矩陣的廣義逆

矩陣的廣義逆第一頁，共十九頁，2022年，8月28日矩陣的廣義逆概述：矩陣的逆：An

n，Bn

n，BA=AB=I,則B=A–1

廣義逆的目標(biāo)：逆的推廣對一般的矩陣Am

n可建立部分逆的性質(zhì)。當(dāng)矩陣An

n可逆時，廣義逆與逆相一致。可以用廣義逆作求解方程組AX=b的理論分析。第二頁，共十九頁，2022年，8月28日§4.1矩陣的左逆與右逆一、滿秩矩陣和單側(cè)逆1、左逆和右逆的定義定義4.1(P.93)ACmn，B

Cnm，BA=In，則稱矩陣B為矩陣A的左逆，記為B=。例題1矩陣A的左逆A=。ACmn，C

Cnm

，AC=Im，則稱矩陣C為矩陣A的右逆，記為C=。第三頁，共十九頁，2022年，8月28日

2、左逆和右逆存在的條件

的存在性直觀分析

存在矩陣A列滿秩=（AHA）–1AH

定理4.1(P.93)

設(shè)ACmn

，下列條件等價A左可逆A的零空間N（A）={0}。mn，秩（A）=n，即矩陣A是列滿秩的。矩陣AHA可逆。例題2

求矩陣A=的左逆。第四頁，共十九頁，2022年，8月28日矩陣右逆的存在性定理4.2

(P.94)ACmn

，則下列條件等價：矩陣A右可逆。A的列空間R（A）=Cmnm

，秩（A）=m，A是行滿秩的。矩陣AAH可逆=AH（AAH）–1討論：可逆矩陣Ann的左、右逆和逆的關(guān)系可逆矩陣A的左、右逆就是矩陣A的逆AA–1=（AHA）–1AH=AH（AAH）–1第五頁，共十九頁，2022年，8月28日二、單側(cè)逆和求解線性方程組AX=b討論AX=b有解與左、右逆存在的關(guān)系。借助于左、右逆求AX=b的形如X=Bb的解。1、右可逆矩陣定理44

(P.95)ACmn右可逆，則bCm，AX=b有解。X=b是方程組AX=b的解。第六頁，共十九頁，2022年，8月28日二、單側(cè)逆和求解線性方程組AX=b2、左可逆矩陣求解分析：定理43

(P.94)設(shè)矩陣ACmn左可逆，B是矩陣A的任何一個左逆，則AX=b有形如X=Bb的解的充要條件是(

Im–AB

)b=0(¤)當(dāng)(¤)式成立時，方程組的解是惟一的，而且惟一解是X=（AHA）–1AHb證明：討論：對任何滿足式(

¤

)

的左逆B，X=Bb都是方程組的解，如何解釋方程組的解是惟一的？第七頁，共十九頁，2022年，8月28日§4.2廣義逆矩陣思想：用公理來定義廣義逆。一、減號廣義逆定義4.2

(P.95)

ACmn

，如果，G

Cnm使得，AGA=A，則矩陣G為的A減號廣義逆?；騵1}逆。A的減號逆集合A{1}={A1–1，A2–1，，Ak–1}例題1ACnn可逆，則A–1A{1}；

A單側(cè)可逆，則A–1LA{1}；A–1RA{1}。減號逆的求法：定理4.5（P.95）減號逆的性質(zhì)：定理4.6

(P.96)第八頁，共十九頁，2022年，8月28日二、Moore-Penrose（M-P）廣義逆由Moore1920年提出，1955年由Penrose發(fā)展。1、定義4.3(P.98)設(shè)矩陣ACmn

，如果

GCnm，使得AGA=AGAG=G（AG）H=AG（GA）H=GA則稱G為A的M-P廣義逆，記為G=A+。

A–1=A+；A–1L=（AHA）–1AH=A+；A–1R=AH（AAH）–1=A+；若

A+，則A+

是A{1}。例題2討論原有的逆的概念和M-P廣義逆的關(guān)系。第九頁，共十九頁，2022年，8月28日3、M-P廣義逆的存在性及其求法定理4.8（P.99）任何矩陣都有M-P廣義逆。求法：設(shè)A滿秩分解A=BC，則A+

=CH（CCH

）–1（BHB）–1BH。（定理4.9）設(shè)A奇異值分解：，則2、M-P廣義逆的惟一性定理4.9(P.98)如果A有M-P廣義逆，則A的M-P廣義逆是惟一的。第十頁，共十九頁，2022年，8月28日例題1求下列特殊矩陣的廣義逆；零矩陣0；1階矩陣(數(shù))a；對角矩陣?yán)}3設(shè)，求A+。0+

m×n

=0n×m

例題2設(shè)向量的M-P廣義逆。.第十一頁，共十九頁，2022年，8月28日4、M-P廣義逆的性質(zhì)定理4.12(P.100)

：則A滿足下列性質(zhì)：（A+）+=A（A+

）H=（AH）+（A）=+A+A列滿秩，則A+=（AHA）–1AH，A行滿秩，則A+=AH（AAH）–1。A有滿秩分解：A=BC，則A+=C+B+。A+與A–1性質(zhì)的差異比較：（AB）–1=B–1A–1，一般不成立（AB）+=B+A+。（只有滿秩分解成立）（A–1）k=（Ak）–1，但不成立（A+）k=（Ak）+第十二頁，共十九頁，2022年，8月28日§4.3投影變換（為討論A+的應(yīng)用做準(zhǔn)備）問題：逆在什么情形下是有用的？一、投影變換和投影矩陣定義4.4（P.101）設(shè)Cn=LM

，向量xCn,x=y+z，yL，zM，如果線性變換：

CnCn，（x）=y，則稱為從

Cn沿子空間M到子空間L的投影變換。投影變換的矩陣R（）=L；N（）=M，

Cn=R（）N（）L和M是的不變子空間；L=I；M=0投影的矩陣和變換性質(zhì)：定理4.13（P.101）是投影是冪等變換推論：為投影變換的充要條件是變換矩陣是冪等矩陣第十三頁，共十九頁，2022年，8月28日二、正交投影和正交投影矩陣正交投影的定義：定義4.5（P.103）設(shè)：CnCn是投影變換，Cn=R（）N（），如果R（）=N（），則稱為正交投影。2正交投影矩陣定理4.14（P.103）是正交投影投影矩陣A滿足：A2=AAH=A例題1設(shè)W是Cn的子空間，證明存在到W的投影變換，使R（）=W。第十四頁，共十九頁，2022年，8月28日3、正交投影的性質(zhì)定理4.16（P.104）設(shè)W是Cn的子空間，x0Cn，x0W，如果是空間Cn向空間W的正交投影，則含義：點（x0）是空間W中與點x0距離最近的點。第十五頁，共十九頁，2022年，8月28日4、A+A與AA+的性質(zhì)定理4.15（P.104）A+A的性質(zhì)：（A+A）2=A+A，（A+A）H=A+

ACn=R（A+）N（A）R（A+）=N（A）AA+的性質(zhì)：（AA+）2=AA+，（AA+）H=AA+Cm=R（A）N（A+

）R（A+）=N（A）A+A是正交投影，將向量x投影到空間R（A+）中。AA+是正交投影，將向量x投影到空間R（A）中。含義：第十六頁，共十九頁，2022年，8月28日4.4最佳最小二乘解一、最佳最小二乘解Am×n

Xn

×1

=bm×1有解bR（A）無解bR（A）1、AX=b的最佳最小二乘解定義4.6（P.105）

u

是最小二乘解

x0是最佳最小二乘解2、AX=b的最佳最小二乘解的計算定理4.17

設(shè)方程組AX=b，則A+b

是AX=b的最佳最小二乘解。例題1

（P.106，eg8）第十七頁，共十九頁，2022年，8月28日例題2、設(shè)，，=證明

R（A）在列空間R（A）上找一點X0

，X0距離最近。第十八頁，共十九頁，2022年，8月28日

二、最佳擬合曲線問題：在實際問題中，