牛吃草問題 關(guān)鍵有三點

牛吃草問題關(guān)鍵有三點1設一頭牛1天吃1份草2算出草增加或者減少的速度3算出總量例題1牧場上有一片青草，每天牧草都勻速生長，這片草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天。問可供25頭牛吃多少天？解析：設1頭牛1天吃1份草，原有草量M，草長的速度為X10頭牛20天吃的草量=原有草量+20天長出來的草量15頭牛10天吃的草量=原有草量+10天長出來的草量觀察上面的式子發(fā)現(xiàn)：原有草量M是不變的所以：10*20-15*10=（20-10）XX=5再來算原有草量：10*20-20*5=100（或者15*10-10*5=100）設25頭?？梢猿訷天所以100+5Y=25Y- Y=5PS：一般做熟悉了，直接就是（10*20-15*10）/（20-10）=5 草長的速度10*20-5*20=100 原有量100+5X=25X X=5例題2一只船發(fā)現(xiàn)漏水時，已經(jīng)進了一些水，水勻速進入船內(nèi)，如果10人淘水，3小時淘完；如果5人淘水，8小時淘完，如果要求2小時淘完，要安排多少人？此題是牛吃草問題的變型！設每人每小時淘水量為“1”每小時漏進船的水量為：（5*8-10*3）/（8-3）=2發(fā)現(xiàn)時船內(nèi)的水量為：5*8-2*8=2424+2*2=2*X X=14（人）例題3超市的收銀臺平均每小時有60名顧客前來排隊付款，每一個收銀臺每小時能應付80名顧客付款。某天某時刻，超市如果只開設一個收銀臺，付款開始4小時就沒有顧客排除了，問如果當時開設兩個收銀臺，則付款開始幾小時就沒有顧客排隊了A.2小時B.1.8小時C.1.6小時D.0.8小時此題和牛吃草的題類似一個收銀臺4小時接收的顧客為80*4=320每小時排隊的顧客是4*60=240所以沒開收銀臺時已經(jīng)有320-240=80人排隊80+60X=2*80XX=0.8難度較大的牛吃草題：有三塊草地，面積分別是5,15,24畝，草地上的草一樣厚，而且長得一樣快，第一塊草地可供10頭牛吃30天,第二塊草地可供28頭牛吃45天，問第三塊草地可供多少頭牛吃80天？設1頭牛1天吃的草為“1”（1） 第一塊草地中的草和30天長出來的草一共是：10*30=300所以一畝地中原有草及30天長出來的草為：300/5=60（2） 同理算第二塊草地28*45/15=84因此1公畝草地每天新長出的草量：(84-60)/(45-30)=8/51公畝地原有草量為：60-30*8/5=12第三塊草地原有草為12*24=28824畝80天新長草量為24*1.6*80=3072，24畝80天共有草量3072+288=3360，所有3360/80=42(頭)解法二：10頭牛30天吃5畝可推出30頭牛30天吃15畝，根據(jù)28頭牛45天吃15木，可以推出15畝每天新長草量(28*45-30*30)/(45-30)=24；15畝原有草量：1260-24*45=180；15畝80天所需牛180/80+24(頭)24畝需牛：(180/80+24)*(24/15)=42頭幾大經(jīng)典行程問題匯總及技巧介紹1、甲乙兩人相約見面，并約定第一人到達后，等15分鐘不見第二人來就可以離去。假如他們都在10至10點半的任意時間來到見面地點，則兩人能見面的概率有多大？卡卡西解析：在坐標第一象限，畫一個正方形(兩邊貼著坐標軸)，畫兩條線x-y<15,y-x<15,求圍成圖形/正方形面積15 302、張王兩人相約見面，并約定張到達后等15分鐘、王到達后等30分鐘，如果時間到了仍不見另一人到可以自行離開.請問，張王兩人在6點到7點之間見面的概率是多大？同理，兩條線分別是x-y<15,y-x<30相信話這個圖大家沒問題吧3、某公交線路共有15站。假設一輛公交車從起點站出發(fā)，從起點站起，每一站都會有都到前方每一站下車的乘客各一名上車，那么站第九站和第十站之間，車上有多少人？A.48B.54C.56D.60一般解題方法：站臺：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10上車：14，13，12，11，10，9，8，7，6,5下車：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9第9到第10之間是：(14+13+12+......+6)-(0+1+2+3+......8)=54方法二：1到9是9站，9到15是6站，即前9站每一站上車的乘客都還剩下6個人，6X9=544、有甲、乙兩汽車站，從甲站到乙站與從乙站到甲站每隔6分同時各發(fā)車一輛，且都是1小時到達目的地。問某旅客乘車從甲站到乙站，在途中可看到幾輛從乙站開往甲站的汽車？()A.18B.21C.20D.19解析：從甲站到乙站與從乙站到甲站每隔6分同時各發(fā)車一輛，則從甲站到乙站的過程中每6\2=3分鐘就可以看到一輛車(可以理解為，一輛車要走6分鐘，兩輛車相向而行只需要6/2=3分鐘)，所以最多可看到60\3+1=21輛車，在途中可以看到21-2=19輛車“+1”表示到站的時候看到的正準備出發(fā)的車，“-2”表示他出發(fā)的時候遇到的車和他到站時候遇到的車(題目問的是途中，所以起點遇到和終點遇到不算)5、從甲、乙兩車站相對同時開出公車，此后兩站每隔8分鐘再開出一輛，依次類推，已知每輛車的車速相同且勻速，每輛車到達對方站都需45分鐘，現(xiàn)有一乘客坐甲站開出的第一輛車去乙站，問他在路上會遇到幾輛從乙站開出的公共汽車？速度相同，第一輛車走了S/2時遇到迎面而來的第一輛車。此時還有22.5分鐘到站這個時候和上一題的思路一樣 22.5/4=5 5+1=66、某公共汽車從起點開往終點站，途中共有13個停車站。如果這輛公共汽車從起點站開出，除終點站外，每一站上車的乘客中，正好各有一位乘客從這一站到以后的每一站。為了使每位乘客都有座位，那么，這輛公共汽車至少應有多少個座位？【山東2005-10】A.48B.52C.56D.54途中有13個站，加上起點和終點站一共是15個站起點的時候，14個人第二站的時候上車13個，下車1個。一共剩下13+13個第N站的時候每一站剩下的人數(shù)為nX(15-n),可得最大值為7X8=56追擊問題的兩點重要思路1、 設間隔距離看作單位12、 路程差=速度差、時間講解幾個例題：1、某人沿電車線路行走，每12分鐘有一輛電車從后面追上，每4分鐘有一輛電車迎面而來.2個起點站的發(fā)車間隔相同，那么這個間隔是多少？？？？1、 設間隔距離看作單位12、 路程差=速度差x時間畫個簡單的圖幫助大家理解后面追上： A > B------> （速度差）迎面而來： A > <---B （速度和）所以根據(jù)圖我們可以得到下面的方程（1） 后面追：（V電一V人）=1/12（2） 迎面來：（V電+V人）=1/4（1）+（2）==>2V電=1/12+1/4=1/3（問題是算發(fā)車間隔，所以我們要計算車的速度V電=1/6根據(jù)時間=路程一速度間隔=1 -1/6T=6PS：做熟悉了直接就是1/[（1/12+1/4）/2]=62、一條街上，一個騎車人和一個步行人同向而行，騎車人的速度是步行人的3倍，每個隔10分鐘有一輛公交車超過一個行人。每個隔20分鐘有一輛公交車超過一個騎車人，如果公交車從始發(fā)站每隔相同的時間發(fā)一輛車，那么間隔幾分鐘發(fā)一輛公交車？A10B8C6D41、 設間隔距離看作單位12、 路程差=速度差x時間所以有下面的方程：（1） （V汽一V步）=1/10（2） （V汽一3V步）=1/20算出V汽=1/8 T=1/（1/8）=8把1?100這100個自然數(shù)，按順時針方向依次排列在一個圓圈上，從1開始，順時針方向，留1,擦去2,3,4,留5,擦去6,7,8……（每擦去3個數(shù)，留一個數(shù)）。直到最后剩下的一個數(shù)是多少？A、47B、48C、49D、64【天字一號解析】考察點：周期循環(huán)等比數(shù)列的問題這個題目考到的可能性不是特別大，但是不排除。就只介紹規(guī)律吧。主要是看間隔編號的個數(shù)。如該題間隔編號就是1個。例如留1拿走2,留3拿走4,間隔是1：以下公式是按照從去1開始的。那么公式是：2/1x（A—25）這是最后剩下的數(shù)字25表示A內(nèi)最大的值A表示原始的編號總數(shù)。間隔是2：3/2x（A一3An）間隔是3：4/3x（A一4An）間隔是4：5/4x（A一5An）特別注意的是：此題的A值不是隨便定的必須滿足A—1要能夠除以間隔編號數(shù)目。否則最后的結(jié)果就是全部被拿走。該題答案是：按照公式4/3x(100—4A3)=48但是這是按照去1開始得如果是留1那么答案是48+1=49另解：留1,去掉234,題目告訴我們的是4個一組循環(huán)，所以答案應該是4K+1，即答案減去1應該是4的倍數(shù)，只有C滿足廣東rainlycc的一道題連續(xù)自然數(shù)按編號1,2,3,…，8899順時針排成一圈。從1開始，留1劃掉2和3,留4劃掉5和6......這么轉(zhuǎn)圈劃下去，最后留下的是哪個數(shù)？()A.3508B.3513C.3509D.3524正規(guī)做法：間隔是2：3/2x(A—3An)8899-1=8898，能整出23/2*(8899-6561)=3507從1開始取，就是從2開始劃，所以應該是3507+1=3508另解：3個一組循環(huán)，答案減去1應該是3的倍數(shù)，選A50枚棋子圍成圓圈，編號1到50...每隔一枚棋子取出一枚，要求最后留下的那枚棋子號碼是40，那么該從幾號棋子開始取？A3 B4 C5 D6間隔是12/1x(A—25)要是從1開始數(shù)的話最后剩下的是36~~40-36+1=5送幾個常見的公式給大家1、 一根繩連續(xù)對折N次，從中減M刀，則被剪成了(2AN*M+1)段2、 直線分平面：N條直線，最多能分N(N+1)/2+1個部分3、 直線畫三角形：直線數(shù)34567三角形數(shù)1257114、 傳球是無敵公式！M個小朋友傳N次球，最后回到第一個人手中，共X種方法！X+(M-1)(X+1)=(M-1)ANN為奇數(shù)X+(M-1)(X-1)=(M-1)ANN為偶數(shù)5、圓分割平面：N個圓，最多能分NA2-N+2個部分6、 涂油漆一個邊長為8的正立方體，由若干個邊長為1的正立方體組成，現(xiàn)在要將大立方體表面涂漆，請問一共有多少個小立方體被涂上了顏色？()A.296B.324C.328D.384設邊長為N這類題的公式就是：M3-(N-2)A3對此題來說就是8A3-6A3=2967、 含鹽率不同的鹽水混合成含鹽率相同的m=xy/x+y有甲乙兩杯含鹽率不同的鹽水，甲杯鹽水重120克，乙杯鹽水重80克.現(xiàn)在從兩杯倒出等量的鹽水，分別交換倒入兩杯中.這樣兩杯新鹽水的含鹽率相同.從每杯中倒出的鹽水是多少克m=9600/200=488、 相遇問題：單岸型為S=(3S1+S2)/2雙岸型為S=3S1-S29、 追擊問題里面的(間隔時間問題)(2*T1*T2)/(T1+T2)10軍團云淡原創(chuàng)：得分公式1：甲乙進行象棋比賽，獲勝得a分，平局得b分，輸?shù)牟坏梅?，進行n局比賽，問甲一共有幾種得分情況?(ab互質(zhì)，a>b)共有【1+2+---+(n+1)】-【1+2+--+(n-a+1)】種得分2：n道題，錯一個扣a分，對一個得b分，不答0分，請問有多少種得分？(其中ab互質(zhì))共有【1+2+---+(n+1)】-【1+2+ +(n-a-b+1)】種得分11、硬幣翻轉(zhuǎn)問題(我覺得云淡的比較好記)現(xiàn)有m個一元面值硬幣正面朝上的放在桌上，每次翻轉(zhuǎn)n個硬幣，問最少經(jīng)過幾次翻轉(zhuǎn)可以使這m個硬幣全部反面朝上？(m和n互質(zhì)，m不等于n+1)總結(jié)公式為：2+[|(m-2n)|/n]+f(a)其中a為(m-2n)/n的余數(shù)，[]是取整算符，f(a)當a是奇數(shù)時值為1,a是偶數(shù)時值為2總結(jié)】關(guān)于頁碼和頁數(shù)的題目(剛看到的一個題目順便做個分析)先從幾個題目開始說(1)699頁的書頁碼當中含有多少2?可以采用排列組合來做，我們將這1~999個數(shù)字按照這樣的方式來看首先001表示1，我們把百位，十位，個位單獨來看百位如果是2的情況有多少種？主要是取決于十位和個位的選擇情況，十位有0~910個選擇，個位有0~9十個選擇即10*10=100個十位如果是2的情況有多少種?百位的選擇是0~6即7種選擇，個位0~9這10個數(shù)字選擇，即7*10=70個位如果是2的情況有多少種？百位的選擇0~6，即7種選擇，十位0~910個數(shù)字可以選擇，即和十位是2的情況一樣7*10=70則答案是100+70*2=240個注解：例如522是含有2個2，當百位是0十位是2個位是2的時候即022表示的是頁碼22（2） 999頁碼的書有多少頁不含2的頁碼？這個題目跟上一題不一樣求的是頁碼，比如說522這個頁碼雖然含有2個2,但是這是一個頁碼這個題目我們同樣采用排列組合每個位置不是2的種類選擇，即都是0~9排除2，9個數(shù)字可以選擇，所以不含2的頁碼是9*9*9=729但是當三個位置都是0時，即表示為0，頁碼當中沒有0頁碼，所以最終答案是729-1=728個頁碼不含2（3） 999頁的書有多少頁含2的頁碼？上面我們已經(jīng)分析了，借助上面做法含2的頁碼就是999-728=271個頁碼【討論】裴波納契數(shù)列的另類運用（補充完整了）先說典型的裴波納契數(shù)列：圖片：裴波納契數(shù)列就是移動求和A+B=C因為第一個月這對小兔長成大兔所以第一個月還是1對即A從1開始。第2個月開始剩下一對小兔合計2對B從2開始。1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233小明家住二層，他每次回家上樓梯時都是一步邁兩級或三級臺階。已知相鄰樓層之間有16級臺階，那么小明從一層到二層共有多少種不同的走法？A：54B：64C：57D：37這個題目剛剛看到討論我也用排列組合的辦法參與了討論現(xiàn)在我再來說說裴波納契數(shù)列的解法樓梯級數(shù)：1,2,3，4,5,6 走法情況：0，1，1，1,2,2 這是一個裴波納契的間隔運用因為他沒有走1步的情況即A+B=D0,1,1,1,2,2,3,4,5,7,9,12,16,21,28,37在舉例1題：小明家住二層，他每次回家上樓梯時都是一步邁一級，兩級或三級臺階。已知相鄰樓層之間有10級臺階，那么小明從一層到二層共有多少種不同的走法？因為是1,2,3級都可以所以可以采用A+B+C=D的裴波納契數(shù)列變式！列舉前3個分別是1,2,3則10個是1,2,4,7,13,24,44,81,149,274練習題目：小明家住二層，他每次回家上樓梯時都是一步邁一級或三級臺階。已知相鄰樓層之間有10級臺階，那么小明從一層到二層共有多少種不同的走法？【分享】關(guān)于相遇問題和追擊問題的綜合題目的分析一條街上，一個騎車人和一個步行人相向而行，騎車人的速度是步行人的3倍，每個隔10分鐘有一輛公交車超過一個行人。每個隔20分鐘有一輛公交車超過一個騎車人，如果公交車從始發(fā)站每隔相同的時間發(fā)一輛車，那么間隔幾分鐘發(fā)一輛公交車？A10B8C6D4我們知道這個題目出現(xiàn)了2個情況，就是汽車與騎自行車的人的追擊問題，汽車與行人的追擊問題追擊問題中的一個顯著的公式就是路程差=速度差x時間我們知道這里的2個追擊情況的路程差都是汽車的間隔發(fā)車距離。是相等的。因為我們要求的是關(guān)于時間所以可以將汽車的間隔距離看作單位1.那么根據(jù)追擊公式(V汽車一V步行)=1/10(V汽車一3V步行)=1/20(1)x3—(2)=2V汽車=3/10-1/20 很快速的就能解得V汽車=1/8答案顯而易見是8再看一個例題：小明在商場的一樓要乘扶梯到二樓。扶梯方向向上，小芳則從二樓到一樓。已知小明的速度是小芳的2倍。小明用了2分鐘到達二樓，小芳用了8分鐘到達一樓。如果我們把一個箱子放在一樓的第一個階梯上問多長時間可以到達二樓?跟上面一題一樣。這個題目也是2個行程問題的比較（1） 小明跟扶梯之間是方向相同（1） （V小明+V扶梯）=1/2（2） 小芳跟扶梯的方向相反（2） （V小芳一V扶梯）=1/8（1）-2x⑵=3V扶梯=1/4可見扶梯速度是1/12答案就顯而易見了?？偨Y(jié)：在多個行程問題模型存在的時候。我們利用其速度差，速度和的關(guān)系將未知的變量抵消?？梢院茌p松的一步求得結(jié)果！習題：1、 電扶梯由下往上勻速行駛.男孩以每秒2個梯級的速度沿電扶梯往上走,40秒種可達電扶梯頂部.一女孩以每2秒3個梯級的速度往上走,50秒可以達到頂部.則靜止時電扶梯的梯級數(shù)為（ ）A80B75C100D1202、2、 某人沿電車線路行走，每12分鐘有一輛電車從后面追上，每4分鐘有一輛電車迎面而來.2個起點站的發(fā)車間隔相同，那么這個間隔是多少？？？？（1）某工人的步行速度為每小時5公里，如果他先步行上班路程的1/10，然后乘上速度為每小時25公里的汽車，最后再步行1公里剛好到廠，那么他可以比完全步行上班早二小時到廠。問他的上班路程有多少公里？2個情況的比較主要是中間的一段路程，一個步行，一個乘車速度之比是25:5=5：1則所需時間之比是1：5差4個比例點對應2小時。每個比例點是0.5小時，那么如果是步行這段路程所需時間是0.5x5=2.5小時后面1公里步行所需時間是1/5=0.2小時說明后面9/10的路程需要2.7小時則全程需要2.7/9x10=3小時(2)一輛汽車以每小時40千米的速度從甲城開往乙城，返回時它用原速度走了全程的4分之3多5千米，再改用每小時30千米的速度走完余下的路程，因此，返回甲城的時間比前往乙城的時間多用了10分鐘，甲、乙兩城相距多遠？變化的部分就是返回的時候離甲城還有1/4的總路程少5千米的一段這段路用40千米的速度比用30千米的速度節(jié)省10分鐘速度之比4：3時間之比是反比是3：4差1個比例點則假設是40千米的速度則所需時間是3x10=30分鐘，則這段1/4少5千米的路程就是40x0.5=20千米答案是(20+5)x4=100千米一個學生從家到學校，先用每分50米的速度走了2分，如果這樣走下去，他會遲到8分；后來他改用每分60米的速度前進，結(jié)果早到學校5分。這個學生家到學校的路程是多少米？這個題目變化部分是后面采用60米的速度速度之比是6：5時間之比是5：6差1個比例點對應的時間是5+8=13分鐘也就是說如果這段路程還是用50米的速度，那么所需時間是13x6=78分鐘連帶前面的2分鐘答案是50x(78+2)=4000米王師傅加工一批零件，每天加工20個，可以提前一天完成.工作4天后，每天多加工5個，結(jié)果提前3天完成,問這批零件有多少個？效率20提前1天，效率25提前3天，對比快2天這2天是在后面的工作中節(jié)省出來的效率之比20:25=4：5則時間之比=反比=5：4差2天對應5-4=1個比例點所以原來的時間是2x5+4=14天總數(shù)14x20=280某項工程,可由若干臺機器在規(guī)定時間內(nèi)完成，如果增加兩臺機器，則只需要規(guī)定時間的7/8就可以完成;如果減少2臺機器，那么就要推遲2/3小時才能做完.現(xiàn)問:由一臺機器去完成這項工程要多長時間？節(jié)省時間的方法，增加2臺完成時間比即數(shù)量反比數(shù)量比是8：7，差1個比例點對應2臺即原來是2x7=14臺現(xiàn)在減少2臺則時間比=數(shù)量反比即時間比是14：12=7：6相差2/3小時即原來是用6x2/3=4小時所以一臺機器完成需要14x4=56小時一輛從甲地開往乙地，如果車速提高20%，可以比原定時間提前1小時到達；如果以原速行駛120千米后，再將速度提高25%，則可提前40分鐘到達。那么甲乙兩地相距多少千米？如果把車速提高20%，則可比原定時間提前1小時到達B速度之比5：6時間之比是6：5差1個小時說明原始速度行駛?cè)绦枰?小時120千米后，速度之比4：5時間之比5：4差1個比例點對應2/3個小時則原速度行駛這段路程所需時間是10/3小時。說明前面120米是6-10/3=8/3小時120:8/3=a：6解得a=270千米一輛汽車從A開往B，如果把車速提高20%，則可比原定時間提前1小時到達B，如果按原來速度行駛100千米后，再將速度提高30%，恰巧也能比原定時間提前1小時到達B.求A.B之間的距離？如果把車速提高20%，則可比原定時間提前1小時到達B速度之比5：6時間之比是6：5差1個小時說明原始速度行駛?cè)绦枰?小時100千米后，速度之比10：13時間之比13:10差3個比例點對應1個小時每個點是1/3則原速度行駛這段路程所需時間是13/3小時。說明前面100米是6-13/3=5/3小時100:5/3=a：6解得a=360甲乙兩輛汽車在一段周長為520千米環(huán)城公路上比賽。他們同時從同一點同向出發(fā)。甲的速度是81千米/每小時、乙的速度是每小時3千米。每一次追上相遇，甲的速度就會下降1/4,乙的速度就會增加1.25倍。當他們速度相等時。其兩者路程之和是()先確定經(jīng)過幾次相遇，速度相等了81x(1-1/4)5=3x(1+125)581/3=[(9/4)/(3/4)]An 27=35;n=3接著具體分析第一次相遇時：速度之比27:1路程跟速度成反比，那么路程之比也是27:1路程差是1圈的距離那么27-1=26就是一圈，27+1=28就是2個人的路程和第二次相遇時：速度之比9：1路程跟速度成反比，那么路程之比也是9：1路程差是1圈的距離那么9-1=8就是一圈，9+1=10就是2個人的路程和第三次相遇時：速度之比3：1路程跟速度成反比，那么路程之比也是27:1路程差是1圈的距離那么3-1=2就是一圈，3+1=4就是2個人的路程和 答案就是520x(28/26+10/8+4/2)=520x(14/13+5/4+2)=2250比例法我粗略分為2類變量變化之比例這部分大家可以參考上面鏈接的習題常識去掌握這部分的題目變量守恒之比例這部分是通過我們求解的試題中某個變量恒定的把握。通過這個恒量在整個比例中所得的比例點的不同參照物下的變化來反向了解整體變化或者是與之相關(guān)聯(lián)的變量變化的情況。下面我們通過試題來了解這樣的類型【2008年安徽真題】一個袋子里放著各