北師大版高中數(shù)學(xué)選修22數(shù)學(xué)歸納法

北師大版高中數(shù)學(xué)選修22數(shù)學(xué)歸納法第1頁/共46頁1、問題情境一問題

1:大球中有5個小球，如何證明它們都是綠色的？

完全歸納法

不完全歸納法

第2頁/共46頁1、問題情境二費(fèi)馬（Fermat）是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家，他曾認(rèn)為，當(dāng)n∈N時，一定都是質(zhì)數(shù)，這是他觀察當(dāng)n＝0，1，2，3，4時的值都是質(zhì)數(shù)，提出猜想得到的．半個世紀(jì)后，18世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（Euler）發(fā)現(xiàn)＝4294967297＝6700417×641，從而否定了費(fèi)馬的推測．沒想到當(dāng)n＝5這一結(jié)論便不成立．第3頁/共46頁歸納法：由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法（結(jié)論一定可靠，但需逐一核對，實(shí)施較難）（結(jié)論不一定可靠，但有利于發(fā)現(xiàn)問題，形成猜想）（1）完全歸納法：考察全體對象，得到一般結(jié)論的推理方法（2）不完全歸納法，考察部分對象，得到一般結(jié)論的推理方法歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法第4頁/共46頁1、問題情境三

多米諾骨牌課件演示

第5頁/共46頁1、問題情境三

如何解決不完全歸納法存在的問題呢？

如何保證骨牌一一倒下？需要幾個步驟才能做到？（1）處理第一個問題；（相當(dāng)于推倒第一塊骨牌）（2）驗(yàn)證前一問題與后一問題有遞推關(guān)系；（相當(dāng)于前牌推倒后牌）

第6頁/共46頁定義：對于某些與正整數(shù)n有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當(dāng)n取第一個值n0(n0

N*，例如n0

=1)

時命題成立(歸納奠基）；

2.然后假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，k≥n0)時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立(歸納遞推）。這種證明方法就叫做______________。數(shù)學(xué)歸納法2、數(shù)學(xué)歸納法的概念第7頁/共46頁驗(yàn)證n=n0時命題成立假設(shè)n=k(k≥n0)時命題成立,證明n=k+1時命題也成立.歸納奠基歸納遞推命題對從n0開始所有的正整數(shù)n都成立第8頁/共46頁3.數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用：（1）恒等式（2）不等式（3）三角函數(shù)方面（4）整除性（5）幾何方面（6）計算、猜想、證明第9頁/共46頁情境1.觀察下列各等式，你發(fā)現(xiàn)了什么？歸納問題情境思考：你由不完全歸納法所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論正確嗎？若不正確，請舉一個反例;若正確，如何證明呢？第10頁/共46頁證明①當(dāng)n=1時，左邊＝1＝右邊,等式顯然成立。例證明：數(shù)學(xué)運(yùn)用遞推基礎(chǔ)遞推依據(jù)②假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，即那么,當(dāng)n=k+1時，有這就是說，當(dāng)n=k+1時,等式也成立。根據(jù)①和②，可知對任何nN*等式都成立。第11頁/共46頁如果是等差數(shù)列，已知首項(xiàng)為，公差為，那么對一切都成立．證明：（1）當(dāng)n=1時，等式是成立的．（2）假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，就是那么當(dāng)n=k+1時，這就是說，當(dāng)n=k+1時，等式也成立由（1）和（2）可知，等式對任何都成立．練習(xí)1

用數(shù)學(xué)歸納法證明：遞推基礎(chǔ)遞推依據(jù)第12頁/共46頁練習(xí)2

用數(shù)學(xué)歸納法證明

證明（1）當(dāng)n=1時，左邊=1，右邊=1，等式成立．這就是說，當(dāng)n=k+1時，等式也成立．由（1）和（2），可知等式對任何正整數(shù)n都成立．（2）假設(shè)當(dāng)n=k時，等式成立，即遞推基礎(chǔ)遞推依據(jù)那么當(dāng)n=k+1時，第13頁/共46頁用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)命題的步驟是：（1）證明當(dāng)取第一個值（如或2等）時結(jié)論正確；

（2）假設(shè)時結(jié)論正確，證明時結(jié)論也正確．

遞推基礎(chǔ)遞推依據(jù)“找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)”“用上假設(shè)，遞推才真”“綜合（1）、（2），……”不可少！注意:數(shù)學(xué)歸納法使用要點(diǎn)：兩步驟,一結(jié)論。第14頁/共46頁用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的步驟及注意事項(xiàng)：①明確首取值n0并驗(yàn)證真假。（必不可少）②“假設(shè)n=k時命題正確”并寫出命題形式。③分析“n=k+1時”命題是什么，并找出與“n=k”時命題形式的差別。弄清左端應(yīng)增加的項(xiàng)。④明確等式左端變形目標(biāo)，掌握恒等式變形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆項(xiàng)、配方等，并用上假設(shè)。第15頁/共46頁分析下列各題用數(shù)學(xué)歸納法證明過程中的錯誤：練習(xí)3糾錯!第16頁/共46頁（1）2+4+6+8+…+2n=n2+n+1(nN*)證明：假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，即

2+4+6+8+…+2k=k2+k+1(kN*)那么，當(dāng)n=k+1時，有

2+4+6+8+…+2k+2（k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1,因此，對于任何nN*等式都成立。缺乏“遞推基礎(chǔ)”事實(shí)上，我們可以用等差數(shù)列求和公式驗(yàn)證原等式是不成立的！第17頁/共46頁這就是說，當(dāng)n=k+1時,命題也成立.沒有用上“假設(shè)”，故此法不是數(shù)學(xué)歸納法請修改為數(shù)學(xué)歸納法證明①當(dāng)n=1時,左邊=,②假設(shè)n=k(k∈N*)時原等式成立，即此時，原等式成立。那么n=k+1時,由①②知,對一切正整數(shù)n,原等式均正確.

第18頁/共46頁證明①當(dāng)n=1時,左邊=,這才是數(shù)學(xué)歸納法②假設(shè)n=k(k∈N*)時原等式成立，即右邊=此時，原等式成立。那么n=k+1時,這就是說，當(dāng)n=k+1時,命題也成立.由①②知,對一切正整數(shù)n,原等式均正確.

第19頁/共46頁

這不是數(shù)學(xué)歸納法第20頁/共46頁（3）（糾錯題）

2n>n2(nN*)證明：①當(dāng)n=1時，21>12,不等式顯然成立。②假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，即2k>k2,那么當(dāng)n=k+1時，有2k+1=22k=2k+2k>k2+k2k2+2k+1=(k+1)2.這就是說，當(dāng)n=k+1時不等式也成立。根據(jù)（1）和（2），可知對任何nN*不等式都成立。雖然既有“遞推基礎(chǔ)”，又用到假設(shè)（“遞推依據(jù)”），但在證明過程中出現(xiàn)錯誤，故上述證法錯誤！事實(shí)上，原不等式不成立，如n=2時不等式就不成立。第21頁/共46頁

因此，用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個步驟，缺一不可。第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)。缺了第一步遞推失去基礎(chǔ)；缺了第二步，遞推失去依據(jù)，因此無法遞推下去。第22頁/共46頁思考：步驟

(1)中n取的第一個值n0一定是1嗎？為什么？答：不一定舉例說明：用數(shù)學(xué)歸納法證明n邊形的對角線的條數(shù)是此時n取的第一值第23頁/共46頁練習(xí)鞏固

1、

用數(shù)學(xué)歸納法證明：“”在驗(yàn)證

n=1成立時，左邊計算所得的結(jié)果是（

）

A．1 B.C．

D.

2.已知:,則等于()A:B:C:D:CC第24頁/共46頁3.

用數(shù)學(xué)歸納法證明:1×2＋2×3＋3×4＋……＋n(n＋1)＝

練習(xí)鞏固

4、用數(shù)學(xué)歸納法證明：

5．求證:當(dāng)n∈N*時，第25頁/共46頁3.用數(shù)學(xué)歸納法證明

1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝

練習(xí)鞏固

從n=k到n=k+1有什么變化湊假設(shè)湊結(jié)論證明:2)假設(shè)n=k時命題成立,即1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝則當(dāng)n=k+1時，

+＝=∴n=k+1時命題正確。由(1)和(2)知，當(dāng)，命題正確。

=1)當(dāng)n=1時，左邊=1×2=2,右邊==2.命題成立第26頁/共46頁練習(xí)鞏固

4、用數(shù)學(xué)歸納法證明證明:(1)當(dāng)n=1時，左邊=1,右邊===1.命題成立

(2)假設(shè)n=k時命題正確，即

則當(dāng)n=k+1時,

=+

=

∴n=k+1時命題正確。由(1)和(2)知，當(dāng)，命題正確。

提什么好呢?注意結(jié)論的形式

第27頁/共46頁練習(xí)鞏固

5．求證:當(dāng)n∈N*時，證明:

∴n=k+1時命題正確。由(1)和(2)知，當(dāng)，命題正確。(1)當(dāng)n=1時，左邊=;右邊∴左邊=右邊，∴n=1時，命題成立。(2)假設(shè)n=k時命題正確，即:

當(dāng)n=k+1時，

左邊=

第28頁/共46頁證:(1)當(dāng)n=2時,左邊=不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時不等式成立,即有:則當(dāng)n=k+1時,我們有:即當(dāng)n=k+1時,不等式也成立.由(1)、(2)原不等式對一切都成立.(二)不等式證明:例1、第29頁/共46頁例2：利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式第30頁/共46頁(n≥2,n∈N)過程中,由“n=k”變到“n=k+1”時，不等式左邊的變化是（）：練習(xí)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證:

D第31頁/共46頁(2)用數(shù)學(xué)歸納法證:

(n≥2,n∈N)過程中,由“n=k”變到“n=k+1”時，左式所需添加的項(xiàng)數(shù)為（）：Ａ.１項(xiàng)Ｂ.項(xiàng)Ｄ.項(xiàng)Ｃ.項(xiàng)Ｃ第32頁/共46頁(3)整除性問題例：證明42n+1+3n+2(n∈N*)能被13整除。證明：1）n=1時：42×1+1+31+2=91，能被13整除。

2）假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N)時,42k+1+3k+2能被13整除，當(dāng)n=k+1時：42(k+1)+1+3(k+1)+2=4(2k+1)+2+3(k+2)+1=16(42k+1+3k+2)-13?3k+2…………()∵42k+1+3k+2及13?3k+2均能被13整除,∴()式能被13整除?！?2(k+1)+1+3(k+1)+2也能被13整除，即當(dāng)n=k+1時命題仍成立。由1）、2）可知，對一切n∈N原命題均成立?！诵牟襟E多退少補(bǔ)（密訣）第33頁/共46頁練習(xí)1：用數(shù)學(xué)歸納法證明：x2n-y2n能被x+y整除(n為正整數(shù))。證明：1）n=1時：

x2-y2=(x+y)(x-y),能被x+y整除，命題成立。2）假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N)時有x2k-y2k能被x+y整除,當(dāng)n=k+1時由1）、2）可知，對一切n∈N，x2n-y2n都能被x+y整除。

=(x2k-y2k)?x2+y2k(x2-

y2)………（）∵(x2k-y2k)和(x2-

y2)都能被x+y整除，∴（）式也能被x+y整除。即：n=k+1時命題也成立……核心步驟多退少補(bǔ)（密訣）第34頁/共46頁練習(xí)2求證：當(dāng)n取正奇數(shù)時，xn+yn能被x+y整除。證明：1）n=1時：x1+y1=x+y，能被x+y整除，命題成立。2）假設(shè)n=k(k為正奇數(shù))時，有xk+yk能被x+y整除,當(dāng)n=k+2時:xk+2+yk+2=xk?x2+yk?y2

=xk?x2+yk?x2-yk?x2+yk?y2=(xk+yk)?x2-yk(x2-y2)=(xk+yk)?x2-yk(x-y)(x+y),

∵以上兩項(xiàng)均能被x+y整除，∴xk+2+yk+2能被x+y整除，即當(dāng)n=k+2時命題仍成立。

由1）、2）可知，對一切正奇數(shù)n，都有xn+yn能被x+y整除。第35頁/共46頁（4）歸納—猜想—證明（求數(shù)列的通項(xiàng)公式）第36頁/共46頁（5）數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題.例：平面內(nèi)有n條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不過同一點(diǎn),證明這n條直線把平面分成f(n)=(n2+n+2)/2個部分.第37頁/共46頁1:n邊形有f(n)條對角線,則凸n+1邊形的對角線------的條數(shù)f(n+1)=f(n)+_________.練習(xí)第38頁/共46頁（6）用數(shù)學(xué)歸納法證明探究性問題點(diǎn)撥:對這種類型的題目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系數(shù),然后用數(shù)學(xué)歸納法證明它對一切正整數(shù)n都成立.第39頁/共46頁2.是否存在常數(shù)a、b,使得等式:

對一切正整數(shù)n都成立,并證明你的結(jié)論.解:令n=1,2,并整理得以下用數(shù)學(xué)歸納法證明:第40頁/共46頁(2)假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論正確,即:則當(dāng)n=k+1時,故當(dāng)n=k+1時,結(jié)論也正確.根據(jù)(1)