shù)相差多少（或倍數(shù)關(guān)系）。

（4）解答連乘連除應(yīng)用題。

（5）解答三步計(jì)算的應(yīng)用題。

（6）解答小數(shù)計(jì)算的應(yīng)用題：小數(shù)計(jì)算的加法、減法、乘法和除法的應(yīng)用題，他們的數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)、和解題方式都與正式應(yīng)用題基本一致，只是在已知數(shù)或未知數(shù)中間含有小數(shù)。d答案：根據(jù)計(jì)算的結(jié)果，先口答，逐步過(guò)渡到筆答。

(3)解答加法應(yīng)用題：

a求總數(shù)的應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少，乙數(shù)是多少，求甲乙兩數(shù)的和是多少。

b求比一個(gè)數(shù)多幾的數(shù)應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少和乙數(shù)比甲數(shù)多多少，求乙數(shù)是多少。

(4)解答減法應(yīng)用題：

a求剩余的應(yīng)用題：從已知數(shù)中去掉一部分，求剩下的部分。

-b求兩個(gè)數(shù)相差的多少的應(yīng)用題：已知甲乙兩數(shù)各是多少，求甲數(shù)比乙數(shù)多多少，或乙數(shù)比甲數(shù)少多少。

c求比一個(gè)數(shù)少幾的數(shù)的應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少，乙數(shù)比甲數(shù)少多少，求乙數(shù)是多少。

(5)解答乘法應(yīng)用題：

a求一致加數(shù)和的應(yīng)用題：已知一致的加數(shù)和一致加數(shù)的個(gè)數(shù)，求總數(shù)。

b求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少的應(yīng)用題：已知一個(gè)數(shù)是多少，另一個(gè)數(shù)是它的幾倍，求另一個(gè)數(shù)是多少。

(6)解答除法應(yīng)用題：

a把一個(gè)數(shù)平均分成幾份，求每一份是多少的應(yīng)用題：已知一個(gè)數(shù)和把這個(gè)數(shù)平均分成幾份的，求每一份是多少。

b求一個(gè)數(shù)里包含幾個(gè)另一個(gè)數(shù)的應(yīng)用題：已知一個(gè)數(shù)和每份是多少，求可以分成幾份。

c求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的的幾倍的應(yīng)用題：已知甲數(shù)乙數(shù)各是多少，求較大數(shù)是較小數(shù)的幾倍。

d已知一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，求這個(gè)數(shù)的應(yīng)用題。

（7）常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系：

總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量

路程=速度×?xí)r間

工作總量=工作時(shí)間×工效

總產(chǎn)量=單產(chǎn)量×數(shù)量

3典型應(yīng)用題

具有獨(dú)特的結(jié)構(gòu)特征的和特定的解題規(guī)律的復(fù)合應(yīng)用題，尋常叫做典型應(yīng)用題。

（1）平均數(shù)問(wèn)題：平均數(shù)是等分除法的發(fā)展。

解題關(guān)鍵：在于確定總數(shù)量和與之相對(duì)應(yīng)的總份數(shù)。

算術(shù)平均數(shù)：已知幾個(gè)不相等的同類量和與之相對(duì)應(yīng)的份數(shù)，求平均每份是多少。數(shù)量關(guān)系式：數(shù)量之和÷數(shù)量的個(gè)數(shù)=算術(shù)平均數(shù)。

加權(quán)平均數(shù)：已知兩個(gè)以上若干份的平均數(shù)，求總平均數(shù)是多少。

數(shù)量關(guān)系式（部分平均數(shù)×權(quán)數(shù)）的總和÷（權(quán)數(shù)的和）=加權(quán)平均數(shù)。

差額平均數(shù)：是把各個(gè)大于或小于標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的部分之和被總份數(shù)均分，求的是標(biāo)準(zhǔn)數(shù)與各數(shù)相差之和的平均數(shù)。

數(shù)量關(guān)系式：（大數(shù)－小數(shù)）÷2=小數(shù)應(yīng)得數(shù)

最大數(shù)與各數(shù)之差的和÷總份數(shù)=最大數(shù)應(yīng)給數(shù)

最大數(shù)與個(gè)數(shù)之差的和÷總份數(shù)=最小數(shù)應(yīng)得數(shù)。

例：一輛汽車以每小時(shí)100千米的速度從甲地開(kāi)往乙地，又以每小時(shí)60千米的速度從乙地開(kāi)往甲地。求這輛車的平均速度。

分析：求汽車的平均速度同樣可以利用公式。此題可以把甲地到乙地的路程設(shè)為“1〞，則汽車行駛的總路程為“2〞，從甲地到乙地的速度為100，所用的時(shí)間為，汽車從乙地到甲地速度為60千米，所用的時(shí)間是，汽車共行的時(shí)間為

+=,汽車的平均速度為2÷

=75（千米）

（2）歸一問(wèn)題：已知相互關(guān)聯(lián)的兩個(gè)量，其中一種量改變，另一種量也隨之而改變，其變化的規(guī)律是一致的，這種問(wèn)題稱之為歸一問(wèn)題。

根據(jù)求“單一量〞的步驟的多少，歸一問(wèn)題可以分為一次歸一問(wèn)題，兩次歸一問(wèn)題。

根據(jù)球癡單一量之后，解題采用乘法還是除法，歸一問(wèn)題可以分為正歸一問(wèn)題，反歸一問(wèn)題。

一次歸一問(wèn)題，用一步運(yùn)算就能求出“單一量〞的歸一問(wèn)題。又稱“單歸一。〞

兩次歸一問(wèn)題，用兩步運(yùn)算就能求出“單一量〞的歸一問(wèn)題。又稱“雙歸一。〞

正歸一問(wèn)題：用等分除法求出“單一量〞之后，再用乘法計(jì)算結(jié)果的歸一問(wèn)題。

反歸一問(wèn)題：用等分除法求出“單一量〞之后，再用除法計(jì)算結(jié)果的歸一問(wèn)題。

解題關(guān)鍵：從已知的一組對(duì)應(yīng)量中用等分除法求出一份的數(shù)量（單一量），然后以它為標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)題目的要求算出結(jié)果。

數(shù)量關(guān)系式：?jiǎn)我涣俊练輸?shù)=總數(shù)量（正歸一）

總數(shù)量÷單一量=份數(shù)（反歸一）

例一個(gè)織布工人，在七月份織布4774米，照這樣計(jì)算，織布6930米，需要多少天？

分析：必需先求出平均每天織布多少米，就是單一量。6930÷（4774÷31）=45（天）

（3）歸總問(wèn)題：是已知單位數(shù)量和計(jì)量單位數(shù)量的個(gè)數(shù)，以及不同的單位數(shù)量（或單位數(shù)量的個(gè)數(shù)），通過(guò)求總數(shù)量求得單位數(shù)量的個(gè)數(shù)（或單位數(shù)量）。

特點(diǎn)：兩種相關(guān)聯(lián)的量，其中一種量變化，另一種量也跟著變化，不過(guò)變化的規(guī)律相反，和反比例算法彼此相通。

數(shù)量關(guān)系式：?jiǎn)挝粩?shù)量×單位個(gè)數(shù)÷另一個(gè)單位數(shù)量=另一個(gè)單位數(shù)量

單位數(shù)量×單位個(gè)數(shù)÷另一個(gè)單位數(shù)量=另一個(gè)單位數(shù)量。

例修一條水渠，原計(jì)劃每天修800米，6天修完。實(shí)際4天修完，每天修了多少米？

分析：由于要求出每天修的長(zhǎng)度，就必需先求出水渠的長(zhǎng)度。所以也把這類應(yīng)用題叫做“歸總問(wèn)題〞。不同之處是“歸一〞先求出單一量，再求總量，歸總問(wèn)題是先求出總量，再求單一量。800×6÷4=1200（米）

（4）和差問(wèn)題：已知大小兩個(gè)數(shù)的和，以及他們的差，求這兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題叫做和差問(wèn)題。

解題關(guān)鍵：是把大小兩個(gè)數(shù)的和轉(zhuǎn)化成兩個(gè)大數(shù)的和（或兩個(gè)小數(shù)的和），然后再求另一個(gè)數(shù)。

解題規(guī)律：（和＋差）÷2=大數(shù)

大數(shù)－差=小數(shù)

（和－差）÷2=小數(shù)

和－小數(shù)=大數(shù)

例某加工廠甲班和乙班共有工人94人，因工作需要臨時(shí)從乙班調(diào)46人到甲班工作，這時(shí)乙班比甲班人數(shù)少12人，求原來(lái)甲班和乙班各有多少人？

分析：從乙班調(diào)46人到甲班，對(duì)于總數(shù)沒(méi)有變化，現(xiàn)在把乙數(shù)轉(zhuǎn)化成2個(gè)乙班，即94－12，由此得到現(xiàn)在的乙班是（94－12）÷2=41（人），乙班在調(diào)出46人之前應(yīng)當(dāng)為41+46=87（人），甲班為94－87=7（人）

（5）和倍問(wèn)題：已知兩個(gè)數(shù)的和及它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題，叫做和倍問(wèn)題。

解題關(guān)鍵：找準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)（即1倍數(shù)）一般說(shuō)來(lái)，題中說(shuō)是“誰(shuí)〞的幾倍，把誰(shuí)就確定為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。求出倍數(shù)和之后，再求出標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)量是多少。根據(jù)另一個(gè)數(shù)（也可能是幾個(gè)數(shù)）與標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，再去求另一個(gè)數(shù)（或幾個(gè)數(shù)）的數(shù)量。

解題規(guī)律：和÷倍數(shù)和=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×倍數(shù)=另一個(gè)數(shù)

例:汽車運(yùn)輸場(chǎng)有大小貨車115輛，大貨車比小貨車的5倍多7輛，運(yùn)輸場(chǎng)有大貨車和小汽車各有多少輛？

分析：大貨車比小貨車的5倍還多7輛，這7輛也在總數(shù)115輛內(nèi)，為了使總數(shù)與（5+1）倍對(duì)應(yīng)，總車輛數(shù)應(yīng)（115-7）輛。

列式為（115-7）÷（5+1）=18（輛），18×5+7=97（輛）

（6）差倍問(wèn)題：已知兩個(gè)數(shù)的差，及兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題。

解題規(guī)律：兩個(gè)數(shù)的差÷（倍數(shù)－1）=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×倍數(shù)=另一個(gè)數(shù)。

例甲乙兩根繩子，甲繩長(zhǎng)63米，乙繩長(zhǎng)29米，兩根繩剪去同樣的長(zhǎng)度，結(jié)果甲所剩的長(zhǎng)度是乙繩長(zhǎng)的3倍，甲乙兩繩所剩長(zhǎng)度各多少米？各減去多少米？

分析：兩根繩子剪去一致的一段，長(zhǎng)度差沒(méi)變，甲繩所剩的長(zhǎng)度是乙繩的3倍，實(shí)比乙繩多（3-1）倍，以乙繩的長(zhǎng)度為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。列式（63-29）÷（3-1）=17（米）?乙繩剩下的長(zhǎng)度，17×3=51（米）?甲繩剩下的長(zhǎng)度，29-17=12（米）?剪去的長(zhǎng)度。

（7）行程問(wèn)題：關(guān)于走路、行車等問(wèn)題，一般都是計(jì)算路程、時(shí)間、速度，叫做行程問(wèn)題。解答這類問(wèn)題首先要搞明了速度、時(shí)間、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他們之間的關(guān)系，再根據(jù)這類問(wèn)題的規(guī)律解答。

解題關(guān)鍵及規(guī)律：

同時(shí)同地相背而行：路程=速度和×?xí)r間。

同時(shí)相向而行：相遇時(shí)間=速度和×?xí)r間

同時(shí)同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及時(shí)間=路程速度差。同時(shí)同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×?xí)r間。

例甲在乙的后面28千米，兩人同時(shí)同向而行，甲每小時(shí)行16千米，乙每小時(shí)行9千米，甲幾小時(shí)追上乙？

分析：甲每小時(shí)比乙多行（16-9）千米，也就是甲每小時(shí)可以追近乙（16-9）千米，這是速度差。

已知甲在乙的后面28千米（追擊路程），28千米里包含著幾個(gè)（16-9）千米，也就是追擊所需要的時(shí)間。列式28÷（16-9）=4（小時(shí)）

（8）流水問(wèn)題：一般是研究船在“流水〞中航行的問(wèn)題。它是行程問(wèn)題中對(duì)比特別的一種類型，它也是一種和差問(wèn)題。它的特點(diǎn)主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用。

船速：船在靜水中航行的速度。

水速：水滾動(dòng)的速度。

順?biāo)俣龋捍樍骱叫械乃俣取?/p>

逆水速度：船逆流航行的速度。

順?biāo)?船速＋水速

逆速=船速－水速

解題關(guān)鍵：由于順流速度是船速與水速的和，逆流速度是船速與水速的差，所以流水問(wèn)題當(dāng)作和差問(wèn)題解答。解題時(shí)要以水流為線索。

解題規(guī)律：船行速度=（順?biāo)俣?逆流速度）÷2流水速度=（順流速度逆流速度）÷2路程=順流速度×順流航行所需時(shí)間

路程=逆流速度×逆流航行所需時(shí)間

例一只輪船從甲地開(kāi)往乙地順?biāo)?，每小時(shí)行28千米，到乙地后，又逆水航行，回到甲地。逆水比順?biāo)嘈?小時(shí)，已知水速每小時(shí)4千米。求甲乙兩地相距多少千米？

分析：此題必需先知道順?biāo)乃俣群晚標(biāo)枰臅r(shí)間，或者逆水速度和逆水的時(shí)間。已知順?biāo)俣群退魉俣?，因此不難算出逆水的速度，但順?biāo)玫臅r(shí)間，逆水所用的時(shí)間不知道，只知道順?biāo)饶嫠儆?小時(shí)，抓住這一點(diǎn)，就可以就能算出順?biāo)畯募椎氐揭业氐乃玫臅r(shí)間，這樣就能算出甲乙兩地的路程。列式為284×2=20（千米）20×2=40（千米）40÷（4×2）=5（小時(shí)）28×5=140（千米）。

（9）還原問(wèn)題：已知某未知數(shù)，經(jīng)過(guò)一定的四則運(yùn)算后所得的結(jié)果，求這個(gè)未知數(shù)的應(yīng)用題，我們叫做還原問(wèn)題。

解題關(guān)鍵：要弄清每一步變化與未知數(shù)的關(guān)系。

解題規(guī)律：從最終結(jié)果出發(fā)，采用與原題中相反的運(yùn)算（逆運(yùn)算）方法，逐步推導(dǎo)出原數(shù)。

根據(jù)原題的運(yùn)算順序列出數(shù)量關(guān)系，然后采用逆運(yùn)算的方法計(jì)算推導(dǎo)出原數(shù)。

解答還原問(wèn)題時(shí)注意觀測(cè)運(yùn)算的順序。若需要先算加減法，后算乘除法時(shí)別忘掉寫(xiě)括號(hào)。

例某小學(xué)三年級(jí)四個(gè)班共有學(xué)生168人，假如四班調(diào)3人到三班，三班調(diào)6人到二班，二班調(diào)6人到一班，一班調(diào)2人到四班，則四個(gè)班的人數(shù)相等，四個(gè)班原有學(xué)生多少人？

分析：當(dāng)四個(gè)班人數(shù)相等時(shí)，應(yīng)為168÷4，以四班為例，它調(diào)給三班3人，又從一班調(diào)入2人，所以四班原有的人數(shù)減去3再加上2等于平均數(shù)。四班原有人數(shù)列式為168÷4-2+3=43（人）

一班原有人數(shù)列式為168÷4-6+2=38（人）；二班原有人數(shù)列式為168÷4-6+6=42（人）三班原有人數(shù)列式為168÷4-3+6=45（人）。

（10）植樹(shù)問(wèn)題：這類應(yīng)用題是以“植樹(shù)〞為內(nèi)容。凡是研究總路程、株距、段數(shù)、棵樹(shù)四種數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用題，叫做植樹(shù)問(wèn)題。

解題關(guān)鍵：解答植樹(shù)問(wèn)題首先要判斷地形，分清是否封閉圖形，從而確定是沿線段植樹(shù)還是沿周長(zhǎng)植樹(shù)，然后按基本公式進(jìn)行計(jì)算。

解題規(guī)律：沿線段植樹(shù)

棵樹(shù)=段數(shù)+1

棵樹(shù)=總路程÷株距+1

株距=總路程÷（棵樹(shù)-1）

總路程=株距×（棵樹(shù)-1）

沿周長(zhǎng)植樹(shù)

棵樹(shù)=總路程÷株距

株距=總路程÷棵樹(shù)

總路程=株距×棵樹(shù)

例沿馬路一旁埋電線桿301根，每相鄰的兩根的間距是50米。后來(lái)全部改裝，只埋了201根。求改裝后每相鄰兩根的間距。

分析：此題是沿線段埋電線桿，要把電線桿的根數(shù)減掉一。列式為50×（301-1）÷（201-1）=75（米）

（11）盈虧問(wèn)題：是在等分除法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。他的特點(diǎn)是把一定數(shù)量的物品，平均分派給一定數(shù)量的人，在兩次分派中，一次有余，一次不足（或兩次都有余），或兩次都不足），已知所余和不足的數(shù)量，求物品適量和加入分派人數(shù)的問(wèn)題，叫做盈虧問(wèn)題。

解題關(guān)鍵：盈虧問(wèn)題的解法要點(diǎn)是先求兩次分派中分派者沒(méi)份所得物品數(shù)量的差，再求兩次分派中各次共分物品的差（也稱總差額），用前一個(gè)差去除后一個(gè)差，就得到分派者的數(shù)，進(jìn)而再求得物品數(shù)。

解題規(guī)律：總差額÷每人差額=人數(shù)

總差額的求法可以分為以下四種狀況：

第一次多余，其次次不足，總差額=多余+不足

第一次正好，其次次多余或不足，總差額=多余或不足

第一次多余，其次次也多余，總差額=大多余-小多余

第一次不足，其次次也不足，總差額=大不足-小不足

例加入美術(shù)小組的同學(xué)，每個(gè)人分的一致的支數(shù)的色筆，假如小組10人，則多25支，假如小組有12人，色筆多余5支。求每人分得幾支？共有多少支色鉛筆？

分析：每個(gè)同學(xué)分到的色筆相等。這個(gè)活動(dòng)小組有12人，比10人多2人，而色筆多出了（25-5）=20支，2個(gè)人多出20支，一個(gè)人分得10支。列式為（25-5）÷（12-10）=10（支）10×12+5=125（支）。

（12）年齡問(wèn)題：將差為一定值的兩個(gè)數(shù)作為題中的一個(gè)條件，這種應(yīng)用題被稱為“年齡問(wèn)題〞。

解題關(guān)鍵：年齡問(wèn)題與和差、和倍、差倍問(wèn)題類似，主要特點(diǎn)是隨著時(shí)間的變化，年歲不斷增長(zhǎng)，但大小兩個(gè)不同年齡的差是不會(huì)改變的，因此，年齡問(wèn)題是一種“差不變〞的問(wèn)題，解題時(shí)，要擅長(zhǎng)利用差不變的特點(diǎn)。

例父親48歲，兒子21歲。問(wèn)幾年前父親的年齡是兒子的4倍？

分析：父子的年齡差為48-21=27（歲）。由于幾年前父親年齡是兒子的4倍，可知父子年齡的倍數(shù)差是（4-1）倍。這樣可以算出幾年前父子的年齡，從而可以求出幾年前父親的年齡是兒子的4倍。列式為：21（48-21）÷（4-1）=12（年）

（13）雞兔問(wèn)題：已知“雞兔〞的總頭數(shù)和總腿數(shù)。求“雞〞和“兔〞各多少只的一類應(yīng)用題。尋常稱為“雞兔問(wèn)題〞又稱雞兔同籠問(wèn)題

解題關(guān)鍵：解答雞兔問(wèn)題一般采用假設(shè)法，假設(shè)全是一種動(dòng)物（如全是“雞〞或全是“兔〞，然后根據(jù)出現(xiàn)的腿數(shù)差，可推算出某一種的頭數(shù)。

解題規(guī)律：（總腿數(shù)－雞腿數(shù)×總頭數(shù)）÷一只雞兔腿數(shù)的差=兔子只數(shù)

兔子只數(shù)=（總腿數(shù)-2×總頭數(shù)）÷2

假如假設(shè)全是兔子，可以有下面的式子：

雞的只數(shù)=（4×總頭數(shù)-總腿數(shù)）÷2兔的頭數(shù)=總頭數(shù)-雞的只數(shù)

例雞兔同籠共50個(gè)頭，170條腿。問(wèn)雞兔各有多少只？

兔子只數(shù)（170-2×50）÷2=35（只）

雞的只數(shù)50-35=15（只）

第三章代數(shù)初步知識(shí)

一、用字母表示數(shù)用字母表示數(shù)的意義和作用

*用字母表示數(shù)，可以把數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)明的表達(dá)出來(lái)，同時(shí)也可以表示運(yùn)算的結(jié)果。

2用字母表示常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算定律和性質(zhì)、幾何形體的計(jì)算公式

（1）常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系

路程用s表示，速度v用表示，時(shí)間用t表示，三者之間的關(guān)系：

s=vt

v=s/tt=s/v

總價(jià)用a表示，單價(jià)用b表示，數(shù)量用c表示，三者之間的關(guān)系:a=bcb=a/cc=a/b

（2）運(yùn)算定律和性質(zhì)

加法交換律：a+b=b+a加法結(jié)合律：（a+b)+c=a+(b+c)乘法交換律：ab=ba乘法結(jié)合律：（ab)c=a(bc)乘法分派律：（a+b)c=ac+bc減法的性質(zhì)：a-(b+c)=a-b-c

（3）用字母表示幾何形體的公式

長(zhǎng)方形的長(zhǎng)用a表示，寬用b表示，周長(zhǎng)用c表示，面積用s表示。

c=2(a+b)s=ab

正方形的邊長(zhǎng)a用表示，周長(zhǎng)用c表示，面積用s表示。

c=4as=a2

平行四邊形的底a用表示，高用h表示，面積用s表示。

s=ah

三角形的底用a表示，高用h表示，面積用s表示。

s=ah/2

梯形的上底用a表示，下底b用表示，高用h表示，中位線用m表示，面積用s表示。

s=(a+b)h/2s=mh

圓的半徑用r表示，直徑用d表示，周長(zhǎng)用c表示，面積用s表示。

c=∏d=2∏rs=∏r2

扇形的半徑用r表示，n表示圓心角的度數(shù)，面積用s表示。

s=∏nr2/360

長(zhǎng)方體的長(zhǎng)用a表示，寬用b表示，高用h表示，表面積用s表示，體積用v表示。

v=sh

s=2(ab+ah+bh)v=abh

正方體的棱長(zhǎng)用a表示，底面周長(zhǎng)c用表示，底面積用s表示，體積用v表示.s=6a2

v=a3

圓柱的高用h表示，底面周長(zhǎng)用c表示，底面積用s表示，體積用v表示.s側(cè)=ch

s表=s側(cè)+2s底

v=sh

圓錐的高用h表示，底面積用s表示，體積用v表示.v=sh/3用字母表示數(shù)的寫(xiě)法

數(shù)字和字母、字母和字母相乘時(shí)，乘號(hào)可以記作“.〞，或者省略不寫(xiě)，數(shù)字要寫(xiě)在字母的前面。

當(dāng)“1〞與任何字母相乘時(shí)，“1〞省略不寫(xiě)。

在一個(gè)問(wèn)題中，同一個(gè)字母表示同一個(gè)量，不同的量用不同的字母表示。

用含有字母的式子表示問(wèn)題的答案時(shí)，除數(shù)一般寫(xiě)成分母，假如式子中有加號(hào)或者減號(hào)，要先用括號(hào)把含字母的式子括起來(lái)，再在括號(hào)后面寫(xiě)上單位的名稱。

4將數(shù)值代入式子求值

*把具體的數(shù)代入式子求值時(shí)，要注意書(shū)寫(xiě)格式：先寫(xiě)出字母等于幾，然后寫(xiě)出原式，再把數(shù)代入式子求值。字母表示的是數(shù)，后面不寫(xiě)單位名稱。

*同一個(gè)式子，式子中所含字母取不同的數(shù)值，那么所求出的式子的值也不一致。

二、簡(jiǎn)易方程

（一）方程和方程的解

1方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。

注意方程是等式，又含有未知數(shù)，兩者缺一不可。

方程和算術(shù)式不同。算術(shù)式是一個(gè)式子，它由運(yùn)算符號(hào)和已知數(shù)組成，它表示未知數(shù)。方程是一個(gè)等式，在方程里的未知數(shù)可以加入運(yùn)算，并且只有當(dāng)未知數(shù)為特定的數(shù)值時(shí)，方程才成立。方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。

三、解方程

解方程，求方程的解的過(guò)程叫做解方程。

四、列方程解應(yīng)用題列方程解應(yīng)用題的意義

*用方程式去解允許用題求得應(yīng)用題的未知量的方法。

列方程解允許用題的步驟

*弄清題意，確定未知數(shù)并用x表示；

*找出題中的數(shù)量之間的相等關(guān)系；

*列方程，解方程；

*檢查或驗(yàn)算，寫(xiě)出答案。

3列方程解應(yīng)用題的方法

*綜合法：先把應(yīng)用題中已知數(shù)（量）和所設(shè)未知數(shù)（量）列成有關(guān)的代數(shù)式，再找出它們之間的等量關(guān)系，進(jìn)而列出方程。這是從部分到整體的一種思維過(guò)程，其思考方向是從已知到未知。

*分析法：先找出等量關(guān)系，再根據(jù)具體建立等量關(guān)系的需要，把應(yīng)用題中已知數(shù)（量）和所設(shè)的未知數(shù)（量）列成有關(guān)的代數(shù)式進(jìn)而列出方程。這是從整體到部分的一種思維過(guò)程，其思考方向是從未知到已知。

4列方程解應(yīng)用題的范圍

小學(xué)范圍內(nèi)常用方程解的應(yīng)用題：

a一般應(yīng)用題；

b和倍、差倍問(wèn)題；

c幾何形體的周長(zhǎng)、面積、體積計(jì)算；d分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題；

e比和比例應(yīng)用題。

五

比和比例

1比的意義和性質(zhì)

（1）比的意義

兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比。

“：〞是比號(hào)，讀作“比〞。比號(hào)前面的數(shù)叫做比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫做比的后項(xiàng)。比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商，叫做比值。

同除法對(duì)比，比的前項(xiàng)相當(dāng)于被除數(shù)，后項(xiàng)相當(dāng)于除數(shù)，比值相當(dāng)于商。

比值尋常用分?jǐn)?shù)表示，也可以用小數(shù)表示，有時(shí)也可能是整數(shù)。

比的后項(xiàng)不能是零。

根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，可知比的前項(xiàng)相當(dāng)于分子，后項(xiàng)相當(dāng)于分母，比值相當(dāng)于分?jǐn)?shù)值。

（2）比的性質(zhì)

比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘上或者除以一致的數(shù)（0除外），比值不變，這叫做比的基本性質(zhì)。

（3）

求比值和化簡(jiǎn)比

求比值的方法：用比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)，它的結(jié)果是一個(gè)數(shù)值可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)或分?jǐn)?shù)。

根據(jù)比的基本性質(zhì)可以把比化成最簡(jiǎn)單的整數(shù)比。它的結(jié)果必需是一個(gè)最簡(jiǎn)比，即前、后項(xiàng)是互質(zhì)的數(shù)。

（4）比例尺

圖上距離：實(shí)際距離=比例尺

要求會(huì)求比例尺；已知圖上距離和比例尺求實(shí)際距離；已知實(shí)際距離和比例尺求圖上距離。

線段比例尺：在圖上附有一條注有數(shù)目的線段，用來(lái)表示和地面上相對(duì)應(yīng)的實(shí)際距離。

（5）按比例分派

在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中，往往需要把一個(gè)數(shù)量依照一定的比來(lái)進(jìn)行分派。這種分派的方法尋常叫做按比例分派。

方法：首先求出各部分占總量的幾分之幾，然后求出總數(shù)的幾分之幾是多少。

比例的意義和性質(zhì)

（1）比例的意義

表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。

組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)。

兩端的兩項(xiàng)叫做外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做內(nèi)項(xiàng)。

（2）比例的性質(zhì)

在比例里，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)兩個(gè)內(nèi)向的積。這叫做比例的基本性質(zhì)。

（3）解比例

根據(jù)比例的基本性質(zhì)，假如已知比例中的任何三項(xiàng)，就可以求出這個(gè)數(shù)比例中的另外一個(gè)未知項(xiàng)。求比例中的未知項(xiàng)，叫做解比例。

正比例和反比例

（1）成正比例的量

兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，假如這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，他們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。

用字母表示y/x=k(一定）

（2）成反比例的量

兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，假如這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，他們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。

用字母表示x×y=k(一定)

第四章幾何的初步知識(shí)

一線和角

（1）線

*直線

直線沒(méi)有端點(diǎn)；長(zhǎng)度無(wú)限；過(guò)一點(diǎn)可以畫(huà)無(wú)數(shù)條，過(guò)兩點(diǎn)只能畫(huà)一條直線。

*射線

射線只有一個(gè)端點(diǎn)；長(zhǎng)度無(wú)限。

*線段

線段有兩個(gè)端點(diǎn)，它是直線的一部分；長(zhǎng)度有限；兩點(diǎn)的連線中，線段為最短。

*平行線

在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。

兩條平行線之間的垂線長(zhǎng)度都相等。

*垂線

兩條直線相交成直角時(shí)，這兩條直線叫做相互垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線,相交的點(diǎn)叫做垂足。

從直線外一點(diǎn)到這條直線所畫(huà)的垂線的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到直線的距離。

（2）角

（1）從一點(diǎn)引出兩條射線，所組成的圖形叫做角。這個(gè)點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做角的邊。

（2）角的分類

銳角：小于90°的角叫做銳角。

直角：等于90°的角叫做直角。

鈍角：大于90°而小于180°的角叫做鈍角。

平角：角的兩邊成一條直線，這時(shí)所組成的角叫做平角。平角180°。

周角：角的一邊旋轉(zhuǎn)一周，與另一邊重合。周角是360°。

二平面圖形

1長(zhǎng)方形

（1）特征

對(duì)邊相等，4個(gè)角都是直角的四邊形。有兩條對(duì)稱軸。

（2）計(jì)算公式

c=2(a+b)s=ab2正方形

（1）特征：

四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形。有4條對(duì)稱軸。（2）計(jì)算公式

c=4as=a2

3三角形

（1）特征

由三條線段圍成的圖形。內(nèi)角和是180度。三角形具有穩(wěn)定性。三角形有三條高。

（2）計(jì)算公式

s=ah/2

（3）分類

按角分

銳角三角形：三個(gè)角都是銳角。

直角三角形：有一個(gè)角是直角。等腰三角形的兩個(gè)銳角各為45度，它有一條對(duì)稱軸。

鈍角三角形：有一個(gè)角是鈍角。

按邊分

不等邊三角形：三條邊長(zhǎng)度不相等。

等腰三角形：有兩條邊長(zhǎng)度相等；兩個(gè)底角相等；有一條對(duì)稱軸。

等邊三角形：三條邊長(zhǎng)度都相等；三個(gè)內(nèi)角都是60度；有三條對(duì)稱軸。

4平行四邊形

（1）

特征

兩組對(duì)邊分別平行的四邊形。

相對(duì)的邊平行且相等。對(duì)角相等，相鄰的兩個(gè)角的度數(shù)之和為180度。平行四邊形簡(jiǎn)單變形。

（2）計(jì)算公式

s=ah5梯形

（1）特征

只有一組對(duì)邊平行的四邊形。

中位線等于上下底和的一半。

等腰梯形有一條對(duì)稱軸。

（2）公式

s=(a+b)h/2=mh6圓

（1）圓的認(rèn)識(shí)

平面上的一種曲線圖形。

圓中心的一點(diǎn)叫做圓心。一般用字母o表示。

半徑：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段叫做半徑。一般用r表示。

在同一個(gè)圓里，有無(wú)數(shù)條半徑，每條半徑的長(zhǎng)度都相等。

通過(guò)圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用d表示。

同一個(gè)圓里有無(wú)數(shù)條直徑，所有的直徑都相等。

同一個(gè)圓里，直徑等于兩個(gè)半徑的長(zhǎng)度，即d=2r。

圓的大小由半徑?jīng)Q定。圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸。

（2）圓的畫(huà)法

把圓規(guī)的兩腳分開(kāi)，定好兩腳間的距離（即半徑）；

把有針尖的一只腳固定在一點(diǎn)（即圓心）上；

把裝有鉛筆尖的一只腳旋轉(zhuǎn)一周，就畫(huà)出一個(gè)圓。

（3）圓的周長(zhǎng)

圍成圓的曲線的長(zhǎng)叫做圓的周長(zhǎng)。

把圓的周長(zhǎng)和直徑的比值叫做圓周率。用字母∏表示。

（4）圓的面積

圓所占平面的大小叫做圓的面積。

（5）計(jì)算公式

d=2rr=d/2c=∏dc=2∏r

s=∏r2

7扇形

（1）

扇形的認(rèn)識(shí)

一條弧和經(jīng)過(guò)這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。

圓上ab兩點(diǎn)之間的部分叫做弧，讀作“弧ab〞。

頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。

在同一個(gè)圓中，扇形的大小與這個(gè)扇形的圓心角的大小有關(guān)。

扇形有一條對(duì)稱軸。

(2)計(jì)算公式

s=n∏r2/3608環(huán)形

(1)特征

由兩個(gè)半徑不相等的同心圓相減而成，有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸。

(2)計(jì)算公式

s=∏(r2-r2）

9軸對(duì)稱圖形

(1)特征

假如一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折，兩側(cè)的圖形能夠完全重合，這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形。折痕所在的這條直線叫做對(duì)稱軸。

正方形有4條對(duì)稱軸，長(zhǎng)方形有2條對(duì)稱軸。

等腰三角形有2條對(duì)稱軸，等邊三角形有3條對(duì)稱軸。

等腰梯形有一條對(duì)稱軸，圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸。

菱形有4條對(duì)稱軸，扇形有一條對(duì)稱軸。

三立體圖形

（一）長(zhǎng)方體

特征

六個(gè)面都是長(zhǎng)方形（有時(shí)有兩個(gè)相對(duì)的面是正方形）。

相對(duì)的面面積相等，12條棱相對(duì)的4條棱長(zhǎng)度相等。

有8個(gè)頂點(diǎn)。

相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)度分別叫做長(zhǎng)、寬、高。

兩個(gè)面相交的邊叫做棱。

三條棱相交的點(diǎn)叫做頂點(diǎn)。

把長(zhǎng)方體放在桌面上，最多只能看到三個(gè)面。

長(zhǎng)方體或者正方體6個(gè)面的總面積，叫做它的表面積。計(jì)算公式

s=2(ab+ah+bh)v=shv=abh

（二）正方體

特征

六個(gè)面都是正方形

六個(gè)面的面積相等

12條棱，棱長(zhǎng)都相等

有8個(gè)頂點(diǎn)

正方體可以看作特別的長(zhǎng)方體

計(jì)算公式

s表=6a2

v=a3

（三）圓柱

1圓柱的認(rèn)識(shí)

圓柱的上下兩個(gè)面叫做底面。

圓柱有一個(gè)曲面叫做側(cè)面。

圓柱兩個(gè)底面之間的距離叫做高。

進(jìn)一法：實(shí)際中，使用的材料都要比計(jì)算的結(jié)果多一些，因此，要保存數(shù)的時(shí)候，省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位進(jìn)1。這種取近似值的方法叫做進(jìn)一法。2計(jì)算公式

s側(cè)=ch

s表=s側(cè)+s底×2v=sh/3

（四）圓錐

圓錐的認(rèn)識(shí)

圓錐的底面是個(gè)圓，圓錐的側(cè)面是個(gè)曲面。

從圓錐的頂點(diǎn)畢竟面圓心的距離是圓錐的高。

測(cè)量圓錐的高：先把圓錐的底面放平，用一塊平板水平地放在圓錐的頂點(diǎn)上面，豎直地量出平板和底面之間的距離。

把圓錐的側(cè)面展開(kāi)得到一個(gè)扇形。2計(jì)算公式

v=sh/3

（五）球

認(rèn)識(shí)

球的表面是一個(gè)曲面，這個(gè)曲面叫做球面。

球和圓類似，也有一個(gè)球心，用o表示。

從球心到球面上任意一點(diǎn)的線段叫做球的半徑，用r表示，每條半徑都相等。

通過(guò)球心并且兩端都在球面上的線段，叫做球的直徑，用d表示,每條直徑都相等,直徑的長(zhǎng)度等于半徑的2倍，即d=2r。

計(jì)算公式

-第五章簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)

一

統(tǒng)計(jì)表

（一）意義

*把統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)在一定格式的表格內(nèi)，用來(lái)反映狀況、說(shuō)明問(wèn)題，這樣的表格就叫做統(tǒng)計(jì)表。

（二）組成部分

*一般分為表特別和表格內(nèi)兩部分。表特別部分包括標(biāo)的名稱，單位說(shuō)明和制表日期；表格內(nèi)部包括表頭、橫標(biāo)目、縱標(biāo)目和數(shù)據(jù)四個(gè)方面。

（三）種類

*單式統(tǒng)計(jì)表：只含有一個(gè)項(xiàng)目的統(tǒng)計(jì)表。

*復(fù)式統(tǒng)計(jì)表：含有兩個(gè)或兩個(gè)以上統(tǒng)計(jì)項(xiàng)目的統(tǒng)計(jì)表。

*百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)表：不僅說(shuō)明各統(tǒng)計(jì)項(xiàng)目的具體數(shù)量，而且說(shuō)明對(duì)比量相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)量的百分比的統(tǒng)計(jì)表。

（四）制作步驟

1搜集數(shù)據(jù)

2整理數(shù)據(jù)：

要根據(jù)制表的目的和統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分類。

3設(shè)計(jì)草表：

要根據(jù)統(tǒng)計(jì)的目的和內(nèi)容設(shè)計(jì)分欄格內(nèi)容、分欄格畫(huà)法，規(guī)定橫欄、豎欄各需幾格，每格長(zhǎng)度。正式制表：

把核對(duì)過(guò)的數(shù)據(jù)填入表中，并根據(jù)制表要求，用簡(jiǎn)單、明確的語(yǔ)言寫(xiě)上統(tǒng)計(jì)表的名稱和制表日期。

二

統(tǒng)計(jì)圖

（一）意義

*用點(diǎn)線面積等來(lái)表示相關(guān)的量之間的數(shù)量關(guān)系的圖形叫做統(tǒng)計(jì)圖。

（二）分類條形統(tǒng)計(jì)圖

用一個(gè)單位長(zhǎng)度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少畫(huà)成長(zhǎng)短不同的直條，然后把這些直線依照一定的順序排列起來(lái)。

優(yōu)點(diǎn)：很簡(jiǎn)單看出各種數(shù)量的多少。

注意：畫(huà)條形統(tǒng)計(jì)圖時(shí)，直條的寬窄必需一致。

取一個(gè)單位長(zhǎng)度表示數(shù)量的多少要根據(jù)具體狀況而確定；

復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖中表示不同項(xiàng)目的直條，要用不同的線條或顏色區(qū)別開(kāi)，并在制圖日期下面注明圖例。

制作條形統(tǒng)計(jì)圖的一般步驟:

（1）根據(jù)圖紙的大小，畫(huà)出兩條相互垂直的射線。

（2）在水平射線上，適當(dāng)分派條形的位置，確定直線的寬度和間隔。

（3）在與水平射線垂直的深線上根據(jù)數(shù)據(jù)大小的具體狀況，確定單位長(zhǎng)度表示多少。

（4）依照數(shù)據(jù)的大小畫(huà)出長(zhǎng)短不同的直條，并注明數(shù)量。

折線統(tǒng)計(jì)圖

用一個(gè)單位長(zhǎng)度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少描出各點(diǎn)，然后把各點(diǎn)用線段順次連接起來(lái)。

優(yōu)點(diǎn)：不但可以表示數(shù)量的多少，而且能夠明了地表示出數(shù)量增減變化的狀況。

注意：折線統(tǒng)計(jì)圖的橫軸表示不同的年份、月份等時(shí)間時(shí)，不同時(shí)間之間的距離要根據(jù)年份或月份的間隔來(lái)確定。

制作折線統(tǒng)計(jì)圖的一般步驟:

（1）根據(jù)圖紙的大小，畫(huà)出兩條相互垂直的射線。

（2）在水平射線上，適當(dāng)分派折線的位置，確定直線的寬度和間隔。

（3）在與水平射線垂直的深線上根據(jù)數(shù)據(jù)大小的具體狀況，確定單位長(zhǎng)度表示多少。

（4）依照數(shù)據(jù)的大小描出各點(diǎn)，再用線段順次連接起來(lái)，并注明數(shù)量。

3扇形統(tǒng)計(jì)圖

用整個(gè)圓的面積表示總數(shù)，用扇形面積表示各部分所占總數(shù)的百分?jǐn)?shù)。

優(yōu)點(diǎn)：很明了地表示出各部分同總數(shù)之間的關(guān)系。

制扇形統(tǒng)計(jì)圖的一般步驟：

（1）先算出各部分?jǐn)?shù)量占總量的百分之幾。

（2）再算出表示各部分?jǐn)?shù)量的扇形的圓心角度數(shù)。

（3）取適當(dāng)?shù)陌霃疆?huà)一個(gè)圓，并依照上面算出的圓心角的度數(shù)，在圓里畫(huà)出各個(gè)扇形。