第三章 矩陣的初等變換與線性方程組

第三章矩陣的初等變換與線性方程組第一頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組引例求解線性方程組分析：用消元法解下列方程組的過程．第9講矩陣的初等變換一

線性方程組的初等變換第二頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組解第三頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組用“回代”的方法求出解：第四頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組于是解得（2）第五頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組小結(jié)：1．上述解方程組的方法稱為消元法．2．始終把方程組看作一個整體變形，用到如下三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于０的數(shù)乘某個方程；（3）一個方程加上另一個方程的k倍．（與相互替換）（以替換）（以替換）第六頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組3．上述三種變換都是可逆的．由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．第七頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組因為在上述變換過程中，僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進行運算，未知量并未參與運算．若記則對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對矩陣B(方程組（1）的增廣矩陣）的變換．第八頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:二矩陣的初等變換第九頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組

初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)．逆變換逆變換逆變換矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換.elementarytransformation第十頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組等價關(guān)系的性質(zhì)：具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價．例如，兩個線性方程組同解，就稱這兩個線性方程組等價第十一頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組用矩陣的初等行變換解方程組（1）：第十二頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組第十三頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組第十四頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組第十五頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組特點：（1）、可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）、每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非零元．第十六頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組注意：行最簡形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的．行最簡形矩陣再經(jīng)過初等列變換，可化成標準形．第十七頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組例如，第十八頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組特點：所有與矩陣

等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類，標準形是這個等價類中最簡單的矩陣.第十九頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組(2)的充分必要條件是存在n階可逆陣Q，AB~c(3)

的充分必要條件是存在m階可逆陣P三初等變換的基本性質(zhì)及n階可逆陣Q,使得(1)的充分必要條件是存在m階可逆陣P，~rAB定理1

設(shè)A與B為矩陣，使得使得推論方陣A可逆的充分必要條件是AE~r第二十頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組如果A經(jīng)一系列初等行變換變?yōu)锽，則有可逆矩陣P使得那么，如何求出可逆矩陣P?如果對（A,E）作初等變換，那么，當A變成B是，E就變成了P，也就是可逆陣P。第二十一頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組

解例１四

利用初等變換求逆矩陣及相關(guān)問題第二十二頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組第二十三頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組即初等行變換第二十四頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組例２解第二十五頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組第二十六頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組第二十七頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組列變換列變換第二十八頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組解例3第二十九頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組第三十頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組第三十一頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組四

利用初等變換求逆矩陣及相關(guān)問題例1

設(shè)求~r?

第三十二頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組~r例2

設(shè)的行最簡形為F，求F,并求一個可逆陣P，使得PA=F?PA=F(行最簡形),

第三十三頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組注

對于矩陣方程只需轉(zhuǎn)置:例3

解矩陣方程AX=B,

其中~r的解.例4

設(shè)求線性方程組AX=B，X?

第三十四頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組一矩陣秩的定義第10講矩陣的秩第三十五頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組第三十六頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組例5.1解第三十七頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組例5.2解第三十八頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組例5.3解計算A的3階子式，第三十九頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組另解顯然，非零行的行數(shù)為2，此方法簡單！第四十頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組定理3

若則推論若P、Q可逆，則R(PAQ)=R(A)例6

設(shè)A為矩陣,R(A)=2,求R(AB).二初等變換法求矩陣的秩第四十一頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組初等變換法:

用初等行變換將矩陣化為行階梯形矩陣,則行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例7

求矩陣的秩.例8

設(shè)已知R(A)=2，求及第四十二頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組初等變換求矩陣秩的方法：把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例7解第四十三頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組第四十四頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組第四十五頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組第四十六頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組由階梯形矩陣有三個非零行可知第四十七頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組第四十八頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組則這個子式便是的一個最高階非零子式.第四十九頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組第五十頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組三常用的矩陣秩不等式

當時，

例9

設(shè)A為n階矩陣，證明例10

設(shè)且則列滿秩以后陸續(xù)證明第五十一頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組對于線性方程組Ax=b,(1)當時,方程組無解;(2)當時,方程組有解;時,有無限多個解.且時,有唯一解,第11講線性方程組的解相容不相容特解通解不妨設(shè)R(A)=r.的行最簡形為第五十二頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組重要定理定理1

如果線性方程組的系數(shù)行列式則一定有解,且解是唯一的.定理2

如果線性方程組無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.定理3如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式則齊次線性方程組沒有非零解.定理4如果齊次線性方程組

有非零解,則它的系數(shù)行列式必為零.第五十三頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組(1)無解的充分必要條件是R(A)<R(A,b);一線性方程組解的判別定理定理4

n元線性方程組Ax=b(2)有惟一解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)=n;(3)有無限多解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)<n.(或：有解的充分必要條件是R(A)=R(A,b))推論1Ax=0有非零解的充分必要條件是R(A)<n

推論2AX=B有解的充分必要條件是R(A)=R(A,B)例11證明第五十四頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組例12求解齊次線性方程組解二求解線性方程組

第五十五頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組即得與原方程組同解的方程組第五十六頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組由此即得第五十七頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組例13求解非齊次線性方程組解對增廣矩陣B進行初等變換，故方程組無解．第五十八頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組例14求解非齊次方程組的通解解對增廣矩陣B進行初等變換第五十九頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組故方程組有解，且有第六十頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組所以方程組的通解為第六十一頁，共七十一頁，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理學(xué)院第三章矩陣的初等變換與線性方程組例15

解證對增廣矩陣B進行初等變換，方程組的增廣矩陣