第三章 立體的表面交線

第三章立體的表面交線第一頁，共五十四頁，2022年，8月28日返回第二頁，共五十四頁，2022年，8月28日返回第三頁，共五十四頁，2022年，8月28日空間幾何體分為平面立體和曲面立體。平面立體：表面由平面圍成的幾何體。曲面立體：表面由曲面或者曲面與平面圍成的幾何體。平面立體曲面立體第四頁，共五十四頁，2022年，8月28日截交:平面與立體相交，截去立體的一部分。平面與立體、立體與立體兩兩相交形成不同的表面交線，可分為兩大類：截交線——截平面與立體表面的交線。第五頁，共五十四頁，2022年，8月28日相貫:兩曲面立體相交。相貫線——曲面立體與曲面立體表面的交線。第六頁，共五十四頁，2022年，8月28日3.1平面立體表面的截交線3.1.1概述

2)截交線的形狀是由直線段圍成的平面多邊形。

3)多邊形的頂點是立體棱線與截平面的交點，

多邊形的各邊是截平面與立體各表面的交線。截交線的性質(zhì)：

1)截交線既在截平面上，又在立體表面上，是截平面與立體表面的共有線。第七頁，共五十四頁，2022年，8月28日3.1.2平面與平面立體截交線的求法：A.求各棱線與截平面的交點→線面交點法B.求各棱面與截平面的交線→面面交線法求截交線的步驟：1)空間及投影分析2)畫出截交線的投影a、截平面與立體的相對位置:確定截交線的形狀。確定截交線的投影特性。b、截平面與投影面的相對位置：分別求出截平面與棱面的交線，并連接成多邊形。第八頁，共五十四頁，2022年，8月28日[例1]四棱錐被正垂面P切割，求其截交線的投影。321(4)3●2●4●1●3●2●4●1)空間分析1●2)投影分析3)求截交線4)補全棱線的投影檢查:尤其注意檢查截交線投影的相仿性SSS截平面與體的幾個棱面相交？截交線的形狀？采用的是哪種解題方法？四邊形線面交點法第九頁，共五十四頁，2022年，8月28日[例2]求P、Q

兩平面與三棱錐截交線的投影。1"解題步驟1)分析:截平面為正垂面和水平面，正面投影積聚；2)求出點1、2、3、4；S"sa′aa"b′(c′)b"bcc"PvQv3)順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；S(3)223143"2"4)補全輪廓線。

414"第十頁，共五十四頁，2022年，8月28日[例3]已知立體的V、W投影，試求其H投影。第十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日[例4]已知主視圖和左視圖，求俯視圖。第十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日3.2曲面立體表面的截交線3.2.1概述回轉(zhuǎn)體截切的基本形式

平面與回轉(zhuǎn)體表面相交，其截交線是封閉的平面圖形。

截交線是由曲線圍成，或者由曲線與直線圍成，或者由直線段圍成。

求回轉(zhuǎn)體截交線，常利用積聚性或者輔助平面以及投影變換的方法。第十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日求平面與回轉(zhuǎn)體截交線的一般步驟：⒈空間及投影分析分析回轉(zhuǎn)體的形狀以及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對位置，以便確定截交線的形狀。分析截平面與投影面的相對位置，明確截交線的投影特性，如積聚性、相仿性等。找出截交線的已知投影，預(yù)見未知投影。⒉畫出截交線的投影當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時，其作圖步驟為：*光滑連接各點，并判斷截交線的可見性。*先找特殊點，補充中間點。第十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日3.2.2圓柱的截交線

平面與圓柱面相交時，根據(jù)平面與圓柱軸線的相對位置不同，其截交線有三種情況：圓、橢圓和矩形。第十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日圓柱的截交線第十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日多個平面截切立體時，要分別對各截平面進行截交線的分析和作圖。[例1]圓柱體被P、Q

兩平面截切，試完成其三視圖。

1)空間及投影分析3)求截交線。2)分析圓柱體輪廓素線的投影。截平面與立體的相對位置；截平面與投影面的相對位置；解題步驟保留動畫確定截交線形狀為矩形和圓弧。acbdePvQveb(d)a(c)ea(b)

c(d)第十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日[例2]圓柱被正垂面截切，試畫出三視圖。1．分析：截平面為正垂面，截交線的正面投影積聚，側(cè)面投影和水平投影為橢圓；2．求出截交線上的特殊點a、b、c、d；3．求出若干個一般點e、e1；4．光滑順次連接各點，作出截交線，并判別可見性；5．補全輪廓線。解題步驟第十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日截平面與圓柱軸線的傾角為β，其交線的H投影為橢圓，且橢圓的長、短軸隨β的變化而變化。截平面與圓柱軸線成45°時,投影為圓。第十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日(1)作圓柱的W面投影圖平面與圓柱體相交舉例之一

[例]如圖a，根據(jù)V面投影和H面投影補出立體的W面投影。a)題圖

解：

(2)作左切塊上的投影第二十頁，共五十四頁，2022年，8月28日圖平面與圓柱體相交舉例之一(3)作下部通槽的投影第二十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日(4)判別可見性，整理、加深完成全圖圖平面與圓柱體相交舉例之一第二十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日[例4]空心圓柱上部開有長方槽，若已知其V、H投影，試求W投影。第二十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日[例4]空心圓柱上部開有長方槽，若已知其V、H投影，試求W投影。第二十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日3.2.3圓錐截交線

根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對位置不同，截交線有五種形狀。第二十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日圓錐的五種截交線第二十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日圖3.9平面與圓錐體相交舉例[例]補全立體的三面投影。ⅠⅡⅢⅣⅤ輔助平面緯圓輔助平面第二十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日[例3]圓錐被正垂面P和側(cè)平面Q截切，已知其主視圖，求作俯視圖和左視圖。第二十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日圓球的截交線總是圓。由于截平面相對于投影面的位置不同，截交線的投影可能是圓、橢圓或直線。3.2.4圓球的截交線第二十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日兩個側(cè)平面截切圓球，交線在左視圖上為部分圓弧，在俯視圖上積聚為直線。[例2]已知上部開有通槽的半圓球的主視圖，求其俯視圖和左視圖。水平面截切圓球，交線在俯視圖上為部分圓弧，在左視圖上積聚為直線。第三十頁，共五十四頁，2022年，8月28日3.2.5綜合舉例首先分析復(fù)合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成以及它們的連接關(guān)系，然后分別求出這些基本回轉(zhuǎn)體的截交線，并依次將其連接。保留動畫第三十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日[例1]已知立體的俯、左視圖，完成其主視圖。第三十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日3.3.1概述相貫線的主要性質(zhì)：

其作圖實質(zhì)是找出相貫的兩立體表面的若干共有點的投影。1)共有性相貫線是兩立體表面的共有線。2)分界性相貫線兩立體表面的分界線。3)封閉性

相貫線一般是封閉的空間曲線，特殊情況下為不封閉或平面曲線或直線。3.3回轉(zhuǎn)體的相貫線第三十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日兩立體相交可分為

1)兩平面立體相交：可歸結(jié)為求兩平面的交線問題，或求棱線與平面的交點問題。

2)平面立體與曲面立體相交：可歸結(jié)為求平面與曲面立體截交線問題。本節(jié)主要介紹此問題

3)曲面立體相貫線：第三十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日3.3.2軸線正交的兩圓柱體的相貫線

軸線垂直相交的兩圓柱，試求其相貫線。第三十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日相貫線的側(cè)面投影積聚在水平大圓柱側(cè)面投影上，即為圓的一部分。

空間及投影分析：相貫線的水平投影與直立小圓柱的水平投影重合，是一個圓。第三十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日求相貫線的投影：利用積聚性，采用表面取點法。1.找全特殊點；2.補充一般點；3.判別可見性、光滑連接；4.

補全輪廓線?！瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛竦谌唔?，共五十四頁，2022年，8月28日圓柱與圓錐相貫[例3.12]求圓柱與圓錐的相貫線。a)求特殊點b）求一般點，連線，整理圖3.16圓柱與圓錐相貫舉例第三十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日曲面立體相貫的三種基本形式2.外表面與內(nèi)表面相交1.兩外表面相交3.兩內(nèi)表面相交第三十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日以下分別是圓柱外表面與圓柱內(nèi)表面相貫、圓柱內(nèi)表面與圓柱內(nèi)表面相貫的情況。第四十頁，共五十四頁，2022年，8月28日以下分別是圓柱外表面與圓柱內(nèi)表面相貫、圓柱內(nèi)表面與圓柱內(nèi)表面相貫的情況。第四十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日圓柱、圓錐相貫線變化規(guī)律當(dāng)圓柱直徑變化時，相貫線的變化趨勢。動畫一動畫二第四十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日特例：軸線正交的兩等徑圓柱體相貫——相貫線為橢圓

1.蒙日定理:若兩個二次曲面共切于第三個二次曲面，則兩曲面的相貫線為平面曲線（橢圓）。

3.3.4相貫線的特殊情況第四十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日相貫線相貫線相貫線

2.具有公共回轉(zhuǎn)軸的兩回轉(zhuǎn)體相貫

——相貫線為垂直于公共回轉(zhuǎn)軸線的圓

圖3.17具有公共回轉(zhuǎn)軸的兩回轉(zhuǎn)體相貫第四十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日圖3.18軸線相互平行的兩圓柱相貫及共錐頂?shù)膬蓤A錐相貫

3.軸線相互平行的兩圓柱相貫———相貫線為直線

4.共錐頂?shù)膬蓤A錐相貫———相貫線為直線

第四十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日例3.13：補全主視圖●●●●●●●●●●●●●●●●●●●★外形交線◆兩外表面相貫◆一內(nèi)表面和一外表面相貫★內(nèi)形交線◆

兩內(nèi)表面相貫★形體分析第四十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日例3.13：補全主視圖

無輪是兩外表面相貫，還是一內(nèi)表面和一外表面相貫，或者兩內(nèi)表面相貫，求相貫線的方法和思路是一樣的。小結(jié)：第四十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日例3.14：補全主視圖●●●●●●●●

這是一個多體相貫的例子，首先分析它是由哪些基本體組成的，這些基本體是如何相貫的，然后分別進行相貫線的分析與作圖。哪兩個立體相貫？１與３2與3第四十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日例3.14：補全主視圖三面共點●●●

作圖時要抓住一個關(guān)鍵點，相貫線匯交于這一點。哪個點呢？第四十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日例3.15：補畫左視圖。