6.1.3 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的綜合應(yīng)用教案-2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

第4頁共4頁6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理6.1.3分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的綜合應(yīng)用一、教學(xué)目標(biāo)1、正確理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理．2、靈活掌握分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理難點(diǎn)：靈活利用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理解決問題三、學(xué)法與教學(xué)用具1、學(xué)法：學(xué)生在老師的引導(dǎo)下，通過閱讀教材，自主學(xué)習(xí)、思考、交流、討論和概括，從而完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).2、教學(xué)用具：多媒體設(shè)備等四、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題【回顧】兩個計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理一般地，完成一件事有類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，……，在第類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法.一般地，完成一件事有個步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，……，做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法.分類加法計數(shù)原理針對的是“分類"問題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事.分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法互相依存，只有每一個步驟都完成才算做完這件事.【問題】計數(shù)問題是我們經(jīng)常遇到的，如何利用兩個計數(shù)原理快速有效解決有關(guān)問題呢？（二）閱讀精要，研討新知【例題研討】閱讀領(lǐng)悟課本例7、例8（用時約為3分鐘，教師作出準(zhǔn)確的評析.）例7計算機(jī)編程人員在編寫好程序以后需要對程序進(jìn)行測試程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路徑(程序從開始到結(jié)束的路線)，以便知道需要提供多少個測試數(shù)據(jù)，一般地，一個程序模塊由許多子模塊組成.圖6.

1-4是一個具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊，它有多少條執(zhí)行路徑?

另外，為了減少測試時間，程序員需要設(shè)法減少測試次數(shù)，你能幫助程序員設(shè)計一個測試方法，以減少測試次數(shù)嗎?解：由分類加法計數(shù)原理，子模塊1、子模塊2、子模塊3中的子路徑條數(shù)共為子模塊4、子模塊5中的子路徑條數(shù)共為.又由分步乘法計數(shù)原理，整個模塊的執(zhí)行路徑條數(shù)共為7371在實(shí)際測試中，程序員總是把每一個子模塊看成一個黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測試整個模塊.這樣，他可以先分別單獨(dú)測試5個模塊，以考察每個子模塊的工作是否正常，總共需要的測試次數(shù)為.再測試各個模塊之間的信息交流是否正常，只需要測試程序第1步中的各個子模塊和第2步中的各個子模塊之間的信息交流是否正常，需要的測試次數(shù)為如果每個子模塊都工作正常，并且各個子模塊之間的信息交流也正常，那么整個程序模塊就工作正常.這樣，測試整個模塊的次數(shù)就變?yōu)轱@然，178與7

371的差距是非常大的.【思考】你看出了程序員是如何實(shí)現(xiàn)減少測試次數(shù)的嗎?例8通常，我國民用汽車號牌的編號由兩部分組成：第一部分為用漢字表示的省、自治區(qū)、直轄市簡稱和用英文字母表示的發(fā)牌機(jī)關(guān)代號，第二部分為由阿拉伯?dāng)?shù)字和英文

字母組成的序號，如圖6.

1-5所示.其中，序號的編碼規(guī)則為：（1）由10個阿拉伯?dāng)?shù)字和除O,I之外的24個英文字母組成;（2）最多只能有2個英文字母.如果某地級市發(fā)牌機(jī)關(guān)采用5位序號編碼，那么這個發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放多少張汽車號牌?解：由號牌編號的組成可知，這個發(fā)牌機(jī)關(guān)所能發(fā)放的最多號牌數(shù)就是序號的個數(shù).根據(jù)序號編碼規(guī)則，5位序號可以分為三類：沒有字母，有1個字母，有2個字母.（1）當(dāng)沒有字母時，序號的每一位都是數(shù)字.確定一個序號可以分5個步驟，每步都可以從10個數(shù)字中選1個，各有10種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，這類號牌張數(shù)為100000（2）當(dāng)有1個字母時，這個字母可以分別在序號的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，這類序號可以分為五個子類.當(dāng)?shù)?位是字母時，分5個步驟確定一個序號中的字母和數(shù)字：第1步，從24個字母中選1個放在第1位，有24種選法;第2~5步都是從10個數(shù)字中選1個放在相應(yīng)的位置，各有10種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，號牌張數(shù)為240000同樣，其余四個子類號牌也各有240

000張.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這類號牌張數(shù)一共為240

00+240

000+240

000+240000+240

000=1

200

000（3）當(dāng)有2個字母時，根據(jù)這2個字母在序號中的位置，可以將這類序號分為十個子類：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位.當(dāng)?shù)?位和第2位是字母時，分5個步驟確定一個序

號中的字母和數(shù)字：第1,

2步都是從24個字母中選1個分別放在第1位、第2位，各有24種選法；第3~5步都是從10個數(shù)字中選1個放在相應(yīng)的位置，各有10種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，號牌張數(shù)為576000同樣，其余九個子類號牌也各有576

000張.于是，這類號牌張數(shù)一共為576

00010=5

760

00.綜合(1)(2)(3)，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這個發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放的汽車號牌張數(shù)為100

000+1

200

000+5

760

000=7

060

000【歸納】用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在開始計算之前要仔細(xì)分析兩點(diǎn)：（1）要完成的“一件事”是什么；（2）需要分類還是需要分步.分類要做到“不重不漏”.分類后再分別對每一類進(jìn)行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù).分步要做到“步驟完整”，即完成了所有步聚，恰好完成任務(wù).分步后再計算每步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù).【小組互動】完成課本練習(xí)1、2、3、4，同桌交換檢查，老師答疑.【練習(xí)答案】（三）探索與發(fā)現(xiàn)、思考與感悟1.用十個數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為()A．243B．252C．261D．279解：由共能組成(個)三位數(shù)，其中無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有(個)，所以有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有(個)．故選B2.某單位有7個連在一起的車位,現(xiàn)有3輛不同型號的車需停放,如果要求剩余的4個車位連在一起,則不同的停放方法的種數(shù)為()A.16 B.18 C.24 D.32解：若將7個車位從左向右按1～7進(jìn)行編號,則該3輛車有4種不同的停放方法:（1）停放在1～3號車位，（2）停放在5～7號車位，（3）停放在1,2,7號車位，（4）停放在1,6,7號車位.每一種停放方法均有6種,故共有24種不同的停放方法.故選C.3.過三棱柱任意兩個頂點(diǎn)的直線共15條，其中異面直線有()A.18對B.24對C.30對D.36對解：分類討論（1）與異面的有5條，所以與底面棱對應(yīng)的有對（2）與異面的有4條，所以與側(cè)棱對應(yīng)的有對（3）與異面的有5條，所以與側(cè)面對角線對應(yīng)的有對以上每條直線都數(shù)兩遍，所以共有，故選D4.從6人中選出4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有（）A．300種B．240種C．144種D．96種解：先從甲乙之外的4人中任選1人去巴黎，有4種，再從余下的5人中選1人去倫敦，有5種，再從余下的4人中選1人去悉尼，有4種，最后從余下的3人中選1人去莫斯科，有3種.所以不同的選擇方案共有種，故選B5.某通訊公司推出一組手機(jī)卡號碼，卡號的前七位數(shù)字固定，從“”到“”共10000個號碼．公司規(guī)定：凡卡號的后四位帶有數(shù)字“4”或“7”的一律作為“優(yōu)惠卡”，則這組號碼中“優(yōu)惠卡”的個數(shù)為（）A.2000B.4096 C.5904 D.8320解：如1390855，后四位數(shù)字從0～9這10個數(shù)字中選取，有10000這四個數(shù)字中既不含4，也不含7，有種情況所以優(yōu)惠卡的個數(shù)為5904，故選C6.甲、乙、丙、丁四人做傳球練習(xí)，第一次由甲傳給乙、丙、丁中的任一人，第二次由拿球者再傳給其他三人中的任一人，一共傳球4次，則第4次球仍然回到甲手中的方法共有（）A．21種B．24種C．27種D．42種解：符合要求的情況：分四步傳球，第三步不能在甲手中，第四步必須傳給甲.第一次，甲傳出，有3種情況，第二次，若回傳給甲，有1種情況，第三次傳給乙丙丁，有3種情況，第四次傳給甲，有1種情況，第二次，若不回傳給甲，有2種情況，第三次傳給乙丙丁中的2人，有2種情況，第四次傳給甲，有1種情況，所以第4次球仍然回到甲手中的方法共有種，故選A7.如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色．現(xiàn)在有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有___________種（以數(shù)字作答）解：方法一：（以位置為主考慮）第一步涂①，有4種方法，第二步涂②，有3種方法，第三步涂③，有2種方法，第四步涂④時分兩類：第一類用余下的顏色，有1種方法，第五步涂⑤，有1種方法；第二類與區(qū)域②同色，有1種方法，第五步涂⑤，有2種方法，所以共有種.方法二：（以顏色為主考慮）分兩類：第一類取4色：將②④或③⑤視為一個位置計四個位置，著色方法有種；第二類取3色：將②④，③⑤看成兩個元素，著色方法有種．所以共有著色方法種．答案：72（四）歸納小結(jié)，回顧重點(diǎn)兩個計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理一般地，完成一件事有類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，……，在第類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法.一般地，完成一件事有個步驟，