第一章第二章文科高等數(shù)學(xué)

二、數(shù)列的有關(guān)概念四、收斂數(shù)列的性質(zhì)三、數(shù)列極限的定義第一節(jié)數(shù)列的極限一、引例

早在兩千多年前，人們從生活、生產(chǎn)實(shí)際中產(chǎn)生了樸素的極限思想，公元前3世紀(jì)，我國的莊子就有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的名言.17世紀(jì)上半葉法國數(shù)學(xué)家笛卡兒（Descartes）創(chuàng)建解析幾何之后，變量就進(jìn)入了數(shù)學(xué).隨之牛頓（Newton、英國）和萊布尼茨（Leibniz、德國）集眾多數(shù)學(xué)家之大成，各自獨(dú)立地發(fā)明了微積分，被譽(yù)為數(shù)學(xué)史上劃時(shí)代的里程碑.微積分誕生不久，便在許多學(xué)科中得到廣泛應(yīng)用，大大推動(dòng)那個(gè)時(shí)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步.經(jīng)過長達(dá)兩個(gè)世紀(jì)的自身理論不斷完善的過程，才建立了極限理論.可見“極限”是微積分的基礎(chǔ).無窮數(shù)列的定義阿基里斯追龜

一位古希臘學(xué)者芝諾（Zenon，約公元前496—約前429）曾提出一個(gè)著名的“追龜”詭辯題。大家知道，烏龜素以動(dòng)作遲緩著稱，阿基里斯則是古希臘傳說中的英雄和擅長跑步的神仙.芝諾斷言：阿基里斯與龜賽跑，將永遠(yuǎn)追不上烏龜！ABBB1

假定阿基里斯現(xiàn)在A處，烏龜現(xiàn)在B處.為了趕上烏龜，阿基里斯先跑到烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)B，當(dāng)他到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，烏龜已前進(jìn)到B1點(diǎn)；當(dāng)他到達(dá)B1點(diǎn)時(shí)，烏龜又已前進(jìn)到B2點(diǎn)，如此等等。當(dāng)阿基里斯到達(dá)烏龜前次到達(dá)過的地方，烏龜已又向前爬動(dòng)了一段距離.因此，阿基里斯是永遠(yuǎn)追不上烏龜?shù)?！B1B2

讓我們?cè)倏匆豢礊觚斔哌^的路程:設(shè)阿基里斯的速度是烏龜?shù)氖?，龜在前?0米.當(dāng)阿基里斯跑了10米時(shí)，龜已前進(jìn)了1米；當(dāng)阿基里斯再追1米時(shí)，龜又前進(jìn)了0.1米，阿再追0.1米，龜又進(jìn)了0.01米…..把阿基里斯追趕烏龜?shù)木嚯x列出，便得到一列數(shù)：

10，1，0.1，0.01，…，102－n，…

這稱為數(shù)列，an

＝102－n

為通項(xiàng)，數(shù)列常簡(jiǎn)記｛an

｝.

所以阿基里斯追上烏龜所必須跑過的路程為所以，阿基里斯只要堅(jiān)持跑到11.2米的路程就可以追上烏龜！“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1.割圓術(shù)：播放——?jiǎng)⒒找?、引例正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積劉徽(約225–295年)我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家.他撰寫的《重差》對(duì)《九章算術(shù)》中的方法和公式作了全面的評(píng)注,指出并糾正了其中的錯(cuò)誤,在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)理論上作出了杰出的貢獻(xiàn).他的“割圓術(shù)”求圓周率“割之彌細(xì),所失彌小,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精確”的重要極限思想.

的方法:祖沖之

祖沖之（429－500）南朝宋齊間科學(xué)家,字文遠(yuǎn),范陽遒（今河北淶水）人.博學(xué)多才,尤其對(duì)天文、數(shù)學(xué)有相當(dāng)高的造詣.他廣泛搜集、閱讀關(guān)于天文、數(shù)學(xué)方面的書籍、文獻(xiàn).經(jīng)?！坝H量圭尺,躬察儀漏,目盡毫厘,心窮籌策”,進(jìn)行精確的測(cè)量和仔細(xì)的推算.

通過艱苦的努力,他在世界數(shù)學(xué)史上第一次將圓周率（л）值計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后七位,即3.1415926到3.1415927之間.他提出約率22／7和密率355／113,這一密率值是世界上最早提出的,比歐洲早一千多年,所以有人主張叫它“祖率”.他將自己的數(shù)學(xué)研究成果匯集成一部著作,名為《綴術(shù)》,唐朝國學(xué)曾經(jīng)將此書定為數(shù)學(xué)課本.他編制的《大明歷》,第一次將“歲差”引進(jìn)歷法.提出在391年中設(shè)置144個(gè)閆月.

推算出一回歸年的長度為365.24281481日,誤差只有50秒左右.他不僅是一位杰出的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家,而且還是一位杰出的機(jī)械專家.重新造出早已失傳的指南車、千里船等巧妙機(jī)械多種.此外,他對(duì)音樂也有研究.著作有《釋論語》、《釋孝經(jīng)》、《易義》、《老子義》、《莊子義》及小說《述異記》等,均早已遺失.

祖沖之博覽當(dāng)時(shí)的名家經(jīng)典,堅(jiān)持實(shí)事求是,他從親自測(cè)量計(jì)算的大量資料中對(duì)比分析,發(fā)現(xiàn)過去歷法的嚴(yán)重誤差,并勇于改進(jìn),在他三十三歲時(shí)編制成功了《大明歷》,開辟了歷法史的新紀(jì)元．

祖沖之還與他的兒子祖暅（也是我國著名的數(shù)學(xué)家）一起,用巧妙的方法解決了球體體積的計(jì)算．他們當(dāng)時(shí)采用的一條原理是:“冪勢(shì)既同,則積不容異．”意即,位于兩平行平面之間的兩個(gè)立體,被任一平行于這兩平面的平面所截,如果兩個(gè)截面的面積恒相等,則這兩個(gè)立體的體積相等.

這一原理,在西文被稱為卡瓦列利原理,但這是在祖氏以后一千多年才由卡氏發(fā)現(xiàn)的.為了紀(jì)念祖氏父子發(fā)現(xiàn)這一原理的重大貢獻(xiàn),大家也稱這原理為“祖暅原理”.

巴黎科學(xué)博物館墻壁上銘刻著祖沖之的畫像和他的圓周率，莫斯科大學(xué)的走廊旁懸掛著祖沖之的雕像，月球上新發(fā)現(xiàn)的一座山脈被命名為“祖沖之山”。2.截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”在《莊子·天下篇》中有“截丈問題”的精彩論述：例如注意：1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)數(shù)列的極限的定義:01231245當(dāng)n→∞時(shí)，

an→1利用描點(diǎn)法觀察下列數(shù)列特點(diǎn):隨著n的增大,an無限地趨近于1(1)n越大,越小01231245即:若在數(shù)列中存在某個(gè)時(shí)刻N(yùn),使得那么,N項(xiàng)以后的所有的項(xiàng)an(n>N)都有即:無論給定多么小的正數(shù),在數(shù)列中總存在可以任意小(2)隨著n的變化,一時(shí)刻N(yùn),對(duì)于這個(gè)時(shí)刻以后的所有的項(xiàng)an都有小于事先給定的正數(shù)例如:具有這樣性質(zhì)的數(shù)列,稱數(shù)列以1為極限只要？如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：幾何解釋:其中即:幾何解釋:其中數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例1證所以,注意：例2證所以,說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié):用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.

對(duì)于一切正整數(shù)例3證例4證1、有界性例如,有界無界收斂數(shù)列的性質(zhì)同樣,2.單調(diào)性為單調(diào)增數(shù)列；單調(diào)減數(shù)列．單調(diào)增數(shù)列和單調(diào)減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列．3.子數(shù)列注意：例如，性質(zhì)1收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論無界數(shù)列必定發(fā)散.性質(zhì)2每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限.證由定義,故收斂數(shù)列極限唯一.且推論證這個(gè)定理表明

若數(shù)列的極限為正（或負(fù)），則該數(shù)列從某一項(xiàng)開始以后所有項(xiàng)也為正（或負(fù)）.性質(zhì)3（保號(hào)性）證證畢．N性質(zhì)4收斂數(shù)列的任何子列都收斂,且極限值相等.這個(gè)定理表明

若數(shù)列有兩個(gè)不同的子數(shù)列收斂于不同的極限，則該數(shù)列是發(fā)散的.五、小結(jié)數(shù)列:研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限:極限思想、精確定義、幾何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性、有界性、保號(hào)性、子數(shù)列的收斂性.1.割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——?jiǎng)⒒找?、概念的引?.割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——?jiǎng)⒒找弧⒏拍畹囊搿案钪畯浖?xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1.割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?、概念的引入“割之彌?xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1.割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找弧⒏拍畹囊搿案钪畯浖?xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1.割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?、概念的引入“割之彌?xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1.割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?、概念的引入“割之彌?xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1.割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找?、概念的引入“割之彌?xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓