第三章線性代數(shù)方程組的數(shù)

第三章線性代數(shù)方程組的數(shù)第一頁，共五十七頁，2022年，8月28日3.1引言

給定一個(gè)線性方程組求解向量x。第二頁，共五十七頁，2022年，8月28日第一類是直接法。即按求精確解的方法運(yùn)算求解。第二類是迭代法。其思想是首先把線性方程組(3-1)等價(jià)變換為如下形式的方程組：數(shù)值解法主要有兩大類：然后構(gòu)造迭代格式這稱為一階定常迭代格式，M稱為迭代矩陣。第三頁，共五十七頁，2022年，8月28日

3.2解線性方程組的消去法

3.2.1高斯消去法與高斯若當(dāng)消去法

例1

第一步：先將方程（1）中未知數(shù)的系數(shù)2除（1）的兩邊，得到下列方程組：

解：1、消元過程矩陣的觀點(diǎn)第四頁，共五十七頁，2022年，8月28日

再將第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程的4倍，第三個(gè)方程減去第一個(gè)方程的2倍。

第二步：將方程中第二個(gè)方程的兩邊除以的系數(shù)4

第五頁，共五十七頁，2022年，8月28日

將第三個(gè)方程減去第二個(gè)方程：

第三步：為了一致起見，將第三個(gè)方程中的系數(shù)變?yōu)?，

2、回代過程：第六頁，共五十七頁，2022年，8月28日

下面我們來討論一般的解n階方程組的高斯消去法，且就矩陣的形式來介紹這種新的過程：一、高斯消去法第七頁，共五十七頁，2022年，8月28日高斯消去法：

（1）消元過程：對k=1,2,…,n依次計(jì)算

(2)回代過程：第八頁，共五十七頁，2022年，8月28日

例3.1試用高斯消去法求解線性方程組

消元過程為解第九頁，共五十七頁，2022年，8月28日即把原方程組等價(jià)約化為據(jù)之回代解得第十頁，共五十七頁，2022年，8月28日為了避免回代的計(jì)算，我們可在消元過程中直接把系數(shù)矩陣A約化為單位矩陣I，從而得到解，即這一無回代的消去法稱為高斯-若當(dāng)（Jordan）消去法

二、高斯-若當(dāng)（Jordan）消去法

第十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日解歸一消元第十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日歸一消元?dú)w一消元第十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日例2試用高斯-若當(dāng)消去法求解例3.1的線性方程組。

因?yàn)榻獾谑捻?，共五十七頁?022年，8月28日高斯-若當(dāng)（Jordan）消去法

一般公式：

第十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日高斯約當(dāng)消去法是一個(gè)具有消去過程而無回代過程的算法。以上兩種消去法都是沿系數(shù)矩陣的主對角線元素進(jìn)行的，即第k次消元是用經(jīng)過前k-1次消元之后的系數(shù)陣位于（k,k)位置的元素作除數(shù)，這時(shí)的(k,k)位置上的元素可能為0或非常小，這就可能引起過程中斷或溢出停機(jī)。

3.2.2消去法的可行性和計(jì)算工作量

第十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日定理3.1

如果的各階順序主子式均不為零，即有即消去法可行。推論若系數(shù)矩陣嚴(yán)格對角占優(yōu)，即有

第十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日注意：高斯-若當(dāng)消去法求解矩陣方程和求矩陣的逆矩陣?yán)?.3試用高斯-若當(dāng)消去法求解如下矩陣方程解：其中X是矩陣第十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日

3.2.3選主元素的消去法

主元素的選取通常采用兩種方法：一種是全主元消去法；另一種是列主元消去法。下面以例介紹選主元的算法思想例3.4試用選主元消去法解線性方程組

第十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日（1）用全主元高斯消去法回代解出：還原得：解第二十頁，共五十七頁，2022年，8月28日故得解為（2）用全主元高斯-若當(dāng)消去法歸一、消元主元主元主元?dú)w一、消元?dú)w一、消元第二十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日（3）用列主元高斯消去法回代解得第二十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日

3.3解線性方程組的矩陣分解法

一、非對稱矩陣的三角分解法

矩陣分解法的基本思想是：可逆下三角矩陣可逆上三角矩陣對于給定的線性方程組（1）分解——解兩個(gè)三角形方程組。第二十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日定理3.3注意第二十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日矩陣的Crout分解的計(jì)算公式第二十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日(3-12)Crout分解的計(jì)算公式第二十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日Crout分解的計(jì)算公式的記憶方法第二十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日第二十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日注：第二十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日例1.試用克洛特分解法解線性方程組0第三十頁，共五十七頁，2022年，8月28日第三十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日例3.5試用克洛特分解法解線性方程組解第三十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日第三十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日

3.3.3對稱正定矩陣的三角分解

定義3.1若n階方矩陣A具有性質(zhì)且對任何n維向量成立，則稱A為對稱正定矩陣。定理3.4若A為對稱正定矩陣，則

(1)A的k階順序主子式(2)有且僅有一個(gè)單位下三角矩陣L和對角矩陣D使得（3-16）這稱為矩陣的喬里斯基（Cholesky）分解。(3)有且僅有一個(gè)下三角矩陣，使（3-17）這稱為分解矩陣的平方根法。第三十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日

（1）首先由A對稱正定知且對任何k維非零向量

故為k階對稱正定矩陣，所以

由惟一性得

證第三十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日把平方根法應(yīng)用于解方程組，則把Ax=b化為等價(jià)方程相應(yīng)的求解公式為第三十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日把喬里斯基分解法應(yīng)用于解方程組，則Ax=b化為等價(jià)方程相應(yīng)的求解公式為第三十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日j1jj-1由此可建立平方根法的遞推計(jì)算公式如下：第三十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日注：平方根法的遞推計(jì)算記憶法第三十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日例3.8試用平方根法求解對稱線性方程組

解

(1)第四十頁，共五十七頁，2022年，8月28日由此，可先由上三角形線性方程組再由下三角形線性方程組第四十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日類似地，由得從而可建立喬里斯基分解法的遞推計(jì)算公式為對于依次計(jì)算第四十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日例3.7用喬里斯基分解法分解矩陣

解由式(3-9)第四十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日第四十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日

例3.9試用喬里斯基分解法解線性方程組解第四十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日第四十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日

3.4解線性方程組的迭代法

迭代法思想:(1)Ax=b(3-1)(2)建立迭代格式這稱為一階定常迭代格式，M稱為迭代矩陣。第四十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日

3.4.1雅可比迭代法與高斯-塞德爾迭代法

約化便得從而可建立迭代格式對

（3-23）以分量表示即一、Jacob迭代法雅可比（Jacobi）迭代

第四十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日則雅可比迭代格式（3-24）可用矩陣表示為MJfJ第四十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日-------雅可比迭代例如解：修正-----高斯-塞德爾迭代第五十頁，共五十七頁，2022年，8月28日用矩陣表示為對雅可比迭代格式修改得高斯-塞德爾（Gauss-Seidel）迭代

fG-SMG-S二、Gauss-Seidel迭代法第五十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日例3.10分別用雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法求解線性方程組

解相應(yīng)的迭代公式為雅可比迭代高斯-塞德爾迭代令取四位小數(shù)迭代計(jì)算由雅可比迭代得

由高斯-塞德爾迭代得

第五十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日

3.4.2迭代法的收斂性

定義3.2設(shè)n階線性方程組的精確解為x*

相應(yīng)的一階定常迭代格式為如果其迭代解收斂于精確解，即則稱迭代格式（3-26）收斂命題3.2記的充分必要條件為第五十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日定理3.5若一階定常迭代格式（3-26）的迭代矩陣滿足條件

則該迭代格式對任何初始向量均收斂。則該迭代格式對任何初始向量均收斂。

定理3.6

若一階定常迭代格式（3-26）的迭代矩陣滿足條件第五十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日定理3.7若雅可比迭代法的迭代矩陣滿足條件（3-28）或（3-29），則雅可比迭代法與相應(yīng)的高斯-塞德爾迭代法對任何初始向量均收斂。推論

如果線性代數(shù)方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，即則相應(yīng)的雅可比迭代法與高斯-塞德爾迭代法對任何初始向量均收斂。

第五十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日

定理3.8一階定常迭代格式對任何初始向量均收斂的充分必要條件為其迭代矩陣的譜半徑小于1，即這里為M的特征值定理3.9

若線性方程組（3-1）的系數(shù)矩陣