第二節(jié)邏輯函數(shù)

第二節(jié)邏輯函數(shù)第一頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日回顧：一、數(shù)字量、模擬量模擬量、模擬信號(hào)、模擬電路數(shù)字量、數(shù)字信號(hào)、數(shù)字電路第二頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日二、數(shù)制數(shù)制數(shù)碼計(jì)數(shù)規(guī)則一般表達(dá)式基數(shù)十進(jìn)制（D）0~9逢十進(jìn)一10二進(jìn)制（B）八進(jìn)制（Q）十六進(jìn)制（H）0、10~70~9、A~F逢二進(jìn)一逢八進(jìn)一逢十六進(jìn)一2816D=ΣkiX10iB=ΣkiX2iH=ΣkiX16i

Q=ΣkiX8i第三頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日三、數(shù)制轉(zhuǎn)換（一）二進(jìn)制數(shù)、八進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)按權(quán)展開(kāi)，求出其各位加權(quán)系數(shù)和。（二）十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)、八進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)整數(shù)采用除基取余法，小數(shù)采用乘基取整法。（三）二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換三合一，一分三。（四）二進(jìn)制數(shù)與十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換四合一，一分四。第四頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日四、碼制（一）BCD碼：8421碼、余3碼、2421碼、5421碼。（二）可靠性編碼：格雷碼、奇偶校驗(yàn)碼。第五頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日第二節(jié)邏輯函數(shù)本節(jié)綱要：一、邏輯變量與邏輯函數(shù)二、基本邏輯關(guān)系（與、或、非及其運(yùn)算）三、基本公式、定理和常用規(guī)則第六頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日

邏輯代數(shù)(布爾代數(shù))，是分析和研究邏輯電路的數(shù)學(xué)工具，是學(xué)習(xí)數(shù)字電路的基礎(chǔ)。研究?jī)?nèi)容：邏輯函數(shù)與邏輯變量之間的關(guān)系。

1847年,英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治·布爾(G.Boole)提出了用數(shù)學(xué)分析方法表示命題陳述的邏輯結(jié)構(gòu)，并將形式邏輯歸結(jié)為一種代數(shù)演算，從而誕生了著名的“布爾代數(shù)”。

1938年，克勞德·向農(nóng)(C.E.Shannon)將布爾代數(shù)應(yīng)用于電話繼電器的開(kāi)關(guān)電路，提出了“開(kāi)關(guān)代數(shù)”。隨著電子技術(shù)的發(fā)展，集成電路邏輯門(mén)已經(jīng)取代了機(jī)械觸點(diǎn)開(kāi)關(guān)，故人們更習(xí)慣于把開(kāi)關(guān)代數(shù)叫做邏輯代數(shù)。第七頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日一、邏輯變量和邏輯函數(shù)（一）邏輯變量邏輯變量定義：采用僅有兩個(gè)取值的變量來(lái)表示現(xiàn)象的兩種相互對(duì)立的狀態(tài)，這種二值變量就稱為邏輯變量。

邏輯變量表示的是事物的兩種對(duì)立的狀態(tài)，只允許取兩個(gè)不同的值，分別是邏輯0和邏輯1。（二）邏輯函數(shù)邏輯函數(shù)定義：在數(shù)字邏輯電路中，如果輸入變量A、B、C……的取值確定后，輸出變量Y的值也被唯一的確定了，則稱Y是A、B、C……的邏輯函數(shù)。一般表達(dá)式：Y=f（A，B，C，…）邏輯函數(shù)與邏輯變量一樣，都只有邏輯0和邏輯1兩種取值。第八頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日只有當(dāng)兩個(gè)開(kāi)關(guān)同時(shí)閉合，指示燈才會(huì)亮只有條件同時(shí)滿足時(shí)，結(jié)果才發(fā)生。+-AYB滅亮二、基本邏輯關(guān)系（一）、與邏輯及運(yùn)算1、與邏輯定義當(dāng)決定某一事件的所有條件都具備時(shí)，事件才能發(fā)生。否則就不發(fā)生。這種決定事件的因果關(guān)系稱為“與邏輯”。第九頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日3、與邏輯真值表4、與邏輯函數(shù)式5、與邏輯符號(hào)6、與邏輯運(yùn)算&ABY00=001=010=011=1Y=ABABY0001101100012、電路功能表開(kāi)關(guān)A開(kāi)關(guān)B燈Y斷開(kāi)斷開(kāi)滅斷開(kāi)閉合滅閉合斷開(kāi)滅閉合閉合亮第十頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日只要有一個(gè)開(kāi)關(guān)閉合時(shí)，指示燈就會(huì)亮。滅亮+-AYB（二）、或邏輯及運(yùn)算當(dāng)決定某一事件的一個(gè)或多個(gè)條件滿足時(shí),事件便能發(fā)生。當(dāng)所有條件都不具備時(shí)，事件才不發(fā)生。這種決定事件的因果關(guān)系稱為“或邏輯”。1、或邏輯定義第十一頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日AB011011Y01113、或邏輯真值表4、或邏輯函數(shù)式5、或邏輯符號(hào)Y=A+B0+0=0；0+1=1；1+0=1；1+1=16、或邏輯運(yùn)算≥1ABY002、電路功能表（見(jiàn)書(shū)P10。）第十二頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日開(kāi)關(guān)閉合時(shí)，指示燈不亮，而開(kāi)關(guān)斷開(kāi)時(shí)，指示燈亮。+-AYR亮滅（三）、非邏輯及運(yùn)算1、非邏輯定義

條件具備時(shí)，事件不能發(fā)生；條件不具備時(shí)事件一定發(fā)生。這種決定事件的因果關(guān)系稱為“非邏輯”。第十三頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日6、非邏輯運(yùn)算5、非邏輯符號(hào)4、非邏輯函數(shù)式3、非邏輯真值表AY0110Y=A1AY0=11=02、電路功能表（見(jiàn)教材P11）第十四頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日與非邏輯

它是“與”和“非”的復(fù)合邏輯，（四）、復(fù)合邏輯邏輯表達(dá)式為：變量全為1，表達(dá)式為0；只要有一個(gè)變量為0，表達(dá)式為1。規(guī)律：第十五頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日2.或非邏輯或非邏輯是“或”和“非”的復(fù)合邏輯，它與“與非”邏輯互為對(duì)偶。邏輯表達(dá)式為：規(guī)律：變量全為0，表達(dá)式為1；只要有一個(gè)變量為1，表達(dá)式就為0。第十六頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日3.與或非邏輯與或非邏輯是“與”、“或”、“非”的復(fù)合邏輯。邏輯表達(dá)式為：運(yùn)算順序：先與，再或，再取非ＡＢＣＤＹ００００１０００１１００１０１００１１００１００１０１０１１０１１０１０１１１０１０００１１００１１１０１０１１０１１０１１０００１１０１０１１１００１１１１０只有A、B或C、D同時(shí)為1時(shí),輸出才是0與或非真值表

第十七頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日4.異或邏輯邏輯表達(dá)式：對(duì)于二輸入變量問(wèn)題，當(dāng)二輸入值相異時(shí)，輸出為1；當(dāng)二輸入值相同時(shí)，輸出為0。規(guī)律：異或邏輯有下列等式：第十八頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日5.同或邏輯二輸入變量的同或表達(dá)式：⊙對(duì)于二輸入變量問(wèn)題，當(dāng)二輸入值相同時(shí)，輸出為1；當(dāng)二輸入值相異時(shí)，輸出為0。規(guī)律：同或、異或相互關(guān)系：第十九頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日（五）邏輯函數(shù)的相等的概念

邏輯代數(shù)中函數(shù)的定義與普通代數(shù)中函數(shù)的定義類似，即隨自變量變化的因變量。但和普通代數(shù)中函數(shù)的概念相比，邏輯函數(shù)具有如下特點(diǎn)：

1．邏輯函數(shù)和邏輯變量一樣，取值只有0和1兩種可能；

2．函數(shù)和變量之間的關(guān)系是由“或”、“與”、“非”三種基本運(yùn)算決定的。一、邏輯函數(shù)的定義第二十頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日

圖中，Y被稱為A1，A2，…，An的邏輯函數(shù)，記為Y=f(A1，A2，…，An)

任何一個(gè)邏輯電路的功能都可由相應(yīng)的邏輯函數(shù)完全描述，因此，能夠借助抽象的代數(shù)表達(dá)式對(duì)電路加以分析研究。邏輯電路輸出函數(shù)的取值是由邏輯變量的取值和電路本身的結(jié)構(gòu)決定的。廣義的邏輯電路邏輯電路YA1A2An…設(shè)某一邏輯電路的輸入邏輯變量為A1，A2，…，An，輸出邏輯變量為Y，如下圖所示。從數(shù)字系統(tǒng)研究的角度看，邏輯函數(shù)的定義如下:第二十一頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日

什么叫做兩個(gè)邏輯函數(shù)相等呢？

如何判斷兩個(gè)邏輯函數(shù)是否相等？

通常有兩種方法,一種方法是真值表法，另一種方法是代數(shù)法。設(shè)有兩個(gè)相同變量的邏輯函數(shù)Y1=f1(A1,A2,…,An)Y2=g2(A1,A2,…,An)

若對(duì)應(yīng)于邏輯變量A1,A2,…,An的任何一組取值，Y1和Y2的值都相同，則稱函數(shù)Y1和Y2相等，記作Y1=Y2。第二十二頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日例1：已知下列兩個(gè)函數(shù)，判斷和是否相等。解：列出Y1和Y2的真值表：ABAB0001111010110110010111110000即有：（與非=非或）第二十三頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日例2：已知下列兩個(gè)函數(shù)，判斷和是否相等。解：列出Y1和Y2的真值表：ABA+B0001111011010010100101110000即有：（或非=非與）第二十四頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日三、基本公式、定理和常用規(guī)則0-1律：描述了變量與常量之間的運(yùn)算規(guī)則互補(bǔ)律:描述了變量與其反變量之間的運(yùn)算規(guī)律等冪律（重疊律）:描述了同一變量的運(yùn)算規(guī)律雙重否定律（非非律）：表明一個(gè)變量經(jīng)過(guò)兩次求反之后還原為其本身分別令A(yù)=0及A=1代入這些公式，即可證明它們的正確性。（一）邏輯代數(shù)公式和定理第二十五頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日以上定律可以用真值表證明，也可以用公式證明。例如，證明加對(duì)乘的分配律A+BC=(A+B)(A+C)。證：(A+B)(A+C)=A·A+A·B+A·C+B·C（分配律）=A+AB+AC+BC（等冪律）=A(1+B+C)+BC=A+BC（分配律）因此有A+BC=(A+B)(A+C)第二十六頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日第二十七頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日吸收律:吸收多余（冗余）項(xiàng)，多余（冗余）因子被取消、去掉被消化了。)（1）原變量的吸收：證明：A+AB=A(1+B)=A?1=A長(zhǎng)中含短，留下短。（2）反變量的吸收：證明：長(zhǎng)中含反，去掉反。想一想：為什么?第二十八頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日（3）混合變量的吸收（冗余律）：證明：1吸收正負(fù)相對(duì)，余全完。第二十九頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日

證明：證：右邊證明證：左邊

運(yùn)用：利用上述公式或定理可以對(duì)邏輯表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，也可以利用他們來(lái)證明兩個(gè)邏輯表達(dá)式是否相等。第三十頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日1、代入規(guī)則任何一個(gè)含有某變量的等式，如果等式中所有出現(xiàn)此變量的位置均代之以一個(gè)邏輯函數(shù)式，則此等式依然成立例：AB=A+B利用反演律BC替代B得由此反演律能推廣到n個(gè)變量：（二）運(yùn)算基本規(guī)則第三十一頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日2、反演規(guī)則例：又例：Y是一個(gè)與或式（先與運(yùn)算再或運(yùn)算），而看作一個(gè)整體（或說(shuō)成一個(gè)變量）將Y中的則變成了或與式對(duì)于任意一個(gè)邏輯函數(shù)式Y(jié)，做如下處理：若把式中的運(yùn)算符“.”換成“+”,