理工剛體的定軸轉(zhuǎn)動

理工剛體的定軸轉(zhuǎn)動第一頁，共六十八頁，2022年，8月28日剛體定軸轉(zhuǎn)動定律角動量定理本章知識結(jié)構(gòu)角動量角動量變化率轉(zhuǎn)動慣量角動量守恒定律力矩作功轉(zhuǎn)動動能動能定理剛體轉(zhuǎn)動角量角速度、角加速度角量與線量關(guān)系剛體運(yùn)動學(xué)剛體動力學(xué)第二頁，共六十八頁，2022年，8月28日華南熱帶農(nóng)業(yè)大學(xué)儋州立業(yè)寶島生根第三章剛體的轉(zhuǎn)動

教學(xué)基本要求

一

理解描寫剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量，并掌握角量與線量的關(guān)系.

二

理解力矩和轉(zhuǎn)動慣量概念，掌握剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定理.

三

理解角動量概念，掌握質(zhì)點在平面內(nèi)運(yùn)動以及剛體繞定軸轉(zhuǎn)動情況下的角動量守恒問題.

能運(yùn)用以上規(guī)律分析和解決包括質(zhì)點和剛體的簡單系統(tǒng)的力學(xué)問題.

四理解剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動動能概念，能在有剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的問題中正確地應(yīng)用機(jī)械能守恒定律第三頁，共六十八頁，2022年，8月28日§3-1轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動慣量剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體.（任意兩質(zhì)點間距離保持不變的特殊質(zhì)點組）剛體最簡單的運(yùn)動形式：平動、轉(zhuǎn)動.一、剛體工s03-平動3.swf第四頁，共六十八頁，2022年，8月28日剛體平動質(zhì)點運(yùn)動▲平動：若剛體中所有點的運(yùn)動軌跡都保持完全相同，或者說剛體內(nèi)任意兩點間的連線總是平行于它們的初始位置間的連線.二、平動和轉(zhuǎn)動平動視頻工s03-平動2.swf第五頁，共六十八頁，2022年，8月28日轉(zhuǎn)動：剛體中所有的點都繞同一直線做圓周運(yùn)動.轉(zhuǎn)動又分定軸轉(zhuǎn)動和非定軸轉(zhuǎn)動.剛體的平面運(yùn)動.工s03-轉(zhuǎn)動.swf第六頁，共六十八頁，2022年，8月28日剛體的一般運(yùn)動質(zhì)心的平動繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動+第七頁，共六十八頁，2022年，8月28日三、剛體的定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動：

剛體上各點都繞同一直線（轉(zhuǎn)軸）作不同半徑的圓周運(yùn)動，而軸本身在空間的位置不變。且在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度。打滑時第八頁，共六十八頁，2022年，8月28日參考平面角位移角坐標(biāo)<0q0>q約定沿逆時針方向轉(zhuǎn)動沿逆時針方向轉(zhuǎn)動角速度矢量

方向:右手螺旋方向參考軸剛體轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度第九頁，共六十八頁，2022年，8月28日角量與線量的關(guān)系第十頁，共六十八頁，2022年，8月28日角加速度1）每一質(zhì)點均作圓周運(yùn)動，圓面為轉(zhuǎn)動平面；2）任一質(zhì)點運(yùn)動均相同，但不同；3）運(yùn)動描述僅需一個坐標(biāo).定軸轉(zhuǎn)動的特點

剛體定軸轉(zhuǎn)動（一維轉(zhuǎn)動）的轉(zhuǎn)動方向可以用角速度的正負(fù)來表示.第十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日華南熱帶農(nóng)業(yè)大學(xué)儋州立業(yè)寶島生根第三章剛體的轉(zhuǎn)動§3-1剛體的平動、轉(zhuǎn)動和定軸轉(zhuǎn)動勻變速轉(zhuǎn)動公式

剛體繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動質(zhì)點勻變速直線運(yùn)動當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角加速度為恒量時，剛體做勻變速轉(zhuǎn)動.剛體勻變速轉(zhuǎn)動與質(zhì)點勻變速直線運(yùn)動公式對比第十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日

一條纜索繞過一定滑論拉動一升降機(jī),滑論半徑為0.5m,如果升降機(jī)從靜止開始以a=0.4m/s2勻加速上升，求：(1)滑輪的角加速度。(2)開始上升后,5秒末滑輪的角速度(3)在這5秒內(nèi)滑輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。(4)開始上升后,1秒末滑輪邊緣上一點的加速度(不打滑)。解:

(1)輪緣上一點的切向加速度與物體的加速度相等arExample3.1-線度角度關(guān)系第十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日(2)(3)(4)ar合加速度的方向與輪緣切線方向夾角第十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日質(zhì)點運(yùn)動的動能:剛體是由許多質(zhì)點組成的,第小塊質(zhì)元的質(zhì)量其動能：繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的總動能:Oi四、剛體的轉(zhuǎn)動動能第十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日理論計算單位：kgm2——表示剛體相對于確定轉(zhuǎn)軸的特征的物理量五、轉(zhuǎn)動慣量一質(zhì)點對O點：J=mr2mrOrdm同樣質(zhì)量做成半徑r

的圓環(huán)，對中心軸例：O第十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日質(zhì)量離散分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣性的計算方法質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量：質(zhì)量元

對質(zhì)量線分布的剛體：：質(zhì)量線密度對質(zhì)量面分布的剛體：：質(zhì)量面密度對質(zhì)量體分布的剛體：：質(zhì)量體密度第十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日O′O

解設(shè)棒的線密度為，取一距離轉(zhuǎn)軸OO′為處的質(zhì)量元例題3-3

一質(zhì)量為、長為的均勻細(xì)長棒，求通過棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量.O′O如轉(zhuǎn)軸過端點垂直于棒Example2-P97-3-3

第十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日例題3-2

求圓盤對于通過中心并與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。設(shè)圓盤的半徑為R，質(zhì)量為m，密度均勻。rRdr解：設(shè)圓盤的質(zhì)量面密度為，在圓盤上取一半徑為r、

寬度為dr的圓環(huán)（如圖），環(huán)的面積為2rdr，環(huán)的質(zhì)量dm=2rdr?？傻肊xample3-P98-3-4第十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)量分布有關(guān)轉(zhuǎn)動慣量與材料性質(zhì)有關(guān)平行軸定理:剛體對任一軸的轉(zhuǎn)動慣量J,等于對過中心的平行軸的轉(zhuǎn)動慣量與二軸間的垂直距離h的平方和剛體質(zhì)量的乘積之和。轉(zhuǎn)動慣量與轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)轉(zhuǎn)動慣量是描述剛體對軸轉(zhuǎn)動慣性大小的物理量決定轉(zhuǎn)動慣量的大小的因素第二十頁，共六十八頁，2022年，8月28日通過任一轉(zhuǎn)軸A的轉(zhuǎn)動慣量：CxdxdmAh（取C為坐標(biāo)原點）第二十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日P99-3-1表第二十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日例3-4求質(zhì)量m半徑R的(1)均質(zhì)圓環(huán)，(2)均質(zhì)圓盤對通過直徑的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：(1)圓環(huán)：dmExample-圓環(huán)第二十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日odm(2)圓盤：可見，轉(zhuǎn)動慣量與剛體的質(zhì)量分布有關(guān)。第二十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日§3-2力矩的功定軸轉(zhuǎn)動定律P*O:力臂剛體繞Oz軸旋轉(zhuǎn),力作用在剛體上點P,

且在轉(zhuǎn)動平面內(nèi),為由點O到力的作用點P的徑矢.對轉(zhuǎn)軸Z的力矩

一力矩第二十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日O分析

1）若力不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個分量

2）合力矩等于各分力矩的矢量和其中對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故對轉(zhuǎn)軸的力矩第二十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日二、力矩的功力矩的功：當(dāng)剛體在外力矩作用下繞定軸轉(zhuǎn)動而發(fā)生角位移時，就稱力矩對剛體做功。力對P點作功：0‘0第二十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日因力矩作功：對于剛體定軸轉(zhuǎn)動情形，因質(zhì)點間無相對位移，任何一對內(nèi)力作功為零。0‘0第二十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日1.轉(zhuǎn)動動能合外力矩對繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量.三、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理2.定軸轉(zhuǎn)動的動能定理第二十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日表明：一個不太大的剛體的重力勢能與它的質(zhì)量集中在質(zhì)心時所具有的勢能一樣。即：質(zhì)心高度為：

對于一個不太大的質(zhì)量為的物體，它的重力勢能應(yīng)是組成剛體的各個質(zhì)點的重力勢能之和。四、剛體的重力勢能第三十頁，共六十八頁，2022年，8月28日例題3-5如圖，沖床上配置一質(zhì)量為5000kg的飛輪，r1=0.3m,r2=0.2m.今用轉(zhuǎn)速為900r/min的電動機(jī)借皮帶傳動來驅(qū)動飛輪，已知電動機(jī)的傳動軸直徑為d=10cm。（1）求飛輪的轉(zhuǎn)動動能。（2）若沖床沖斷0.5mm厚的薄鋼片需用沖力9.80104N，所消耗的能量全部由飛輪提供，問沖斷鋼片后飛輪的轉(zhuǎn)速變?yōu)槎啻螅?r12r2dExample4–P100-3-5第三十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日解：（1）為了求飛輪的轉(zhuǎn)動動能，需先求出它的轉(zhuǎn)動慣量和轉(zhuǎn)速。因飛輪質(zhì)量大部分分別布在輪緣上，由圖示尺寸并近似用圓筒的轉(zhuǎn)動慣量公式，得

皮帶傳動機(jī)構(gòu)中，電動機(jī)的傳動軸是主動輪，飛輪是從動輪。兩輪的轉(zhuǎn)速與輪的直徑成反比，即飛輪的轉(zhuǎn)速為由此得飛輪的角速度第三十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日這樣飛輪的轉(zhuǎn)動動能是（2）在沖斷鋼片過程中，沖力F所作的功為這就是飛輪消耗的能量，此后飛輪的能量變?yōu)橛汕蟮么藭r間的角速度’為而飛輪的轉(zhuǎn)速變?yōu)榈谌?，共六十八頁?022年，8月28日應(yīng)用牛頓第二定律，可得：對剛體中任一質(zhì)量元-外力-內(nèi)力采用自然坐標(biāo)系，上式切向分量式為：ωOO’五.剛體定軸轉(zhuǎn)動定律第三十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日用ri乘以上式左右兩端：

設(shè)剛體由N個點構(gòu)成，對每個質(zhì)點可寫出上述類似方程，將N個方程左右相加，得：

根據(jù)內(nèi)力性質(zhì)(每一對內(nèi)力等值、反向、共線,對同一軸力矩之代數(shù)和為零)，得：第三十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日得到：上式左端為剛體所受外力的合外力矩，以M表示；右端求和符號內(nèi)的量與轉(zhuǎn)動狀態(tài)無關(guān)，稱為剛體轉(zhuǎn)動慣量，以J表示。于是得到剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度與它所受的合外力矩成正比

，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比.第三十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日例題3-6

一輕繩跨過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為m1和m2的物體1和2，m1<m2

如圖所示。設(shè)滑輪的質(zhì)量為m，半徑為r，所受的摩擦阻力矩為Mr。繩與滑輪之間無相對滑動。試求物體的加速度和繩的張力。m1m2T2T1T1T2G2G1aaam1m2解:滑輪具有一定的轉(zhuǎn)動慣量。在轉(zhuǎn)動中受到阻力矩的作用，兩邊的張力不再相等，設(shè)物體1這邊繩的張力為T1、T1’(T1’=T1)，

物體2這邊的張力為T2、T2’(T2’=T2)Example3.2–P103-3-6第三十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日因m2>m1，物體1向上運(yùn)動，物體2向下運(yùn)動，滑輪以順時針方向旋轉(zhuǎn)，Mr的指向如圖所示?？闪谐鱿铝蟹匠淌街惺腔喌慕羌铀俣?，a是物體的加速度?；嗊吘壣系那邢蚣铀俣群臀矬w的加速度相等，即從以上各式即可解得第三十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日而第三十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日當(dāng)不計滑輪質(zhì)量及摩擦阻力矩即令m=0、Mr=0時，有

上題中的裝置叫阿特伍德機(jī)，是一種可用來測量重力加速度g的簡單裝置。因為在已知m1、m2、r和J的情況下，能通過實驗測出物體1和2的加速度a，再通過加速度把g算出來。在實驗中可使兩物體的m1和m2相近，從而使它們的加速度a和速度v都較小，這樣就能角精確地測出a來。第四十頁，共六十八頁，2022年，8月28日例題3-7

一半徑為R，質(zhì)量為m勻質(zhì)圓盤，平放在粗糙的水平桌面上。設(shè)盤與桌面間摩擦系數(shù)為，令圓盤最初以角速度0繞通過中心且垂直盤面的軸旋轉(zhuǎn)，問它經(jīng)過多少時間才停止轉(zhuǎn)動？rRdrde解：由于摩擦力不是集中作用于一點，而是分布在整個圓盤與桌子的接觸面上，力矩的計算要用積分法。在圖中，把圓盤分成許多環(huán)形質(zhì)元，每個質(zhì)元的質(zhì)量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg。Example–P103-3-7第四十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日此處e是盤的厚度。圓盤所受阻力矩就是因m=eR2，代入得根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動定律，阻力矩使圓盤減速，即獲得負(fù)的角加速度.第四十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日設(shè)圓盤經(jīng)過時間t停止轉(zhuǎn)動，則有由此求得第四十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日§3-3定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律1質(zhì)點的角動量質(zhì)量為的質(zhì)點以速度在空間運(yùn)動，某時刻相對原點

O

的位矢為，質(zhì)點相對于原點的角動量大小的方向符合右手法則.一、剛體的角動量第四十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日2剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量O對轉(zhuǎn)軸o的角動量質(zhì)元大?。悍较颍憾x轉(zhuǎn)動慣量第四十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動定理：則該系統(tǒng)對該軸的角動量為：由幾個物體組成的系統(tǒng)，如果它們對同一給定軸的角動量分別為、、…，對于該系統(tǒng)還有第四十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日為時間內(nèi)力矩M對給定軸的沖量矩之和。角動量定理的積分形式：在外力矩作用下，從角動量變?yōu)?，，則由得第四十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日角動量守恒定律：若一個系統(tǒng)一段時間內(nèi)所受合外力矩M恒為零，則此系統(tǒng)的總角動量L為一恒量。恒量討論：a.對于繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的剛體，因J保持不變，當(dāng)合外力矩為零時，其角速度恒定。=恒量=恒量三.、定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律第四十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日b.若系統(tǒng)由若干個剛體構(gòu)成,當(dāng)合外力矩為零時,系統(tǒng)的角動量依然守恒。J大→

小,J小→大。c.若系統(tǒng)內(nèi)既有平動也有轉(zhuǎn)動現(xiàn)象發(fā)生，若對某一定軸的合外力矩為零,則系統(tǒng)對該軸的角動量守恒。理工v03-茹科夫斯基轉(zhuǎn)椅_30s.WMV第四十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日LABABCC常平架上的回轉(zhuǎn)儀應(yīng)用事例：理工v03-角動量直升機(jī)_45s.WMV第五十頁，共六十八頁，2022年，8月28日例題3-8

工程上，常用摩擦嚙合器使兩飛輪以相同的轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)動。如圖所示，A和B兩飛輪的軸桿在同一中心線上，A輪的轉(zhuǎn)動慣量為JA=10kgm2，B的轉(zhuǎn)動慣量為JB=20kgm2。開始時A輪的轉(zhuǎn)速為600r/min，B輪靜止。C為摩擦嚙合器。求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速；在嚙合過程中，兩輪的機(jī)械能有何變化？AACBACBExample3.3–P108-3-8第五十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日解：以飛輪A、B和嚙合器C作為一系統(tǒng)來考慮，在嚙合過程中，系統(tǒng)受到軸向的正壓力和嚙合器間的切向摩擦力，前者對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，后者對轉(zhuǎn)軸有力矩，但為系統(tǒng)的內(nèi)力矩。系統(tǒng)沒有受到其他外力矩，所以系統(tǒng)的角動量守恒。按角動量守恒定律可得為兩輪嚙合后共同轉(zhuǎn)動的角速度，于是以各量的數(shù)值代入得第五十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日或共同轉(zhuǎn)速為

在嚙合過程中，摩擦力矩作功，所以機(jī)械能不守恒，部分機(jī)械能將轉(zhuǎn)化為熱量，損失的機(jī)械能為第五十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日例題3-7

一勻質(zhì)細(xì)棒長為l，質(zhì)量為m，可繞通過其端點O的水平軸轉(zhuǎn)動，如圖所示。當(dāng)棒從水平位置自由釋放后，它在豎直位置上與放在地面上的物體相撞。該物體的質(zhì)量也為m，它與地面的摩擦系數(shù)為。相撞后物體沿地面滑行一距離s而停止。求相撞后棒的質(zhì)心C離地面的最大高度h，并說明棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件。解：這個問題可分為三個階段進(jìn)行分析。第一階段是棒自由擺落的過程。這時除重力外，其余內(nèi)力與外力都不作功，所以機(jī)械能守恒。我們把棒在豎直位置時質(zhì)心所在處取為勢能COExample3.4-擺動第五十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日零點，用表示棒這時的角速度,則（1）

第二階段是碰撞過程。因碰撞時間極短，自由的沖力極大，物體雖然受到地面的摩擦力，但可以忽略。這樣，棒與物體相撞時，它們組成的系統(tǒng)所受的對轉(zhuǎn)軸O的外力矩為零，所以，這個系統(tǒng)的對O軸的角動量守恒。我們用v表示物體碰撞后的速度，則（2）式中’為棒在碰撞后的角速度，它可正可負(fù)。

’取正值，表示碰后棒向左擺；反之，表示向右擺。第五十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日第三階段是物體在碰撞后的滑行過程。物體作勻減速直線運(yùn)動，加速度由牛頓第二定律求得為（3）由勻減速直線運(yùn)動的公式得（4）亦即由式（1）、（2）與（4）聯(lián)合求解，即得（5）第五十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日亦即l>6s；當(dāng)’取負(fù)值，則棒向右擺，其條件為亦即l<6s

棒的質(zhì)心C上升的最大高度，與第一階段情況相似，也可由機(jī)械能守恒定律求得：把式（5）代入上式，所求結(jié)果為當(dāng)’取正值，則棒向左擺，其條件為(6)第五十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日進(jìn)動（preccesion）：物體繞自轉(zhuǎn)軸高速旋轉(zhuǎn)的同時，其自轉(zhuǎn)軸還繞另一個軸轉(zhuǎn)動的現(xiàn)象。又稱回轉(zhuǎn)效應(yīng)。如：傾倒陀螺的進(jìn)動§3-4進(jìn)動理工v04-旋進(jìn)8m.WMV第五十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日設(shè)陀螺質(zhì)量為m，以角速度自轉(zhuǎn)。重力對固定點o的力矩：繞自身軸轉(zhuǎn)動的角動量：由角動量定理的微分式：顯然，時刻改變方向而大小不變——進(jìn)動。陀螺的進(jìn)動

mgo第五十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日進(jìn)動角速度：do由圖可知：由角動量定理：陀螺第六十頁，共六十八頁，2022年，8月28日陀螺的進(jìn)動角速度：2.進(jìn)動軸通過定點且與外力平行。1.ωp與ω有關(guān)，與θ無關(guān)。3.進(jìn)動方向決定于外力矩和自轉(zhuǎn)角速度的方向。4.較小時，

有周期性變化，稱為章動。說明do回轉(zhuǎn)效應(yīng)的應(yīng)用：炮筒內(nèi)的旋轉(zhuǎn)式來復(fù)線等。第六十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日改變方向，情況