第八章直線與圓的方程第七課時(shí)

第八章直線與圓的方程第七課時(shí)第一頁，共四十八頁，2022年，8月28日考綱要求1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系．2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.第二頁，共四十八頁，2022年，8月28日第三頁，共四十八頁，2022年，8月28日知識梳理一、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系若圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2，那么點(diǎn)(x0，y0)在圓上?____________________________；圓外?____________________________；圓內(nèi)?____________________________.答案：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2第四頁，共四十八頁，2022年，8月28日二、直線與圓的位置關(guān)系直線與圓有三種位置關(guān)系：相離、相切和相交．有兩種判斷方法：1．代數(shù)法(判別式法)Δ>0?____；Δ＝0?____；Δ<0?____.2．幾何法：圓心到直線的距離一般宜用幾何法．答案：1.相交相切相離2.相交相切相離第五頁，共四十八頁，2022年，8月28日三、圓與圓的位置關(guān)系1.>r1＋r2?相離．2.＝r1＋r2?外切．3.<<r1＋r2?相交．4.＝?內(nèi)切．5.<?內(nèi)含．第六頁，共四十八頁，2022年，8月28日四、圓系方程1．以(a，b)為圓心的圓系方程：2．過兩圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交點(diǎn)的圓系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ＝0，但不含C2；當(dāng)λ＝－1時(shí)，l：

＝0為兩圓公共弦所在直線方程．五、弦長求法一般采用幾何法：弦心距d，圓半徑r，弦長l，則d2＋＝r2.第七頁，共四十八頁，2022年，8月28日基礎(chǔ)自測1．過點(diǎn)(2,1)的直線中，被x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最長弦所在的直線方程是()A．3x－y－5＝0B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0D．x－3y＋1＝0A第八頁，共四十八頁，2022年，8月28日2．已知圓C與圓(x－1)2＋y2＝1關(guān)于直線y＝－x對稱，則圓C的方程為()A．(x＋1)2＋y2＝1B．x2＋y2＝1C．x2＋(y＋1)2＝1D．x2＋(y－1)2＝1解析：由M(x，y)關(guān)于y＝－x的對稱點(diǎn)為(－y，－x)，即得x2＋(y＋1)2＝1.答案：C第九頁，共四十八頁，2022年，8月28日3．圓C1：x2＋y2－4x＋2y－4＝0與圓C2：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的位置關(guān)系是()A．內(nèi)切B．外切C．外離D．相交C第十頁，共四十八頁，2022年，8月28日4．(2011年株洲模擬)已知直線l：x－y＋4＝0與圓C：＝2，則C上各點(diǎn)到l的距離的最小值為________．第十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日解析：如右圖可知：過圓心作直線l：x－y＋4＝0的垂線交l于D，則AD長即為所求；∵C：＝2的圓心為C，半徑為，點(diǎn)C到直線l：x－y＋4＝0的距離為d＝∴AD＝CD－AC＝2－＝.故C上各點(diǎn)到l的距離的最小值為.答案：第十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日第十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日直線3x－4y－9＝0與圓x2＋y2＝4的位置關(guān)系是()A．相交且過圓心B．相切C．相離D．相交但不過圓心解析：因?yàn)閳A心(0,0)到直線3x－4y－9＝0的距離d＝<2，且3×0－4×0－9≠0，所以直線與圓相交但不過圓心．答案：D第十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日變式探究1．直線x－y＋m＝0與圓x2＋y2－2x－2＝0相切，則實(shí)數(shù)m等于()A.或－B．－或3C．－3或D．－3或3C第十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日2．若直線ax＋by＝1與圓x2＋y2＝1相交，則點(diǎn)P(a，b)的位置是()A．在圓上B．在圓外C．在圓內(nèi)D．都有可能B第十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.(1)是否存在一點(diǎn)A，對于任意的實(shí)數(shù)m，直線l恒過A點(diǎn)？若有，請說明理由并求出A點(diǎn)坐標(biāo)；(2)證明：對任意m∈R，直線l一定與圓C相交；(3)求直線l與圓C所截得的弦長的最短長度及此時(shí)直線l的方程．第十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日解析：(1)(2m＋1)x＋(m＋1)y—7m—4＝0，2mx＋x＋my＋y—7m—4＝0，提出m，得m(2x＋y—7)＋x＋y—4＝0，只要令：2x＋y－7＝0①x＋y－4＝0②①②聯(lián)立，解得x＝3，y＝1.所以直線l恒過點(diǎn)A(3,1)(2)證明：證法一：因?yàn)?3－1)2＋(1－2)2<25，所以點(diǎn)A在圓內(nèi)，即直線l一定過圓內(nèi)一點(diǎn)，則直線l與圓一定相交．第十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日證法二：證明圓心(1,2)到直線l的距離d小于半徑5即可．d＝，d2＝，d2－25＝∵1142－4×116×49<0,62－4×5×2<0，∴對任意的m都有116m2＋144m＋49>0恒成立，5m2＋6m＋2>0恒成立．∴d2－25<0恒成立，即有d2<25，所以d<5，故直線l與圓一定相交．證法三：用方程組思想，判別式方法判斷根的個(gè)數(shù)一定有兩個(gè)即可(略)．第十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日(3)因?yàn)檫^圓心作直線l的垂線時(shí)，當(dāng)垂足為(3,1)時(shí)弦長就是最短的，所以依據(jù)圓心(1,2)和垂足(3,1)算出弦心距為，已知半徑為5，再根據(jù)勾股定理就可以得知的弦長為2，然后總弦長為4，此時(shí)直線AC與直線l垂直，kAC＝－，則kl＝2，根據(jù)點(diǎn)斜式可得，直線l的方程為y－1＝2(x－3)，化簡得y－2x＋5＝0.點(diǎn)評：用直線系方程求點(diǎn)．若證明一條直線恒過定點(diǎn)或求一條直線必過定點(diǎn)，通常采用分離系數(shù)法：即將原方程改變成：f(x,y)＋mg(x，y)＝0的形式，此式的成立與m的取值無關(guān)，從而解出定點(diǎn)．第二十頁，共四十八頁，2022年，8月28日變式探究3．把直線x－2y＋λ＝0向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位后，所得直線正好與圓x2＋y2＋2x－4y＝0相切，則實(shí)數(shù)λ的值為()A．3或13B．－3或13C．3或－13D．－3或－13第二十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日解析：平移后的直線為x－2y＋λ－3＝0，由題意，所以λ＝3或13.答案：A第二十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日(2010年廈門模擬)已知圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，直線l：y＝kx，且l與圓C交于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)M，且MP⊥MQ.(1)當(dāng)b＝1時(shí)，求k的值；(2)當(dāng)b∈時(shí)，求k的取值范圍．解析：(1)圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，當(dāng)b＝1時(shí)，點(diǎn)M(0，b)在圓C上，當(dāng)且僅當(dāng)直線l經(jīng)過圓心C時(shí)滿足MP⊥MQ.∵圓心C的坐標(biāo)為(1,1)，∴k＝1.(2)由，消去y得(1＋k2)x2－2(1＋k)x＋1＝0.①第二十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝.由MP⊥MQ，得x1x2＋(y1－b)(y2－b)＝(1＋k2)x1x2－kb(x1＋x2)＋b2＝0.∴(1＋k2)·－kb·＋b2＝0，即令f(b)＝b＋，則f′(b)＝1－，b∈時(shí)，f′(b)＝1－>0，∴f(b)在區(qū)間上是單調(diào)遞增的，第二十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日當(dāng)b∈時(shí)，f(b)∈.∴2<，解得：∴由①式Δ>0解得k>0，∴1<k<6－或k>6＋.∴k的取值范圍是(1,6－)∪(6＋，＋∞)．第二十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日變式探究4．過點(diǎn)(0,1)的直線與圓x2＋y2＝4相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為()A．2B．C．3D．第二十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日解析：如下圖最小時(shí)，弦心距最大為1，答案：B第二十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日(1)求過點(diǎn)M(2,4)向圓(x－1)2＋(y＋3)2＝1所引的切線方程；(2)過點(diǎn)M(2,4)向圓(x－1)2＋(y＋3)2＝1引兩條切線，切點(diǎn)為P、Q，求P、Q所在直線方程(弦PQ簡稱切點(diǎn)弦)．思路分析：(1)用點(diǎn)斜式設(shè)直線方程時(shí)，要分斜率存在、不存在兩種情況討論．(2)點(diǎn)M、圓心C、切點(diǎn)P、Q四點(diǎn)共圓，直線PQ為兩圓公共弦，兩圓方程相減即得公共弦方程．解析：(1)當(dāng)所求切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0.∴＝1.解得k＝，第二十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日即切線方程為24x－7y－20＝0.當(dāng)k不存在時(shí)，切線方程為x＝2.故所求切線方程為24x－7y－20＝0或x＝2.(2)連結(jié)CP、CQ，則CP⊥PM，CQ⊥QM.∴M、P、Q、C四點(diǎn)共圓．其圓是以CM為直徑的圓．∵C(1，－3)，∴CM的中點(diǎn)為.|CM|＝∴以CM為直徑的圓的方程為第二十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日∴PQ的方程為(x－1)2＋(y＋3)2－1－＝0，即x＋7y＋19＝0.第三十頁，共四十八頁，2022年，8月28日變式探究5．圓x2＋y2－4x＝0在點(diǎn)P(1，)處的切線方程為()A．x＋y－2＝0B．x＋y－4＝0C．x－y＋4＝0D．x－y＋2＝0第三十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日解析：解法一：?x2－4x＋(kx－k＋)2＝0，該二次方程應(yīng)有兩相等實(shí)根，即Δ＝0，解得k＝.∴y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0.解法二：∵點(diǎn)(1，)在圓x2＋y2－4x＝0上，∴點(diǎn)P為切點(diǎn)，從而圓心與P的連線應(yīng)與切線垂直．又∵圓心為(2,0)，∴·k＝－1.解得k＝，∴切線方程為x－y＋2＝0.答案：D第三十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日(2011年南寧模擬)圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關(guān)系是()A．相離B．相交C．外切D．內(nèi)切解析：化成標(biāo)準(zhǔn)方程：O1：(x－1)2＋y2＝1，O2：x2＋(y－2)2＝4，則O1(1,0)、O2(0,2)、|O1O2|＝又∵|R－r|＝1＜<R＋r＝3，所以兩圓相交．答案：B第三十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日變式探究6．已知半徑為1的動圓與圓(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，則動圓圓心的軌跡方程是()A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25B．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15解析：注意內(nèi)切與外切均有可能．答案：B第三十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日知圓x2＋y2＋x－6y＋m＝0與直線x＋2y－3＝0相交于P、Q兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，且OP⊥OQ，求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑．思路分析：由于OP⊥OQ，所以kOP·kOQ＝－1，問題可解．解析：解法一：設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)，由OP⊥OQ,得：kOP·kOQ＝－1即＝－1，即x1x2＋y1y2＝0①另一方面(x1，y1)、(x2，y2)是方程組的實(shí)數(shù)解，第三十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日即x1，x2是5x2＋10x＋4m－27＝0②的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴x1＋x2＝－2，x1x2＝③又P、Q在直線x＋2y－3＝0上，∴y1y2＝(3－x1)(3－x2)＝[9－3(x1＋x2)＋x1x2]將③代入得y1y2＝④將③④代入①知：m＝3.代入方程②檢驗(yàn)Δ＞0成立．∴m＝3.圓心坐標(biāo)為，半徑為r＝.解法二：將3＝x＋2y代入圓的方程知：第三十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日x2＋y2＋(x＋2y)(x－6y)＋(x＋2y)2＝0，整理得：(12＋m)x2＋4(m－3)xy＋(4m－27)y2＝0.由于x≠0，可得(4m－27)＋4(m－3)＋12＋m＝0，∴kOP、kOQ是上面方程的兩根，由kOP·kOQ＝－1知：＝－1，解得：m＝3.檢驗(yàn)知m＝3滿足Δ＞0.∴圓心坐標(biāo)為，半徑為r＝.第三十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日點(diǎn)評：在解答中，我們采用了對直線與圓的交點(diǎn)“設(shè)而不求”的解題技巧，這是用韋達(dá)定理解題的典型例子，在以后的圓錐曲線中也有同類型題，但必須注意這樣的交點(diǎn)是否存在，這可由判別式大于零幫助考慮，即注意Δ＞0的檢驗(yàn)．第三十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日7.求經(jīng)過兩圓(x＋3)2＋y2＝13和x2＋(y＋3)2＝37的交點(diǎn)，且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程．解析：因?yàn)樗蟮膱A經(jīng)過兩圓(x＋3)2＋y2＝13和x2＋(y＋3)2＝37的交點(diǎn)，所以設(shè)所求圓的方程為(x＋3)2＋y2－13＋λ[x2＋(y＋3)2－37]＝0.展開、配方、整理，得變式探究第三十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日圓心為，代入方程x－y－4＝0，得λ＝－7.故所求圓的方程為點(diǎn)評：圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，若圓C1、C2相交，那么過兩圓公共點(diǎn)的圓系方程為(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ∈R且λ≠－1)．它表示除圓C2以外